Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
5958
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
Íàïðèìåð,
.4Im,2Re;42)4;2( -==-=-= zziz
Åñëè ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi
îòëè÷íà îò íóëÿ, òî òàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ ìíèìûì;
åñëè ïðè ýòîì à = 0, ò. å. ÷èñëî èìååò âèä bi, òî îíî
íàçûâàåòñÿ ÷èñòî ìíèìûì; íàêîíåö, åñëè ó êîìï-
ëåêñíîãî ÷èñëà a + bi ìíèìàÿ ÷àñòü ðàâíà íóëþ, òî
ïîëó÷àåòñÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî à.Êîìïëåêñíûå
÷èñëà a + bi è a bi, äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè êîòîðûõ
ðàâíû, à ìíèìûå ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó, íàçûâàþò
ñîïðÿæåííûìè. ×èñëî, ñîïðÿæåííîå ñ ÷èñëîì z,
îáîçíà÷àþò ÷åðåç
z
, ò. å. åñëè z = a + bi, òî
z = a bi. Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñîïðÿæåí-
íûõ ÷èñåë ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè:
.,
22
bazzbiaz +=-=
Ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi íàçûâàåòñÿ
÷èñëî
22
ba +
(îáîçíà÷åíèå:
z
èëè r).
Ñîïðÿæåííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà èìåþò îäèí è
òîò æå ìîäóëü:
.biabia -=+
48. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çà-
äàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå. Íàä êîìïëåêñ-
íûìè ÷èñëàìè, çàïèñàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîð-
ìå, ìîæíî îñóùåñòâëÿòü âñå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðà-
öèè êàê íàä îáû÷íûìè äâó÷ëåíàìè, ó÷èòûâàÿ ëèøü,
÷òî
.1
2
-=i
×òîáû ïðåîáðàçîâàòü â êîìïëåêñíîå ÷èñ-
ëî äðîáü âèäà
,
dic
bia
+
+
íóæíî è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíà-
òåëü äðîáè óìíîæèòü íà ÷èñëî
,dic -
ñîïðÿæåííîå
çíàìåíàòåëþ.
Âïðî÷åì, ïðè äåëåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èñïîëüçó-
þò íå óêàçàííóþ ôîðìóëó, à óìíîæàþò ÷èñëèòåëü è
çíàìåíàòåëü äðîáè íà ÷èñëî, ñîïðÿæåííîå çíàìåíàòå-
ëþ (ñì. ï.48).
Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè
÷èñëàìè îáëàäàþò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è àðèô-
ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëà-
ìè (ñì. ï. 31).
47. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñ-
ëà. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå â ï. 46 îïðåäåëåíèÿ ñëîæå-
íèÿ è óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ëåãêî ïîëó-
÷èòü ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
(0; 1) · (0; 1) = ( 1; 0), (1)
(a; b) = (a; 0) + (b; 0) · (0; 1), (2)
(a; 0) + (b; 0) = (a + b; 0), (3)
(a; 0) · (b; 0) = (ab; 0). (4)
Óñëîâèìñÿ âìåñòî (à; 0) ïèñàòü ïðîñòî à, à êîìïëåêñ-
íîå ÷èñëî (0; 1) îáîçíà÷àòü áóêâîé i è íàçûâàòü ìíè-
ìîé åäèíèöåé. Òîãäà ðàâåíñòâî (1) ïðèíèìàåò âèä
,1-=× ii
ò. å.
,1
2
-=i
(5)
à ðàâåíñòâî (2) âèä
.);( biaba +=
(6)
Çàïèñü a + bi íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ôîð-
ìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = (a; b); ïðè ýòîì ÷èñëî
à íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ êîìïëåêñ-
íîãî ÷èñëà z (îáîçíà÷åíèå: Re z), ÷èñëî b åãî ìíè-
ìîé ÷àñòüþ (îáîçíà÷åíèå: Im z).
z + z = 2a
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
5958
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
Íàïðèìåð,
.4Im,2Re;42)4;2( -==-=-= zziz
Åñëè ìíèìàÿ ÷àñòü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi
îòëè÷íà îò íóëÿ, òî òàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ ìíèìûì;
åñëè ïðè ýòîì à = 0, ò. å. ÷èñëî èìååò âèä bi, òî îíî
íàçûâàåòñÿ ÷èñòî ìíèìûì; íàêîíåö, åñëè ó êîìï-
ëåêñíîãî ÷èñëà a + bi ìíèìàÿ ÷àñòü ðàâíà íóëþ, òî
ïîëó÷àåòñÿ äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî à.Êîìïëåêñíûå
÷èñëà a + bi è a bi, äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè êîòîðûõ
ðàâíû, à ìíèìûå ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó, íàçûâàþò
ñîïðÿæåííûìè. ×èñëî, ñîïðÿæåííîå ñ ÷èñëîì z,
îáîçíà÷àþò ÷åðåç
z
, ò. å. åñëè z = a + bi, òî
z = a bi. Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñîïðÿæåí-
íûõ ÷èñåë ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè:
.,
22
bazzbiaz +=-=
Ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà a + bi íàçûâàåòñÿ
÷èñëî
22
ba +
(îáîçíà÷åíèå:
z
èëè r).
Ñîïðÿæåííûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà èìåþò îäèí è
òîò æå ìîäóëü:
.biabia -=+
48. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çà-
äàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå. Íàä êîìïëåêñ-
íûìè ÷èñëàìè, çàïèñàííûìè â àëãåáðàè÷åñêîé ôîð-
ìå, ìîæíî îñóùåñòâëÿòü âñå àðèôìåòè÷åñêèå îïåðà-
öèè êàê íàä îáû÷íûìè äâó÷ëåíàìè, ó÷èòûâàÿ ëèøü,
÷òî
.1
2
-=i
×òîáû ïðåîáðàçîâàòü â êîìïëåêñíîå ÷èñ-
ëî äðîáü âèäà
,
dic
bia
+
+
íóæíî è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíà-
òåëü äðîáè óìíîæèòü íà ÷èñëî
,dic -
ñîïðÿæåííîå
çíàìåíàòåëþ.
Âïðî÷åì, ïðè äåëåíèè êîìïëåêñíûõ ÷èñåë èñïîëüçó-
þò íå óêàçàííóþ ôîðìóëó, à óìíîæàþò ÷èñëèòåëü è
çíàìåíàòåëü äðîáè íà ÷èñëî, ñîïðÿæåííîå çíàìåíàòå-
ëþ (ñì. ï.48).
Àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä êîìïëåêñíûìè
÷èñëàìè îáëàäàþò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî è àðèô-
ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëà-
ìè (ñì. ï. 31).
47. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî ÷èñ-
ëà. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå â ï. 46 îïðåäåëåíèÿ ñëîæå-
íèÿ è óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ëåãêî ïîëó-
÷èòü ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
(0; 1) · (0; 1) = ( 1; 0), (1)
(a; b) = (a; 0) + (b; 0) · (0; 1), (2)
(a; 0) + (b; 0) = (a + b; 0), (3)
(a; 0) · (b; 0) = (ab; 0). (4)
Óñëîâèìñÿ âìåñòî (à; 0) ïèñàòü ïðîñòî à, à êîìïëåêñ-
íîå ÷èñëî (0; 1) îáîçíà÷àòü áóêâîé i è íàçûâàòü ìíè-
ìîé åäèíèöåé. Òîãäà ðàâåíñòâî (1) ïðèíèìàåò âèä
,1-=× ii
ò. å.
,1
2
-=i
(5)
à ðàâåíñòâî (2) âèä
.);( biaba +=
(6)
Çàïèñü a + bi íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ôîð-
ìîé êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = (a; b); ïðè ýòîì ÷èñëî
à íàçûâàåòñÿ äåéñòâèòåëüíîé ÷àñòüþ êîìïëåêñ-
íîãî ÷èñëà z (îáîçíà÷åíèå: Re z), ÷èñëî b åãî ìíè-
ìîé ÷àñòüþ (îáîçíà÷åíèå: Im z).
z + z = 2a
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
6160
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà õ è
y òàêèå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
.8974)32()32( ixiyixyix +=++-
q Èìååì
+=-=+-
2222
494)32()32(
xiyxyixyix
.9
2
y+
Òîãäà çàäàííîå ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â
âèäå
.897494
22
ixiyx +=++
Òàê êàê êîìïëåêñíûå ÷èñëà a + bi è ñ + di ðàâíû
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû èõ äåéñòâèòåëüíûå
÷àñòè (à = ñ) è êîýôôèöèåíòû ïðè ìíèìûõ ÷àñòÿõ (b =
= d), òî ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=
=+
,84
,9794
22
x
yx
îòêóäà íàõîäèì
.3,2;3,2
2211
-==== yxyx
n
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü
.
1
23
)21(
i
i
ii
-
+
-+
q 1)
;22)21(
2
iiiii +-=+=+
2)
=
-
+++
=
+-
++
=
-
+
2
2
1
2323
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
23
(
1
23
i
iii
ii
ii
i
i
;
2
5
2
1
2
51
11
253
i
ii
+=
+
=
+
-+
=
3)
.
2
3
2
5
2
5
2
1
)2( iii --=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+-+-
n
×òîáû âîçâåñòè êîìïëåêñíîå ÷èñëî â ñòåïåíü ñ íà-
òóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì, èñïîëüçóþò ôîðìóëû êâàä-
ðàòà ñóììû, êóáà ñóììû (ñì. ï. 56) è áîëåå îáùóþ
ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà (ñì. ï. 62 èëè ï. 203).
Ïðè ýòîì óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ îáùèì ïðàâèëîì äëÿ
âîçâåäåíèÿ ìíèìîé åäèíèöû i â ëþáóþ íàòóðàëüíóþ
ñòåïåíü. Òàê êàê
,
1
ii =
,1
2
-=i
,1,
43
=-= iii
òî
.,1,,1,
4342414
NÎ=-=-==
+++
niiiiii
nnnn
q Ï ð è ì å ð 3. Âû÷èñëèòü (1 + 2i)
6
.
Ñîãëàñíî ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà, èìååì
+××+××+=+
242
6
51
6
66
)
2
(
1211
)
21
(
iCiCi
=+××+××+××+
655
6
424
6
333
6
)
2
(
)
2
(
1
)
2
(
1
)
2
(
1
iiCiCiC
=+×+×+×+×++=
65432
643261615820415121
iiiiii
.441176419224016060121 iiii +=-++--+=
n
49. Ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå êîìïëåêñíûõ
÷èñåë. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî
÷èñëà. Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = a + bi íà êîîðäèíàò-
íîé ïëîñêîñòè xOy èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé Ì ñ êîîðäè-
íàòàìè à è b. Ïðè ýòîì îñü Îõ íàçûâàþò äåéñòâè-
òåëüíîé îñüþ, à îñü Îy ìíèìîé îñüþ.
Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè
äåéñòâèòåëüíîé îñè, à ÷èñòî ìíèìûå ÷èñëà òî÷êà-
ìè ìíèìîé îñè.
Íà ðèñ. 10 ïîñòðîåíû èçîáðàæåíèÿ êîìïëåêñíûõ
÷èñåë z
1
= 2 + i, z
2
= 3, z
3
= 2i, z
4
= 1 + i, z
5
= 2,5,
z
6
= 1 i, z
7
= 3i, z
8
= 3 2i. Çàìåòèì, ÷òî ñîïðÿæåí-
íûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè, ñèì-
ìåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ (òî÷êè z
4
è z
6
íà
ðèñ. 10).
Èçâåñòíî, ÷òî ïîëîæåíèå òî÷êè íà ïëîñêîñòè ìîæíî
çàäàâàòü òàêæå åå ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè r è j
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
6160
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà õ è
y òàêèå, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
.8974)32()32( ixiyixyix +=++-
q Èìååì
+=-=+-
2222
494)32()32(
xiyxyixyix
.9
2
y+
Òîãäà çàäàííîå ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü â
âèäå
.897494
22
ixiyx +=++
Òàê êàê êîìïëåêñíûå ÷èñëà a + bi è ñ + di ðàâíû
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû èõ äåéñòâèòåëüíûå
÷àñòè (à = ñ) è êîýôôèöèåíòû ïðè ìíèìûõ ÷àñòÿõ (b =
= d), òî ïðèõîäèì ê ñèñòåìå óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=
=+
,84
,9794
22
x
yx
îòêóäà íàõîäèì
.3,2;3,2
2211
-==== yxyx
n
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü
.
1
23
)21(
i
i
ii
-
+
-+
q 1)
;22)21(
2
iiiii +-=+=+
2)
=
-
+++
=
+-
++
=
-
+
2
2
1
2323
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
23
(
1
23
i
iii
ii
ii
i
i
;
2
5
2
1
2
51
11
253
i
ii
+=
+
=
+
-+
=
3)
.
2
3
2
5
2
5
2
1
)2( iii --=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+-+-
n
×òîáû âîçâåñòè êîìïëåêñíîå ÷èñëî â ñòåïåíü ñ íà-
òóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì, èñïîëüçóþò ôîðìóëû êâàä-
ðàòà ñóììû, êóáà ñóììû (ñì. ï. 56) è áîëåå îáùóþ
ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà (ñì. ï. 62 èëè ï. 203).
Ïðè ýòîì óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ îáùèì ïðàâèëîì äëÿ
âîçâåäåíèÿ ìíèìîé åäèíèöû i â ëþáóþ íàòóðàëüíóþ
ñòåïåíü. Òàê êàê
,
1
ii =
,1
2
-=i
,1,
43
=-= iii
òî
.,1,,1,
4342414
NÎ=-=-==
+++
niiiiii
nnnn
q Ï ð è ì å ð 3. Âû÷èñëèòü (1 + 2i)
6
.
Ñîãëàñíî ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà, èìååì
+××+××+=+
242
6
51
6
66
)
2
(
1211
)
21
(
iCiCi
=+××+××+××+
655
6
424
6
333
6
)
2
(
)
2
(
1
)
2
(
1
)
2
(
1
iiCiCiC
=+×+×+×+×++=
65432
643261615820415121
iiiiii
.441176419224016060121 iiii +=-++--+=
n
49. Ãåîìåòðè÷åñêîå èçîáðàæåíèå êîìïëåêñíûõ
÷èñåë. Òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà êîìïëåêñíîãî
÷èñëà. Êîìïëåêñíîå ÷èñëî z = a + bi íà êîîðäèíàò-
íîé ïëîñêîñòè xOy èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé Ì ñ êîîðäè-
íàòàìè à è b. Ïðè ýòîì îñü Îõ íàçûâàþò äåéñòâè-
òåëüíîé îñüþ, à îñü Îy ìíèìîé îñüþ.
Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè
äåéñòâèòåëüíîé îñè, à ÷èñòî ìíèìûå ÷èñëà òî÷êà-
ìè ìíèìîé îñè.
Íà ðèñ. 10 ïîñòðîåíû èçîáðàæåíèÿ êîìïëåêñíûõ
÷èñåë z
1
= 2 + i, z
2
= 3, z
3
= 2i, z
4
= 1 + i, z
5
= 2,5,
z
6
= 1 i, z
7
= 3i, z
8
= 3 2i. Çàìåòèì, ÷òî ñîïðÿæåí-
íûå êîìïëåêñíûå ÷èñëà èçîáðàæàþòñÿ òî÷êàìè, ñèì-
ìåòðè÷íûìè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ (òî÷êè z
4
è z
6
íà
ðèñ. 10).
Èçâåñòíî, ÷òî ïîëîæåíèå òî÷êè íà ïëîñêîñòè ìîæíî
çàäàâàòü òàêæå åå ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè r è j
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
6362
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
(ñì. ï. 23). Èç ðèñ. 11 ÿñíî, ÷òî
22
baOMr +==
ÿâëÿåòñÿ ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = a + bi. Ïî-
ëÿðíûé óãîë j íàçûâàþò àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî
÷èñëà, èçîáðàæàåìîãî ýòîé òî÷êîé. Àðãóìåíò êîìïëåê-
ñíîãî ÷èñëà îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî: åñëè j àðãó-
ìåíò ÷èñëà z, òî
kp+j 2
òàêæå àðãóìåíò ýòîãî ÷èñ-
ëà ïðè ëþáîì öåëîì k. Äëÿ îäíîçíà÷íîñòè îïðåäå-
ëåíèÿ àðãóìåíòà åãî âûáèðàþò â ïðåäåëàõ
p£j<p-
è îáîçíà÷àþò
;arg z
òàêîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà íà-
çûâàþò ãëàâíûì. Â äàëüíåéøåì ïîä àðãóìåíòîì
êîìïëåêñíîãî ÷èñëà áóäåì ïîíèìàòü åãî ãëàâíîå
çíà÷åíèå.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî
÷èñëà z = a + bi íàçûâàåòñÿ åãî çàïèñü â âèäå
),sin(cos j+j= irz
(1)
ãäå
22
bar +=
ìîäóëü, à j àðãóìåíò ÷èñëà z.
Ïðè ýòîì àðãóìåíò j ñâÿçàí ñ à è b ôîðìóëàìè
.sin,cos
2222
ba
b
ba
a
+
=
j
+
=
j
(2)
Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîð-
ìå ÷èñëà: à)
;232 i+-
á)
;3i-
â)
.51 -
q à) Ñíà÷àëà íàõîäèì ìîäóëü ÷èñëà: r =
.42
)
32
(
22
=+-=
Äàëåå, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (2),
èìååì
=-=j
4
32
cos
.
2
1
4
2
sin,
2
3
==j-
Çíà÷èò,
.
6
5
arg
p
=j=z
Èòàê,
.
6
5
sin
6
5
cos4
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
= iz
á) Çäåñü r = 3,
2
p
-=j
(òî÷êà, èçîáðàæàþùàÿ äàí-
íîå ÷èñëî, ïðèíàäëåæèò îòðèöàòåëüíîé ÷àñòè ìíè-
ìîé îñè). Ïîýòîìó
.
2
sin
2
cos3
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-= iz
â) Çäåñü
.,15 p=j-=r
Çíà÷èò,
+p-= (cos15z
).sin p+i
n
50. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çà-
äàííûìè â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ïóñòü
)
sin
(
cos
)
,sin
(
cos
22221111
j
+
j
=
j
+
j
= irzirz
êîìï-
ëåêñíûå ÷èñëà, çàäàííûå â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîð-
ìå. Òîãäà äëÿ èõ ïðîèçâåäåíèÿ
21
zz
è ÷àñòíîãî
2
1
z
z
Ðèñ. 10 Ðèñ. 11
z
2
z
1
z
3
z
4
z
5
z
6
z
7
z
8
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
6362
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
(ñì. ï. 23). Èç ðèñ. 11 ÿñíî, ÷òî
22
baOMr +==
ÿâëÿåòñÿ ìîäóëåì êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = a + bi. Ïî-
ëÿðíûé óãîë j íàçûâàþò àðãóìåíòîì êîìïëåêñíîãî
÷èñëà, èçîáðàæàåìîãî ýòîé òî÷êîé. Àðãóìåíò êîìïëåê-
ñíîãî ÷èñëà îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî: åñëè j àðãó-
ìåíò ÷èñëà z, òî
kp+j 2
òàêæå àðãóìåíò ýòîãî ÷èñ-
ëà ïðè ëþáîì öåëîì k. Äëÿ îäíîçíà÷íîñòè îïðåäå-
ëåíèÿ àðãóìåíòà åãî âûáèðàþò â ïðåäåëàõ
p£j<p-
è îáîçíà÷àþò
;arg z
òàêîå çíà÷åíèå àðãóìåíòà íà-
çûâàþò ãëàâíûì. Â äàëüíåéøåì ïîä àðãóìåíòîì
êîìïëåêñíîãî ÷èñëà áóäåì ïîíèìàòü åãî ãëàâíîå
çíà÷åíèå.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìîé êîìïëåêñíîãî
÷èñëà z = a + bi íàçûâàåòñÿ åãî çàïèñü â âèäå
),sin(cos j+j= irz
(1)
ãäå
22
bar +=
ìîäóëü, à j àðãóìåíò ÷èñëà z.
Ïðè ýòîì àðãóìåíò j ñâÿçàí ñ à è b ôîðìóëàìè
.sin,cos
2222
ba
b
ba
a
+
=
j
+
=
j
(2)
Ï ð è ì å ð. Çàïèñàòü â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîð-
ìå ÷èñëà: à)
;232 i+-
á)
;3i-
â)
.51 -
q à) Ñíà÷àëà íàõîäèì ìîäóëü ÷èñëà: r =
.42
)
32
(
22
=+-=
Äàëåå, ñîãëàñíî ôîðìóëàì (2),
èìååì
=-=j
4
32
cos
.
2
1
4
2
sin,
2
3
==j-
Çíà÷èò,
.
6
5
arg
p
=j=z
Èòàê,
.
6
5
sin
6
5
cos4
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
= iz
á) Çäåñü r = 3,
2
p
-=j
(òî÷êà, èçîáðàæàþùàÿ äàí-
íîå ÷èñëî, ïðèíàäëåæèò îòðèöàòåëüíîé ÷àñòè ìíè-
ìîé îñè). Ïîýòîìó
.
2
sin
2
cos3
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-= iz
â) Çäåñü
.,15 p=j-=r
Çíà÷èò,
+p-= (cos15z
).sin p+i
n
50. Äåéñòâèÿ íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè, çà-
äàííûìè â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå. Ïóñòü
)
sin
(
cos
)
,sin
(
cos
22221111
j
+
j
=
j
+
j
= irzirz
êîìï-
ëåêñíûå ÷èñëà, çàäàííûå â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîð-
ìå. Òîãäà äëÿ èõ ïðîèçâåäåíèÿ
21
zz
è ÷àñòíîãî
2
1
z
z
Ðèñ. 10 Ðèñ. 11
z
2
z
1
z
3
z
4
z
5
z
6
z
7
z
8
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
6564
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû
)),sin()(cos(
21212121
j+j+j+j= irrzz
(1)
))
,sin
(
)
(
cos
(
2121
2
1
2
1
j
-
j
+
j
-
j
=
i
r
r
z
z
(2)
ò. å. ïðè óìíîæåíèè (äåëåíèè) êîìïëåêñíûõ ÷èñåë,
çàäàííûõ â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå, èõ ìîäóëè
ïåðåìíîæàþòñÿ (äåëÿòñÿ), à àðãóìåíòû ñêëàäûâà-
þòñÿ (âû÷èòàþòñÿ).
Ï ð è ì å ð 1. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ:
à)
;
3
2
sin
3
2
cos
10
1
6
sin
6
cos4
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-×
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
ii
á)
.8:
3
2
sin
3
2
cos32 ii
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
p
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
p
3
2
6
sin
3
2
6
cos
10
4
i
.
5
2
2
sin
2
cos
5
2
ii -=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-=
á) Ñíà÷àëà ïðåäñòàâèì ÷èñëî 8i â òðèãîíîìåòðè-
÷åñêîé ôîðìå; ïîëó÷èì
.
2
sin
2
cos8
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
i
Òåïåðü
âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2):
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
p
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
p
6
sin
6
cos4
23
2
sin
23
2
cos
8
32
ii
.232 i+=
n
Ïðè âîçâåäåíèè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
=z
),sin(cos j+j= ir
â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü n âûïîëíÿ-
åòñÿ ðàâåíñòâî
),sin(cos j+j= ninrz
nn
(3)
ò. å. ìîäóëü äàííîãî ÷èñëà âîçâîäèòñÿ â ñòåïåíü n, à
àðãóìåíò óìíîæàåòñÿ íà ïîêàçàòåëü ñòåïåíè.
Ïðè r = 1 ñîîòíîøåíèå (3) ïðèíèìàåò âèä
j+j=j+j nini
n
sincos)sin(cos
(4)
è íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ìóàâðà.
Ï ð è ì å ð 2. Âîçâåñòè â ñòåïåíü:
.
4
3
sin
4
3
cos2
7
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
- i
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), à òàêæå ïåðèîäè÷íîñòü
ñèíóñà è êîñèíóñà (ñì. ï. 121), ïîëó÷èì
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
4
21
sin
4
21
cos2
7
i
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p+
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p+
p
-= 6
4
21
sin6
4
21
cos128 i
.264264
4
3
sin
4
3
cos128 ii +-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
=
n
Ðàññìîòðèì, íàêîíåö, çàäà÷ó èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ
íàòóðàëüíîé ñòåïåíè n èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z.
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî êîðåíü n-é ñòåïåíè èç êîìïëåê-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
6564
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû
)),sin()(cos(
21212121
j+j+j+j= irrzz
(1)
))
,sin
(
)
(
cos
(
2121
2
1
2
1
j
-
j
+
j
-
j
=
i
r
r
z
z
(2)
ò. å. ïðè óìíîæåíèè (äåëåíèè) êîìïëåêñíûõ ÷èñåë,
çàäàííûõ â òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôîðìå, èõ ìîäóëè
ïåðåìíîæàþòñÿ (äåëÿòñÿ), à àðãóìåíòû ñêëàäûâà-
þòñÿ (âû÷èòàþòñÿ).
Ï ð è ì å ð 1. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ:
à)
;
3
2
sin
3
2
cos
10
1
6
sin
6
cos4
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-×
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
ii
á)
.8:
3
2
sin
3
2
cos32 ii
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (1), íàõîäèì
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
p
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
p
3
2
6
sin
3
2
6
cos
10
4
i
.
5
2
2
sin
2
cos
5
2
ii -=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-=
á) Ñíà÷àëà ïðåäñòàâèì ÷èñëî 8i â òðèãîíîìåòðè-
÷åñêîé ôîðìå; ïîëó÷èì
.
2
sin
2
cos8
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
i
Òåïåðü
âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (2):
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
p
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
p
6
sin
6
cos4
23
2
sin
23
2
cos
8
32
ii
.232 i+=
n
Ïðè âîçâåäåíèè êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
=z
),sin(cos j+j= ir
â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü n âûïîëíÿ-
åòñÿ ðàâåíñòâî
),sin(cos j+j= ninrz
nn
(3)
ò. å. ìîäóëü äàííîãî ÷èñëà âîçâîäèòñÿ â ñòåïåíü n, à
àðãóìåíò óìíîæàåòñÿ íà ïîêàçàòåëü ñòåïåíè.
Ïðè r = 1 ñîîòíîøåíèå (3) ïðèíèìàåò âèä
j+j=j+j nini
n
sincos)sin(cos
(4)
è íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Ìóàâðà.
Ï ð è ì å ð 2. Âîçâåñòè â ñòåïåíü:
.
4
3
sin
4
3
cos2
7
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
- i
q Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (3), à òàêæå ïåðèîäè÷íîñòü
ñèíóñà è êîñèíóñà (ñì. ï. 121), ïîëó÷èì
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
4
21
sin
4
21
cos2
7
i
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p+
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p+
p
-= 6
4
21
sin6
4
21
cos128 i
.264264
4
3
sin
4
3
cos128 ii +-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
=
n
Ðàññìîòðèì, íàêîíåö, çàäà÷ó èçâëå÷åíèÿ êîðíÿ
íàòóðàëüíîé ñòåïåíè n èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z.
Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî êîðåíü n-é ñòåïåíè èç êîìïëåê-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
6766
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
ñíîãî ÷èñëà
)sin(cos j+j= irz
èìååò n ðàçëè÷íûõ
çíà÷åíèé, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå
,
2
sin
2
cos
÷
ø
ö
ç
è
æ
p+j
+
p+j
=
n
k
i
n
k
rz
nn
(5)
ãäå k = 0, 1, 2, ... , n 1.
Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå z
2
+ 4 = 0.
q Êîðíÿìè äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âñå
çíà÷åíèÿ
.4-
Äëÿ ÷èñëà 4 èìååì r = 4,
p=
j
.
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (5), íàõîäèì
,
2
2
sin
2
2
cos24
÷
ø
ö
ç
è
æ
p+p
+
p+p
=-
k
i
k
ãäå k = 0, 1.
Åñëè k = 0, òî
.2
2
sin
2
cos2
1
iiw =
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
=
Åñëè k = 1, òî
.2
2
3
sin
2
3
cos2
2
iiw -=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
=
Èòàê, óðàâíåíèå
04
2
=+z
èìååò äâà êîðíÿ:
i2
è
.2i-
n
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè
.64
3
i-
q Äëÿ ÷èñëà 64 i èìååì
.
2
,64
p
-=j=r
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷èì
,
3
2
2
sin
3
2
2
cos464
3
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
p+
p
-
+
p+
p
-
=-
k
i
k
i
k = 0, 1, 2.
Ïðè k = 0, 1, 2 ñîîòâåòñòâåííî íàõîäèì
;232
6
sin
6
cos4
1
iiw -=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-=
;4
2
sin
2
cos4
2
iiw =
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
=
.232
6
7
sin
6
7
cos4
3
iiw --=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
=
n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 4. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë I. ×ÈÑËÀ
6766
3
4
/
1
4
/
3
4
/
1
4
/
ñíîãî ÷èñëà
)sin(cos j+j= irz
èìååò n ðàçëè÷íûõ
çíà÷åíèé, êîòîðûå íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå
,
2
sin
2
cos
÷
ø
ö
ç
è
æ
p+j
+
p+j
=
n
k
i
n
k
rz
nn
(5)
ãäå k = 0, 1, 2, ... , n 1.
Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòü óðàâíåíèå z
2
+ 4 = 0.
q Êîðíÿìè äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âñå
çíà÷åíèÿ
.4-
Äëÿ ÷èñëà 4 èìååì r = 4,
p=
j
.
Ñîãëàñíî ôîðìóëå (5), íàõîäèì
,
2
2
sin
2
2
cos24
÷
ø
ö
ç
è
æ
p+p
+
p+p
=-
k
i
k
ãäå k = 0, 1.
Åñëè k = 0, òî
.2
2
sin
2
cos2
1
iiw =
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
=
Åñëè k = 1, òî
.2
2
3
sin
2
3
cos2
2
iiw -=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
=
Èòàê, óðàâíåíèå
04
2
=+z
èìååò äâà êîðíÿ:
i2
è
.2i-
n
Ï ð è ì å ð 4. Íàéòè
.64
3
i-
q Äëÿ ÷èñëà 64 i èìååì
.
2
,64
p
-=j=r
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (5), ïîëó÷èì
,
3
2
2
sin
3
2
2
cos464
3
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
p+
p
-
+
p+
p
-
=-
k
i
k
i
k = 0, 1, 2.
Ïðè k = 0, 1, 2 ñîîòâåòñòâåííî íàõîäèì
;232
6
sin
6
cos4
1
iiw -=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-=
;4
2
sin
2
cos4
2
iiw =
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
=
.232
6
7
sin
6
7
cos4
3
iiw --=
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+
p
=
n