Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
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ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
107
106
ìàíòèññà ëîãàðèôìà íå èçìåíèòñÿ, èíûìè ñëîâàìè,
alg
è
)10(lg
k
a
×
èìåþò îäèíàêîâûå ìàíòèññû.
§ 10. Ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè è èõ
èñïîëüçîâàíèå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé
78. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå âûðàæåíèÿ. Âûðàæåíèå,
â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ ñîäåðæèòñÿ ïîä çíàêàìè òðè-
ãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, íàçûâàþò òðèãîíîìåò-
ðè÷åñêèì. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
âûðàæåíèé èñïîëüçóþò ñâîéñòâà òðèãîíîìåòðè÷åñ-
êèõ ôóíêöèé, îòìå÷åííûå â ïï. 120125 è ôîðìóëû
òðèãîíîìåòðèè, óêàçàííûå â ïï. 7987.
79. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåí-
òîâ. Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë
a
è
b
ñïðà-
âåäëèâû ôîðìóëû
,sinsincoscos)(cos ba-ba=b+a
(1)
,sinsincoscos)(cos ba+ba=b-a
(2)
,sincoscossin)(sin ba+ba=b+a
(3)
,sincoscossin)(sin ba-ba=b-a
(4)
,
tgtg1
tgtg
)
(
tg
b
a-
b
+a
=
b
+a
(5)
,
tgtg1
tgtg
)
(
tg
b
a+
b
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=
b
-a
(6)
êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ñëîæåíèÿ è âû-
÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ.
Ôîðìóëà (5) âåðíà ïðè
,,, b+aba
îòëè÷íûõ îò
,,
2
ZÎp+
p
kk
à ôîðìóëà (6) ïðè
,,, b-aba
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ëè÷íûõ îò
.,
2
ZÎp+
p
kk
Ï ð è ì å ð 1. Âû÷èñëèòü
.75sin
o
q Èìååì
).4530(sin75sin
ooo
+=
Âîñïîëüçîâàâ-
øèñü ôîðìóëîé (3) ïðè
,45,30
oo
=b=a
ïîëó÷èì
.45sin30cos45cos30sin)4530(sin
oooooo
+=+
Èçâåñòíî, ÷òî
,
2
2
45sin45cos,
2
1
30sin
===
ooo
2
3
30cos
=
o
(ñì. ï. 118). Çíà÷èò,
)
4530
(
sin75sin
ooo
+=
.
4
62
2
2
2
3
2
2
2
1 +
=×+×=
n
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè
,
4
tg
÷
ø
ö
ç
è
æ
a+
p
åñëè
.
4
3
tg =a
q Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (5) è òåì, ÷òî
.1
4
tg =
p
Èìååì
.7
4
3
1
4
3
1
tg1
tg1
tg
4
tg1
tg
4
tg
4
tg =
-
+
=
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a+
=
a
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-
a+
p
=
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ö
ç
è
æ
a+
p
n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
107
106
ìàíòèññà ëîãàðèôìà íå èçìåíèòñÿ, èíûìè ñëîâàìè,
alg
è
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k
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×
èìåþò îäèíàêîâûå ìàíòèññû.
§ 10. Ôîðìóëû òðèãîíîìåòðèè è èõ
èñïîëüçîâàíèå äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ âûðàæåíèé
78. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå âûðàæåíèÿ. Âûðàæåíèå,
â êîòîðîì ïåðåìåííàÿ ñîäåðæèòñÿ ïîä çíàêàìè òðè-
ãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, íàçûâàþò òðèãîíîìåò-
ðè÷åñêèì. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
âûðàæåíèé èñïîëüçóþò ñâîéñòâà òðèãîíîìåòðè÷åñ-
êèõ ôóíêöèé, îòìå÷åííûå â ïï. 120125 è ôîðìóëû
òðèãîíîìåòðèè, óêàçàííûå â ïï. 7987.
79. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ àðãóìåí-
òîâ. Äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë
a
è
b
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âåäëèâû ôîðìóëû
,sinsincoscos)(cos ba-ba=b+a
(1)
,sinsincoscos)(cos ba+ba=b-a
(2)
,sincoscossin)(sin ba+ba=b+a
(3)
,sincoscossin)(sin ba-ba=b-a
(4)
,
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)
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b
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b
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=
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(5)
,
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(6)
êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ñëîæåíèÿ è âû-
÷èòàíèÿ àðãóìåíòîâ.
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ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
109
108
80. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ. Ïîä ôîðìóëàìè ïðè-
âåäåíèÿ ïîíèìàþò îáû÷íî ôîðìóëû, ïîçâîëÿþùèå
ñâåñòè çíà÷åíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè àðãó-
ìåíòà âèäà
,,
2
ZÎa±
p
n
n
ê ôóíêöèè àðãóìåíòà
.a
Ïóñòü, íàïðèìåð, íóæíî âû÷èñëèòü
.
2
sin
÷
ø
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è
æ
a+
p
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=a
p
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ö
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2
coscos
2
sin
2
sin
.cossin0cos1 a=a×+a×=
Ïîäîáíûì æå îáðàçîì âûâîäÿòñÿ è îñòàëüíûå
ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ, êîòîðûå äàíû â ñëåäóþùåé òàá-
ëèöå:
Äëÿ îáëåã÷åíèÿ çàïîìèíàíèÿ ôîðìóë ïðèâåäåíèÿ
èñïîëüçóþò ñëåäóþùåå ïðàâèëî:
1.  ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû ñòàâÿò òîò çíàê, êîòî-
ðûé èìåëà áû ëåâàÿ ÷àñòü ïðè óñëîâèè
.
2
0
p
<a<
2. Åñëè â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû óãîë ðàâåí
a±
p
2
èëè
,
2
3
a±
p
òî ñèíóñ çàìåíÿþò íà êîñèíóñ, òàíãåíñ
íà êîòàíãåíñ è íàîáîðîò; åñëè æå óãîë ðàâåí
a±p
èëè
,2 a-p
òî çàìåíû íå ïðîèñõîäèò.
81. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè
ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà. Åñëè â ôîð-
ìóëå (2) èç ï. 79 ïîëîæèòü
,t=b=a
òî ïîëó÷èì
,1sincos
22
=+ tt
(1)
îòêóäà â ñâîþ î÷åðåäü íàõîäèì
,
cos
1
tg1
2
2
t
t =+
(2)
.
sin
1
ctg1
2
2
t
t =+
(3)
Òîæäåñòâî (2) ñïðàâåäëèâî ïðè
,,
2
ZÎp+
p
¹ nnt
à
òîæäåñòâî (3) ïðè
., ZÎp¹ nnt
Ðàâåíñòâà (1), (2), (3) ñâÿçûâàþò ìåæäó ñîáîé ðàç-
ëè÷íûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îäíîãî è òîãî
Àðãóìåíò t
Ôóíêöèÿ
acos
acos
actg
asin
a+
p
2
asin
a- sin
a- cos
a-
p
2
a-p
a+p
a-
p
2
3
a+
p
2
3
a-p2
a- cos
a- sin
a- sin a- cos
a- cos
a-
sin
asin
acos
a- ctg
a- ctg
a- tg
a- tg
actg
atg
atg
a- tg
a- ctg
actg
atg a- tg a- ctg
tsin
tcos
ttg
tctg
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
109
108
80. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ. Ïîä ôîðìóëàìè ïðè-
âåäåíèÿ ïîíèìàþò îáû÷íî ôîðìóëû, ïîçâîëÿþùèå
ñâåñòè çíà÷åíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè àðãó-
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2
sin
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.cossin0cos1 a=a×+a×=
Ïîäîáíûì æå îáðàçîì âûâîäÿòñÿ è îñòàëüíûå
ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ, êîòîðûå äàíû â ñëåäóþùåé òàá-
ëèöå:
Äëÿ îáëåã÷åíèÿ çàïîìèíàíèÿ ôîðìóë ïðèâåäåíèÿ
èñïîëüçóþò ñëåäóþùåå ïðàâèëî:
1.  ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû ñòàâÿò òîò çíàê, êîòî-
ðûé èìåëà áû ëåâàÿ ÷àñòü ïðè óñëîâèè
.
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2. Åñëè â ëåâîé ÷àñòè ôîðìóëû óãîë ðàâåí
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òî ñèíóñ çàìåíÿþò íà êîñèíóñ, òàíãåíñ
íà êîòàíãåíñ è íàîáîðîò; åñëè æå óãîë ðàâåí
a±p
èëè
,2 a-p
òî çàìåíû íå ïðîèñõîäèò.
81. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè
ôóíêöèÿìè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà. Åñëè â ôîð-
ìóëå (2) èç ï. 79 ïîëîæèòü
,t=b=a
òî ïîëó÷èì
,1sincos
22
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(1)
îòêóäà â ñâîþ î÷åðåäü íàõîäèì
,
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., ZÎp¹ nnt
Ðàâåíñòâà (1), (2), (3) ñâÿçûâàþò ìåæäó ñîáîé ðàç-
ëè÷íûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îäíîãî è òîãî
Àðãóìåíò t
Ôóíêöèÿ
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acos
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a- ctg
a- ctg
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a- tg
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atg
a- tg
a- ctg
actg
atg a- tg a- ctg
tsin
tcos
ttg
tctg
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
111
110
æå àðãóìåíòà. Èçâåñòíû åùå äâà ðàâåíñòâà, ñâÿçûâà-
þùèå ìåæäó ñîáîé ðàçëè÷íûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå
ôóíêöèè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà:
.
sin
cos
ctg,
cos
sin
tg
t
t
t
t
t
t ==
Ïåðåìíîæàÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå
,1ctgtg =× tt
(4)
ñïðàâåäëèâîå ïðè
.,
2
ZÎ
p
¹ k
k
t
Ï ð è ì å ð. Èçâåñòíî, ÷òî
,
5
3
sin -=t
ïðè÷åì
.
2
3p
<<p t
Íàéòè
.ctg,tg,cos ttt
q Èç ôîðìóëû (1) ñëåäóåò, ÷òî
.sin1cos
22
tt -=
Ïîäñòàâèâ âìåñòî
tsin
åãî çíà÷åíèå, ïîëó÷èì
.
25
16
25
9
1
5
3
1cos
2
2
=-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
--=t
Òàê êàê
,
25
16
cos
2
=t òî ëèáî
,
5
4
cos =t
ëèáî
.
5
4
cos -=t
Ïî óñëîâèþ,
,
2
3p
<<p t
ò.å. àðãóìåíò t
ïðèíàäëåæèò III ÷åòâåðòè. Íî â III ÷åòâåðòè êîñèíóñ
îòðèöàòåëåí, ïîýòîìó èç äâóõ óêàçàííûõ âûøå âîç-
ìîæíîñòåé âûáèðàåì îäíó:
.
5
4
cos -=t
Çíàÿ
tsin
è
,cos t
íàõîäèì
ttg
è
:ctg t
.
3
4
ctg,
4
3
5
4
5
3
cos
sin
tg ==
-
-
== t
t
t
t
Èòàê,
.
3
4
ctg,
4
3
tg,
5
4
cos ==-= ttt
n
82. Ôîðìóëû äâîéíîãî óãëà. Åñëè â ôîðìóëàõ
(3), (1), (5) èç ï. 79 ïîëîæèòü
,, tt =b=a
òî ïîëó÷èì
ñëåäóþùèå òîæäåñòâà:
,cossin22sin ttt =
(1)
,sincos2cos
22
ttt -=
(2)
.
tg1
tg2
2tg
2
t
t
t
-
=
(3)
Ôîðìóëà (3) âåðíà ïðè
.,
24
ZÎ
p
+
p
¹ k
k
t
Ñîîòíîøåíèÿ (1), (2) è (3) íàçûâàþò ôîðìóëàìè
äâîéíîãî óãëà. Ñ èõ ïîìîùüþ ñèíóñ, êîñèíóñ, òàí-
ãåíñ ëþáîãî àðãóìåíòà ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç òðèãî-
íîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè âäâîå ìåíüøåãî àðãóìåíòà.
Íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
.4sin4cos8cos,
2
5
cos
2
5
sin25sin
22
ttt
tt
t --=
 ðÿäå ñëó÷àåâ ïîëåçíûì îêàçûâàåòñÿ èñïîëüçî-
âàíèå ïîëó÷åííûõ ôîðìóë «ñïðàâà íàëåâî», ò.å. çà-
ìåíà âûðàæåíèÿ
tt cossin2
âûðàæåíèåì
,2sin t
âû-
=
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
111
110
æå àðãóìåíòà. Èçâåñòíû åùå äâà ðàâåíñòâà, ñâÿçûâà-
þùèå ìåæäó ñîáîé ðàçëè÷íûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå
ôóíêöèè îäíîãî è òîãî æå àðãóìåíòà:
.
sin
cos
ctg,
cos
sin
tg
t
t
t
t
t
t ==
Ïåðåìíîæàÿ ýòè ðàâåíñòâà, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå
,1ctgtg =× tt
(4)
ñïðàâåäëèâîå ïðè
.,
2
ZÎ
p
¹ k
k
t
Ï ð è ì å ð. Èçâåñòíî, ÷òî
,
5
3
sin -=t
ïðè÷åì
.
2
3p
<<p t
Íàéòè
.ctg,tg,cos ttt
q Èç ôîðìóëû (1) ñëåäóåò, ÷òî
.sin1cos
22
tt -=
Ïîäñòàâèâ âìåñòî
tsin
åãî çíà÷åíèå, ïîëó÷èì
.
25
16
25
9
1
5
3
1cos
2
2
=-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
--=t
Òàê êàê
,
25
16
cos
2
=t òî ëèáî
,
5
4
cos =t
ëèáî
.
5
4
cos -=t
Ïî óñëîâèþ,
,
2
3p
<<p t
ò.å. àðãóìåíò t
ïðèíàäëåæèò III ÷åòâåðòè. Íî â III ÷åòâåðòè êîñèíóñ
îòðèöàòåëåí, ïîýòîìó èç äâóõ óêàçàííûõ âûøå âîç-
ìîæíîñòåé âûáèðàåì îäíó:
.
5
4
cos -=t
Çíàÿ
tsin
è
,cos t
íàõîäèì
ttg
è
:ctg t
.
3
4
ctg,
4
3
5
4
5
3
cos
sin
tg ==
-
-
== t
t
t
t
Èòàê,
.
3
4
ctg,
4
3
tg,
5
4
cos ==-= ttt
n
82. Ôîðìóëû äâîéíîãî óãëà. Åñëè â ôîðìóëàõ
(3), (1), (5) èç ï. 79 ïîëîæèòü
,, tt =b=a
òî ïîëó÷èì
ñëåäóþùèå òîæäåñòâà:
,cossin22sin ttt =
(1)
,sincos2cos
22
ttt -=
(2)
.
tg1
tg2
2tg
2
t
t
t
-
=
(3)
Ôîðìóëà (3) âåðíà ïðè
.,
24
ZÎ
p
+
p
¹ k
k
t
Ñîîòíîøåíèÿ (1), (2) è (3) íàçûâàþò ôîðìóëàìè
äâîéíîãî óãëà. Ñ èõ ïîìîùüþ ñèíóñ, êîñèíóñ, òàí-
ãåíñ ëþáîãî àðãóìåíòà ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç òðèãî-
íîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè âäâîå ìåíüøåãî àðãóìåíòà.
Íàïðèìåð, ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
.4sin4cos8cos,
2
5
cos
2
5
sin25sin
22
ttt
tt
t --=
 ðÿäå ñëó÷àåâ ïîëåçíûì îêàçûâàåòñÿ èñïîëüçî-
âàíèå ïîëó÷åííûõ ôîðìóë «ñïðàâà íàëåâî», ò.å. çà-
ìåíà âûðàæåíèÿ
tt cossin2
âûðàæåíèåì
,2sin t
âû-
=
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
113
112
ðàæåíèÿ
tt
22
sincos
-
âûðàæåíèåì
t2cos
è, íàêî-
íåö, âûðàæåíèÿ
t
t
2
tg1
tg2
-
âûðàæåíèåì
.2tg t
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
.ctgtg tt -
q
=
-
=-=-
tt
tt
t
t
t
t
tt
cossin
cossin
sin
cos
cos
sin
ctgtg
22
.2ctg2
2sin
2cos
2
2sin
2
1
sincos
22
t
t
t
t
tt
-=-=
-
-=
n
83. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè. Çíàÿ, ÷òî
1sincos
22
=+ tt
(ñì. ï. 81), à
ttt 2cossincos
22
=-
(ñì. ï. 82), íàõîäèì
.
2
2cos1
cos
2
t
t
+
=
(1)
Àíàëîãè÷íî íàõîäèì
.
2
2cos1
sin
2
t
t
-
=
(2)
Ôîðìóëû (1) è (2) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ïîíèæå-
íèÿ ñòåïåíè. Îíè ïîçâîëÿþò ïðåîáðàçîâàòü
t
2
sin
è
t
2
cos
â âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðâóþ ñòåïåíü
êîñèíóñà äâîéíîãî àðãóìåíòà. Íàïðèìåð, ñïðàâåäëè-
âû ðàâåíñòâà
.
2
2
3
2
cos1
3
cos,
2
cos1
2
sin
22
÷
ø
ö
ç
è
æ
a+
p
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
a+
p-
=
xx
Ôîðìóëû (1) è (2) èñïîëüçóþòñÿ è «ñïðàâà íàëå-
âî» äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóìì
tt 2cos1,2cos1 -+
â
ïðîèçâåäåíèÿ. Íàïðèìåð, âåðíû ðàâåíñòâà
.
2
sin2)(cos1,
2
5
cos25cos1
22
b+a
=b+a-=+
x
x
Ï ð è ì å ð 1. Äîêàçàòü òîæäåñòâî
.
cos1
sin
2
tg
t
tt
+
=
q Çíàìåíàòåëü ïðàâîé ÷àñòè ïðåîáðàçóåì ïî ôîð-
ìóëå (1), à ÷èñëèòåëü ïî ôîðìóëå ñèíóñà äâîéíîãî
óãëà (ñì. ï. 82). Ïîëó÷èì ðàâåíñòâî
,
2
2
cos
2
sin
2
cos2
2
cos
2
sin2
cos1
sin
2
t
tg
t
t
t
tt
t
t
===
+
n
ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõ
.,2 ZÎp+p¹ kkt
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü
,cossin
44
xx +
åñëè
èçâåñòíî, ÷òî
.
13
5
2cos =x
q Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî
224
)(sinsin
xx =
è
,)(coscos
224
xx =
ïðèìåíèì ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ
ñòåïåíè:
=+=+
222244
)(cos)(sincossin
xxxx
=
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
4
2cos22
2
2cos1
2
2cos1
2
22
xxx
tg
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
113
112
ðàæåíèÿ
tt
22
sincos
-
âûðàæåíèåì
t2cos
è, íàêî-
íåö, âûðàæåíèÿ
t
t
2
tg1
tg2
-
âûðàæåíèåì
.2tg t
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
.ctgtg tt -
q
=
-
=-=-
tt
tt
t
t
t
t
tt
cossin
cossin
sin
cos
cos
sin
ctgtg
22
.2ctg2
2sin
2cos
2
2sin
2
1
sincos
22
t
t
t
t
tt
-=-=
-
-=
n
83. Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè. Çíàÿ, ÷òî
1sincos
22
=+ tt
(ñì. ï. 81), à
ttt 2cossincos
22
=-
(ñì. ï. 82), íàõîäèì
.
2
2cos1
cos
2
t
t
+
=
(1)
Àíàëîãè÷íî íàõîäèì
.
2
2cos1
sin
2
t
t
-
=
(2)
Ôîðìóëû (1) è (2) íàçûâàþòñÿ ôîðìóëàìè ïîíèæå-
íèÿ ñòåïåíè. Îíè ïîçâîëÿþò ïðåîáðàçîâàòü
t
2
sin
è
t
2
cos
â âûðàæåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðâóþ ñòåïåíü
êîñèíóñà äâîéíîãî àðãóìåíòà. Íàïðèìåð, ñïðàâåäëè-
âû ðàâåíñòâà
.
2
2
3
2
cos1
3
cos,
2
cos1
2
sin
22
÷
ø
ö
ç
è
æ
a+
p
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
a+
p-
=
xx
Ôîðìóëû (1) è (2) èñïîëüçóþòñÿ è «ñïðàâà íàëå-
âî» äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóìì
tt 2cos1,2cos1 -+
â
ïðîèçâåäåíèÿ. Íàïðèìåð, âåðíû ðàâåíñòâà
.
2
sin2)(cos1,
2
5
cos25cos1
22
b+a
=b+a-=+
x
x
Ï ð è ì å ð 1. Äîêàçàòü òîæäåñòâî
.
cos1
sin
2
tg
t
tt
+
=
q Çíàìåíàòåëü ïðàâîé ÷àñòè ïðåîáðàçóåì ïî ôîð-
ìóëå (1), à ÷èñëèòåëü ïî ôîðìóëå ñèíóñà äâîéíîãî
óãëà (ñì. ï. 82). Ïîëó÷èì ðàâåíñòâî
,
2
2
cos
2
sin
2
cos2
2
cos
2
sin2
cos1
sin
2
t
tg
t
t
t
tt
t
t
===
+
n
ñïðàâåäëèâîå ïðè âñåõ
.,2 ZÎp+p¹ kkt
Ï ð è ì å ð 2. Âû÷èñëèòü
,cossin
44
xx +
åñëè
èçâåñòíî, ÷òî
.
13
5
2cos =x
q Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî
224
)(sinsin
xx =
è
,)(coscos
224
xx =
ïðèìåíèì ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ
ñòåïåíè:
=+=+
222244
)(cos)(sincossin
xxxx
=
+
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
4
2cos22
2
2cos1
2
2cos1
2
22
xxx
tg
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
115
114
.
169
97
2
169
25
1
2
2cos1
2
=
+
=
+
=
x
n
84. Âûðàæåíèå
tt, cossin
è
ttg
÷åðåç
.
t
2
tg
Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâà
2
cos
2
sin2sin
tt
t =
è
+
2
cos
2
t
1
2
sin
2
=+
t
(ñì. ïï. 82 è 81), çàïèøåì
.
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin2
2
cos
2
sin2sin
22
tt
tt
tt
t
+
==
Ðàçäåëèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïîñëåäíåé
äðîáè ïî÷ëåííî íà
:
2
cos
2
t
.
2
tg1
2
tg2
sin
2
t
t
t
+
=
(1)
Äàëåå, ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñèëó ôîðìóëû (2) ï. 82
,
2
sin
2
coscos
22
tt
t -=
àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì
.
2
tg1
2
tg1
cos
2
2
t
t
t
+
-
=
(2)
Íàêîíåö, ðàçäåëèâ ðàâåíñòâî (1) íà (2), ïîëó÷èì
.
2
tg1
2
tg2
tg
2
t
t
t
-
=
(3)
Ôîðìóëû (1) (3) ñïðàâåäëèâû ïðè
,)12( p+¹ nt
.ZÎn
Ï ð è ì å ð. Íàéòè
,
sin54
cos32
t
t
-
+
åñëè
.
3
2
2
tg -=
t
q Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (1) è (2), èìååì
,
13
5
9
4
1
9
4
1
cos,
13
12
3
2
1
3
2
2
sin
2
=
+
-
=-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
= tt
îòêóäà
.
112
41
13
60
4
13
15
2
sin54
cos32
=
+
+
=
-
+
t
t
n
85. Ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå. Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå
ôîðìóëû:
,
2
cos
2
sin2sinsin
b
-a
b
+a
=
b
+a
(1)
,
2
cos
2
sin2sinsin
b
+a
b
-a
=
b
-a
(2)
,
2
cos
2
cos2coscos
b
-a
b
+a
=
b
+a
(3)
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 10. Ïðåîáðàçîâàíèå òðèãîíîì. âûðàæåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
115
114
.
169
97
2
169
25
1
2
2cos1
2
=
+
=
+
=
x
n
84. Âûðàæåíèå
tt, cossin
è
ttg
÷åðåç
.
t
2
tg
Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâà
2
cos
2
sin2sin
tt
t =
è
+
2
cos
2
t
1
2
sin
2
=+
t
(ñì. ïï. 82 è 81), çàïèøåì
.
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin2
2
cos
2
sin2sin
22
tt
tt
tt
t
+
==
Ðàçäåëèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ïîñëåäíåé
äðîáè ïî÷ëåííî íà
:
2
cos
2
t
.
2
tg1
2
tg2
sin
2
t
t
t
+
=
(1)
Äàëåå, ó÷èòûâàÿ, ÷òî â ñèëó ôîðìóëû (2) ï. 82
,
2
sin
2
coscos
22
tt
t -=
àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì
.
2
tg1
2
tg1
cos
2
2
t
t
t
+
-
=
(2)
Íàêîíåö, ðàçäåëèâ ðàâåíñòâî (1) íà (2), ïîëó÷èì
.
2
tg1
2
tg2
tg
2
t
t
t
-
=
(3)
Ôîðìóëû (1) (3) ñïðàâåäëèâû ïðè
,)12( p+¹ nt
.ZÎn
Ï ð è ì å ð. Íàéòè
,
sin54
cos32
t
t
-
+
åñëè
.
3
2
2
tg -=
t
q Ñîãëàñíî ôîðìóëàì (1) è (2), èìååì
,
13
5
9
4
1
9
4
1
cos,
13
12
3
2
1
3
2
2
sin
2
=
+
-
=-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-+
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
= tt
îòêóäà
.
112
41
13
60
4
13
15
2
sin54
cos32
=
+
+
=
-
+
t
t
n
85. Ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå. Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå
ôîðìóëû:
,
2
cos
2
sin2sinsin
b
-a
b
+a
=
b
+a
(1)
,
2
cos
2
sin2sinsin
b
+a
b
-a
=
b
-a
(2)
,
2
cos
2
cos2coscos
b
-a
b
+a
=
b
+a
(3)