Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
127126
Åñëè
,0³x
òî
,xx =
ò.å. ïðè
0³x
èìååì
.
xy =
Ãðàôèêîì ôóíêöèè
xy =
ïðè
0³x
ñëóæèò
áèññåêòðèñà I êîîðäèíàòíîãî óãëà. Îòîáðàçèâ åå ñèì-
ìåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè Oy, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóí-
êöèè
xy =
(ðèñ. 16).
á) Èìååì
)
.
(
)
(
)
(
xfxxxxxf -=-=--=-
Çíà-
÷èò, ôóíêöèÿ íå÷åòíà, à ïîòîìó åå ãðàôèê ñèììåò-
ðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.
Åñëè
,0³x
òî
,xx =
à
.
)
(
2
xxxxxxf =×=×=
Òàêèì îáðàçîì, ïðè
0³x
ïîëó÷àåì
.
2
xy =
Ãðàôè-
êîì ÿâëÿåòñÿ âåòâü ïàðàáîëû. Ïðåîáðàçîâàâ åå ñèì-
ìåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, ïîëó÷èì
ãðàôèê ôóíêöèè
xxy =
(ðèñ. 17).n
Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ X êàê ÷åòíîé, òàê è íå÷åò-
íîé ôóíêöèè äîëæíà îáëàäàòü ñëåäóþùèì ñâîé-
ñòâîì: åñëè
,Xx Î
òî è
,Xx Î-
ò.å. X ñèììåò-
ðè÷íîå (îòíîñèòåëüíî O) ìíîæåñòâî.
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ÷åòíîñòü ôóíêöèè:
à)
;
20
xy =
á)
;
13
xy =
â)
.
9
4
2
-
-
=
x
x
y
q à) Èìååì
,)(
20
xxf =
.)()(
2020
xxxf =-=-
Çíà-
÷èò,
)()( xfxf =-
äëÿ âñåõ x. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ.
á) Èìååì
,)(
13
xxf =
.)()(
1313
xxxf -=-=-
Çíà-
÷èò,
)()( xfxf -=-
äëÿ âñåõ x. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ.
â) Èìååì
,
9
4
)
(
2
-
-
=
x
x
xf
=
--
--
=-
9)(
4
)(
2
x
x
xf
.
9
4
2
-
+
-=
x
x
Òàê êàê
)()( xfxf ¹-
è
),()( xfxf --¹-
òî
ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.n
95. Ãðàôèêè ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé. Ãðà-
ôèêè ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé îáëàäàþò ñëåäóþ-
ùèìè îñîáåííîñòÿìè:
Åñëè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, òî åå ãðàôèê
ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò.
Åñëè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé, òî åå ãðàôèê
ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè:
à)
;xy =
á)
.xxy =
q à) Çäåñü
)
.
(
)
(
xfxxxf ==-=-
Çíà÷èò, ôóíê-
öèÿ ÷åòíà, à ïîòîìó åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñè-
òåëüíî îñè îðäèíàò.
Ðèñ. 17Ðèñ. 16
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
127126
Åñëè
,0³x
òî
,xx =
ò.å. ïðè
0³x
èìååì
.
xy =
Ãðàôèêîì ôóíêöèè
xy =
ïðè
0³x
ñëóæèò
áèññåêòðèñà I êîîðäèíàòíîãî óãëà. Îòîáðàçèâ åå ñèì-
ìåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè Oy, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóí-
êöèè
xy =
(ðèñ. 16).
á) Èìååì
)
.
(
)
(
)
(
xfxxxxxf -=-=--=-
Çíà-
÷èò, ôóíêöèÿ íå÷åòíà, à ïîòîìó åå ãðàôèê ñèììåò-
ðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.
Åñëè
,0³x
òî
,xx =
à
.
)
(
2
xxxxxxf =×=×=
Òàêèì îáðàçîì, ïðè
0³x
ïîëó÷àåì
.
2
xy =
Ãðàôè-
êîì ÿâëÿåòñÿ âåòâü ïàðàáîëû. Ïðåîáðàçîâàâ åå ñèì-
ìåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, ïîëó÷èì
ãðàôèê ôóíêöèè
xxy =
(ðèñ. 17).n
Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ X êàê ÷åòíîé, òàê è íå÷åò-
íîé ôóíêöèè äîëæíà îáëàäàòü ñëåäóþùèì ñâîé-
ñòâîì: åñëè
,Xx Î
òî è
,Xx Î-
ò.å. X ñèììåò-
ðè÷íîå (îòíîñèòåëüíî O) ìíîæåñòâî.
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ÷åòíîñòü ôóíêöèè:
à)
;
20
xy =
á)
;
13
xy =
â)
.
9
4
2
-
-
=
x
x
y
q à) Èìååì
,)(
20
xxf =
.)()(
2020
xxxf =-=-
Çíà-
÷èò,
)()( xfxf =-
äëÿ âñåõ x. Ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ.
á) Èìååì
,)(
13
xxf =
.)()(
1313
xxxf -=-=-
Çíà-
÷èò,
)()( xfxf -=-
äëÿ âñåõ x. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ.
â) Èìååì
,
9
4
)
(
2
-
-
=
x
x
xf
=
--
--
=-
9)(
4
)(
2
x
x
xf
.
9
4
2
-
+
-=
x
x
Òàê êàê
)()( xfxf ¹-
è
),()( xfxf --¹-
òî
ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.n
95. Ãðàôèêè ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé. Ãðà-
ôèêè ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé îáëàäàþò ñëåäóþ-
ùèìè îñîáåííîñòÿìè:
Åñëè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé, òî åå ãðàôèê
ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè îðäèíàò.
Åñëè ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé, òî åå ãðàôèê
ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè:
à)
;xy =
á)
.xxy =
q à) Çäåñü
)
.
(
)
(
xfxxxf ==-=-
Çíà÷èò, ôóíê-
öèÿ ÷åòíà, à ïîòîìó åå ãðàôèê ñèììåòðè÷åí îòíîñè-
òåëüíî îñè îðäèíàò.
Ðèñ. 17Ðèñ. 16
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
129128
ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî
,
3
2p
à ïåðèîäîì ôóíêöèè
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+-
43
tg
x
÷èñëî
.3p
97. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè.
Ôóíêöèÿ
)(xf
íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé íà
ïðîìåæóòêå X, åñëè äëÿ ëþáûõ
1
x
è
2
x
èç X
òàêèõ, ÷òî
,
21
xx <
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
)
(
)
(
21
xfxf <
(êîðî÷å:
)
(
)
(
2121
xfxfxx <Þ<
). Ôóí-
êöèÿ
)(xf
íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé íà ïðîìåæóò-
êå X, åñëè äëÿ ëþáûõ
1
x
è
2
x
èç X òàêèõ, ÷òî
,
21
xx <
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
)
(
)
(
21
xfxf >
(êîðî÷å:
)()(
2121
xfxfxx >Þ<
). Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ
âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå X, åñëè, êà-
êèå áû äâà çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà, ïðèíàäëåæàùèå
ýòîìó ïðîìåæóòêó, íè âçÿòü, áîëüøåìó çíà÷åíèþ
àðãóìåíòà ñîîòâåòñòâóåò áîëüøåå (ìåíüøåå) çíà-
÷åíèå ôóíêöèè.
Ïðè äâèæåíèè âäîëü îñè àáñöèññ ñëåâà íàïðàâî
îðäèíàòà ãðàôèêà âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè óâåëè÷è-
âàåòñÿ (ðèñ. 18, à), à îðäèíàòà ãðàôèêà óáûâàþùåé
ôóíêöèè óìåíüøàåòñÿ (ðèñ. 18, á).
Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè îáúåäèíÿ-
þòñÿ òåðìèíîì ìîíîòîííûå ôóíêöèè.
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ìîíîòîííîñòü ôóíê-
öèþ
.32
2
+= xy
96. Ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ
)(xfy =
íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå
îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî T, ÷òî äëÿ ëþáîãî x èç îáëàñ-
òè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
).()()( TxfxfTxf -==+
×èñëî T íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè
).(xfy =
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ó ïåðèîäè÷åñêîé
ôóíêöèè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïåðèîäîâ. Åñëè, íàïðè-
ìåð, T ïåðèîä ôóíêöèè, òî è ÷èñëî âèäà kT, ãäå
k ëþáîå öåëîå ÷èñëî, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì
ôóíêöèè.
×àùå âñåãî (íî íå âñåãäà) ñðåäè ìíîæåñòâà ïîëî-
æèòåëüíûõ ïåðèîäîâ ôóíêöèè ìîæíî íàéòè íàèìåíü-
øèé. Åãî íàçûâàþò îñíîâíûì ïåðèîäîì.
Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò òîëüêî îñíîâíîé ïåðèîä è,
êàê ïðàâèëî, ãîâîðÿò ïðîñòî «ïåðèîä».
Ïðèìåðû ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñ óêàçàíèåì
îñíîâíîãî ïåðèîäà):
}{xy =
ïåðèîä
1=T
(ñì. ï. 113);
xy sin=
ïåðèîä
p= 2T
(ñì. ï. 122);
xy tg=
ïåðèîä
p=T
(ñì. ï. 124);
T.3.1. Åñëè ôóíêöèÿ f ïåðèîäè÷åñêàÿ è èìååò ïåðè-
îä T, òî ôóíêöèÿ
),( bkxAf +
ãäå A, k è b ïîñòî-
ÿííûå, à
,0¹k
òàêæå ïåðèîäè÷åñêàÿ, ïðè÷åì åå
ïåðèîä ðàâåí
.
/
kT
Íàïðèìåð, ïåðèîäîì ôóíêöèè
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
6
3sin2 x
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 11. Ñâîéñòâà ôóíêöèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
129128
ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî
,
3
2p
à ïåðèîäîì ôóíêöèè
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
+-
43
tg
x
÷èñëî
.3p
97. Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè.
Ôóíêöèÿ
)(xf
íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé íà
ïðîìåæóòêå X, åñëè äëÿ ëþáûõ
1
x
è
2
x
èç X
òàêèõ, ÷òî
,
21
xx <
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
)
(
)
(
21
xfxf <
(êîðî÷å:
)
(
)
(
2121
xfxfxx <Þ<
). Ôóí-
êöèÿ
)(xf
íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé íà ïðîìåæóò-
êå X, åñëè äëÿ ëþáûõ
1
x
è
2
x
èç X òàêèõ, ÷òî
,
21
xx <
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
)
(
)
(
21
xfxf >
(êîðî÷å:
)()(
2121
xfxfxx >Þ<
). Èíûìè ñëîâàìè, ôóíêöèÿ
âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå X, åñëè, êà-
êèå áû äâà çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà, ïðèíàäëåæàùèå
ýòîìó ïðîìåæóòêó, íè âçÿòü, áîëüøåìó çíà÷åíèþ
àðãóìåíòà ñîîòâåòñòâóåò áîëüøåå (ìåíüøåå) çíà-
÷åíèå ôóíêöèè.
Ïðè äâèæåíèè âäîëü îñè àáñöèññ ñëåâà íàïðàâî
îðäèíàòà ãðàôèêà âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè óâåëè÷è-
âàåòñÿ (ðèñ. 18, à), à îðäèíàòà ãðàôèêà óáûâàþùåé
ôóíêöèè óìåíüøàåòñÿ (ðèñ. 18, á).
Âîçðàñòàþùèå è óáûâàþùèå ôóíêöèè îáúåäèíÿ-
þòñÿ òåðìèíîì ìîíîòîííûå ôóíêöèè.
Ï ð è ì å ð. Èññëåäîâàòü íà ìîíîòîííîñòü ôóíê-
öèþ
.32
2
+= xy
96. Ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ
)(xfy =
íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå
îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî T, ÷òî äëÿ ëþáîãî x èç îáëàñ-
òè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà
).()()( TxfxfTxf -==+
×èñëî T íàçûâàåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè
).(xfy =
Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ó ïåðèîäè÷åñêîé
ôóíêöèè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïåðèîäîâ. Åñëè, íàïðè-
ìåð, T ïåðèîä ôóíêöèè, òî è ÷èñëî âèäà kT, ãäå
k ëþáîå öåëîå ÷èñëî, òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì
ôóíêöèè.
×àùå âñåãî (íî íå âñåãäà) ñðåäè ìíîæåñòâà ïîëî-
æèòåëüíûõ ïåðèîäîâ ôóíêöèè ìîæíî íàéòè íàèìåíü-
øèé. Åãî íàçûâàþò îñíîâíûì ïåðèîäîì.
Îáû÷íî ðàññìàòðèâàþò òîëüêî îñíîâíîé ïåðèîä è,
êàê ïðàâèëî, ãîâîðÿò ïðîñòî «ïåðèîä».
Ïðèìåðû ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé (ñ óêàçàíèåì
îñíîâíîãî ïåðèîäà):
}{xy =
ïåðèîä
1=T
(ñì. ï. 113);
xy sin=
ïåðèîä
p= 2T
(ñì. ï. 122);
xy tg=
ïåðèîä
p=T
(ñì. ï. 124);
T.3.1. Åñëè ôóíêöèÿ f ïåðèîäè÷åñêàÿ è èìååò ïåðè-
îä T, òî ôóíêöèÿ
),( bkxAf +
ãäå A, k è b ïîñòî-
ÿííûå, à
,0¹k
òàêæå ïåðèîäè÷åñêàÿ, ïðè÷åì åå
ïåðèîä ðàâåí
.
/
kT
Íàïðèìåð, ïåðèîäîì ôóíêöèè
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-
6
3sin2 x
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
131130
99. Ïðÿìàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü. Ãîâîðÿò, ÷òî
ïåðåìåííûå x è y ñâÿçàíû ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëü-
íîé çàâèñèìîñòüþ, åñëè èõ îòíîøåíèå ïîñòîÿííî:
,/ kxy =
ò.å.
.kxy =
Ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñ-
òüþ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé
,kxy =
ãäå
.0¹k
×èñëî k íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïðî-
ïîðöèîíàëüíîñòè.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè
:kxy =
1
0
. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâî R.
2
0
. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, òàê êàê
=-=- )()( xkxf
).(xfkx -=-=
3
0
. Ïðè
0>k
ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, à ïðè
0<k
óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
T.3.2. Ãðàôèêîì ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè
kxy =
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
Íà ðèñ. 19 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèè
kxy =
ïðè k > 0 è k < 0.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
.2xy =
q Äëÿ ïîñòðîåíèÿ èñêîìîé ïðÿìîé äîñòàòî÷íî íàé-
òè îäíó åå òî÷êó, îòëè÷íóþ îò íà÷àëà êîîðäèíàò, è
ïðîâåñòè ïðÿìóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è íàéäåí-
íóþ òî÷êó.  êà÷åñòâå òàêîé òî÷êè âûáåðåì òî÷êó
(1; 2) (åñëè x = 1, òî
212 =×=y
) Ãðàôèê ôóíêöèè
xy 2=
èçîáðàæåí íà ðèñ. 20.n
100. Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Ëèíåéíîé ôóíêöèåé íà-
çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé
,bkxy +=
ãäå
k è b äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Åñëè, â ÷àñòíîñòè,
q Ïóñòü
.
21
xx <
Òîãäà, ñîãëàñíî ñâîéñòâàì ÷èñ-
ëîâûõ íåðàâåíñòâ (ñì. ï. 26) èìååì
x
3
1
< x
3
2
, 2x
3
1
< 2x
3
2 ,
, 2x
3
1
+ 3 < 2x
3
2 ,
+ 3,
ò. å.
<)(
1
xf
f(x
2
).
Èòàê,
),()(
2121
xfxfxx <Þ<
à ýòî çíà÷èò, ÷òî
ôóíêöèÿ
32
2
+= xy
âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé
ïðÿìîé.n
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
98. Ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ. Ïîñòîÿííîé íàçûâà-
åòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé
,by =
ãäå b íå-
êîòîðîå ÷èñëî.
Ãðàôèêîì ïîñòîÿííîé ôóíêöèè
by =
ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè àáñöèññ è ïðîõîäÿùàÿ ÷å-
ðåç òî÷êó (0; b) íà îñè îðäèíàò (ñì. ðèñ. 12).
a)
á)
Ðèñ. 18
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
131130
99. Ïðÿìàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü. Ãîâîðÿò, ÷òî
ïåðåìåííûå x è y ñâÿçàíû ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëü-
íîé çàâèñèìîñòüþ, åñëè èõ îòíîøåíèå ïîñòîÿííî:
,/ kxy =
ò.å.
.kxy =
Ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñ-
òüþ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé
,kxy =
ãäå
.0¹k
×èñëî k íàçûâàåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïðî-
ïîðöèîíàëüíîñòè.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè
:kxy =
1
0
. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâî R.
2
0
. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, òàê êàê
=-=- )()( xkxf
).(xfkx -=-=
3
0
. Ïðè
0>k
ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, à ïðè
0<k
óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
T.3.2. Ãðàôèêîì ïðÿìîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè
kxy =
ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò.
Íà ðèñ. 19 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèè
kxy =
ïðè k > 0 è k < 0.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
.2xy =
q Äëÿ ïîñòðîåíèÿ èñêîìîé ïðÿìîé äîñòàòî÷íî íàé-
òè îäíó åå òî÷êó, îòëè÷íóþ îò íà÷àëà êîîðäèíàò, è
ïðîâåñòè ïðÿìóþ ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è íàéäåí-
íóþ òî÷êó.  êà÷åñòâå òàêîé òî÷êè âûáåðåì òî÷êó
(1; 2) (åñëè x = 1, òî
212 =×=y
) Ãðàôèê ôóíêöèè
xy 2=
èçîáðàæåí íà ðèñ. 20.n
100. Ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Ëèíåéíîé ôóíêöèåé íà-
çûâàåòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé
,bkxy +=
ãäå
k è b äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Åñëè, â ÷àñòíîñòè,
q Ïóñòü
.
21
xx <
Òîãäà, ñîãëàñíî ñâîéñòâàì ÷èñ-
ëîâûõ íåðàâåíñòâ (ñì. ï. 26) èìååì
x
3
1
< x
3
2
, 2x
3
1
< 2x
3
2 ,
, 2x
3
1
+ 3 < 2x
3
2 ,
+ 3,
ò. å.
<)(
1
xf
f(x
2
).
Èòàê,
),()(
2121
xfxfxx <Þ<
à ýòî çíà÷èò, ÷òî
ôóíêöèÿ
32
2
+= xy
âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé
ïðÿìîé.n
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
98. Ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ. Ïîñòîÿííîé íàçûâà-
åòñÿ ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ ôîðìóëîé
,by =
ãäå b íå-
êîòîðîå ÷èñëî.
Ãðàôèêîì ïîñòîÿííîé ôóíêöèè
by =
ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè àáñöèññ è ïðîõîäÿùàÿ ÷å-
ðåç òî÷êó (0; b) íà îñè îðäèíàò (ñì. ðèñ. 12).
a)
á)
Ðèñ. 18
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
133132
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
.45,0 +-= xy
q Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðÿ-
ìàÿ, à äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ äîñòàòî÷íî çíàòü äâå òî÷êè
ýòîé ïðÿìîé.
Ïðè x = 0 èìååì y = 4, à ïðè x = 4 ïîëó÷èì y = 2.
Îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷êè (0; 4) è
(4; 2), ïðîâåäåì ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ (ðèñ. 22).n
101. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ãðàôèêîâ ëèíåé-
íûõ ôóíêöèé. Ïóñòü äàíû äâå ëèíåéíûå ôóíêöèè
11
bxky +=
è
.
22
bxky +=
Èõ ãðàôèêàìè ñëóæàò ïðÿ-
ìûå (ñì. ï. 100). Ýòè ïðÿìûå
ïåðåñåêàþòñÿ, åñëè
21
kk ¹
(ðèñ. 23, à). Ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, åñëè
.
21
kk =
Ïîñëåäíèé ñëó÷àé, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæíî
k = 0, òî ïîëó÷àåì ïîñòîÿííóþ ôóíêöèþ y = b; åñëè
b = 0, òî ïîëó÷àåì ïðÿìóþ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü
y = kx.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ëèíåéíîé ôóíêöèè ó = kx +
b+
ïðè
:0,0 ¹¹ bk
1
0
. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâî R.
2
0
. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ.
3
0
. Ïðè
0>k
ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, à ïðè
0<k
óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
T.3.3. Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè
bkxy +=
ÿâëÿ-
åòñÿ ïðÿìàÿ.
Íà ðèñ. 21 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè
.bkxy +=
Ýòî ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ ïðÿìîé, ñëóæà-
ùåé ãðàôèêîì ôóíêöèè
,kxy =
è ïðîõîäÿùàÿ ÷å-
ðåç òî÷êó (0; b) íà îñè îðäèíàò.
×èñëî k íàçûâàåòñÿ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì
ïðÿìîé, îíî ðàâíî òàíãåíñó óãëà
a
ìåæäó ïðÿìîé è
ïîëîæèòåëüíûì ëó÷îì îñè Ox, ò.å.
.tg a=k
Ðèñ.20Ðèñ. 19
Ðèñ.21 Ðèñ.22
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
133132
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
.45,0 +-= xy
q Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðÿ-
ìàÿ, à äëÿ åå ïîñòðîåíèÿ äîñòàòî÷íî çíàòü äâå òî÷êè
ýòîé ïðÿìîé.
Ïðè x = 0 èìååì y = 4, à ïðè x = 4 ïîëó÷èì y = 2.
Îòìåòèâ íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷êè (0; 4) è
(4; 2), ïðîâåäåì ÷åðåç íèõ ïðÿìóþ (ðèñ. 22).n
101. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ãðàôèêîâ ëèíåé-
íûõ ôóíêöèé. Ïóñòü äàíû äâå ëèíåéíûå ôóíêöèè
11
bxky +=
è
.
22
bxky +=
Èõ ãðàôèêàìè ñëóæàò ïðÿ-
ìûå (ñì. ï. 100). Ýòè ïðÿìûå
ïåðåñåêàþòñÿ, åñëè
21
kk ¹
(ðèñ. 23, à). Ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, åñëè
.
21
kk =
Ïîñëåäíèé ñëó÷àé, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæíî
k = 0, òî ïîëó÷àåì ïîñòîÿííóþ ôóíêöèþ y = b; åñëè
b = 0, òî ïîëó÷àåì ïðÿìóþ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü
y = kx.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ëèíåéíîé ôóíêöèè ó = kx +
b+
ïðè
:0,0 ¹¹ bk
1
0
. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâî R.
2
0
. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ.
3
0
. Ïðè
0>k
ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, à ïðè
0<k
óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.
T.3.3. Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè
bkxy +=
ÿâëÿ-
åòñÿ ïðÿìàÿ.
Íà ðèñ. 21 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè
.bkxy +=
Ýòî ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ ïðÿìîé, ñëóæà-
ùåé ãðàôèêîì ôóíêöèè
,kxy =
è ïðîõîäÿùàÿ ÷å-
ðåç òî÷êó (0; b) íà îñè îðäèíàò.
×èñëî k íàçûâàåòñÿ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì
ïðÿìîé, îíî ðàâíî òàíãåíñó óãëà
a
ìåæäó ïðÿìîé è
ïîëîæèòåëüíûì ëó÷îì îñè Ox, ò.å.
.tg a=k
Ðèñ.20Ðèñ. 19
Ðèñ.21 Ðèñ.22
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
135134
3
0
. Åñëè k > 0, òî ôóíêöèÿ óáûâàåò íà
)0,( ¥-
è íà
).,0( ¥+
Åñëè k < 0, òî ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà
)0,( ¥-
è íà
).,0( ¥+
4
0
. Îñè êîîðäèíàò, ò. å. ïðÿìûå x = 0 è y = 0, ÿâëÿ-
þòñÿ âåðòèêàëüíîé è ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòàìè
ãðàôèêà ôóíêöèè (ñì. ïï. 215 è 218).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåòâè ãðàôèêà íåîãðàíè÷åííî
(àñèìïòîòè÷åñêè) ïðèáëèæàþòñÿ ê îñÿì êîîðäèíàò.
Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = 1/x. Äëÿ ýòîãî
ñíà÷àëà ïîñòðîèì âåòâü ãðàôèêà íà ïðîìåæóòêå
),,0( ¥+
ñîñòàâèâ òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè:
;4,4/1 == yx
;2,2/1 == yx
;1,1 == yx
x = 2,
;2/1=y
.4/1,4 == yx
Íàíåñåì ïîëó÷åííûå òî÷êè
íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü è ñîåäèíèì èõ ïëàâíîé
êðèâîé. Ýòî âåòâü ãðàôèêà ôóíêöèè
xy /1=
íà ïðî-
ìåæóòêå
).,0( ¥+
Âîñïîëüçóåìñÿ íå÷åòíîñòüþ ôóíêöèè
xy /1=
è
ê ïîñòðîåííîé âåòâè äîáàâèì âåòâü, ñèììåòðè÷íóþ
åé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîëó÷èì ãðàôèê
ôóíêöèè
xy /1=
(ðèñ. 24).
Àíàëîãè÷íûé âèä èìååò ãðàôèê ôóíêöèè
xky /=
ïðè ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì k. Íà ðèñ. 25
èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè
./2 xy =
Åñëè
,0<k
òî âåòâè ãðàôèêà îáðàòíîé ïðîïîð-
öèîíàëüíîñòè ðàñïîëîæåíû íå â I è III êîîðäèíàò-
íûõ ÷åòâåðòÿõ, êàê â ñëó÷àå, êîãäà
,0>k
à âî II è IV
÷åòâåðòÿõ. Íà ðèñ. 26 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíê-
öèé
,/1 xy -=
./2 xy -=
ðàçáèòü íà äâà: åñëè
21
kk =
è
,
21
bb =
òî ïðÿìûå
ñîâïàäàþò; åñëè
21
kk =
è
,
21
bb ¹
òî ïðÿìûå ïà-
ðàëëåëüíû è íå ñîâïàäàþò (ðèñ. 23, á).
102. Îáðàòíàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü. Ãîâîðÿò, ÷òî
ïåðåìåííûå x è y ñâÿçàíû îáðàòíîé ïðîïîðöèî-
íàëüíîé çàâèñèìîñòüþ, åñëè èõ ïðîèçâåäåíèå ïî-
ñòîÿííî: xy = k, ò.å. y = k/x. Îáðàòíîé ïðîïîðöèî-
íàëüíîñòüþ íàçûâàþò ôóíêöèþ, çàäàííóþ ôîðìó-
ëîé y = k/x, ãäå
.0¹k
×èñëî k íàçûâàþò êîýôôèöè-
åíòîì îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = k/x:
1
0
. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâî R áåç òî÷-
êè x = 0.
2
0
. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, ïîñêîëüêó f ( x) = k/(x) =
= k/x = f (x).
a)
á)
Ðèñ.23
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 12. Âèäû ôóíêöèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
135134
3
0
. Åñëè k > 0, òî ôóíêöèÿ óáûâàåò íà
)0,( ¥-
è íà
).,0( ¥+
Åñëè k < 0, òî ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà
)0,( ¥-
è íà
).,0( ¥+
4
0
. Îñè êîîðäèíàò, ò. å. ïðÿìûå x = 0 è y = 0, ÿâëÿ-
þòñÿ âåðòèêàëüíîé è ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòàìè
ãðàôèêà ôóíêöèè (ñì. ïï. 215 è 218).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåòâè ãðàôèêà íåîãðàíè÷åííî
(àñèìïòîòè÷åñêè) ïðèáëèæàþòñÿ ê îñÿì êîîðäèíàò.
Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = 1/x. Äëÿ ýòîãî
ñíà÷àëà ïîñòðîèì âåòâü ãðàôèêà íà ïðîìåæóòêå
),,0( ¥+
ñîñòàâèâ òàáëèöó çíà÷åíèé ôóíêöèè:
;4,4/1 == yx
;2,2/1 == yx
;1,1 == yx
x = 2,
;2/1=y
.4/1,4 == yx
Íàíåñåì ïîëó÷åííûå òî÷êè
íà êîîðäèíàòíóþ ïëîñêîñòü è ñîåäèíèì èõ ïëàâíîé
êðèâîé. Ýòî âåòâü ãðàôèêà ôóíêöèè
xy /1=
íà ïðî-
ìåæóòêå
).,0( ¥+
Âîñïîëüçóåìñÿ íå÷åòíîñòüþ ôóíêöèè
xy /1=
è
ê ïîñòðîåííîé âåòâè äîáàâèì âåòâü, ñèììåòðè÷íóþ
åé îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïîëó÷èì ãðàôèê
ôóíêöèè
xy /1=
(ðèñ. 24).
Àíàëîãè÷íûé âèä èìååò ãðàôèê ôóíêöèè
xky /=
ïðè ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì k. Íà ðèñ. 25
èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè
./2 xy =
Åñëè
,0<k
òî âåòâè ãðàôèêà îáðàòíîé ïðîïîð-
öèîíàëüíîñòè ðàñïîëîæåíû íå â I è III êîîðäèíàò-
íûõ ÷åòâåðòÿõ, êàê â ñëó÷àå, êîãäà
,0>k
à âî II è IV
÷åòâåðòÿõ. Íà ðèñ. 26 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíê-
öèé
,/1 xy -=
./2 xy -=
ðàçáèòü íà äâà: åñëè
21
kk =
è
,
21
bb =
òî ïðÿìûå
ñîâïàäàþò; åñëè
21
kk =
è
,
21
bb ¹
òî ïðÿìûå ïà-
ðàëëåëüíû è íå ñîâïàäàþò (ðèñ. 23, á).
102. Îáðàòíàÿ ïðîïîðöèîíàëüíîñòü. Ãîâîðÿò, ÷òî
ïåðåìåííûå x è y ñâÿçàíû îáðàòíîé ïðîïîðöèî-
íàëüíîé çàâèñèìîñòüþ, åñëè èõ ïðîèçâåäåíèå ïî-
ñòîÿííî: xy = k, ò.å. y = k/x. Îáðàòíîé ïðîïîðöèî-
íàëüíîñòüþ íàçûâàþò ôóíêöèþ, çàäàííóþ ôîðìó-
ëîé y = k/x, ãäå
.0¹k
×èñëî k íàçûâàþò êîýôôèöè-
åíòîì îáðàòíîé ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.
Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè y = k/x:
1
0
. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâî R áåç òî÷-
êè x = 0.
2
0
. Ôóíêöèÿ íå÷åòíàÿ, ïîñêîëüêó f ( x) = k/(x) =
= k/x = f (x).
a)
á)
Ðèñ.23