Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
4948
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
òàê, ÷òîáû â öåëîé ÷àñòè îêàçàëàñü îäíà çíà÷àùàÿ
öèôðà (ñì. ï. 13), è óìíîæèòü ïîëó÷åííîå ÷èñëî íà
10
n
òàê, ÷òîáû â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ çàïÿòàÿ âåð-
íóëàñü íà òî ìåñòî, êîòîðîå îíà çàíèìàëà â ÷èñëå à.
Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü â ñòàíäàðòíîì âèäå ÷èñëî:
à) à = 395; á) à = 4,13; â) à = 0,0023.
q à) Îòäåëèâ â ÷èñëå 395 ïåðâóþ çíà÷àùóþ öèô-
ðó, ïîëó÷èì 3,95; ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê èñõîäíîìó ÷èñ-
ëó, íàäî çàïÿòóþ ïåðåäâèíóòü íà äâå öèôðû âïðàâî
ýòî ðàâíîñèëüíî óìíîæåíèþ íà 10
2
. Çíà÷èò, 395=
= 3,95 · 10
2
, ò. å. à
1
= 3,95 è n = 2.
á) Çäåñü îäíà çíà÷àùàÿ öèôðà óæå îòäåëåíà çàïÿ-
òîé, ïîýòîìó 4,13 = 4,13 · 10
0
, ò. å. à
1
= 4,13; è
n = 0.
â) Îòäåëèâ çàïÿòîé â ÷èñëå 0,0023 ïåðâóþ çíà-
÷àùóþ öèôðó, ïîëó÷èì 2,3; ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê èñ-
õîäíîìó ÷èñëó, íàäî çàïÿòóþ ïåðåäâèíóòü íà òðè
öèôðû âëåâî ýòî ðàâíîñèëüíî äåëåíèþ íà 10
3
èëè
óìíîæåíèþ íà 10
3
. Èòàê, 0,0023 = 2,3 · 10
3
, ò. å.
à
1
= 2,3 è n = 3. n
37. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ. Ñâîé-
ñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé. Åñëè
0³a
è n
íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, òî ñóùåñòâóåò, è òîëüêî
îäíî, íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî õ òàêîå, ÷òî âûïîëíÿåò-
ñÿ ðàâåíñòâî õ
n
= à. Ýòî ÷èñëî õ íàçûâàåòñÿ àðèôìå-
òè÷åñêèì êîðíåì n-é ñòåïåíè èç íåîòðèöàòåëüíî-
ãî ÷èñëà à è îáîçíà÷àåòñÿ
.
n
a
×èñëî à íàçûâàåòñÿ
ïîäêîðåííûì ÷èñëîì, n ïîêàçàòåëåì êîðíÿ.
Åñëè n = 2, òî îáû÷íî ïèøóò
a
è íàçûâàþò ýòî âû-
ðàæåíèå êâàäðàòíûì êîðíåì. ×àñòî âìåñòî òåð-
ìèíà «êîðåíü» óïîòðåáëÿþò òåðìèí «ðàäèêàë».
Èòàê, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ çàïèñü
,xa
n
=
ãäå
0³a
,îçíà÷àåò, âî-ïåðâûõ, ÷òî
0³x
è, âî-âòîðûõ, ÷òî
x
n
= a, ò. å.
.aa
n
n
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Íàïðèìåð,
.00,5125,749
103
===
Åñëè
0³a
è
,0³b
òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
ñâîéñòâà:
1
0
.
.
nnn
baab
=
4
0
.
.
nk
n
k
aa
=
2
0
.
.0, ¹= b
b
a
b
a
n
n
n
5
0
.
.
n
k
nm
km
aa
=
3
0
.
.
n
k
k
n
aa
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Ñâîéñòâî 1
0
ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå
ëþáîãî ÷èñëà ìíîæèòåëåé. Íàïðèìåð,
=××
3
125278
.30532125278
333
=××=××=
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü:
à)
;
32
19
7
5
á)
;
3
5
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
â)
;
4
3
a
ã)
.
6
4
a
q à)
;
2
3
32
243
32
243
32
19
7
5
5
55
===
á)
5
6
5
32
3
5
2
;
)
(
aaa ==
÷
ø
ö
ç
è
æ
â)
;
1234
4
3
aaa ==
×
=
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
4948
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
òàê, ÷òîáû â öåëîé ÷àñòè îêàçàëàñü îäíà çíà÷àùàÿ
öèôðà (ñì. ï. 13), è óìíîæèòü ïîëó÷åííîå ÷èñëî íà
10
n
òàê, ÷òîáû â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ çàïÿòàÿ âåð-
íóëàñü íà òî ìåñòî, êîòîðîå îíà çàíèìàëà â ÷èñëå à.
Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü â ñòàíäàðòíîì âèäå ÷èñëî:
à) à = 395; á) à = 4,13; â) à = 0,0023.
q à) Îòäåëèâ â ÷èñëå 395 ïåðâóþ çíà÷àùóþ öèô-
ðó, ïîëó÷èì 3,95; ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê èñõîäíîìó ÷èñ-
ëó, íàäî çàïÿòóþ ïåðåäâèíóòü íà äâå öèôðû âïðàâî
ýòî ðàâíîñèëüíî óìíîæåíèþ íà 10
2
. Çíà÷èò, 395=
= 3,95 · 10
2
, ò. å. à
1
= 3,95 è n = 2.
á) Çäåñü îäíà çíà÷àùàÿ öèôðà óæå îòäåëåíà çàïÿ-
òîé, ïîýòîìó 4,13 = 4,13 · 10
0
, ò. å. à
1
= 4,13; è
n = 0.
â) Îòäåëèâ çàïÿòîé â ÷èñëå 0,0023 ïåðâóþ çíà-
÷àùóþ öèôðó, ïîëó÷èì 2,3; ÷òîáû âåðíóòüñÿ ê èñ-
õîäíîìó ÷èñëó, íàäî çàïÿòóþ ïåðåäâèíóòü íà òðè
öèôðû âëåâî ýòî ðàâíîñèëüíî äåëåíèþ íà 10
3
èëè
óìíîæåíèþ íà 10
3
. Èòàê, 0,0023 = 2,3 · 10
3
, ò. å.
à
1
= 2,3 è n = 3. n
37. Îïðåäåëåíèå àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ. Ñâîé-
ñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé. Åñëè
0³a
è n
íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, òî ñóùåñòâóåò, è òîëüêî
îäíî, íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî õ òàêîå, ÷òî âûïîëíÿåò-
ñÿ ðàâåíñòâî õ
n
= à. Ýòî ÷èñëî õ íàçûâàåòñÿ àðèôìå-
òè÷åñêèì êîðíåì n-é ñòåïåíè èç íåîòðèöàòåëüíî-
ãî ÷èñëà à è îáîçíà÷àåòñÿ
.
n
a
×èñëî à íàçûâàåòñÿ
ïîäêîðåííûì ÷èñëîì, n ïîêàçàòåëåì êîðíÿ.
Åñëè n = 2, òî îáû÷íî ïèøóò
a
è íàçûâàþò ýòî âû-
ðàæåíèå êâàäðàòíûì êîðíåì. ×àñòî âìåñòî òåð-
ìèíà «êîðåíü» óïîòðåáëÿþò òåðìèí «ðàäèêàë».
Èòàê, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ çàïèñü
,xa
n
=
ãäå
0³a
,îçíà÷àåò, âî-ïåðâûõ, ÷òî
0³x
è, âî-âòîðûõ, ÷òî
x
n
= a, ò. å.
.aa
n
n
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Íàïðèìåð,
.00,5125,749
103
===
Åñëè
0³a
è
,0³b
òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
ñâîéñòâà:
1
0
.
.
nnn
baab
=
4
0
.
.
nk
n
k
aa
=
2
0
.
.0, ¹= b
b
a
b
a
n
n
n
5
0
.
.
n
k
nm
km
aa
=
3
0
.
.
n
k
k
n
aa
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Ñâîéñòâî 1
0
ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå
ëþáîãî ÷èñëà ìíîæèòåëåé. Íàïðèìåð,
=××
3
125278
.30532125278
333
=××=××=
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü:
à)
;
32
19
7
5
á)
;
3
5
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
â)
;
4
3
a
ã)
.
6
4
a
q à)
;
2
3
32
243
32
243
32
19
7
5
5
55
===
á)
5
6
5
32
3
5
2
;
)
(
aaa ==
÷
ø
ö
ç
è
æ
â)
;
1234
4
3
aaa ==
×
=
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
5150
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
ã)
3
2
6
4
aa =
(ïîêàçàòåëè êîðíÿ è ïîäêîðåííîãî
âûðàæåíèÿ ðàçäåëèëè íà 2). n
38. Êîðåíü íå÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî
÷èñëà. Ïóñòü à < 0, à n íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå
1. Åñëè n ÷åòíîå ÷èñëî, òî ðàâåíñòâî
x
n
= à íå âûïîëíÿåòñÿ íè ïðè êàêîì äåéñòâèòåëü-
íîì çíà÷åíèè õ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â îáëàñòè äåéñòâè-
òåëüíûõ ÷èñåë íåëüçÿ îïðåäåëèòü êîðåíü ÷åòíîé ñòå-
ïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Åñëè æå n íå÷åòíîå
÷èñëî, òî ñóùåñòâóåò îäíî è òîëüêî îäíî äåéñòâèòåëü-
íîå ÷èñëî õ òàêîå, ÷òî x
n
= a. Ýòî ÷èñëî îáîçíà÷àþò
n
a
è íàçûâàþò êîðíåì íå÷åòíîé ñòåïåíè n èç
îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà à.
Íàïðèìåð,
,28
3
-=- òàê êàê (2)
3
= 8;
=-
5
243
3, òàê êàê (3)
5
= 243.
 ñëó÷àå íå÷åòíûõ ïîêàçàòåëåé êîðíåé ñâîéñòâà
ðàäèêàëîâ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷å-
íèé ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé (ñì. ï. 37), âåðíû è äëÿ
îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé.
Íàïðèìåð,
333
baab ×=
äëÿ ëþáûõ à è b.
39. Ñòåïåíü ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì. Ïîëàãàþò
ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè
0³a
è m, n íàòóðàëüíûå
÷èñëà,
,2³n
òî
;
n
m
n
m
aa
=
åñëè à > 0, òî
.
1
n
m
n
m
a
a
=
-
Íåöåëàÿ ñòåïåíü îòðèöàòåëüíîãî ÷èñ-
ëà íå èìååò ñìûñëà.
Íàïðèìåð:
;288
3
3
1
==
===
4
34
4
3
4
3
)3(8181
;2733
3
4
12
===
.
2
1
4
1
4
1
4
5,0
5,0
===
-
40. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ ðàöèîíàëüíûìè ïîêà-
çàòåëÿìè. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ
âîçâåäåíèÿ â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü (ñì. ï. 34); äëÿ
ëþáîãî ÷èñëà
0¹a
îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ
â íóëåâóþ è öåëóþ îòðèöàòåëüíóþ ñòåïåíü (ñì. ï.35);
äëÿ ëþáîãî
0³a
îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ
â ïîëîæèòåëüíóþ äðîáíóþ ñòåïåíü (ñì. ï. 39), è, íà-
êîíåö, äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à > 0 îïðåäåëåíà îïåðà-
öèÿ âîçâåäåíèÿ â îòðèöàòåëüíóþ äðîáíóþ ñòåïåíü
(ñì. ï. 39).
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü
.)343,0()4(
16
1
)25,6(
01
25,0
5,0
×--
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
-
q Èìååì
;
2
5
4
25
4
25
)25,6(
2
1
5,0
==
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
25,0
16
1
;
2
1
16
1
16
1
4
4
1
==
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
.1)343,0(;
4
1
)4(
01
=-=-
-
 èòîãå ïîëó÷àåì
.
2
3
1
4
1
2
1
2
5
=×
÷
ø
ö
ç
è
æ
--×
n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
5150
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
ã)
3
2
6
4
aa =
(ïîêàçàòåëè êîðíÿ è ïîäêîðåííîãî
âûðàæåíèÿ ðàçäåëèëè íà 2). n
38. Êîðåíü íå÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî
÷èñëà. Ïóñòü à < 0, à n íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå
1. Åñëè n ÷åòíîå ÷èñëî, òî ðàâåíñòâî
x
n
= à íå âûïîëíÿåòñÿ íè ïðè êàêîì äåéñòâèòåëü-
íîì çíà÷åíèè õ. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â îáëàñòè äåéñòâè-
òåëüíûõ ÷èñåë íåëüçÿ îïðåäåëèòü êîðåíü ÷åòíîé ñòå-
ïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Åñëè æå n íå÷åòíîå
÷èñëî, òî ñóùåñòâóåò îäíî è òîëüêî îäíî äåéñòâèòåëü-
íîå ÷èñëî õ òàêîå, ÷òî x
n
= a. Ýòî ÷èñëî îáîçíà÷àþò
n
a
è íàçûâàþò êîðíåì íå÷åòíîé ñòåïåíè n èç
îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà à.
Íàïðèìåð,
,28
3
-=- òàê êàê (2)
3
= 8;
=-
5
243
3, òàê êàê (3)
5
= 243.
 ñëó÷àå íå÷åòíûõ ïîêàçàòåëåé êîðíåé ñâîéñòâà
ðàäèêàëîâ, ñïðàâåäëèâûå äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷å-
íèé ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé (ñì. ï. 37), âåðíû è äëÿ
îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé.
Íàïðèìåð,
333
baab ×=
äëÿ ëþáûõ à è b.
39. Ñòåïåíü ñ äðîáíûì ïîêàçàòåëåì. Ïîëàãàþò
ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè
0³a
è m, n íàòóðàëüíûå
÷èñëà,
,2³n
òî
;
n
m
n
m
aa
=
åñëè à > 0, òî
.
1
n
m
n
m
a
a
=
-
Íåöåëàÿ ñòåïåíü îòðèöàòåëüíîãî ÷èñ-
ëà íå èìååò ñìûñëà.
Íàïðèìåð:
;288
3
3
1
==
===
4
34
4
3
4
3
)3(8181
;2733
3
4
12
===
.
2
1
4
1
4
1
4
5,0
5,0
===
-
40. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ ðàöèîíàëüíûìè ïîêà-
çàòåëÿìè. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ
âîçâåäåíèÿ â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü (ñì. ï. 34); äëÿ
ëþáîãî ÷èñëà
0¹a
îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ
â íóëåâóþ è öåëóþ îòðèöàòåëüíóþ ñòåïåíü (ñì. ï.35);
äëÿ ëþáîãî
0³a
îïðåäåëåíà îïåðàöèÿ âîçâåäåíèÿ
â ïîëîæèòåëüíóþ äðîáíóþ ñòåïåíü (ñì. ï. 39), è, íà-
êîíåö, äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à > 0 îïðåäåëåíà îïåðà-
öèÿ âîçâåäåíèÿ â îòðèöàòåëüíóþ äðîáíóþ ñòåïåíü
(ñì. ï. 39).
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü
.)343,0()4(
16
1
)25,6(
01
25,0
5,0
×--
÷
ø
ö
ç
è
æ
×
-
q Èìååì
;
2
5
4
25
4
25
)25,6(
2
1
5,0
==
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
25,0
16
1
;
2
1
16
1
16
1
4
4
1
==
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
.1)343,0(;
4
1
)4(
01
=-=-
-
 èòîãå ïîëó÷àåì
.
2
3
1
4
1
2
1
2
5
=×
÷
ø
ö
ç
è
æ
--×
n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
5352
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
Åñëè à > 0, b > 0 è r, s ëþáûå ðàöèîíàëüíûå
÷èñëà, òî:
1
0
.
.
srsr
aaa
+
=×
4
0
.
.)(
rrr
abba
=×
2
0
.
.:
srsr
aaa
-
=
5
0
.
.
r
r
r
b
a
b
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
3
0
.
.)(
rssr
aa
=
41. Ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ÷èñåë. Àáñîëþòíàÿ
è îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòè. Ïðè îêðóãëåíèè äå-
ñÿòè÷íîé äðîáè äî êàêîãî-íèáóäü ðàçðÿäà âñå ñëåäó-
þùèå çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðû çàìåíÿþò íóëÿìè,
à åñëè îíè ñòîÿò ïîñëå çàïÿòîé, òî èõ îòáðàñûâàþò.
Åñëè ïåðâàÿ ñëåäóþùàÿ çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðà
áîëüøå èëè ðàâíà 5, òî ïîñëåäíþþ îñòàâøóþñÿ öèô-
ðó óâåëè÷èâàþò íà 1. Åñëè æå ïåðâàÿ ñëåäóþùàÿ çà
ýòèì ðàçðÿäîì öèôðà ìåíüøå 5, òî ïîñëåäíþþ îñ-
òàâøóþñÿ öèôðó íå èçìåíÿþò.
Ï ð è ì å ð 1. Îêðóãëèòü ÷èñëî a = 2471,05624
ñ òî÷íîñòüþ äî: à) äåñÿòêîâ; á) åäèíèö; â) äåñÿòûõ;
ã) ñîòûõ; ä) òûñÿ÷íûõ.
q à) Öèôðà åäèíèö, ñëåäóþùàÿ çà ðàçðÿäîì
äåñÿòêîâ, ðàâíà 1, ò. å. ìåíüøå 5. Çíà÷èò, îêðóãëèâ äî
äåñÿòêîâ, èìååì
.2470»a
Çíàê
»
íàçûâàþò çíàêîì
ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà.
á) Öèôðà äåñÿòûõ ðàâíà 0, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî
åäèíèö, èìååì
.2471»a
â) Öèôðà ñîòûõ ðàâíà 5, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî äåñÿ-
òûõ, èìååì
.1,2471»a
ã) Öèôðà òûñÿ÷íûõ ðàâíà 6, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî
ñîòûõ, èìååì
.06,2471»a
ä) Öèôðà äåñÿòèòûñÿ÷íûõ ðàâíà 2, çíà÷èò, îêðóã-
ëèâ äî òûñÿ÷íûõ, èìååì
.056,2471»a
n
Âñå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ íàçûâàþòñÿ ïðèáëèæåí-
íûìè çíà÷åíèÿìè ÷èñëà
.05624,2471»a
Ïóñòü à ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a. Òîã-
äà ìîäóëü ðàçíîñòè ÷èñåë a è à, ò. å.
,a-a
íàçûâà-
åòñÿ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ ïðèáëèæåííîãî
çíà÷åíèÿ ÷èñëà a, à îòíîøåíèå àáñîëþòíîé ïîãðåø-
íîñòè ê ìîäóëþ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ íàçûâàåò-
ñÿ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ ïðèáëèæåííî-
ãî çíà÷åíèÿ. Îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü îáû÷íî âû-
ðàæàþò â ïðîöåíòàõ.
Ï ð è ì å ð 2. Âçâåñèâ äåòàëü, ìàññà êîòîðîé
ðàâíà 54,12705 ã, íà âåñàõ ñ öåíîé äåëåíèÿ øêàëû
0,1 ã, ïîëó÷èëè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ìàññû 54,1 ã.
Íàéòè àáñîëþòíóþ è îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòè
ýòîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ.
q Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà 54,12705
54,1 = 0,02705; îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà
%.05,0%100
1,54
02705,0
=×
n
Åñëè àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî
çíà÷åíèÿ à, íàéäåííîãî äëÿ èíòåðåñóþùåãî íàñ ÷èñ-
ëà a, íå ïðåâîñõîäèò íåêîòîðîãî ÷èñëà h, òî ïèøóò
;ha ±=a
ãîâîðÿò, ÷òî à ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå
÷èñëà a ñ òî÷íîñòüþ äî h.
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå
÷èñëà a = 2471,05624 ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01.
q Îêðóãëèâ ÷èñëî a äî ñîòûõ (ñì. ïðèìåð 1, ã),
ïîëó÷èì
.06,2471=a
Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü
ýòîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ ðàâíà ½2471,05624
2471,06½ = ½0,00376½ < 0,01. Çíà÷èò, 2471,06
ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a ñ òî÷íîñòüþ äî
0,01. n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
5352
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
Åñëè à > 0, b > 0 è r, s ëþáûå ðàöèîíàëüíûå
÷èñëà, òî:
1
0
.
.
srsr
aaa
+
=×
4
0
.
.)(
rrr
abba
=×
2
0
.
.:
srsr
aaa
-
=
5
0
.
.
r
r
r
b
a
b
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
3
0
.
.)(
rssr
aa
=
41. Ïðèáëèæåííûå çíà÷åíèÿ ÷èñåë. Àáñîëþòíàÿ
è îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòè. Ïðè îêðóãëåíèè äå-
ñÿòè÷íîé äðîáè äî êàêîãî-íèáóäü ðàçðÿäà âñå ñëåäó-
þùèå çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðû çàìåíÿþò íóëÿìè,
à åñëè îíè ñòîÿò ïîñëå çàïÿòîé, òî èõ îòáðàñûâàþò.
Åñëè ïåðâàÿ ñëåäóþùàÿ çà ýòèì ðàçðÿäîì öèôðà
áîëüøå èëè ðàâíà 5, òî ïîñëåäíþþ îñòàâøóþñÿ öèô-
ðó óâåëè÷èâàþò íà 1. Åñëè æå ïåðâàÿ ñëåäóþùàÿ çà
ýòèì ðàçðÿäîì öèôðà ìåíüøå 5, òî ïîñëåäíþþ îñ-
òàâøóþñÿ öèôðó íå èçìåíÿþò.
Ï ð è ì å ð 1. Îêðóãëèòü ÷èñëî a = 2471,05624
ñ òî÷íîñòüþ äî: à) äåñÿòêîâ; á) åäèíèö; â) äåñÿòûõ;
ã) ñîòûõ; ä) òûñÿ÷íûõ.
q à) Öèôðà åäèíèö, ñëåäóþùàÿ çà ðàçðÿäîì
äåñÿòêîâ, ðàâíà 1, ò. å. ìåíüøå 5. Çíà÷èò, îêðóãëèâ äî
äåñÿòêîâ, èìååì
.2470»a
Çíàê
»
íàçûâàþò çíàêîì
ïðèáëèæåííîãî ðàâåíñòâà.
á) Öèôðà äåñÿòûõ ðàâíà 0, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî
åäèíèö, èìååì
.2471»a
â) Öèôðà ñîòûõ ðàâíà 5, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî äåñÿ-
òûõ, èìååì
.1,2471»a
ã) Öèôðà òûñÿ÷íûõ ðàâíà 6, çíà÷èò, îêðóãëèâ äî
ñîòûõ, èìååì
.06,2471»a
ä) Öèôðà äåñÿòèòûñÿ÷íûõ ðàâíà 2, çíà÷èò, îêðóã-
ëèâ äî òûñÿ÷íûõ, èìååì
.056,2471»a
n
Âñå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ íàçûâàþòñÿ ïðèáëèæåí-
íûìè çíà÷åíèÿìè ÷èñëà
.05624,2471»a
Ïóñòü à ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a. Òîã-
äà ìîäóëü ðàçíîñòè ÷èñåë a è à, ò. å.
,a-a
íàçûâà-
åòñÿ àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòüþ ïðèáëèæåííîãî
çíà÷åíèÿ ÷èñëà a, à îòíîøåíèå àáñîëþòíîé ïîãðåø-
íîñòè ê ìîäóëþ ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ íàçûâàåò-
ñÿ îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòüþ ïðèáëèæåííî-
ãî çíà÷åíèÿ. Îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòü îáû÷íî âû-
ðàæàþò â ïðîöåíòàõ.
Ï ð è ì å ð 2. Âçâåñèâ äåòàëü, ìàññà êîòîðîé
ðàâíà 54,12705 ã, íà âåñàõ ñ öåíîé äåëåíèÿ øêàëû
0,1 ã, ïîëó÷èëè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ìàññû 54,1 ã.
Íàéòè àáñîëþòíóþ è îòíîñèòåëüíóþ ïîãðåøíîñòè
ýòîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ.
q Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà 54,12705
54,1 = 0,02705; îòíîñèòåëüíàÿ ïîãðåøíîñòü ðàâíà
%.05,0%100
1,54
02705,0
=×
n
Åñëè àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü ïðèáëèæåííîãî
çíà÷åíèÿ à, íàéäåííîãî äëÿ èíòåðåñóþùåãî íàñ ÷èñ-
ëà a, íå ïðåâîñõîäèò íåêîòîðîãî ÷èñëà h, òî ïèøóò
;ha ±=a
ãîâîðÿò, ÷òî à ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå
÷èñëà a ñ òî÷íîñòüþ äî h.
Ï ð è ì å ð 3. Íàéòè ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå
÷èñëà a = 2471,05624 ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01.
q Îêðóãëèâ ÷èñëî a äî ñîòûõ (ñì. ïðèìåð 1, ã),
ïîëó÷èì
.06,2471=a
Àáñîëþòíàÿ ïîãðåøíîñòü
ýòîãî ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ ðàâíà ½2471,05624
2471,06½ = ½0,00376½ < 0,01. Çíà÷èò, 2471,06
ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ÷èñëà a ñ òî÷íîñòüþ äî
0,01. n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
5554
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
42. Äåñÿòè÷íûå ïðèáëèæåíèÿ äåéñòâèòåëüíîãî
÷èñëà ïî íåäîñòàòêó è ïî èçáûòêó. Âîçüìåì èððà-
öèîíàëüíîå ÷èñëî
.2
Èìååì:
;221
22
<<
;221 <<
;5,124,1
22
<<
;5,124,1 <<
;42,1241,1
22
<<
;42,1241,1 <<
;415,12414,1
22
<<
;415,12414,1 <<
;4143,124142,1
22
<<
.4143,124142,1 <<
×èñëà 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 íàçûâàþòñÿ äå-
ñÿòè÷íûìè ïðèáëèæåíèÿìè ÷èñëà
2
ïî íåäî-
ñòàòêó ñ òî÷íîñòüþ ñîîòâåòñòâåííî äî 1, äî 0,1, äî
0,01, äî 0,001, äî 0,0001. ×èñëà 2; 1,5; 1,42; 1,415;
1,4143 íàçûâàþòñÿ äåñÿòè÷íûìè ïðèáëèæåíèÿ-
ìè ÷èñëà
2
ïî èçáûòêó ñîîòâåòñòâåííî ñ òîé æå
òî÷íîñòüþ.
Äëÿ ÷èñëà
2
èñïîëüçóþò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå
áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè:
2
= 1,4142... .
Âîîáùå, ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ïðåäñòà-
âèìî â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè, ïðè÷åì
ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ÷èñëî ðàöèîíàëüíîå (ñì. ï. 16), è
íåïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ÷èñëî èððàöèîíàëüíîå.
Íàïðèìåð,
...2545454,0)54(2,0
55
14
==
(ñì. ï. 17).
Äåñÿòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ÷èñëà
55
14
ñ òî÷íîñòüþ äî
0,001 ïî íåäîñòàòêó ðàâíî 0,254, à ïî èçáûòêó ðàâíî
0,255.
43. Ïîíÿòèå î ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêà-
çàòåëåì. Ïóñòü a èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Êàêîé
ñìûñë âêëàäûâàåòñÿ â çàïèñü
a
a
, ãäå à ïîëîæè-
òåëüíîå ÷èñëî? Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ: à = 1,
à > 1, 0 < a < 1.
1) Åñëè à = 0, òî ïîëàãàþò
.11 =
a
2) Ïóñòü a > 1. Âîçüìåì ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñ-
ëî r
1
< = è ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r
2
> =. Òîãäà
r
1
< r
2
è
.
21
rr
aa
<
 ýòîì ñëó÷àå ïîä
a
a
ïîíèìàþò
÷èñëî, êîòîðîå çàêëþ÷åíî ìåæäó
1
r
a
è
2
r
a
äëÿ ëþ-
áûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r
1
è r
2
òàêèõ, ÷òî r
1
< =, à
r
2
> =. Äîêàçàíî, ÷òî òàêîå ÷èñëî ñóùåñòâóåò è åäèí-
ñòâåííî äëÿ ëþáîãî à > 1 è ëþáîãî èððàöèîíàëüíîãî
÷èñëà a.
3) Ïóñòü 0 < a < 1. Âîçüìåì ëþáîå ðàöèîíàëüíîå
÷èñëî r
1
< = è ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r
2
> =. Òîã-
äà r
1
< r
2
è
21
rr
aa
>
.  ýòîì ñëó÷àå ïîä
a
a
ïîíèìàþò
òàêîå ÷èñëî, êîòîðîå çàêëþ÷åíî ìåæäó
1
r
a
è
2
r
a
äëÿ
ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r
1
è r
2
, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâó
.
21
rr <a<
Äîêàçàíî, ÷òî òàêîå ÷èñëî ñó-
ùåñòâóåò è åäèíñòâåííî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à èç èíòåð-
âàëà (0, 1) è ëþáîãî èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà a.
44. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ äåéñòâèòåëüíûìè ïî-
êàçàòåëÿìè. Åñëè a > 0 , b > 0 è õ, y ëþáûå
21
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
5554
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
42. Äåñÿòè÷íûå ïðèáëèæåíèÿ äåéñòâèòåëüíîãî
÷èñëà ïî íåäîñòàòêó è ïî èçáûòêó. Âîçüìåì èððà-
öèîíàëüíîå ÷èñëî
.2
Èìååì:
;221
22
<<
;221 <<
;5,124,1
22
<<
;5,124,1 <<
;42,1241,1
22
<<
;42,1241,1 <<
;415,12414,1
22
<<
;415,12414,1 <<
;4143,124142,1
22
<<
.4143,124142,1 <<
×èñëà 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 íàçûâàþòñÿ äå-
ñÿòè÷íûìè ïðèáëèæåíèÿìè ÷èñëà
2
ïî íåäî-
ñòàòêó ñ òî÷íîñòüþ ñîîòâåòñòâåííî äî 1, äî 0,1, äî
0,01, äî 0,001, äî 0,0001. ×èñëà 2; 1,5; 1,42; 1,415;
1,4143 íàçûâàþòñÿ äåñÿòè÷íûìè ïðèáëèæåíèÿ-
ìè ÷èñëà
2
ïî èçáûòêó ñîîòâåòñòâåííî ñ òîé æå
òî÷íîñòüþ.
Äëÿ ÷èñëà
2
èñïîëüçóþò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå
áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè:
2
= 1,4142... .
Âîîáùå, ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ïðåäñòà-
âèìî â âèäå áåñêîíå÷íîé äåñÿòè÷íîé äðîáè, ïðè÷åì
ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ÷èñëî ðàöèîíàëüíîå (ñì. ï. 16), è
íåïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ÷èñëî èððàöèîíàëüíîå.
Íàïðèìåð,
...2545454,0)54(2,0
55
14
==
(ñì. ï. 17).
Äåñÿòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ÷èñëà
55
14
ñ òî÷íîñòüþ äî
0,001 ïî íåäîñòàòêó ðàâíî 0,254, à ïî èçáûòêó ðàâíî
0,255.
43. Ïîíÿòèå î ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêà-
çàòåëåì. Ïóñòü a èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî. Êàêîé
ñìûñë âêëàäûâàåòñÿ â çàïèñü
a
a
, ãäå à ïîëîæè-
òåëüíîå ÷èñëî? Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ: à = 1,
à > 1, 0 < a < 1.
1) Åñëè à = 0, òî ïîëàãàþò
.11 =
a
2) Ïóñòü a > 1. Âîçüìåì ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñ-
ëî r
1
< = è ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r
2
> =. Òîãäà
r
1
< r
2
è
.
21
rr
aa
<
 ýòîì ñëó÷àå ïîä
a
a
ïîíèìàþò
÷èñëî, êîòîðîå çàêëþ÷åíî ìåæäó
1
r
a
è
2
r
a
äëÿ ëþ-
áûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r
1
è r
2
òàêèõ, ÷òî r
1
< =, à
r
2
> =. Äîêàçàíî, ÷òî òàêîå ÷èñëî ñóùåñòâóåò è åäèí-
ñòâåííî äëÿ ëþáîãî à > 1 è ëþáîãî èððàöèîíàëüíîãî
÷èñëà a.
3) Ïóñòü 0 < a < 1. Âîçüìåì ëþáîå ðàöèîíàëüíîå
÷èñëî r
1
< = è ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r
2
> =. Òîã-
äà r
1
< r
2
è
21
rr
aa
>
.  ýòîì ñëó÷àå ïîä
a
a
ïîíèìàþò
òàêîå ÷èñëî, êîòîðîå çàêëþ÷åíî ìåæäó
1
r
a
è
2
r
a
äëÿ
ëþáûõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë r
1
è r
2
, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâó
.
21
rr <a<
Äîêàçàíî, ÷òî òàêîå ÷èñëî ñó-
ùåñòâóåò è åäèíñòâåííî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à èç èíòåð-
âàëà (0, 1) è ëþáîãî èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà a.
44. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé ñ äåéñòâèòåëüíûìè ïî-
êàçàòåëÿìè. Åñëè a > 0 , b > 0 è õ, y ëþáûå
21
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
5756
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
Êîìïëåêñíûì ÷èñëîì íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ óïî-
ðÿäî÷åííàÿ ïàðà (à; b) äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à è b.
Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà (à; b) è (c; d) íàçûâàþò-
ñÿ ðàâíûìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a = c è
b = d.
46. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíû-
ìè ÷èñëàìè. Ñóììîé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z = (a; b)
è w = (c; d) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî (a + c; b +
+ d).
Íàïðèìåð, (2; 7) + (3; 4) = (2 + 3; 7 4) = (5; 3).
Êîìïëåêñíûì íóëåì ñ÷èòàþò ïàðó (0;0). ×èñ-
ëîì, ïðîòèâîïîëîæíûì ÷èñëó z = (a; b), ñ÷èòàþò
÷èñëî (a; b); åãî îáîçíà÷àþò z.
Ðàçíîñòüþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z è w íàçûâàþò
òàêîå ÷èñëî è, ÷òî z = w + è. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå
ïðàâèëî âû÷èòàíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë: (a; b)
(c; d) = (à c; b d).
Íàïðèìåð, (9; 10) (8; 12) = (9 8; 10 12) =
= (1; 2).
Ïðîèçâåäåíèåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z = (a; b) è
w = (c; d) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî (ac bd; ad +
+ bc).
Íàïðèìåð, åñëè z = (2; 5), w = (3; 1), òî
zw = (2 · 3 5 · 1; 2 · 1 + 5 · 3) = (1; 17).
Ïóñòü z = (a; b), w = (c; d)
).0;0(¹
Òîãäà ñóùå-
ñòâóåò, è òîëüêî îäíî, êîìïëåêñíîå ÷èñëî
);( yxu =
òàêîå, ÷òî
.uwz =
Ýòî ÷èñëî è íàçûâàþò ÷àñòíûì îò
äåëåíèÿ z íà w. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî ñëå-
äóþùåå ïðàâèëî äåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:
åñëè
),0;0();( ¹dc
òî
.;
)
;
(
)
;
(
2222
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
+
+
=
dc
adbc
dc
bdac
dc
ba
äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
ñâîéñòâà:
1
0
.
.
yxy
x
aaa
+
=×
2
0
.
.:
yxyx
aaa
-
=
3
0
.
.)(
xyyx
aa
=
4
0
.
.)(
xxx
abba
=×
5
0
.
.
x
x
x
b
a
b
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
45. Ïîíÿòèå î êîìïëåêñíîì ÷èñëå. Ïðîöåññ ðàñ-
øèðåíèÿ ïîíÿòèÿ ÷èñëà îò íàòóðàëüíûõ ê äåéñòâè-
òåëüíûì áûë ñâÿçàí êàê ñ ïîòðåáíîñòÿìè ïðàêòèêè,
òàê è ñ íóæäàìè ìàòåìàòèêè. Ñíà÷àëà äëÿ ñ÷åòà ïðåä-
ìåòîâ èñïîëüçîâàëèñü íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Çàòåì íå-
îáõîäèìîñòü âûïîëíåíèÿ äåëåíèÿ ïðèâåëà ê ïîíÿòèþ
äðîáíûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë; äàëåå,íåîáõîäèìîñòü
âûïîëíåíèÿ âû÷èòàíèÿ ê ïîíÿòèÿì íóëÿ è îòðè-
öàòåëüíûõ ÷èñåë; íàêîíåö, íåîáõîäèìîñòü èçâëå÷å-
íèÿ êîðíåé èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ê ïîíÿòèþ
èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Âñå ïåðå÷èñëåííûå îïåðàöèè
âûïîëíèìû íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
Îäíàêî îñòàëèñü è íåâûïîëíèìûå íà ýòîì ìíîæå-
ñòâå îïåðàöèè, íàïðèìåð èçâëå÷åíèå êâàäðàòíîãî
êîðíÿ èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Çíà÷èò, èìååòñÿ ïî-
òðåáíîñòü â äàëüíåéøåì ðàñøèðåíèè ïîíÿòèÿ ÷èñ-
ëà, â ïîÿâëåíèè íîâûõ ÷èñåë, îòëè÷íûõ îò äåéñòâè-
òåëüíûõ.
Ãåîìåòðè÷åñêè äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà èçîáðàæà-
þòñÿ òî÷êàìè íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Âîçíèêàåò
ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèå îáðàçû
íîâûõ ÷èñåë íàäî èñêàòü óæå íå íà ïðÿìîé, à íà
ïëîñêîñòè. Òàê êàê êàæäóþ òî÷êó Ì êîîðäèíàòíîé
ïëîñêîñòè xOy ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ êîîðäèíàòà-
ìè ýòîé òî÷êè, òî åñòåñòâåííî â êà÷åñòâå íîâûõ
÷èñåë ââåñòè óïîðÿäî÷åííûå ïàðû äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
5756
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
Êîìïëåêñíûì ÷èñëîì íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿ óïî-
ðÿäî÷åííàÿ ïàðà (à; b) äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à è b.
Äâà êîìïëåêñíûõ ÷èñëà (à; b) è (c; d) íàçûâàþò-
ñÿ ðàâíûìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a = c è
b = d.
46. Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíû-
ìè ÷èñëàìè. Ñóììîé êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z = (a; b)
è w = (c; d) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî (a + c; b +
+ d).
Íàïðèìåð, (2; 7) + (3; 4) = (2 + 3; 7 4) = (5; 3).
Êîìïëåêñíûì íóëåì ñ÷èòàþò ïàðó (0;0). ×èñ-
ëîì, ïðîòèâîïîëîæíûì ÷èñëó z = (a; b), ñ÷èòàþò
÷èñëî (a; b); åãî îáîçíà÷àþò z.
Ðàçíîñòüþ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z è w íàçûâàþò
òàêîå ÷èñëî è, ÷òî z = w + è. Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå
ïðàâèëî âû÷èòàíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë: (a; b)
(c; d) = (à c; b d).
Íàïðèìåð, (9; 10) (8; 12) = (9 8; 10 12) =
= (1; 2).
Ïðîèçâåäåíèåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë z = (a; b) è
w = (c; d) íàçûâàåòñÿ êîìïëåêñíîå ÷èñëî (ac bd; ad +
+ bc).
Íàïðèìåð, åñëè z = (2; 5), w = (3; 1), òî
zw = (2 · 3 5 · 1; 2 · 1 + 5 · 3) = (1; 17).
Ïóñòü z = (a; b), w = (c; d)
).0;0(¹
Òîãäà ñóùå-
ñòâóåò, è òîëüêî îäíî, êîìïëåêñíîå ÷èñëî
);( yxu =
òàêîå, ÷òî
.uwz =
Ýòî ÷èñëî è íàçûâàþò ÷àñòíûì îò
äåëåíèÿ z íà w. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâî ñëå-
äóþùåå ïðàâèëî äåëåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë:
åñëè
),0;0();( ¹dc
òî
.;
)
;
(
)
;
(
2222
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
+
+
=
dc
adbc
dc
bdac
dc
ba
äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
ñâîéñòâà:
1
0
.
.
yxy
x
aaa
+
=×
2
0
.
.:
yxyx
aaa
-
=
3
0
.
.)(
xyyx
aa
=
4
0
.
.)(
xxx
abba
=×
5
0
.
.
x
x
x
b
a
b
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
45. Ïîíÿòèå î êîìïëåêñíîì ÷èñëå. Ïðîöåññ ðàñ-
øèðåíèÿ ïîíÿòèÿ ÷èñëà îò íàòóðàëüíûõ ê äåéñòâè-
òåëüíûì áûë ñâÿçàí êàê ñ ïîòðåáíîñòÿìè ïðàêòèêè,
òàê è ñ íóæäàìè ìàòåìàòèêè. Ñíà÷àëà äëÿ ñ÷åòà ïðåä-
ìåòîâ èñïîëüçîâàëèñü íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Çàòåì íå-
îáõîäèìîñòü âûïîëíåíèÿ äåëåíèÿ ïðèâåëà ê ïîíÿòèþ
äðîáíûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë; äàëåå,íåîáõîäèìîñòü
âûïîëíåíèÿ âû÷èòàíèÿ ê ïîíÿòèÿì íóëÿ è îòðè-
öàòåëüíûõ ÷èñåë; íàêîíåö, íåîáõîäèìîñòü èçâëå÷å-
íèÿ êîðíåé èç ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ê ïîíÿòèþ
èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Âñå ïåðå÷èñëåííûå îïåðàöèè
âûïîëíèìû íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë.
Îäíàêî îñòàëèñü è íåâûïîëíèìûå íà ýòîì ìíîæå-
ñòâå îïåðàöèè, íàïðèìåð èçâëå÷åíèå êâàäðàòíîãî
êîðíÿ èç îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà. Çíà÷èò, èìååòñÿ ïî-
òðåáíîñòü â äàëüíåéøåì ðàñøèðåíèè ïîíÿòèÿ ÷èñ-
ëà, â ïîÿâëåíèè íîâûõ ÷èñåë, îòëè÷íûõ îò äåéñòâè-
òåëüíûõ.
Ãåîìåòðè÷åñêè äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà èçîáðàæà-
þòñÿ òî÷êàìè íà êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Âîçíèêàåò
ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ãåîìåòðè÷åñêèå îáðàçû
íîâûõ ÷èñåë íàäî èñêàòü óæå íå íà ïðÿìîé, à íà
ïëîñêîñòè. Òàê êàê êàæäóþ òî÷êó Ì êîîðäèíàòíîé
ïëîñêîñòè xOy ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ êîîðäèíàòà-
ìè ýòîé òî÷êè, òî åñòåñòâåííî â êà÷åñòâå íîâûõ
÷èñåë ââåñòè óïîðÿäî÷åííûå ïàðû äåéñòâèòåëüíûõ
÷èñåë.