Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
99
98
72. Ïðåîáðàçîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ âûðàæå-
íèé. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ èððàöèîíàëüíûõ âûðà-
æåíèé èñïîëüçóþò ñâîéñòâà ðàäèêàëîâ (ñì. ï. 37)
è ñâîéñòâà ñòåïåíè ñ ðàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì
(ñì. ï. 40).
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
.
21
1
)
(
2
1
10
2
4
4
4
3
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
+
-
-
= x
x
x
x
x
x
xx
xf
q 1)
=
-
-
=
-
-
x
xx
x
xx
1
)
1
(
1
4
2
44
4
3
;
1
)
1
(
4
44
x
x
xx
-=
-
-
=
2)
=
++-
=
+
+-
4
44
4
4
11
x
xxx
x
x
x
;
11
44
xx
xx
=
++-
=
3)
;
1
)
(
11
2
4
2
4
x
xx
==
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
4)
=++=++
-
x
x
x
x
x
12
1
2
10
.
)1(12
2
x
x
x
xx +
=
++
=
71. Òîæäåñòâî Öa
2
= |a|. Óïðîñòèì âûðàæåíèå
.
2
a
Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:
0³a
èëè
.0<a
Åñëè
,0³a
òî
;
2
aa =
åñëè æå
,0<a
òî
.
2
aa -=
Çíà÷èò,
î
í
ì
<-
³
=
0. åñëè
0, åñëè
aa
aa
a
,
,
2
Íî òî÷íî òàê æå îïðåäåëÿåòñÿ ìîäóëü äåéñòâè-
òåëüíîãî ÷èñëà (ñì. ï. 28). Èòàê,
.
2
aa =
Íàïðèìåð,
.5
)
5
(
5
)
5
(
;333
22
=--=-=-==
Âîîáùå, åñëè
n
÷åòíîå ÷èñëî, ò. å.
,2kn =
òî
.
2
2
aa
k
k
=
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü
.3296
2
-+-++- xxxx
q Èìååì
.3
)
3
(
96
22
-=-=+- xxxx
Òàê
êàê çàäàííîå âûðàæåíèå ñîäåðæèò ñëàãàåìîå
,2 x-
òî
,02 ³- x
îòêóäà íàõîäèì, ÷òî
.2£x
Çíà÷èò,
õ 3 < 0, à ïîòîìó
.3
)
3
(
3 xxx -=--=-
Èòàê,
,396
2
xxx -=+-
è ìû ïîëó÷àåì
=-+-++- 3296
2
xxxx
.2323 xxxx -=-+-+-=
n
a, если a ³ 0,
–a , если a < 0.
·
Ö
x + 1 +
Ö
x
4
=
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 8. Èððàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
99
98
72. Ïðåîáðàçîâàíèå èððàöèîíàëüíûõ âûðàæå-
íèé. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ èððàöèîíàëüíûõ âûðà-
æåíèé èñïîëüçóþò ñâîéñòâà ðàäèêàëîâ (ñì. ï. 37)
è ñâîéñòâà ñòåïåíè ñ ðàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì
(ñì. ï. 40).
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü âûðàæåíèå
.
21
1
)
(
2
1
10
2
4
4
4
3
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
++
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
è
æ
+
+
-
-
= x
x
x
x
x
x
xx
xf
q 1)
=
-
-
=
-
-
x
xx
x
xx
1
)
1
(
1
4
2
44
4
3
;
1
)
1
(
4
44
x
x
xx
-=
-
-
=
2)
=
++-
=
+
+-
4
44
4
4
11
x
xxx
x
x
x
;
11
44
xx
xx
=
++-
=
3)
;
1
)
(
11
2
4
2
4
x
xx
==
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
4)
=++=++
-
x
x
x
x
x
12
1
2
10
.
)1(12
2
x
x
x
xx +
=
++
=
71. Òîæäåñòâî Öa
2
= |a|. Óïðîñòèì âûðàæåíèå
.
2
a
Çäåñü âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:
0³a
èëè
.0<a
Åñëè
,0³a
òî
;
2
aa =
åñëè æå
,0<a
òî
.
2
aa -=
Çíà÷èò,
î
í
ì
<-
³
=
0. åñëè
0, åñëè
aa
aa
a
,
,
2
Íî òî÷íî òàê æå îïðåäåëÿåòñÿ ìîäóëü äåéñòâè-
òåëüíîãî ÷èñëà (ñì. ï. 28). Èòàê,
.
2
aa =
Íàïðèìåð,
.5
)
5
(
5
)
5
(
;333
22
=--=-=-==
Âîîáùå, åñëè
n
÷åòíîå ÷èñëî, ò. å.
,2kn =
òî
.
2
2
aa
k
k
=
Ï ð è ì å ð. Óïðîñòèòü
.3296
2
-+-++- xxxx
q Èìååì
.3
)
3
(
96
22
-=-=+- xxxx
Òàê
êàê çàäàííîå âûðàæåíèå ñîäåðæèò ñëàãàåìîå
,2 x-
òî
,02 ³- x
îòêóäà íàõîäèì, ÷òî
.2£x
Çíà÷èò,
õ 3 < 0, à ïîòîìó
.3
)
3
(
3 xxx -=--=-
Èòàê,
,396
2
xxx -=+-
è ìû ïîëó÷àåì
=-+-++- 3296
2
xxxx
.2323 xxxx -=-+-+-=
n
a, если a ³ 0,
–a , если a < 0.
·
Ö
x + 1 +
Ö
x
4
=
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
100
5)
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
2
1
2
2
1
2
)1(
)1(
x
x
x
x
.
1
)
1
(
2
+
=
+
=
x
x
x
x
6)
.
1
1
1
1
+
=
+
×
xx
x
x
Îáû÷íî ñòàðàþòñÿ çàïèñàòü îòâåò òàê, ÷òîáû â çíà-
ìåíàòåëå íå ñîäåðæàëàñü èððàöèîíàëüíîñòü. Äëÿ
èçáàâëåíèÿ îò èððàöèîíàëüíîñòè â çíàìåíàòåëå äðî-
áè
1
1
+x
óìíîæèì è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü íà
1-x
ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì
äëÿ âûðàæåíèÿ
.1+x
Ïîëó÷èì
.
1
1
1)(
1
)1()1(
1
1
1
22
-
-
=
-
-
=
-+
-
=
+
x
x
x
x
xx
x
x
n
§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ
ïåðåìåííóþ ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà
73. Ïîíÿòèå òðàíñöåíäåíòíîãî âûðàæåíèÿ. Òðàíñ-
öåíäåíòíûì íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå, ñîäåðæàùåå ïå-
ðåìåííûå ïîä çíàêîì òðàíñöåíäåíòíîé ôóíêöèè,
ò.å. ïîä çíàêîì ïîêàçàòåëüíîé, ëîãàðèôìè÷åñêîé, òðè-
ãîíîìåòðè÷åñêèõ èëè îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ôóíêöèé (ñì. ïï. 114, 116, 118, 126128).
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
100
5)
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
2
1
2
2
1
2
)1(
)1(
x
x
x
x
.
1
)
1
(
2
+
=
+
=
x
x
x
x
6)
.
1
1
1
1
+
=
+
×
xx
x
x
Îáû÷íî ñòàðàþòñÿ çàïèñàòü îòâåò òàê, ÷òîáû â çíà-
ìåíàòåëå íå ñîäåðæàëàñü èððàöèîíàëüíîñòü. Äëÿ
èçáàâëåíèÿ îò èððàöèîíàëüíîñòè â çíàìåíàòåëå äðî-
áè
1
1
+x
óìíîæèì è ÷èñëèòåëü, è çíàìåíàòåëü íà
1-x
ýòî âûðàæåíèå íàçûâàåòñÿ ñîïðÿæåííûì
äëÿ âûðàæåíèÿ
.1+x
Ïîëó÷èì
.
1
1
1)(
1
)1()1(
1
1
1
22
-
-
=
-
-
=
-+
-
=
+
x
x
x
x
xx
x
x
n
§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ
ïåðåìåííóþ ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà
73. Ïîíÿòèå òðàíñöåíäåíòíîãî âûðàæåíèÿ. Òðàíñ-
öåíäåíòíûì íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå, ñîäåðæàùåå ïå-
ðåìåííûå ïîä çíàêîì òðàíñöåíäåíòíîé ôóíêöèè,
ò.å. ïîä çíàêîì ïîêàçàòåëüíîé, ëîãàðèôìè÷åñêîé, òðè-
ãîíîìåòðè÷åñêèõ èëè îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ôóíêöèé (ñì. ïï. 114, 116, 118, 126128).
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé
101
Ïðèìåðû òðàíñöåíäåíòíûõ âûðàæåíèé:
;loglog
22
ba +
;coscossin g×b×a ).(arcsin
2
xx -
74. Îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìà ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñ-
ëà ïî äàííîìó îñíîâàíèþ. Ëîãàðèôìîì ïîëîæè-
òåëüíîãî ÷èñëà x ïî îñíîâàíèþ
)1,0( ¹> aaa
íàçû-
âàåòñÿ ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, â êîòîðóþ íóæíî âîçâåñ-
òè ÷èñëî a, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷èñëî x:
.
log
xa
x
a
=
Ðàâåíñòâî
yx
a
=log
îçíà÷àåò, ÷òî
.xa
y
=
Íàïðèìåð,
,481log
3
= òàê êàê
;813
4
=
,3001,0log
10
-=
ïîñêîëüêó
;001,010
3
=
-
=2log
5,0
= 0,5, òàê êàê
.22)5,0(
5,05,0
==
-
 çàïèñè
x
a
log
÷èñëî a îñíîâàíèå ëîãàðèôìa,
x ëîãàðèôìèðóåìîå ÷èñëî.
Èç îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìà âûòåêàþò ñëåäóþùèå
âàæíûå ðàâåíñòâà:
.1log,01log == a
aa
Ïåðâîå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî
,1
0
=a
à âòîðîå èç
òîãî, ÷òî
.
1
aa =
Âîîáùå, èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
.log ra
r
a
=
75. Ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ.
1
0
. Åñëè
0
1
>x è
,0
2
>x
òî
2121
loglog)(log
xxxx
aaa
+=
(ëîãàðèôì ïðîèçâåäåíèÿ ðàâåí ñóììå ëîãàðèôìîâ
ìíîæèòåëåé).
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé
101
Ïðèìåðû òðàíñöåíäåíòíûõ âûðàæåíèé:
;loglog
22
ba +
;coscossin g×b×a ).(arcsin
2
xx -
74. Îïðåäåëåíèå ëîãàðèôìà ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñ-
ëà ïî äàííîìó îñíîâàíèþ. Ëîãàðèôìîì ïîëîæè-
òåëüíîãî ÷èñëà x ïî îñíîâàíèþ
)1,0( ¹> aaa
íàçû-
âàåòñÿ ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, â êîòîðóþ íóæíî âîçâåñ-
òè ÷èñëî a, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷èñëî x:
.
log
xa
x
a
=
Ðàâåíñòâî
yx
a
=log
îçíà÷àåò, ÷òî
.xa
y
=
Íàïðèìåð,
,481log
3
= òàê êàê
;813
4
=
,3001,0log
10
-=
ïîñêîëüêó
;001,010
3
=
-
=2log
5,0
= 0,5, òàê êàê
.22)5,0(
5,05,0
==
-
 çàïèñè
x
a
log
÷èñëî a îñíîâàíèå ëîãàðèôìa,
x ëîãàðèôìèðóåìîå ÷èñëî.
Èç îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìà âûòåêàþò ñëåäóþùèå
âàæíûå ðàâåíñòâà:
.1log,01log == a
aa
Ïåðâîå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî
,1
0
=a
à âòîðîå èç
òîãî, ÷òî
.
1
aa =
Âîîáùå, èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
.log ra
r
a
=
75. Ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ.
1
0
. Åñëè
0
1
>x è
,0
2
>x
òî
2121
loglog)(log
xxxx
aaa
+=
(ëîãàðèôì ïðîèçâåäåíèÿ ðàâåí ñóììå ëîãàðèôìîâ
ìíîæèòåëåé).
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
103
102
Òàê,
.5log15log3log
)
53
(
log15log
33333
+=+=×=
2
0
. Åñëè
0
1
>x
è
,0
2
>x
òî
21
2
1
logloglog
xx
x
x
aaa
-=
(ëîãàðèôì ÷àñòíîãî ðàâåí ðàçíîñòè ëîãàðèôìîâ äå-
ëèìîãî è äåëèòåëÿ).
Òàê,
.25log4log5log
4
5
log25,1log
22222
-=-==
Åñëè æå
0
1
<x
è
,0
2
<x
òî ñïðàâåäëèâû ðà-
âåíñòâà
,loglog
)
(
log
2121
xxxx
aaa
+=
.logloglog
21
2
1
xx
x
x
aaa
-=
3
0
. Åñëè
,0>x
òî
xrx
a
r
a
loglog =
(ëîãàðèôì ñòåïåíè ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïîêàçàòåëÿ
ñòåïåíè íà ëîãàðèôì îñíîâàíèÿ).
Íàïðèìåð,
;3log43log81log
5
4
55
==
=2log
3
.2log5,02log
3
5,0
3
==
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè k
÷åòíîå ÷èñëî, òî
xkx
a
k
a
loglog =
äëÿ ëþáîãî
.0¹x
Íàïðèìåð,
.log2log;log4log
3
2
32
4
2
xxxx ==
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà, ïîçâîëÿþ-
ùèå ïåðåéòè ê íîâîìó îñíîâàíèþ ëîãàðèôìà:
4
0
. Åñëè
,0>x
òî
a
x
x
b
b
a
log
log
log =
(ôîðìóëà ïåðåõîäà ê íîâîìó îñíîâàíèþ).
Íàïðèìåð,
.
log
1
log
log
log;
2log
3log
3log
5
5
2
aa
b
b
bb
b
a
===
5
0
. Åñëè
,0>x
òî
.loglog
k
a
a
xx
k
=
Òàê,
.5log5log5log
2
3
2
2
3
==
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü
,6log
5
åñëè
,3log
2
a=
.10log
2
b=
q Ïåðåéäåì â
6log
5
ê îñíîâàíèþ 2. Âîñïîëüçî-
âàâøèñü ñâîéñòâîì 4
0
, ïîëó÷èì
.
1
1
2log10log
3log2log
2
10
log
)32(log
5log
6log
6log
22
22
2
2
2
2
5
-
+
=
-
+
=
×
==
b
a
n
76. Ëîãàðèôìèðîâàíèå è ïîòåíöèðîâàíèå. Åñëè
íåêîòîðîå âûðàæåíèå À ñîñòàâëåíî èç ïîëîæèòåëü-
íûõ ÷èñåë ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ
è âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü, òî, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãà-
ðèôìîâ, ìîæíî âûðàçèòü
A
a
log
÷åðåç ëîãàðèôìû
âõîäÿùèõ â âûðàæåíèå À ÷èñåë. Òàêîå ïðåîáðàçîâà-
íèå íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìèðîâàíèåì.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
103
102
Òàê,
.5log15log3log
)
53
(
log15log
33333
+=+=×=
2
0
. Åñëè
0
1
>x
è
,0
2
>x
òî
21
2
1
logloglog
xx
x
x
aaa
-=
(ëîãàðèôì ÷àñòíîãî ðàâåí ðàçíîñòè ëîãàðèôìîâ äå-
ëèìîãî è äåëèòåëÿ).
Òàê,
.25log4log5log
4
5
log25,1log
22222
-=-==
Åñëè æå
0
1
<x
è
,0
2
<x
òî ñïðàâåäëèâû ðà-
âåíñòâà
,loglog
)
(
log
2121
xxxx
aaa
+=
.logloglog
21
2
1
xx
x
x
aaa
-=
3
0
. Åñëè
,0>x
òî
xrx
a
r
a
loglog =
(ëîãàðèôì ñòåïåíè ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïîêàçàòåëÿ
ñòåïåíè íà ëîãàðèôì îñíîâàíèÿ).
Íàïðèìåð,
;3log43log81log
5
4
55
==
=2log
3
.2log5,02log
3
5,0
3
==
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè k
÷åòíîå ÷èñëî, òî
xkx
a
k
a
loglog =
äëÿ ëþáîãî
.0¹x
Íàïðèìåð,
.log2log;log4log
3
2
32
4
2
xxxx ==
Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà, ïîçâîëÿþ-
ùèå ïåðåéòè ê íîâîìó îñíîâàíèþ ëîãàðèôìà:
4
0
. Åñëè
,0>x
òî
a
x
x
b
b
a
log
log
log =
(ôîðìóëà ïåðåõîäà ê íîâîìó îñíîâàíèþ).
Íàïðèìåð,
.
log
1
log
log
log;
2log
3log
3log
5
5
2
aa
b
b
bb
b
a
===
5
0
. Åñëè
,0>x
òî
.loglog
k
a
a
xx
k
=
Òàê,
.5log5log5log
2
3
2
2
3
==
Ï ð è ì å ð. Âû÷èñëèòü
,6log
5
åñëè
,3log
2
a=
.10log
2
b=
q Ïåðåéäåì â
6log
5
ê îñíîâàíèþ 2. Âîñïîëüçî-
âàâøèñü ñâîéñòâîì 4
0
, ïîëó÷èì
.
1
1
2log10log
3log2log
2
10
log
)32(log
5log
6log
6log
22
22
2
2
2
2
5
-
+
=
-
+
=
×
==
b
a
n
76. Ëîãàðèôìèðîâàíèå è ïîòåíöèðîâàíèå. Åñëè
íåêîòîðîå âûðàæåíèå À ñîñòàâëåíî èç ïîëîæèòåëü-
íûõ ÷èñåë ñ ïîìîùüþ îïåðàöèé óìíîæåíèÿ, äåëåíèÿ
è âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü, òî, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãà-
ðèôìîâ, ìîæíî âûðàçèòü
A
a
log
÷åðåç ëîãàðèôìû
âõîäÿùèõ â âûðàæåíèå À ÷èñåë. Òàêîå ïðåîáðàçîâà-
íèå íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìèðîâàíèåì.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
105
104
Ï ð è ì å ð 1. Ïðîëîãàðèôìèðîâàòü ïî îñíîâà-
íèþ 5 âûðàæåíèå
,
125
23
c
ba
ãäå a, b, c ïîëîæè-
òåëüíûå ÷èñëà.
q Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ (ñì. ï. 75), ïî-
ëó÷èì
=-= cba
c
ba
5
23
5
23
5
log)125(log
125
log
=-++=
5,0
5
2
5
3
55
logloglog125log
cba
.log5,0log2log33
555
cba -++=
n
×àñòî ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü îáðàòíóþ çàäà÷ó: íà-
õîäèòü âûðàæåíèå ïî åãî ëîãàðèôìó. Òàêîå ïðåîá-
ðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèðîâàíèåì.
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè x, åñëè
.10log38log5,05log2log
3333
-+=x
q Èìååì
=-+=
3
3
5,0
333
10log8log25loglog
x
.
20
2
log
1000
2225
log
33
=
×
=
Èç ðàâåíñòâà
20
2
loglog
33
=x íàõîäèì
.
20
2
=x
n
77. Äåñÿòè÷íûé ëîãàðèôì. Õàðàêòåðèñòèêà è
ìàíòèññà äåñÿòè÷íîãî ëîãàðèôìà. Åñëè îñíîâàíèå
ëîãàðèôìà ðàâíî 10, òî ëîãàðèôì íàçûâàåòñÿ äåñÿ-
òè÷íûì. Âìåñòî çàïèñè
x
10
log
ïðèíÿòà çàïèñü
.lg x
 ÷àñòíîñòè, äëÿ äåñÿòè÷íûõ ëîãàðèôìîâ ñïðà-
âåäëèâû ðàâåíñòâà:
;10
lg
a
a
=
;01lg =
;11,0lg -=
;110lg = ;201,0lg -=
;2100lg = ;3001,0lg -=
;31000lg = ;40001,0lg -=
.10lg n
n
=
Ïóñòü ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ïðåäñòàâëåíî â ñòàí-
äàðòíîì âèäå (ñì. ï. 36):
,10
1
n
aa
×=
ãäå
ZÎ<£ na ,101
1
(n ïîðÿäîê ÷èñëà à). Ïðîëîãà-
ðèôìèðóåì ÷èñëî à ïî îñíîâàíèþ 10, âîñïîëüçîâàâ-
øèñü ñâîéñòâàìè ëîãàðèôìîâ (ñì. ï. 75). Èìååì
)
10
(
lglg
1
n
aa
×=
.lg10lglg
11
naa
n
+=+=
Èòàê,
.lglg
1
naa +=
(1)
Òàê êàê
,101
1
<£ a
òî
,10lglg1lg
1
<£ a
ò.å.
.1lg0
1
<£ a
Ïîýòîìó èç ðàâåíñòâà (1) ñëåäóåò, ÷òî n
åñòü íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå ÷èñ-
ëî
,lg a
èíà÷å ãîâîðÿ, n åñòü öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà
,lg a
ò. å.
][lg an =
(ñì. ï. 33). Ñëàãàåìîå
1
lg
a
åñòü äðîá-
íàÿ ÷àñòü ÷èñëà
,lg a
ò.å.
}{lglg
1
aa =
(ñì. ï. 33).
Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà
,lg a
ò.å. ïîðÿäîê ÷èñëà à, íàçû-
âàåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé
,lg a
à äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà
alg
åãî ìàíòèññîé.
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè ÷èñëî
0>a
óìíîæèòü íà
,10
k
ãäå k öåëîå ÷èñëî, òî
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 9. Ïðåîáðàçîâàíèå ëîãàðèôì. âûðàæåíèé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë II. ÂÛÐÀÆÅÍÈß
105
104
Ï ð è ì å ð 1. Ïðîëîãàðèôìèðîâàòü ïî îñíîâà-
íèþ 5 âûðàæåíèå
,
125
23
c
ba
ãäå a, b, c ïîëîæè-
òåëüíûå ÷èñëà.
q Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ (ñì. ï. 75), ïî-
ëó÷èì
=-= cba
c
ba
5
23
5
23
5
log)125(log
125
log
=-++=
5,0
5
2
5
3
55
logloglog125log
cba
.log5,0log2log33
555
cba -++=
n
×àñòî ïðèõîäèòñÿ ðåøàòü îáðàòíóþ çàäà÷ó: íà-
õîäèòü âûðàæåíèå ïî åãî ëîãàðèôìó. Òàêîå ïðåîá-
ðàçîâàíèå íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèðîâàíèåì.
Ï ð è ì å ð 2. Íàéòè x, åñëè
.10log38log5,05log2log
3333
-+=x
q Èìååì
=-+=
3
3
5,0
333
10log8log25loglog
x
.
20
2
log
1000
2225
log
33
=
×
=
Èç ðàâåíñòâà
20
2
loglog
33
=x íàõîäèì
.
20
2
=x
n
77. Äåñÿòè÷íûé ëîãàðèôì. Õàðàêòåðèñòèêà è
ìàíòèññà äåñÿòè÷íîãî ëîãàðèôìà. Åñëè îñíîâàíèå
ëîãàðèôìà ðàâíî 10, òî ëîãàðèôì íàçûâàåòñÿ äåñÿ-
òè÷íûì. Âìåñòî çàïèñè
x
10
log
ïðèíÿòà çàïèñü
.lg x
 ÷àñòíîñòè, äëÿ äåñÿòè÷íûõ ëîãàðèôìîâ ñïðà-
âåäëèâû ðàâåíñòâà:
;10
lg
a
a
=
;01lg =
;11,0lg -=
;110lg = ;201,0lg -=
;2100lg = ;3001,0lg -=
;31000lg = ;40001,0lg -=
.10lg n
n
=
Ïóñòü ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ïðåäñòàâëåíî â ñòàí-
äàðòíîì âèäå (ñì. ï. 36):
,10
1
n
aa
×=
ãäå
ZÎ<£ na ,101
1
(n ïîðÿäîê ÷èñëà à). Ïðîëîãà-
ðèôìèðóåì ÷èñëî à ïî îñíîâàíèþ 10, âîñïîëüçîâàâ-
øèñü ñâîéñòâàìè ëîãàðèôìîâ (ñì. ï. 75). Èìååì
)
10
(
lglg
1
n
aa
×=
.lg10lglg
11
naa
n
+=+=
Èòàê,
.lglg
1
naa +=
(1)
Òàê êàê
,101
1
<£ a
òî
,10lglg1lg
1
<£ a
ò.å.
.1lg0
1
<£ a
Ïîýòîìó èç ðàâåíñòâà (1) ñëåäóåò, ÷òî n
åñòü íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå ÷èñ-
ëî
,lg a
èíà÷å ãîâîðÿ, n åñòü öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà
,lg a
ò. å.
][lg an =
(ñì. ï. 33). Ñëàãàåìîå
1
lg
a
åñòü äðîá-
íàÿ ÷àñòü ÷èñëà
,lg a
ò.å.
}{lglg
1
aa =
(ñì. ï. 33).
Öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà
,lg a
ò.å. ïîðÿäîê ÷èñëà à, íàçû-
âàåòñÿ õàðàêòåðèñòèêîé
,lg a
à äðîáíàÿ ÷àñòü ÷èñëà
alg
åãî ìàíòèññîé.
Èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: åñëè ÷èñëî
0>a
óìíîæèòü íà
,10
k
ãäå k öåëîå ÷èñëî, òî