Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
41
40
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
îòêðûòûì ëó÷îì. Çíàê « +¥ » ÷èòàåòñÿ : «ïëþñ
áåñêîíå÷íîñòü».
Àíàëîãè÷íî, ðàññìàòðèâàþò ëó÷ âèäà
],( b-¥
(÷èñ-
ëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó
bx £
) è îòêðûòûé
ëó÷ âèäà
),( b-¥
(÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåí-
ñòâó õ < b). Çíàê «
-¥
» ÷èòàåòñÿ: «ìèíóñ áåñêîíå÷-
íîñòü».
 ïðèâåäåííîé íèæå òàáëèöå äëÿ êàæäîãî âèäà
÷èñëîâîãî ïðîìåæóòêà äàíû åãî ãåîìåòðè÷åñêîå
èçîáðàæåíèå, îáîçíà÷åíèå è çàïèñü ñ ïîìîùüþ íå-
ðàâåíñòâ.
7
0
. Åñëè a, b, c, d ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè-
÷åì à > b è ñ > d, òî àñ > bd (åñëè ïî÷ëåííî ïåðåìíî-
æèòü âåðíûå íåðàâåíñòâà îäíîãî çíàêà, ëåâûå è ïðà-
âûå ÷àñòè êîòîðûõ ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, òî ïî-
ëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî).
8
0
. Åñëè à > b è ñ < d, òî à ñ > b d.
9
0
. Åñëè à > b > 0, òî
.
11
ba
<
10
0
.
Åñëè a > b > 0, òî a
n
> b
n
äëÿ ëþáîãî íàòó-
ðàëüíîãî ÷èñëà n.
27. ×èñëîâûå ïðîìåæóòêè. Âîçüìåì äâà ÷èñëà
à è b òàêèå, ÷òî à < b, è îòìåòèì íà êîîðäèíàòíîé
ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóþùèå èì òî÷êè.
Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðà-
âåíñòâàì à < õ < b, îáîçíà÷àþò (à, b) è íàçûâàþò èí-
òåðâàëîì.
Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, êàæäîå èç êîòîðûõ óäîâ-
ëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì
,bxa ££
îáîçíà÷àþò [à, b]
è íàçûâàþò îòðåçêîì.
Èíòåðâàë è îòðåçîê ýòî êîíå÷íûå ÷èñëîâûå
ïðîìåæóòêè. Èìåþòñÿ êîíå÷íûå ÷èñëîâûå ïðîìå-
æóòêè åùå äâóõ âèäîâ: [a, b) ýòî ìíîæåñòâî ÷è-
ñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì
,bxa <£
è (a, b] ýòî ìíîæåñòâî ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâàì
.bxa £<
Ýòè ïðîìåæóòêè íàçûâàþò
ïîëóèíòåðâàëàìè.
Ñóùåñòâóþò è áåñêîíå÷íûå ÷èñëîâûå ïðîìå-
æóòêè. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâó
,ax ³
îáîçíà÷àþò
),[ ¥+a
è íàçûâàþò
ëó÷îì, à ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâó õ > a, îáîçíà÷àþò
),( ¥+a
è íàçûâàþò
Âèä ÷èñëîâîãî
ïðîìåæóòêà
Ãåîìåòðè÷åñêîå
èçîáðàæåíèå
Îáîçíà-
÷åíèå
Çàïèñü
ñ ïîìîùüþ
íåðàâåíñòâ
Èíòåðâàë
Ëó÷
Îòêðûòûé ëó÷
Îòðåçîê
Ïîëóèíòåðâàë
Ëó÷
Ïîëóèíòåðâàë
×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ
Îòêðûòûé ëó÷
b
à
à b
à
b
à b
à b
à
b
(a, b)
[a, b]
(a, b]
[a, b)
[a, + ¥)
( ¥, b]
(a, + ¥)
( ¥, b)
( ¥, + ¥) ¥ < x <+ ¥
x ³ a
x £ b
x > a
x
< b
a < x
< b
a £ x £ b
a < x £ b
a £ x < b
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
41
40
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
îòêðûòûì ëó÷îì. Çíàê « +¥ » ÷èòàåòñÿ : «ïëþñ
áåñêîíå÷íîñòü».
Àíàëîãè÷íî, ðàññìàòðèâàþò ëó÷ âèäà
],( b-¥
(÷èñ-
ëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíñòâó
bx £
) è îòêðûòûé
ëó÷ âèäà
),( b-¥
(÷èñëà, óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåí-
ñòâó õ < b). Çíàê «
-¥
» ÷èòàåòñÿ: «ìèíóñ áåñêîíå÷-
íîñòü».
 ïðèâåäåííîé íèæå òàáëèöå äëÿ êàæäîãî âèäà
÷èñëîâîãî ïðîìåæóòêà äàíû åãî ãåîìåòðè÷åñêîå
èçîáðàæåíèå, îáîçíà÷åíèå è çàïèñü ñ ïîìîùüþ íå-
ðàâåíñòâ.
7
0
. Åñëè a, b, c, d ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè-
÷åì à > b è ñ > d, òî àñ > bd (åñëè ïî÷ëåííî ïåðåìíî-
æèòü âåðíûå íåðàâåíñòâà îäíîãî çíàêà, ëåâûå è ïðà-
âûå ÷àñòè êîòîðûõ ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà, òî ïî-
ëó÷èòñÿ âåðíîå íåðàâåíñòâî).
8
0
. Åñëè à > b è ñ < d, òî à ñ > b d.
9
0
. Åñëè à > b > 0, òî
.
11
ba
<
10
0
.
Åñëè a > b > 0, òî a
n
> b
n
äëÿ ëþáîãî íàòó-
ðàëüíîãî ÷èñëà n.
27. ×èñëîâûå ïðîìåæóòêè. Âîçüìåì äâà ÷èñëà
à è b òàêèå, ÷òî à < b, è îòìåòèì íà êîîðäèíàòíîé
ïðÿìîé ñîîòâåòñòâóþùèå èì òî÷êè.
Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðà-
âåíñòâàì à < õ < b, îáîçíà÷àþò (à, b) è íàçûâàþò èí-
òåðâàëîì.
Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, êàæäîå èç êîòîðûõ óäîâ-
ëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì
,bxa ££
îáîçíà÷àþò [à, b]
è íàçûâàþò îòðåçêîì.
Èíòåðâàë è îòðåçîê ýòî êîíå÷íûå ÷èñëîâûå
ïðîìåæóòêè. Èìåþòñÿ êîíå÷íûå ÷èñëîâûå ïðîìå-
æóòêè åùå äâóõ âèäîâ: [a, b) ýòî ìíîæåñòâî ÷è-
ñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâàì
,bxa <£
è (a, b] ýòî ìíîæåñòâî ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâàì
.bxa £<
Ýòè ïðîìåæóòêè íàçûâàþò
ïîëóèíòåðâàëàìè.
Ñóùåñòâóþò è áåñêîíå÷íûå ÷èñëîâûå ïðîìå-
æóòêè. Ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâó
,ax ³
îáîçíà÷àþò
),[ ¥+a
è íàçûâàþò
ëó÷îì, à ìíîæåñòâî âñåõ ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ
íåðàâåíñòâó õ > a, îáîçíà÷àþò
),( ¥+a
è íàçûâàþò
Âèä ÷èñëîâîãî
ïðîìåæóòêà
Ãåîìåòðè÷åñêîå
èçîáðàæåíèå
Îáîçíà-
÷åíèå
Çàïèñü
ñ ïîìîùüþ
íåðàâåíñòâ
Èíòåðâàë
Ëó÷
Îòêðûòûé ëó÷
Îòðåçîê
Ïîëóèíòåðâàë
Ëó÷
Ïîëóèíòåðâàë
×èñëîâàÿ ïðÿìàÿ
Îòêðûòûé ëó÷
b
à
à b
à
b
à b
à b
à
b
(a, b)
[a, b]
(a, b]
[a, b)
[a, + ¥)
( ¥, b]
(a, + ¥)
( ¥, b)
( ¥, + ¥) ¥ < x <+ ¥
x ³ a
x £ b
x > a
x
< b
a < x
< b
a £ x £ b
a < x £ b
a £ x < b
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
42
3
4
/
1
4
/
Íà ïðàêòèêå íå âñåãäà èñïîëüçóþò òåðìèíû «èí-
òåðâàë», «îòðåçîê», «ïîëóèíòåðâàë», «ëó÷», çàìåíÿÿ èõ
îáùèì íàçâàíèåì ÷èñëîâîé ïðîìåæóòîê.
28. Ìîäóëü äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà. Ìîäóëåì (àá-
ñîëþòíîé âåëè÷èíîé) äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà à íà-
çûâàåòñÿ ñàìî ýòî ÷èñëî, åñëè
,0³a
è ïðîòèâîïîëîæ-
íîå ÷èñëî à, åñëè à < 0. Ìîäóëü ÷èñëà à îáîçíà÷à-
åòñÿ
.a
Èòàê,
î
í
ì
<-
³
=
.0,
,0,
aa
aa
a
åñëè
åñëè
Íàïðèìåð:
,33 -p=-p
òàê êàê
=p>-p (03
;...)14,3=
,7,3
)
7,3
(
7,3 =--=-
òàê êàê
.07,3 <-
Ãåîìåòðè÷åñêè
a
îçíà÷àåò ðàññòîÿíèå íà êîîð-
äèíàòíîé ïðÿìîé òî÷êè à îò òî÷êè Î (ðèñ. 6).
Îòìåòèì ñâîéñòâà ìîäóëåé:
1
0
.
.0³a
4
0
.
.0, ¹= b
b
a
b
a
2
0
.
.aa -=
5
0
.
.
2
2
aa =
3
0
.
.baab ×=
29. Ôîðìóëà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè
êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Åñëè à è b äâå òî÷êè êî-
îðäèíàòíîé ïðÿìîé, òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè
r (à; b) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé r (à; b) = à b (ðèñ. 7).
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
42
3
4
/
1
4
/
Íà ïðàêòèêå íå âñåãäà èñïîëüçóþò òåðìèíû «èí-
òåðâàë», «îòðåçîê», «ïîëóèíòåðâàë», «ëó÷», çàìåíÿÿ èõ
îáùèì íàçâàíèåì ÷èñëîâîé ïðîìåæóòîê.
28. Ìîäóëü äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà. Ìîäóëåì (àá-
ñîëþòíîé âåëè÷èíîé) äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà à íà-
çûâàåòñÿ ñàìî ýòî ÷èñëî, åñëè
,0³a
è ïðîòèâîïîëîæ-
íîå ÷èñëî à, åñëè à < 0. Ìîäóëü ÷èñëà à îáîçíà÷à-
åòñÿ
.a
Èòàê,
î
í
ì
<-
³
=
.0,
,0,
aa
aa
a
åñëè
åñëè
Íàïðèìåð:
,33 -p=-p
òàê êàê
=p>-p (03
;...)14,3=
,7,3
)
7,3
(
7,3 =--=-
òàê êàê
.07,3 <-
Ãåîìåòðè÷åñêè
a
îçíà÷àåò ðàññòîÿíèå íà êîîð-
äèíàòíîé ïðÿìîé òî÷êè à îò òî÷êè Î (ðèñ. 6).
Îòìåòèì ñâîéñòâà ìîäóëåé:
1
0
.
.0³a
4
0
.
.0, ¹= b
b
a
b
a
2
0
.
.aa -=
5
0
.
.
2
2
aa =
3
0
.
.baab ×=
29. Ôîðìóëà ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè
êîîðäèíàòíîé ïðÿìîé. Åñëè à è b äâå òî÷êè êî-
îðäèíàòíîé ïðÿìîé, òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè
r (à; b) âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé r (à; b) = à b (ðèñ. 7).
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
43
3
4
/
1
4
/
ßñíî, ÷òî r (à; b) = r (b; a). Òàê, r (2; 5) = ½2 5½ =
= ½7½ = (7) = 7.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè âñå òàêèå òî÷êè õ, êîòîðûå
óäîâëåòâîðÿþò: à) óðàâíåíèþ
;31 =-x
á) íåðàâåí-
ñòâó
;21 £+x
â) íåðàâåíñòâó
.21 >+x
q à) Äàííîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿþò òàêèå
òî÷êè õ, ðàññòîÿíèå êîòîðûõ îò òî÷êè 1 ðàâíî 3. Ýòî
òî÷êè 2 è 4 (ðèñ. 8). Çíà÷èò, óðàâíåíèå èìååò äâà
êîðíÿ: 2; 4.
á) Äàííîìó íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿþò òàêèå òî÷-
êè õ, êîòîðûå óäàëåíû îò òî÷êè 1 íà ðàññòîÿ-
íèå, ìåíüøåå èëè ðàâíîå 2. Ýòî òî÷êè îòðåçêà
[3, 1] (ðèñ. 9).
â) Äàííîìó íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿþò òî÷êè õ,
óäàëåííûå îò òî÷êè 1 íà ðàññòîÿíèå, áîëüøåå 2. Ýòî
òî÷êè äâóõ îòêðûòûõ ëó÷åé: îò
¥-
äî 3 è îò 1 äî
¥+
(íà ðèñ. 9 ýòè ëó÷è çàøòðèõîâàíû). Èñïîëüçóÿ
Ðèñ. 8 Ðèñ. 9
Ðèñ. 6 Ðèñ. 7
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
43
3
4
/
1
4
/
ßñíî, ÷òî r (à; b) = r (b; a). Òàê, r (2; 5) = ½2 5½ =
= ½7½ = (7) = 7.
Ï ð è ì å ð. Íàéòè âñå òàêèå òî÷êè õ, êîòîðûå
óäîâëåòâîðÿþò: à) óðàâíåíèþ
;31 =-x
á) íåðàâåí-
ñòâó
;21 £+x
â) íåðàâåíñòâó
.21 >+x
q à) Äàííîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿþò òàêèå
òî÷êè õ, ðàññòîÿíèå êîòîðûõ îò òî÷êè 1 ðàâíî 3. Ýòî
òî÷êè 2 è 4 (ðèñ. 8). Çíà÷èò, óðàâíåíèå èìååò äâà
êîðíÿ: 2; 4.
á) Äàííîìó íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿþò òàêèå òî÷-
êè õ, êîòîðûå óäàëåíû îò òî÷êè 1 íà ðàññòîÿ-
íèå, ìåíüøåå èëè ðàâíîå 2. Ýòî òî÷êè îòðåçêà
[3, 1] (ðèñ. 9).
â) Äàííîìó íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿþò òî÷êè õ,
óäàëåííûå îò òî÷êè 1 íà ðàññòîÿíèå, áîëüøåå 2. Ýòî
òî÷êè äâóõ îòêðûòûõ ëó÷åé: îò
¥-
äî 3 è îò 1 äî
¥+
(íà ðèñ. 9 ýòè ëó÷è çàøòðèõîâàíû). Èñïîëüçóÿ
Ðèñ. 8 Ðèñ. 9
Ðèñ. 6 Ðèñ. 7
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
4544
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
çíàê îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ (ñì. ï. 24), îòâåò ìîæíî
çàïèñàòü òàê:
).,1()3,( ¥+--¥ 7
n
30. Ïðàâèëà äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñ-
ëàìè. Ñóììà äâóõ ÷èñåë îäíîãî çíàêà åñòü ÷èñëî òîãî
æå çíàêà; ÷òîáû íàéòè ìîäóëü òàêîé ñóììû, íàäî ñëî-
æèòü ìîäóëè ñëàãàåìûõ. Íàïðèìåð, (+12) + (+8) =
= +20; (12) + (8) = 20.
Ñóììà äâóõ ÷èñåë ñ ðàçíûìè çíàêàìè åñòü ÷èñëî,
êîòîðîå èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è ñëàãàåìîå ñ áXîëüøèì
ìîäóëåì; ÷òîáû íàéòè ìîäóëü ýòîé ñóììû, íàäî èç áîëü-
øåãî ìîäóëÿ âû÷åñòü ìåíüøèé. Íàïðèìåð, (+12) +
+ (8) = + (128) = 4; (12) + (+8) = (12 8) = 4.
×òîáû èç îäíîãî ÷èñëà âû÷åñòü äðóãîå, íàäî ê
óìåíüøàåìîìó ïðèáàâèòü ÷èñëî, ïðîòèâîïîëîæíîå
âû÷èòàåìîìó. Íàïðèìåð, 12 (8) = 12 + (+8) = 20;
12 (+8) = 12 + ( 8) = 4.
Ïðîèçâåäåíèå (÷àñòíîå) äâóõ ÷èñåë îäíîãî çíàêà
åñòü ÷èñëî ïîëîæèòåëüíîå, à ïðîèçâåäåíèå (÷àñòíîå)
äâóõ ÷èñåë ðàçíûõ çíàêîâ åñòü ÷èñëî îòðèöàòåëüíîå;
÷òîáû íàéòè ìîäóëü ïðîèçâåäåíèÿ (÷àñòíîãî), íàäî
ïåðåìíîæèòü (ðàçäåëèòü) ìîäóëè äàííûõ ÷èñåë. Íà-
ïðèìåð, (12) · (8) = +12 · 8 = 96; (24) : (+3) =
=
.83:24 -=-
31. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàä äåé-
ñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè.
1
0
. a + b = b + a.6
0
. (ab) c = a (bc).
2
0
. (a + b) + c = a + (b + c). 7
0
. a (b + c) = ab + ac.
3
0
. a + 0 = a.8
0
. a · 1 = a.
4
0
. a + (a) = 0. 9
0
.
.0,1
1
¹=× a
a
a
5
0
. ab = ba.
Ýòè ñâîéñòâà íàçûâàþò èíîãäà îñíîâíûìè çàêî-
íàìè àëãåáðû, ïðè÷åì ñâîéñòâà 1
0
è 5
0
âûðàæàþò
ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñîîòâåòñòâåííî ñëîæå-
íèÿ è óìíîæåíèÿ, ñâîéñòâà 2
0
è 6
0
ñî÷åòàòåëü-
íûé çàêîí, à ñâîéñòâî 7
0
ðàñïðåäåëèòåëüíûé
çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ.
32. Ïðîïîðöèè. Ïóñòü a, b, c, d äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà, îòëè÷íûå îò íóëÿ, è ïóñòü èìååò ìåñòî ðàâåí-
ñòâî a : b = c : d. Ýòî ðàâåíñòâî íàçûâàþò ïðîïîðöèåé,
÷èñëà à è d êðàéíèìè ÷ëåíàìè, à ÷èñëà b è ñ
ñðåäíèìè ÷ëåíàìè ïðîïîðöèè. Äëÿ ïðîïîðöèè
èñïîëüçóþò è çàïèñü
.
d
c
b
a
=
Íàïðèìåð, èç ÷èñåë 2,5; 4; 5 è 8 ìîæíî ñîñòà-
âèòü ïðîïîðöèþ:
.
8
5
4
5,2 -
=
-
Ò.1.13. Ïðîèçâåäåíèå êðàéíèõ ÷ëåíîâ ïðîïîðöèè ðàâ-
íî ïðîèçâåäåíèþ åå ñðåäíèõ ÷ëåíîâ.
Ò.1.14. Êðàéíèå ÷ëåíû ïðîïîðöèè ìîæíî ïîìåíÿòü
ìåñòàìè, ò. å. åñëè
,
d
c
b
a
=
òî
.
a
c
b
d
=
Ñðåäíèå
÷ëåíû ïðîïîðöèè òàêæå ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòà-
ìè, ò. å. åñëè
,
d
c
b
a
=
òî
.
d
b
c
a
=
Ïðîèçâîäíûå ïðîïîðöèè:
= ;
a ± c
c
b ± d
d
= .
a + b
c + d
a bc d
= ;
a ± b
b
c ± d
d
= ;
a ± b
a
c ± d
c
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
4544
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
çíàê îáúåäèíåíèÿ ìíîæåñòâ (ñì. ï. 24), îòâåò ìîæíî
çàïèñàòü òàê:
).,1()3,( ¥+--¥ 7
n
30. Ïðàâèëà äåéñòâèé íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñ-
ëàìè. Ñóììà äâóõ ÷èñåë îäíîãî çíàêà åñòü ÷èñëî òîãî
æå çíàêà; ÷òîáû íàéòè ìîäóëü òàêîé ñóììû, íàäî ñëî-
æèòü ìîäóëè ñëàãàåìûõ. Íàïðèìåð, (+12) + (+8) =
= +20; (12) + (8) = 20.
Ñóììà äâóõ ÷èñåë ñ ðàçíûìè çíàêàìè åñòü ÷èñëî,
êîòîðîå èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è ñëàãàåìîå ñ áXîëüøèì
ìîäóëåì; ÷òîáû íàéòè ìîäóëü ýòîé ñóììû, íàäî èç áîëü-
øåãî ìîäóëÿ âû÷åñòü ìåíüøèé. Íàïðèìåð, (+12) +
+ (8) = + (128) = 4; (12) + (+8) = (12 8) = 4.
×òîáû èç îäíîãî ÷èñëà âû÷åñòü äðóãîå, íàäî ê
óìåíüøàåìîìó ïðèáàâèòü ÷èñëî, ïðîòèâîïîëîæíîå
âû÷èòàåìîìó. Íàïðèìåð, 12 (8) = 12 + (+8) = 20;
12 (+8) = 12 + ( 8) = 4.
Ïðîèçâåäåíèå (÷àñòíîå) äâóõ ÷èñåë îäíîãî çíàêà
åñòü ÷èñëî ïîëîæèòåëüíîå, à ïðîèçâåäåíèå (÷àñòíîå)
äâóõ ÷èñåë ðàçíûõ çíàêîâ åñòü ÷èñëî îòðèöàòåëüíîå;
÷òîáû íàéòè ìîäóëü ïðîèçâåäåíèÿ (÷àñòíîãî), íàäî
ïåðåìíîæèòü (ðàçäåëèòü) ìîäóëè äàííûõ ÷èñåë. Íà-
ïðèìåð, (12) · (8) = +12 · 8 = 96; (24) : (+3) =
=
.83:24 -=-
31. Ñâîéñòâà àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé íàä äåé-
ñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè.
1
0
. a + b = b + a.6
0
. (ab) c = a (bc).
2
0
. (a + b) + c = a + (b + c). 7
0
. a (b + c) = ab + ac.
3
0
. a + 0 = a.8
0
. a · 1 = a.
4
0
. a + (a) = 0. 9
0
.
.0,1
1
¹=× a
a
a
5
0
. ab = ba.
Ýòè ñâîéñòâà íàçûâàþò èíîãäà îñíîâíûìè çàêî-
íàìè àëãåáðû, ïðè÷åì ñâîéñòâà 1
0
è 5
0
âûðàæàþò
ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñîîòâåòñòâåííî ñëîæå-
íèÿ è óìíîæåíèÿ, ñâîéñòâà 2
0
è 6
0
ñî÷åòàòåëü-
íûé çàêîí, à ñâîéñòâî 7
0
ðàñïðåäåëèòåëüíûé
çàêîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ.
32. Ïðîïîðöèè. Ïóñòü a, b, c, d äåéñòâèòåëüíûå
÷èñëà, îòëè÷íûå îò íóëÿ, è ïóñòü èìååò ìåñòî ðàâåí-
ñòâî a : b = c : d. Ýòî ðàâåíñòâî íàçûâàþò ïðîïîðöèåé,
÷èñëà à è d êðàéíèìè ÷ëåíàìè, à ÷èñëà b è ñ
ñðåäíèìè ÷ëåíàìè ïðîïîðöèè. Äëÿ ïðîïîðöèè
èñïîëüçóþò è çàïèñü
.
d
c
b
a
=
Íàïðèìåð, èç ÷èñåë 2,5; 4; 5 è 8 ìîæíî ñîñòà-
âèòü ïðîïîðöèþ:
.
8
5
4
5,2 -
=
-
Ò.1.13. Ïðîèçâåäåíèå êðàéíèõ ÷ëåíîâ ïðîïîðöèè ðàâ-
íî ïðîèçâåäåíèþ åå ñðåäíèõ ÷ëåíîâ.
Ò.1.14. Êðàéíèå ÷ëåíû ïðîïîðöèè ìîæíî ïîìåíÿòü
ìåñòàìè, ò. å. åñëè
,
d
c
b
a
=
òî
.
a
c
b
d
=
Ñðåäíèå
÷ëåíû ïðîïîðöèè òàêæå ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòà-
ìè, ò. å. åñëè
,
d
c
b
a
=
òî
.
d
b
c
a
=
Ïðîèçâîäíûå ïðîïîðöèè:
= ;
a ± c
c
b ± d
d
= .
a + b
c + d
a bc d
= ;
a ± b
b
c ± d
d
= ;
a ± b
a
c ± d
c
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
4746
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
33. Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Ïóñòü
õ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Åãî öåëîé ÷àñòüþ íàçû-
âàåòñÿ íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå õ.
Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà õ îáîçíà÷àåòñÿ [x].
Äðîáíîé ÷àñòüþ ÷èñëà õ íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü
ìåæäó ñàìèì ÷èñëîì è åãî öåëîé ÷àñòüþ, ò. å. õ
[x]. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà õ îáîçíà÷àåòñÿ {x}.
Çíà÷èò, {x} = õ [x].
Íàïðèìåð,
[3,47] = 3; {3,47} = 0,47;
[2,3] = 3; {2,3} = 2,3 (3) = 0,7;
[15] = 15; {15} = 0.
34. Ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïóñòü
à äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, à n íàòóðàëüíîå ÷èñëî,
áîëüøåå åäèíèöû; n-é ñòåïåíüþ ÷èñëà à íàçûâàþò
ïðîèçâåäåíèå n ìíîæèòåëåé, êàæäûé èç êîòîðûõ ðà-
âåí à, ò. å.
....
"!"
ìíîæèòåëåén
n
aaaa
×××=
×èñëî à îñíîâàíèå ñòåïåíè, n ïîêàçàòåëü
ñòåïåíè. Åñëè n = 1, òî ïîëàãàþò
.
1
aa =
Íàïðèìåð,
.
81
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
4
=×××=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
Íàïðèìåð,
;22)2(;2222
15535385353
====×
×+
.
125
8
5
2
5
2
3
3
3
==
÷
ø
ö
ç
è
æ
35. Ñòåïåíü ñ íóëåâûì ïîêàçàòåëåì. Ñòåïåíü ñ
îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïîëàãàþò ïî îïðåäå-
ëåíèþ: åñëè
0¹a
, òî à
0
= 1. Íàïðèìåð, (2,7)
0
= 1;
(5)
0
= 1. Íóëåâàÿ ñòåïåíü ÷èñëà 0 íå èìååò ñìûñëà.
Ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè
0¹a
è n íà-
òóðàëüíîå ÷èñëî, òî
.
1
n
n
a
a
=
-
Íàïðèìåð,
.
4
1
)2(
1
)2(;
125
1
5
1
5
2
2
3
3
=
-
=-==
--
Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
.
nn
a
b
b
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
36. Ñòàíäàðòíûé âèä ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâè-
òåëüíîãî ÷èñëà. Ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ìîæ-
íî ïðåäñòàâèòü â âèäå
,10
1
n
a
×
ãäå
,101
1
<£ a
à n
öåëîå ÷èñëî. Åñëè ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâëå-
íî óêàçàííûì îáðàçîì, òî ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî à çàïè-
ñàíî â ñòàíäàðòíîì âèäå; ïðè ýòîì ïîêàçàòåëü n
íàçûâàþò ïîðÿäêîì ÷èñëà.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ïðåäñòà-
âèòü â ñòàíäàðòíîì âèäå, íóæíî ïîñòàâèòü çàïÿòóþ
1
0
.
.
knkn
aaa
+
=×
2
0
.
,:
knkn
aaa
-
=
åñëè n > k.
3
0
.
.)(
nkkn
aa
=
4
0
.
.)(
nnn
abba
=×
5
0
.
.0, ¹
÷
ø
ö
ç
è
æ
= b
b
a
b
a
n
n
n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
4746
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
33. Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà. Ïóñòü
õ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Åãî öåëîé ÷àñòüþ íàçû-
âàåòñÿ íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå õ.
Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà õ îáîçíà÷àåòñÿ [x].
Äðîáíîé ÷àñòüþ ÷èñëà õ íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü
ìåæäó ñàìèì ÷èñëîì è åãî öåëîé ÷àñòüþ, ò. å. õ
[x]. Äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà õ îáîçíà÷àåòñÿ {x}.
Çíà÷èò, {x} = õ [x].
Íàïðèìåð,
[3,47] = 3; {3,47} = 0,47;
[2,3] = 3; {2,3} = 2,3 (3) = 0,7;
[15] = 15; {15} = 0.
34. Ñòåïåíü ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïóñòü
à äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, à n íàòóðàëüíîå ÷èñëî,
áîëüøåå åäèíèöû; n-é ñòåïåíüþ ÷èñëà à íàçûâàþò
ïðîèçâåäåíèå n ìíîæèòåëåé, êàæäûé èç êîòîðûõ ðà-
âåí à, ò. å.
....
"!"
ìíîæèòåëåén
n
aaaa
×××=
×èñëî à îñíîâàíèå ñòåïåíè, n ïîêàçàòåëü
ñòåïåíè. Åñëè n = 1, òî ïîëàãàþò
.
1
aa =
Íàïðèìåð,
.
81
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
4
=×××=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà:
Íàïðèìåð,
;22)2(;2222
15535385353
====×
×+
.
125
8
5
2
5
2
3
3
3
==
÷
ø
ö
ç
è
æ
35. Ñòåïåíü ñ íóëåâûì ïîêàçàòåëåì. Ñòåïåíü ñ
îòðèöàòåëüíûì ïîêàçàòåëåì. Ïîëàãàþò ïî îïðåäå-
ëåíèþ: åñëè
0¹a
, òî à
0
= 1. Íàïðèìåð, (2,7)
0
= 1;
(5)
0
= 1. Íóëåâàÿ ñòåïåíü ÷èñëà 0 íå èìååò ñìûñëà.
Ïîëàãàþò ïî îïðåäåëåíèþ: åñëè
0¹a
è n íà-
òóðàëüíîå ÷èñëî, òî
.
1
n
n
a
a
=
-
Íàïðèìåð,
.
4
1
)2(
1
)2(;
125
1
5
1
5
2
2
3
3
=
-
=-==
--
Ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
.
nn
a
b
b
a
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
36. Ñòàíäàðòíûé âèä ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâè-
òåëüíîãî ÷èñëà. Ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ìîæ-
íî ïðåäñòàâèòü â âèäå
,10
1
n
a
×
ãäå
,101
1
<£ a
à n
öåëîå ÷èñëî. Åñëè ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâëå-
íî óêàçàííûì îáðàçîì, òî ãîâîðÿò, ÷òî ÷èñëî à çàïè-
ñàíî â ñòàíäàðòíîì âèäå; ïðè ýòîì ïîêàçàòåëü n
íàçûâàþò ïîðÿäêîì ÷èñëà.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ïðåäñòà-
âèòü â ñòàíäàðòíîì âèäå, íóæíî ïîñòàâèòü çàïÿòóþ
1
0
.
.
knkn
aaa
+
=×
2
0
.
,:
knkn
aaa
-
=
åñëè n > k.
3
0
.
.)(
nkkn
aa
=
4
0
.
.)(
nnn
abba
=×
5
0
.
.0, ¹
÷
ø
ö
ç
è
æ
= b
b
a
b
a
n
n
n