Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
89
88
Çàìåòèì, ÷òî ñîêðàùåíèå äðîáè âûïîëíåíî ïðè óñ-
ëîâèè
.03 ¹- yx
n
65. Ïðèâåäåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ê îáùåìó
çíàìåíàòåëþ. Îáùèì çíàìåíàòåëåì íåñêîëüêèõ
ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé íàçûâàåòñÿ öåëîå ðàöèîíàëü-
íîå âûðàæåíèå, êîòîðîå äåëèòñÿ íà çíàìåíàòåëü êàæ-
äîé äðîáè (ñì. ï. 57). Îáû÷íî áåðóò òàêîé îáùèé
çíàìåíàòåëü, ÷òî ëþáîé äðóãîé îáùèé çíàìåíàòåëü
äåëèòñÿ íà âûáðàííûé. Òàê, îáùèì çíàìåíàòåëåì
äðîáåé
2+x
x
è
2
13
-
-
x
x
ñëóæèò ìíîãî÷ëåí
).2)(2( -+ xx
Èìååì
;
)
2
(
)
2
(
)
2
(
2 -+
-
=
+ xx
xx
x
x
.
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
13
(
2
13
--
+-
=
+
-
xx
xx
x
x
Ïðèâåäåíèå äàííûõ äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíà-
òåëþ äîñòèãíóòî óìíîæåíèåì ÷èñëèòåëÿ è çíàìå-
íàòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà õ 2, à ÷èñëèòåëÿ è çíàìå-
íàòåëÿ âòîðîé äðîáè íà õ + 2. Ìíîãî÷ëåíû õ 2
è õ + 2 íàçûâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè ìíîæèòå-
ëÿìè.
×òîáû ïðèâåñòè íåñêîëüêî ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, íóæíî:
1) ðàçëîæèòü çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè íà ìíî-
æèòåëè;
2) ñîñòàâèòü îáùèé çíàìåíàòåëü, âêëþ÷èâ â íåãî
âñå ìíîæèòåëè ïîëó÷åííûõ â ï. 1 ðàçëîæåíèé; åñëè
íåêîòîðûé ìíîæèòåëü èìååòñÿ â íåñêîëüêèõ ðàçëî-
æåíèÿõ, òî îí áåðåòñÿ ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè, ðàâ-
íûì íàèáîëüøåìó èç èìåþùèõñÿ;
3) íàéòè äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè äëÿ êàæ-
äîé èç äðîáåé (äëÿ ýòîãî îáùèé çíàìåíàòåëü äåëÿò
íà çíàìåíàòåëü äðîáè);
ëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ. Åñëè æå èçìåíèòü çíàê
òîëüêî ÷èñëèòåëÿ èëè òîëüêî çíàìåíàòåëÿ, òî è
äðîáü èçìåíèò ñâîé çíàê:
.;
Q
P
Q
P
Q
P
Q
P
-=
-
-=
-
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
.
Q
P
Q
P
Q
P
-
-=
-
-=
Íàïðèìåð,
.
43
32
43
)
23
(
43
23
+
-
-=
+
--
-=
+
-
x
x
x
x
x
x
64. Ñîêðàùåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ñîêðà-
òèòü äðîáü ýòî çíà÷èò ðàçäåëèòü ÷èñëèòåëü è çíà-
ìåíàòåëü äðîáè íà îáùèé ìíîæèòåëü. Âîçìîæíîñòü
òàêîãî ñîêðàùåíèÿ îáóñëîâëåíà îñíîâíûì ñâîéñòâîì
äðîáè.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ñîêðàòèòü ðàöèîíàëüíóþ äðîáü,
íóæíî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ðàçëîæèòü íà ìíî-
æèòåëè. Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî ÷èñëèòåëü è çíàìåíà-
òåëü èìåþò îáùèå ìíîæèòåëè, òî äðîáü ìîæíî ñî-
êðàòèòü. Åñëè æå îáùèõ ìíîæèòåëåé íåò, òî ïðåîá-
ðàçîâàíèå äðîáè ñ ïîìîùüþ ñîêðàùåíèÿ íåâîçìîæ-
íî.
Ï ð è ì å ð. Ñîêðàòèòü äðîáü
.
9
3
22
2
xy
xyx
-
-
q Èìååì
;)3(3
2
yxxxyx -=-
).3()3()9(9
2222
yxyxyxxy +--=--=-
Çíà÷èò,
.
3)3()3(
)3(
9
3
22
2
yx
x
yxyx
yxx
xy
xyx
+
-=
+--
-
=
-
-
+
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
89
88
Çàìåòèì, ÷òî ñîêðàùåíèå äðîáè âûïîëíåíî ïðè óñ-
ëîâèè
.03 ¹- yx
n
65. Ïðèâåäåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ê îáùåìó
çíàìåíàòåëþ. Îáùèì çíàìåíàòåëåì íåñêîëüêèõ
ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé íàçûâàåòñÿ öåëîå ðàöèîíàëü-
íîå âûðàæåíèå, êîòîðîå äåëèòñÿ íà çíàìåíàòåëü êàæ-
äîé äðîáè (ñì. ï. 57). Îáû÷íî áåðóò òàêîé îáùèé
çíàìåíàòåëü, ÷òî ëþáîé äðóãîé îáùèé çíàìåíàòåëü
äåëèòñÿ íà âûáðàííûé. Òàê, îáùèì çíàìåíàòåëåì
äðîáåé
2+x
x
è
2
13
-
-
x
x
ñëóæèò ìíîãî÷ëåí
).2)(2( -+ xx
Èìååì
;
)
2
(
)
2
(
)
2
(
2 -+
-
=
+ xx
xx
x
x
.
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
13
(
2
13
--
+-
=
+
-
xx
xx
x
x
Ïðèâåäåíèå äàííûõ äðîáåé ê îáùåìó çíàìåíà-
òåëþ äîñòèãíóòî óìíîæåíèåì ÷èñëèòåëÿ è çíàìå-
íàòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà õ 2, à ÷èñëèòåëÿ è çíàìå-
íàòåëÿ âòîðîé äðîáè íà õ + 2. Ìíîãî÷ëåíû õ 2
è õ + 2 íàçûâàþòñÿ äîïîëíèòåëüíûìè ìíîæèòå-
ëÿìè.
×òîáû ïðèâåñòè íåñêîëüêî ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, íóæíî:
1) ðàçëîæèòü çíàìåíàòåëü êàæäîé äðîáè íà ìíî-
æèòåëè;
2) ñîñòàâèòü îáùèé çíàìåíàòåëü, âêëþ÷èâ â íåãî
âñå ìíîæèòåëè ïîëó÷åííûõ â ï. 1 ðàçëîæåíèé; åñëè
íåêîòîðûé ìíîæèòåëü èìååòñÿ â íåñêîëüêèõ ðàçëî-
æåíèÿõ, òî îí áåðåòñÿ ñ ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè, ðàâ-
íûì íàèáîëüøåìó èç èìåþùèõñÿ;
3) íàéòè äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè äëÿ êàæ-
äîé èç äðîáåé (äëÿ ýòîãî îáùèé çíàìåíàòåëü äåëÿò
íà çíàìåíàòåëü äðîáè);
ëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ. Åñëè æå èçìåíèòü çíàê
òîëüêî ÷èñëèòåëÿ èëè òîëüêî çíàìåíàòåëÿ, òî è
äðîáü èçìåíèò ñâîé çíàê:
.;
Q
P
Q
P
Q
P
Q
P
-=
-
-=
-
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
.
Q
P
Q
P
Q
P
-
-=
-
-=
Íàïðèìåð,
.
43
32
43
)
23
(
43
23
+
-
-=
+
--
-=
+
-
x
x
x
x
x
x
64. Ñîêðàùåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé. Ñîêðà-
òèòü äðîáü ýòî çíà÷èò ðàçäåëèòü ÷èñëèòåëü è çíà-
ìåíàòåëü äðîáè íà îáùèé ìíîæèòåëü. Âîçìîæíîñòü
òàêîãî ñîêðàùåíèÿ îáóñëîâëåíà îñíîâíûì ñâîéñòâîì
äðîáè.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ñîêðàòèòü ðàöèîíàëüíóþ äðîáü,
íóæíî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ðàçëîæèòü íà ìíî-
æèòåëè. Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî ÷èñëèòåëü è çíàìåíà-
òåëü èìåþò îáùèå ìíîæèòåëè, òî äðîáü ìîæíî ñî-
êðàòèòü. Åñëè æå îáùèõ ìíîæèòåëåé íåò, òî ïðåîá-
ðàçîâàíèå äðîáè ñ ïîìîùüþ ñîêðàùåíèÿ íåâîçìîæ-
íî.
Ï ð è ì å ð. Ñîêðàòèòü äðîáü
.
9
3
22
2
xy
xyx
-
-
q Èìååì
;)3(3
2
yxxxyx -=-
).3()3()9(9
2222
yxyxyxxy +--=--=-
Çíà÷èò,
.
3)3()3(
)3(
9
3
22
2
yx
x
yxyx
yxx
xy
xyx
+
-=
+--
-
=
-
-
+
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
91
90
4) äîìíîæèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé
äðîáè íà äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü, ïðèâåñòè äðî-
áè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ
äðîáè
.
2424
;
1818
;
1212
22322
aba
ba
baa
b
ba
a
-
+
+-
q Ðàçëîæèì çíàìåíàòåëè íà ìíîæèòåëè:
);()(121212
22
bababa +-=-
);(181818
223
baabaa +=+ .)(242424
2
baaaba -=-
 îáùèé çíàìåíàòåëü íàäî âêëþ÷èòü ñëåäóþùèå
ìíîæèòåëè:
2
),(),(
ababa +-
è íàèìåíüøåå îáùåå
êðàòíîå ÷èñåë 12, 18, 24, ò. å. Ê (12, 18, 24) = 72. Èòàê,
îáùèé çíàìåíàòåëü ðàâåí
).)((72
2
babaa +-
Íàéäåì äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè: äëÿ ïåðâîé
äðîáè 6à
2
, äëÿ âòîðîé
),(4 ba -
äëÿ òðåòüåé
).(3 baa +
Çíà÷èò,
;
)
(
)
(
72
6
1212
2
2
22
6
2
babaa
a
ba
a
a
+-
=
-
;
)()(72
)(4
1818
223
)(4
babaa
bab
baa
b
ba
+-
-
=
+
-
.
)()(72
)(3
2424
2
2
2
)(3
babaa
baa
aba
ba
baa
+-
+
=
-
+
+
n
66. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðî-
áåé.
Ñóììà äâóõ (è âîîáùå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà)
ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ñ îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿ-
ìè òîæäåñòâåííî ðàâíà äðîáè ñ òåì æå çíàìåíàòå-
ëåì è ñ ÷èñëèòåëåì, ðàâíûì ñóììå ÷èñëèòåëåé ñêëà-
äûâàåìûõ äðîáåé:
.
2121
Q
PP
Q
P
Q
P +
=+
Àíàëîãè÷íî îáñòîèò äåëî â ñëó÷àå ðàçíîñòè äðîáåé ñ
îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿìè:
.
2121
Q
PP
Q
P
Q
P -
=-
Äëÿ ñëîæåíèÿ èëè âû÷èòàíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðî-
áåé ñ ðàçíûìè çíàìåíàòåëÿìè íóæíî ïðåæäå âñåãî
ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, à çàòåì âû-
ïîëíèòü îïåðàöèè íàä ïîëó÷åííûìè äðîáÿìè ñ îäè-
íàêîâûìè çíàìåíàòåëÿìè.
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
+
+ xx 22
3
2
.
2
1
12
2
x
x
x
-
-
-
q Èìååì
).1)(1(1);1(222
22
+-=-+=+ xxxxxxx
Îáùèé çíàìåíàòåëü ðàâåí
;)1()1(2 -+ xxx
çíà÷èò,
-
+-
-
+
+
=-
-
-
+
+
-
)
1
(
)
1
(
12
)
1
(
2
32
1
12
22
3
21
22
xx
x
xxx
x
x
xx
xx
=
+-
+---+-
=-
+-
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
4
)
12
(
2
)
1
(
32
)1)(1(2
xxx
xxxxx
x
xx
.
)
1
(
2
1
)
1
(
)
1
(
2
1
-
=
+-
+
=
xxxxx
x
n
67. Óìíîæåíèå è äåëåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé.
Ïðîèçâåäåíèå äâóõ (è âîîáùå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñ-
ëà)
ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé òîæäåñòâåííî ðàâíî äðîáè,
6a
2
6a
3
a
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
91
90
4) äîìíîæèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü êàæäîé
äðîáè íà äîïîëíèòåëüíûé ìíîæèòåëü, ïðèâåñòè äðî-
áè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ.
Ï ð è ì å ð. Ïðèâåñòè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ
äðîáè
.
2424
;
1818
;
1212
22322
aba
ba
baa
b
ba
a
-
+
+-
q Ðàçëîæèì çíàìåíàòåëè íà ìíîæèòåëè:
);()(121212
22
bababa +-=-
);(181818
223
baabaa +=+ .)(242424
2
baaaba -=-
 îáùèé çíàìåíàòåëü íàäî âêëþ÷èòü ñëåäóþùèå
ìíîæèòåëè:
2
),(),(
ababa +-
è íàèìåíüøåå îáùåå
êðàòíîå ÷èñåë 12, 18, 24, ò. å. Ê (12, 18, 24) = 72. Èòàê,
îáùèé çíàìåíàòåëü ðàâåí
).)((72
2
babaa +-
Íàéäåì äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè: äëÿ ïåðâîé
äðîáè 6à
2
, äëÿ âòîðîé
),(4 ba -
äëÿ òðåòüåé
).(3 baa +
Çíà÷èò,
;
)
(
)
(
72
6
1212
2
2
22
6
2
babaa
a
ba
a
a
+-
=
-
;
)()(72
)(4
1818
223
)(4
babaa
bab
baa
b
ba
+-
-
=
+
-
.
)()(72
)(3
2424
2
2
2
)(3
babaa
baa
aba
ba
baa
+-
+
=
-
+
+
n
66. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå ðàöèîíàëüíûõ äðî-
áåé.
Ñóììà äâóõ (è âîîáùå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà)
ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé ñ îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿ-
ìè òîæäåñòâåííî ðàâíà äðîáè ñ òåì æå çíàìåíàòå-
ëåì è ñ ÷èñëèòåëåì, ðàâíûì ñóììå ÷èñëèòåëåé ñêëà-
äûâàåìûõ äðîáåé:
.
2121
Q
PP
Q
P
Q
P +
=+
Àíàëîãè÷íî îáñòîèò äåëî â ñëó÷àå ðàçíîñòè äðîáåé ñ
îäèíàêîâûìè çíàìåíàòåëÿìè:
.
2121
Q
PP
Q
P
Q
P -
=-
Äëÿ ñëîæåíèÿ èëè âû÷èòàíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðî-
áåé ñ ðàçíûìè çíàìåíàòåëÿìè íóæíî ïðåæäå âñåãî
ïðèâåñòè äðîáè ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ, à çàòåì âû-
ïîëíèòü îïåðàöèè íàä ïîëó÷åííûìè äðîáÿìè ñ îäè-
íàêîâûìè çíàìåíàòåëÿìè.
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
+
+ xx 22
3
2
.
2
1
12
2
x
x
x
-
-
-
q Èìååì
).1)(1(1);1(222
22
+-=-+=+ xxxxxxx
Îáùèé çíàìåíàòåëü ðàâåí
;)1()1(2 -+ xxx
çíà÷èò,
-
+-
-
+
+
=-
-
-
+
+
-
)
1
(
)
1
(
12
)
1
(
2
32
1
12
22
3
21
22
xx
x
xxx
x
x
xx
xx
=
+-
+---+-
=-
+-
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
4
)
12
(
2
)
1
(
32
)1)(1(2
xxx
xxxxx
x
xx
.
)
1
(
2
1
)
1
(
)
1
(
2
1
-
=
+-
+
=
xxxxx
x
n
67. Óìíîæåíèå è äåëåíèå ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé.
Ïðîèçâåäåíèå äâóõ (è âîîáùå ëþáîãî êîíå÷íîãî ÷èñ-
ëà)
ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé òîæäåñòâåííî ðàâíî äðîáè,
6a
2
6a
3
a
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
93
92
á) Èìååì
.
)1(3
)2)(2(
363
4
;
)1(3
)2(
33
2
22
2323
+
+-
=
++
-
+
-
=
+
-
a
aa
aa
a
a
aa
a
aa
Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî äåëåíèÿ äðîáåé, íàõîäèì
=
+-+
+×-
=
++
-
+
-
)
2
(
)
2
(
)
1
(
3
)
1
(
3
)
2
(
363
4
:
33
2
22
2
223
aaa
aaa
aa
a
a
aa
.
2
)
1
(
2
+
+
=
a
aa
n
68. Âîçâåäåíèå ðàöèîíàëüíîé äðîáè â öåëóþ ñòå-
ïåíü. ×òîáû
âîçâåñòè ðàöèîíàëüíóþ äðîáü
Q
P
â íà-
òóðàëüíóþ ñòåïåíü
n
, íóæíî âîçâåñòè â ýòó ñòåïåíü
îòäåëüíî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè; ïåðâîå
âûðàæåíèå ÷èñëèòåëü, à âòîðîå âûðàæåíèå çíà-
ìåíàòåëü ðåçóëüòàòà:
.
n
n
n
Q
P
Q
P
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Ï ð è ì å ð 1. Ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü ñòåïåíü
.
3
2
3
5
32
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
z
yx
q
.
27
8
)
3
(
)
2
(
3
2
15
96
35
332
3
5
32
z
yx
z
yx
z
yx
==
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
n
÷èñëèòåëü êîòîðîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëèòåëåé,
à çíàìåíàòåëü ïðîèçâåäåíèþ çíàìåíàòåëåé ïåðå-
ìíîæàåìûõ äðîáåé:
.
21
21
2
2
1
1
QQ
PP
Q
P
Q
P
×
×
=×
×àñòíîå îò äåëåíèÿ äâóõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
òîæäåñòâåííî ðàâíî äðîáè, ÷èñëèòåëü êîòîðîé ðà-
âåí ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëèòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà çíà-
ìåíàòåëü âòîðîé äðîáè, à çíàìåíàòåëü ïðîèçâå-
äåíèþ çíàìåíàòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà ÷èñëèòåëü âòî-
ðîé äðîáè:
.:
21
21
2
2
1
1
PQ
QP
Q
P
Q
P
×
×
=
Ó÷èòûâàÿ âîçìîæíîñòü ñîêðàùåíèÿ ðàöèîíàëü-
íîé äðîáè, ïîëó÷åííîé â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ èëè
äåëåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, îáû÷íî ñòðåìÿòñÿ äî
âûïîëíåíèÿ ýòèõ îïåðàöèé ðàçëîæèòü íà ìíîæèòå-
ëè ÷èñëèòåëè è çíàìåíàòåëè èñõîäíûõ äðîáåé.
Ï ð è ì å ð. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ:
à)
;
1
9
18
12
2
4
3
2
-
×
++
x
x
x
xx
á)
:
33
2
23
+
-
a
aa
.
363
4
2
2
++
-
aa
a
q Èìååì
.
)
1
(
)
1
(
9
1
9
;
18
)
1
(
18
12
4
2
4
3
2
3
2
+-
=
-
+
=
++
xx
x
x
x
x
x
x
xx
Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî óìíîæåíèÿ äðîáåé, ïîëó÷à-
åì
.
)1(2
)1(
)1()1(18
9)1(
1
9
18
12
3
42
2
4
3
2
-
+
=
-+
×+
=
-
×
++
x
xx
xxx
xx
x
x
x
xx
2
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
93
92
á) Èìååì
.
)1(3
)2)(2(
363
4
;
)1(3
)2(
33
2
22
2323
+
+-
=
++
-
+
-
=
+
-
a
aa
aa
a
a
aa
a
aa
Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî äåëåíèÿ äðîáåé, íàõîäèì
=
+-+
+×-
=
++
-
+
-
)
2
(
)
2
(
)
1
(
3
)
1
(
3
)
2
(
363
4
:
33
2
22
2
223
aaa
aaa
aa
a
a
aa
.
2
)
1
(
2
+
+
=
a
aa
n
68. Âîçâåäåíèå ðàöèîíàëüíîé äðîáè â öåëóþ ñòå-
ïåíü. ×òîáû
âîçâåñòè ðàöèîíàëüíóþ äðîáü
Q
P
â íà-
òóðàëüíóþ ñòåïåíü
n
, íóæíî âîçâåñòè â ýòó ñòåïåíü
îòäåëüíî ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè; ïåðâîå
âûðàæåíèå ÷èñëèòåëü, à âòîðîå âûðàæåíèå çíà-
ìåíàòåëü ðåçóëüòàòà:
.
n
n
n
Q
P
Q
P
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Ï ð è ì å ð 1. Ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü ñòåïåíü
.
3
2
3
5
32
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
z
yx
q
.
27
8
)
3
(
)
2
(
3
2
15
96
35
332
3
5
32
z
yx
z
yx
z
yx
==
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
n
÷èñëèòåëü êîòîðîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëèòåëåé,
à çíàìåíàòåëü ïðîèçâåäåíèþ çíàìåíàòåëåé ïåðå-
ìíîæàåìûõ äðîáåé:
.
21
21
2
2
1
1
QQ
PP
Q
P
Q
P
×
×
=×
×àñòíîå îò äåëåíèÿ äâóõ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé
òîæäåñòâåííî ðàâíî äðîáè, ÷èñëèòåëü êîòîðîé ðà-
âåí ïðîèçâåäåíèþ ÷èñëèòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà çíà-
ìåíàòåëü âòîðîé äðîáè, à çíàìåíàòåëü ïðîèçâå-
äåíèþ çíàìåíàòåëÿ ïåðâîé äðîáè íà ÷èñëèòåëü âòî-
ðîé äðîáè:
.:
21
21
2
2
1
1
PQ
QP
Q
P
Q
P
×
×
=
Ó÷èòûâàÿ âîçìîæíîñòü ñîêðàùåíèÿ ðàöèîíàëü-
íîé äðîáè, ïîëó÷åííîé â ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ èëè
äåëåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, îáû÷íî ñòðåìÿòñÿ äî
âûïîëíåíèÿ ýòèõ îïåðàöèé ðàçëîæèòü íà ìíîæèòå-
ëè ÷èñëèòåëè è çíàìåíàòåëè èñõîäíûõ äðîáåé.
Ï ð è ì å ð. Âûïîëíèòü äåéñòâèÿ:
à)
;
1
9
18
12
2
4
3
2
-
×
++
x
x
x
xx
á)
:
33
2
23
+
-
a
aa
.
363
4
2
2
++
-
aa
a
q Èìååì
.
)
1
(
)
1
(
9
1
9
;
18
)
1
(
18
12
4
2
4
3
2
3
2
+-
=
-
+
=
++
xx
x
x
x
x
x
x
xx
Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî óìíîæåíèÿ äðîáåé, ïîëó÷à-
åì
.
)1(2
)1(
)1()1(18
9)1(
1
9
18
12
3
42
2
4
3
2
-
+
=
-+
×+
=
-
×
++
x
xx
xxx
xx
x
x
x
xx
2
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
95
94
q1)
=
+
-
+
=
++
-
+
+
2
22
22
2
)2(
4
2
2
44
4
2
2
ba
a
ba
a
baba
a
ba
a
ba
;
)2(
2
)2(
4)2(2
22
2
ba
ab
ba
abaa
+
=
+
-+
=
2)
=
-
-
+-
=
-
+
-
+
bababa
a
ab
ba
a
ba
2
1
)
2
(
)
2
(
2
2
1
4
2
2
22
;
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
22
baba
b
baba
baa
+-
-
=
+-
--
=
3)
;
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
1
b
baba
baba
b +-
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+-
-
-
4)
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+-
-×
+
b
baba
ba
ab
)
2
(
)
2
(
)
2
(
2
2
;
2
42
2
)2(2
)2(
)2()2(2
2
2
ba
aab
ba
aba
bab
babaab
+
-
=
+
-
=
+
+-
-=
5)
=
+
+
=
+
+
+
-
ba
aab
ba
a
ba
aab
3
42
2
8
2
42
222
.2
2
)2(2
a
ba
baa
=
+
+
=
n
Ïðè âîçâåäåíèè äðîáè â öåëóþ îòðèöàòåëüíóþ
ñòåïåíü èñïîëüçóåòñÿ òîæäåñòâî
,
nn
P
Q
Q
P
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, ïðè
êîòîðûõ
0¹P
è
.0¹Q
Ï ð è ì å ð 2. Ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü âûðàæåíèå
.
)2(
)()(
5
4
32
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-+
ba
baba
q
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-+
- 5
32
4
5
4
32
)
(
)
(
)
2
(
)
2
(
)
(
)
(
baba
ba
ba
baba
.
)()(
)2(
1510
20
baba
ba
-+
+
=
n
69. Ïðåîáðàçîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé.
Ïðåîáðàçîâàíèå ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî âûðàæåíèÿ
ñâîäèòñÿ ê ñëîæåíèþ, âû÷èòàíèþ, óìíîæåíèþ è äå-
ëåíèþ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, à òàêæå ê âîçâåäåíèþ
äðîáè â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Âñÿêîå ðàöèîíàëü-
íîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü, ÷èñ-
ëèòåëü è çíàìåíàòåëü êîòîðîé öåëûå ðàöèîíàëü-
íûå âûðàæåíèÿ; â ýòîì, êàê ïðàâèëî, ñîñòîèò öåëü
òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ðàöèîíàëüíûõ âû-
ðàæåíèé.
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
-
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
-
+
-1
2222
2
2
1
4
2
44
4
2
2
ab
ba
a
baba
a
ba
a
.
2
8
2
ba
a
+
+
+
2a + b
2
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 7. Äðîáíûå ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
95
94
q1)
=
+
-
+
=
++
-
+
+
2
22
22
2
)2(
4
2
2
44
4
2
2
ba
a
ba
a
baba
a
ba
a
ba
;
)2(
2
)2(
4)2(2
22
2
ba
ab
ba
abaa
+
=
+
-+
=
2)
=
-
-
+-
=
-
+
-
+
bababa
a
ab
ba
a
ba
2
1
)
2
(
)
2
(
2
2
1
4
2
2
22
;
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
22
baba
b
baba
baa
+-
-
=
+-
--
=
3)
;
)
2
(
)
2
(
)
2
(
)
2
(
1
b
baba
baba
b +-
-=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+-
-
-
4)
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+-
-×
+
b
baba
ba
ab
)
2
(
)
2
(
)
2
(
2
2
;
2
42
2
)2(2
)2(
)2()2(2
2
2
ba
aab
ba
aba
bab
babaab
+
-
=
+
-
=
+
+-
-=
5)
=
+
+
=
+
+
+
-
ba
aab
ba
a
ba
aab
3
42
2
8
2
42
222
.2
2
)2(2
a
ba
baa
=
+
+
=
n
Ïðè âîçâåäåíèè äðîáè â öåëóþ îòðèöàòåëüíóþ
ñòåïåíü èñïîëüçóåòñÿ òîæäåñòâî
,
nn
P
Q
Q
P
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, ïðè
êîòîðûõ
0¹P
è
.0¹Q
Ï ð è ì å ð 2. Ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü âûðàæåíèå
.
)2(
)()(
5
4
32
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-+
ba
baba
q
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-+
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-+
- 5
32
4
5
4
32
)
(
)
(
)
2
(
)
2
(
)
(
)
(
baba
ba
ba
baba
.
)()(
)2(
1510
20
baba
ba
-+
+
=
n
69. Ïðåîáðàçîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé.
Ïðåîáðàçîâàíèå ëþáîãî ðàöèîíàëüíîãî âûðàæåíèÿ
ñâîäèòñÿ ê ñëîæåíèþ, âû÷èòàíèþ, óìíîæåíèþ è äå-
ëåíèþ ðàöèîíàëüíûõ äðîáåé, à òàêæå ê âîçâåäåíèþ
äðîáè â íàòóðàëüíóþ ñòåïåíü. Âñÿêîå ðàöèîíàëü-
íîå âûðàæåíèå ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â äðîáü, ÷èñ-
ëèòåëü è çíàìåíàòåëü êîòîðîé öåëûå ðàöèîíàëü-
íûå âûðàæåíèÿ; â ýòîì, êàê ïðàâèëî, ñîñòîèò öåëü
òîæäåñòâåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ðàöèîíàëüíûõ âû-
ðàæåíèé.
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
+
-
×
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
-
+
-1
2222
2
2
1
4
2
44
4
2
2
ab
ba
a
baba
a
ba
a
.
2
8
2
ba
a
+
+
+
2a + b
2
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
97
96
ïîëüçóåìñÿ âíåñåíèåì ìíîæèòåëÿ ïîä çíàê êîðíÿ:
.
)
(
3
7
3
6
3
3
6
3
3
32
3
2
xxxxxxxxx =×=×=×=
Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 4
0
, èìååì
.
12
7
4
3
7
xx =
ã) Â ñèëó ñâîéñòâà 5
0
ïîêàçàòåëü êîðíÿ è ïîêàçàòåëü
ñòåïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ ìîæíî ðàçäåëèòü íà
îäíî è òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ðàçäåëèâ óêàçàííûå
ïîêàçàòåëè íà 3, ïîëó÷èì
==
10
3
30
9
22
.8
10
=
ä) Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 1
0
, äëÿ ïåðåìíîæåíèÿ êîð-
íåé îäíîé è òîé æå ñòåïåíè äîñòàòî÷íî ïåðåìíîæèòü
ïîäêîðåííûå âûðàæåíèÿ è èç ïîëó÷åííîãî ðåçóëü-
òàòà èçâëå÷ü êîðåíü òîé æå ñòåïåíè. Çíà÷èò,
.
5
3
5
2
5
2
5
aaaaa =×=×
å) Ïðåæäå âñåãî íóæíî ïðèâåñòè ðàäèêàëû ê îä-
íîìó ïîêàçàòåëþ. Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 5
0
, ìû ìîæåì
ïîêàçàòåëü êîðíÿ è ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïîäêîðåííî-
ãî âûðàæåíèÿ óìíîæèòü íà îäíî è òî æå íàòóðàëü-
íîå ÷èñëî. Ïîýòîìó
.
6
2
3
aa =
Äàëåå èìååì
´
6
2
a
.
6
3
6
aa =´
Ðàçäåëèâ òåïåðü ïîêàçàòåëè êîðíÿ è ñòå-
ïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ íà 3, ïîëó÷èì
=
6
3
a
.a=
n
Íà ïðàêòèêå ïðè âûïîëíåíèè äåéñòâèé íàä ðà-
äèêàëàìè äîâîëüíî ÷àñòî ïåðåõîäÿò ê äðîáíûì ïî-
êàçàòåëÿì. Íàïðèìåð,
.
24
23
24
23
12
7
8
3
12
7
8
3
12
7
8
3
xxxxxxx ===×=×
+
§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
70. Ïðîñòåéøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ àðèôìåòè÷åñ-
êèõ êîðíåé (ðàäèêàëîâ). Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè
àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé èñïîëüçóþòñÿ èõ ñâîéñòâà
1
0
5
0
(ñì. ï. 37).
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå:
à)
;45
5
a
á)
;
5
3
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
â)
;
4
3
2
xx
ã)
;2
30
9
ä) ×
5
a
;
5
2
a
å)
63
aa ×
(âñå ïåðåìåííûå ñ÷èòàþòñÿ
ïðèíèìàþùèìè òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ).
q à) Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 1
0
, ïîëó÷èì
.53595945
2445
aaaaaa =××=×=
Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ âûíåñåíèåì ìíî-
æèòåëÿ èç-ïîä çíàêà êîðíÿ.
á) Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 3
0
, èìååì
==
÷
ø
ö
ç
è
æ
3
52
5
3
2
)(
aa
.
3
10
a=
Óïðîñòèì ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå, äëÿ ÷åãî
âûíåñåì ìíîæèòåëü çà çíàê êîðíÿ. Òîãäà
=
3
10
a
.
3
3
3
3
9
3
9
aaaaaa =×=×=
â) Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå
,
3
2
xx
äëÿ ÷åãî âîñ-
=
45a
5
ÖÖ
ÖÖ
Ö
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
97
96
ïîëüçóåìñÿ âíåñåíèåì ìíîæèòåëÿ ïîä çíàê êîðíÿ:
.
)
(
3
7
3
6
3
3
6
3
3
32
3
2
xxxxxxxxx =×=×=×=
Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 4
0
, èìååì
.
12
7
4
3
7
xx =
ã) Â ñèëó ñâîéñòâà 5
0
ïîêàçàòåëü êîðíÿ è ïîêàçàòåëü
ñòåïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ ìîæíî ðàçäåëèòü íà
îäíî è òî æå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ðàçäåëèâ óêàçàííûå
ïîêàçàòåëè íà 3, ïîëó÷èì
==
10
3
30
9
22
.8
10
=
ä) Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 1
0
, äëÿ ïåðåìíîæåíèÿ êîð-
íåé îäíîé è òîé æå ñòåïåíè äîñòàòî÷íî ïåðåìíîæèòü
ïîäêîðåííûå âûðàæåíèÿ è èç ïîëó÷åííîãî ðåçóëü-
òàòà èçâëå÷ü êîðåíü òîé æå ñòåïåíè. Çíà÷èò,
.
5
3
5
2
5
2
5
aaaaa =×=×
å) Ïðåæäå âñåãî íóæíî ïðèâåñòè ðàäèêàëû ê îä-
íîìó ïîêàçàòåëþ. Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 5
0
, ìû ìîæåì
ïîêàçàòåëü êîðíÿ è ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïîäêîðåííî-
ãî âûðàæåíèÿ óìíîæèòü íà îäíî è òî æå íàòóðàëü-
íîå ÷èñëî. Ïîýòîìó
.
6
2
3
aa =
Äàëåå èìååì
´
6
2
a
.
6
3
6
aa =´
Ðàçäåëèâ òåïåðü ïîêàçàòåëè êîðíÿ è ñòå-
ïåíè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ íà 3, ïîëó÷èì
=
6
3
a
.a=
n
Íà ïðàêòèêå ïðè âûïîëíåíèè äåéñòâèé íàä ðà-
äèêàëàìè äîâîëüíî ÷àñòî ïåðåõîäÿò ê äðîáíûì ïî-
êàçàòåëÿì. Íàïðèìåð,
.
24
23
24
23
12
7
8
3
12
7
8
3
12
7
8
3
xxxxxxx ===×=×
+
§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
70. Ïðîñòåéøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ àðèôìåòè÷åñ-
êèõ êîðíåé (ðàäèêàëîâ). Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè
àðèôìåòè÷åñêèõ êîðíåé èñïîëüçóþòñÿ èõ ñâîéñòâà
1
0
5
0
(ñì. ï. 37).
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå:
à)
;45
5
a
á)
;
5
3
2
÷
ø
ö
ç
è
æ
a
â)
;
4
3
2
xx
ã)
;2
30
9
ä) ×
5
a
;
5
2
a
å)
63
aa ×
(âñå ïåðåìåííûå ñ÷èòàþòñÿ
ïðèíèìàþùèìè òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ).
q à) Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 1
0
, ïîëó÷èì
.53595945
2445
aaaaaa =××=×=
Òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ âûíåñåíèåì ìíî-
æèòåëÿ èç-ïîä çíàêà êîðíÿ.
á) Ñîãëàñíî ñâîéñòâó 3
0
, èìååì
==
÷
ø
ö
ç
è
æ
3
52
5
3
2
)(
aa
.
3
10
a=
Óïðîñòèì ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå, äëÿ ÷åãî
âûíåñåì ìíîæèòåëü çà çíàê êîðíÿ. Òîãäà
=
3
10
a
.
3
3
3
3
9
3
9
aaaaaa =×=×=
â) Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå
,
3
2
xx
äëÿ ÷åãî âîñ-
=
45a
5
ÖÖ
ÖÖ
Ö