Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл

Подождите немного. Документ загружается.

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 12. Âèäû ôóíêöèé

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

147146

ëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî

èç îò-

ðåçêà

],[ dc

åñòü òîëüêî îäíî çíà÷åíèå

èç îòðåçêà

],[ ba

òàêîå, ÷òî

)

(

yxf =

Ãåîìåòðè÷åñêè óêàçàí-

íîå ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáàÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿ-

ìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ îñü Oy ìåæäó òî÷êàìè ñ è d, ïå-

ðåñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè

)(xfy =

òîëüêî â îäíîé

òî÷êå. Âòîðàÿ ôóíêöèÿ ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäà-

åò: íàïðèìåð, äëÿ çíà÷åíèÿ

ïðÿìàÿ

yy =

ïåðå-

ñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè

)(xgy =

â òðåõ òî÷êàõ. Çíà-

÷èò, â ïåðâîì ñëó÷àå ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì

èç îòðåçêà

],[ dc

óðàâíåíèå

)(

yxf =

èìååò òîëü-

êî îäèí êîðåíü õ

, à âî âòîðîì ñëó÷àå ïðè íåêîòîðûõ

ó, íàïðèìåð ïðè ó = ó

, óðàâíåíèå

)(

yxg =

èìååò

áîëåå îäíîãî êîðíÿ.

Åñëè ôóíêöèÿ

)(xfy =

òàêîâà, ÷òî äëÿ ëþáîãî åå

çíà÷åíèÿ ó

óðàâíåíèå

)(

yxf =

èìååò îòíîñèòåëü-

íî õ åäèíñòâåííûé êîðåíü, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f

îáðàòèìà.

Òàê, ôóíêöèÿ

),(xfy =

ãðàôèê êîòîðîé èçîáðà-

æåí íà ðèñ. 39, à, îáðàòèìà, à ôóíêöèÿ ),(xgy =

ãðà-

ôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 39, á, íåîáðàòèìà.

Ìîæíî ñêàçàòü è òàê: ôóíêöèþ, ïðèíèìàþùóþ

êàæäîå ñâîå çíà÷åíèå â åäèíñòâåííîé òî÷êå îáëàñòè

îïðåäåëåíèÿ, íàçûâàþò îáðàòèìîé.

Åñëè ôóíêöèÿ f îáðàòèìà, òî, âûðàçèâ õ èç ôîð-

ìóëû

)(xfy =

è ïîìåíÿâ çàòåì õ è ó ìåñòàìè, ïîëó-

÷èì îáðàòíóþ ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ôóí-

êöèÿ f çàäàíà ôîðìóëîé

),(xfy =

òî äëÿ íàõîæäå-

Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè

ïðè

:10 << a

. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ  âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.

. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé  ëó÷

).,0( ¥+

. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.

. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.

. Îñü Ox ÿâëÿåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé

ãðàôèêà ïðè

.+¥®x

Ãðàôèê ôóíêöèè

ïðè

10 << a

âûãëÿäèò

òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 38, à. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 38, á

èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè

115. Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Ãðàôèê îáðàòíîé ôóí-

êöèè. Ñðàâíèì äâå ôóíêöèè

)(xfy =

).(xgy =

Èõ ãðàôèêè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 39, à è á. Îáå îíè

îïðåäåëåíû íà îòðåçêå

],,[ ba

à èõ ìíîæåñòâîì çíà-

÷åíèé ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê

].,[ dc

Ïåðâàÿ ôóíêöèÿ îá-

10; <<= aay

a) á)

Ðèñ. 38

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 12. Âèäû ôóíêöèé

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

147146

ëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáîãî

èç îò-

ðåçêà

],[ dc

åñòü òîëüêî îäíî çíà÷åíèå

èç îòðåçêà

],[ ba

òàêîå, ÷òî

)

(

yxf =

Ãåîìåòðè÷åñêè óêàçàí-

íîå ñâîéñòâî îçíà÷àåò, ÷òî ëþáàÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ ïðÿ-

ìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ îñü Oy ìåæäó òî÷êàìè ñ è d, ïå-

ðåñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè

)(xfy =

òîëüêî â îäíîé

òî÷êå. Âòîðàÿ ôóíêöèÿ ýòèì ñâîéñòâîì íå îáëàäà-

åò: íàïðèìåð, äëÿ çíà÷åíèÿ

ïðÿìàÿ

yy =

ïåðå-

ñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè

)(xgy =

â òðåõ òî÷êàõ. Çíà-

÷èò, â ïåðâîì ñëó÷àå ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì

èç îòðåçêà

],[ dc

óðàâíåíèå

)(

yxf =

èìååò òîëü-

êî îäèí êîðåíü õ

, à âî âòîðîì ñëó÷àå ïðè íåêîòîðûõ

ó, íàïðèìåð ïðè ó = ó

, óðàâíåíèå

)(

yxg =

èìååò

áîëåå îäíîãî êîðíÿ.

Åñëè ôóíêöèÿ

)(xfy =

òàêîâà, ÷òî äëÿ ëþáîãî åå

çíà÷åíèÿ ó

óðàâíåíèå

)(

yxf =

èìååò îòíîñèòåëü-

íî õ åäèíñòâåííûé êîðåíü, òî ãîâîðÿò, ÷òî ôóíêöèÿ f

îáðàòèìà.

Òàê, ôóíêöèÿ

),(xfy =

ãðàôèê êîòîðîé èçîáðà-

æåí íà ðèñ. 39, à, îáðàòèìà, à ôóíêöèÿ ),(xgy =

ãðà-

ôèê êîòîðîé èçîáðàæåí íà ðèñ. 39, á, íåîáðàòèìà.

Ìîæíî ñêàçàòü è òàê: ôóíêöèþ, ïðèíèìàþùóþ

êàæäîå ñâîå çíà÷åíèå â åäèíñòâåííîé òî÷êå îáëàñòè

îïðåäåëåíèÿ, íàçûâàþò îáðàòèìîé.

Åñëè ôóíêöèÿ f îáðàòèìà, òî, âûðàçèâ õ èç ôîð-

ìóëû

)(xfy =

è ïîìåíÿâ çàòåì õ è ó ìåñòàìè, ïîëó-

÷èì îáðàòíóþ ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ôóí-

êöèÿ f çàäàíà ôîðìóëîé

),(xfy =

òî äëÿ íàõîæäå-

Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà ôóíêöèè

ïðè

:10 << a

. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ  âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.

. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé  ëó÷

).,0( ¥+

. Ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íè ÷åòíîé, íè íå÷åòíîé.

. Ôóíêöèÿ óáûâàåò íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé.

. Îñü Ox ÿâëÿåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé àñèìïòîòîé

ãðàôèêà ïðè

.+¥®x

Ãðàôèê ôóíêöèè

ïðè

10 << a

âûãëÿäèò

òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 38, à. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 38, á

èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè

115. Îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. Ãðàôèê îáðàòíîé ôóí-

êöèè. Ñðàâíèì äâå ôóíêöèè

)(xfy =

).(xgy =

Èõ ãðàôèêè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 39, à è á. Îáå îíè

îïðåäåëåíû íà îòðåçêå

],,[ ba

à èõ ìíîæåñòâîì çíà-

÷åíèé ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê

].,[ dc

Ïåðâàÿ ôóíêöèÿ îá-

10; <<= aay

a) á)

Ðèñ. 38

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 12. Âèäû ôóíêöèé

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

149148

q Ôóíêöèÿ ó = 2õ  1 âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé

ïðÿìîé, çíà÷èò, ó íåå åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. ×òîáû

íàéòè ýòó îáðàòíóþ ôóíêöèþ, íàäî ðåøèòü óðàâíåíèå

2õ  1 = ó îòíîñèòåëüíî õ. Èìååì

).1(5,0 += yx

Ïî-

ìåíÿâ õ è ó ìåñòàìè, ïîëó÷èì

).1(5,0 += xy

Ýòî è

åñòü èñêîìàÿ îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. n

Åñëè òî÷êà (õ; ó) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè

),(xfy =

òî òî÷êà (ó; õ) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó îá-

ðàòíîé ôóíêöèè. Ïîýòîìó ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè

ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè

)(xfy =

ñ ïîìîùüþ

ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè õÎó, ïåðåâîäÿùåãî òî÷êó

(õ; ó) â òî÷êó (ó; õ). Ýòèì ïðåîáðàçîâàíèåì ÿâëÿåò-

ñÿ ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ.

Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíê-

öèè, îáðàòíîé ôóíêöèè

),(xfy =

íàäî ãðàôèê ôóíê-

öèè

)(xfy =

ïðåîáðàçîâàòü ñèììåòðè÷íî îòíîñè-

òåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 40, à).

íèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå

f(x) = y îòíîñèòåëüíî õ, à çàòåì õ è ó ïîìåíÿòü ìåñ-

òàìè. Çàìåòèì, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîðûõ ó èç ìíîæå-

ñòâà çíà÷åíèé ôóíêöèè f ýòî óðàâíåíèå èìååò áîëåå

îäíîãî êîðíÿ, òî îáðàòíîé ôóíêöèè íåò.

Ñðàâíèâàÿ ãðàôèêè ôóíêöèé

)(xfy =

)(xgy =

(ñì. ðèñ. 39, à è á), çàìå÷àåì, ÷òî

)(xfy =

 âîçðàñòà-

þùàÿ ôóíêöèÿ (è ó íåå åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ), òîã-

äà êàê ôóíêöèÿ

)(xgy =

íå ÿâëÿåòñÿ íè âîçðàñòàþ-

ùåé, íè óáûâàþùåé (è ó íåå íåò îáðàòíîé ôóíêöèè).

Âîçðàñòàíèå èëè óáûâàíèå ôóíêöèè îáåñïå÷èâàåò

ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîé ôóíêöèè.

Ò.3.4. Åñëè ôóíêöèÿ

)(xfy =

îïðåäåëåíà è âîçðàñ-

òàåò (èëè óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå Õ è ìíîæå-

ñòâîì åå çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê Y, òî ó

íåå ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ, ïðè÷åì îáðàò-

íàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà è âîçðàñòàåò (èëè óáû-

âàåò) íà Y.

Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ó = 2õ  1

èìååò îáðàòíóþ, è íàéòè åå.

á)

Ðèñ. 40

Ðèñ. 39

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 12. Âèäû ôóíêöèé

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

149148

q Ôóíêöèÿ ó = 2õ  1 âîçðàñòàåò íà âñåé ÷èñëîâîé

ïðÿìîé, çíà÷èò, ó íåå åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. ×òîáû

íàéòè ýòó îáðàòíóþ ôóíêöèþ, íàäî ðåøèòü óðàâíåíèå

2õ  1 = ó îòíîñèòåëüíî õ. Èìååì

).1(5,0 += yx

Ïî-

ìåíÿâ õ è ó ìåñòàìè, ïîëó÷èì

).1(5,0 += xy

Ýòî è

åñòü èñêîìàÿ îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ. n

Åñëè òî÷êà (õ; ó) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè

),(xfy =

òî òî÷êà (ó; õ) ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó îá-

ðàòíîé ôóíêöèè. Ïîýòîìó ãðàôèê îáðàòíîé ôóíêöèè

ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ôóíêöèè

)(xfy =

ñ ïîìîùüþ

ïðåîáðàçîâàíèÿ ïëîñêîñòè õÎó, ïåðåâîäÿùåãî òî÷êó

(õ; ó) â òî÷êó (ó; õ). Ýòèì ïðåîáðàçîâàíèåì ÿâëÿåò-

ñÿ ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ.

Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíê-

öèè, îáðàòíîé ôóíêöèè

),(xfy =

íàäî ãðàôèê ôóíê-

öèè

)(xfy =

ïðåîáðàçîâàòü ñèììåòðè÷íî îòíîñè-

òåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 40, à).

íèÿ îáðàòíîé ôóíêöèè íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå

f(x) = y îòíîñèòåëüíî õ, à çàòåì õ è ó ïîìåíÿòü ìåñ-

òàìè. Çàìåòèì, ÷òî åñëè äëÿ íåêîòîðûõ ó èç ìíîæå-

ñòâà çíà÷åíèé ôóíêöèè f ýòî óðàâíåíèå èìååò áîëåå

îäíîãî êîðíÿ, òî îáðàòíîé ôóíêöèè íåò.

Ñðàâíèâàÿ ãðàôèêè ôóíêöèé

)(xfy =

)(xgy =

(ñì. ðèñ. 39, à è á), çàìå÷àåì, ÷òî

)(xfy =

 âîçðàñòà-

þùàÿ ôóíêöèÿ (è ó íåå åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ), òîã-

äà êàê ôóíêöèÿ

)(xgy =

íå ÿâëÿåòñÿ íè âîçðàñòàþ-

ùåé, íè óáûâàþùåé (è ó íåå íåò îáðàòíîé ôóíêöèè).

Âîçðàñòàíèå èëè óáûâàíèå ôóíêöèè îáåñïå÷èâàåò

ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîé ôóíêöèè.

Ò.3.4. Åñëè ôóíêöèÿ

)(xfy =

îïðåäåëåíà è âîçðàñ-

òàåò (èëè óáûâàåò) íà ïðîìåæóòêå Õ è ìíîæå-

ñòâîì åå çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê Y, òî ó

íåå ñóùåñòâóåò îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ, ïðè÷åì îáðàò-

íàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà è âîçðàñòàåò (èëè óáû-

âàåò) íà Y.

Ï ð è ì å ð. Äîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ó = 2õ  1

èìååò îáðàòíóþ, è íàéòè åå.

á)

Ðèñ. 40

Ðèñ. 39

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 12. Âèäû ôóíêöèé

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

151150

. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå

),0( ¥+

ïðè

,1>a

óáûâàåò íà

),0( ¥+

ïðè

.10 << a

. Îñü Îó ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé ãðà-

ôèêà (åñëè

,1>a

òî

-¥®y

ïðè

,0®x

à åñëè

,10 << a

òî

+¥®y

ïðè

0®x

Ãðàôèê ôóíêöèè

log=

ìîæíî ïîëó÷èòü èç

ãðàôèêà ôóíêöèè ó = à

ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ

ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ. Íà ðèñ. 41, à

ïîñòðîåí ãðàôèê ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè äëÿ

,1>a

à íà ðèñ. 41, á  äëÿ

.10 << a

117. ×èñëî å. Ôóíêöèÿ ó = å

. Ôóíêöèÿ

x.y ln=

Ñðåäè ïîêàçàòåëüíûõ ôóíêöèé ó = à

, ãäå

,1>a

îñîáûé èíòåðåñ äëÿ ìàòåìàòèêè è åå ïðèëî-

æåíèé ïðåäñòàâëÿåò ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿ ñëåäóþ-

ùèì ñâîéñòâîì: êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè

Íàïðèìåð, åñëè

ãäå

,0³x

 íàòóðàëü-

íîå,

,1>n

òî

Ïîìåíÿâ õ è ó ìåñòàìè, ïîëó-

÷èì

Ãðàôèêè äâóõ âçàèìíî îáðàòíûõ ôóíê-

öèé

ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî

ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 40, á).

116. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòåëü-

íàÿ ôóíêöèÿ ó = à

, ãäå

,1,0 ¹> aa

îáëàäàåò âñåìè

ñâîéñòâàìè, êîòîðûå ãàðàíòèðóþò ñóùåñòâîâàíèå

îáðàòíîé ôóíêöèè (ñì. òåîðåìó 3.4): 1) îáëàñòü îï-

ðåäåëåíèÿ  âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ; 2) ìíîæåñòâî

çíà÷åíèé  ïðîìåæóòîê

);,0( ¥+

3) ôóíêöèÿ ó = à

âîçðàñòàåò ïðè

0>a

è óáûâàåò ïðè

.10 << a

Óêàçàííûå ñâîéñòâà îáåñïå÷èâàþò ñóùåñòâîâàíèå

ôóíêöèè, îáðàòíîé ïîêàçàòåëüíîé, îïðåäåëåííîé íà

),0( ¥+

è èìåþùåé â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà ñâîèõ çíà-

÷åíèé âñþ ÷èñëîâóþ ïðÿìóþ.

Ýòà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ òàê:

log=

(÷èòàåòñÿ: «ëîãàðèôì ÷èñëà õ ïî îñíîâà-

íèþ à»). Èòàê, ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ

,log xy

ãäå

0>a

,1¹a

 ýòî ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ïîêàçà-

òåëüíîé ôóíêöèè ó = à

Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ

log=

îáëàäàåò ñëå-

äóþùèìè ñâîéñòâàìè (îíè âûòåêàþò èç òåîðåìû 3.4):

. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ  ëó÷

),0( ¥+

. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé  âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.

. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ.

Ðèñ. 31

á)a)

Ðèñ. 41

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 12. Âèäû ôóíêöèé

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

151150

. Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà ïðîìåæóòêå

),0( ¥+

ïðè

,1>a

óáûâàåò íà

),0( ¥+

ïðè

.10 << a

. Îñü Îó ÿâëÿåòñÿ âåðòèêàëüíîé àñèìïòîòîé ãðà-

ôèêà (åñëè

,1>a

òî

-¥®y

ïðè

,0®x

à åñëè

,10 << a

òî

+¥®y

ïðè

0®x

Ãðàôèê ôóíêöèè

log=

ìîæíî ïîëó÷èòü èç

ãðàôèêà ôóíêöèè ó = à

ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ

ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ. Íà ðèñ. 41, à

ïîñòðîåí ãðàôèê ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè äëÿ

,1>a

à íà ðèñ. 41, á  äëÿ

.10 << a

117. ×èñëî å. Ôóíêöèÿ ó = å

. Ôóíêöèÿ

x.y ln=

Ñðåäè ïîêàçàòåëüíûõ ôóíêöèé ó = à

, ãäå

,1>a

îñîáûé èíòåðåñ äëÿ ìàòåìàòèêè è åå ïðèëî-

æåíèé ïðåäñòàâëÿåò ôóíêöèÿ, îáëàäàþùàÿ ñëåäóþ-

ùèì ñâîéñòâîì: êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè

Íàïðèìåð, åñëè

ãäå

,0³x

 íàòóðàëü-

íîå,

,1>n

òî

Ïîìåíÿâ õ è ó ìåñòàìè, ïîëó-

÷èì

Ãðàôèêè äâóõ âçàèìíî îáðàòíûõ ôóíê-

öèé

ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî

ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 40, á).

116. Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ. Ïîêàçàòåëü-

íàÿ ôóíêöèÿ ó = à

, ãäå

,1,0 ¹> aa

îáëàäàåò âñåìè

ñâîéñòâàìè, êîòîðûå ãàðàíòèðóþò ñóùåñòâîâàíèå

îáðàòíîé ôóíêöèè (ñì. òåîðåìó 3.4): 1) îáëàñòü îï-

ðåäåëåíèÿ  âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ; 2) ìíîæåñòâî

çíà÷åíèé  ïðîìåæóòîê

);,0( ¥+

3) ôóíêöèÿ ó = à

âîçðàñòàåò ïðè

0>a

è óáûâàåò ïðè

.10 << a

Óêàçàííûå ñâîéñòâà îáåñïå÷èâàþò ñóùåñòâîâàíèå

ôóíêöèè, îáðàòíîé ïîêàçàòåëüíîé, îïðåäåëåííîé íà

),0( ¥+

è èìåþùåé â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà ñâîèõ çíà-

÷åíèé âñþ ÷èñëîâóþ ïðÿìóþ.

Ýòà îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îáîçíà÷àåòñÿ òàê:

log=

(÷èòàåòñÿ: «ëîãàðèôì ÷èñëà õ ïî îñíîâà-

íèþ à»). Èòàê, ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ

,log xy

ãäå

0>a

,1¹a

 ýòî ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ ïîêàçà-

òåëüíîé ôóíêöèè ó = à

Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ

log=

îáëàäàåò ñëå-

äóþùèìè ñâîéñòâàìè (îíè âûòåêàþò èç òåîðåìû 3.4):

. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ  ëó÷

),0( ¥+

. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé  âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.

. Ôóíêöèÿ íè ÷åòíàÿ, íè íå÷åòíàÿ.

Ðèñ. 31

á)a)

Ðèñ. 41

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 12. Âèäû ôóíêöèé

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

153152

118. Îïðåäåëåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.

Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìî-

ùüþ êîîðäèíàò âðàùàþùåéñÿ òî÷êè. Ðàññìîòðèì íà

êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó åäèíè÷íóþ îêðóæ-

íîñòü, ò. å. îêðóæíîñòü åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíò-

ðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ð

òî÷êó

åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ êîîðäèíàòàìè (1; 0), ýòó òî÷-

êó áóäåì íàçûâàòü íà÷àëüíîé. Âîçüìåì ïðîèçâîëü-

íîå ÷èñëî

è ïîâåðíåì íà÷àëüíóþ òî÷êó îòíîñè-

òåëüíî òî÷êè Î íà óãîë

; ïðè ýòîì åñëè

,0>t

òî

ïîâîðîò îñóùåñòâëÿåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïðîòèâ ÷àñî-

âîé ñòðåëêè (ðèñ. 44, à), à åñëè

,0<t

 òî ïî ÷àñîâîé

ñòðåëêå (ðèñ. 44, á).

Â ðåçóëüòàòå ïîâîðîòà ïîëó÷èì íà åäèíè÷íîé îê-

ðóæíîñòè òî÷êó

Åå îðäèíàòà íàçûâàåòñÿ ñèíóñîì

÷èñëà

è îáîçíà÷àåòñÿ

,sin t

à àáñöèññà  êîñèíó-

ñîì ÷èñëà

(èëè óãëà

) è îáîçíà÷àåòñÿ

.cos t

(ñì. ï. 224) â òî÷êå (0; 1) îáðàçóåò ñ îñüþ Îõ óãîë 45°

(ðèñ. 42). Îñíîâàíèå à òàêîé ôóíêöèè ó = à

ïðèíÿòî

îáîçíà÷àòü áóêâîé å, ò. å. ó = å

. Ïîäñ÷èòàíî, ÷òî å =

= 2,7182818284590..., è óñòàíîâëåíî, ÷òî å  èððà-

öèîíàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñëå-

äóþùóþ ñóììó:

....

...321

...

321

1 +

×××

××

++=

Èìåííî ñ ïîìîùüþ ýòîãî ðàâåíñòâà è íàõîäÿò çíà÷å-

íèå ÷èñëà å ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ.

Ôóíêöèþ ó = å

èíîãäà íàçûâàþò ýêñïîíåíòîé.

Ëîãàðèôìè÷åñêóþ ôóíêöèþ, îáðàòíóþ ýêñïîíåí-

òå ó = å

, ò. å. ôóíêöèþ

,log xy

ïðèíÿòî îáîçíà-

÷àòü

xy ln=

(ãäå ln ÷èòàåòñÿ: «íàòóðàëüíûé ëî-

ãàðèôì»). Ãðàôèêè ôóíêöèé ó = å

xy ln=

ñèì-

ìåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 43).

á)

·...·n

Ðèñ. 44Ðèñ. 42 Ðèñ. 43

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 12. Âèäû ôóíêöèé

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

153152

118. Îïðåäåëåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé.

Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìî-

ùüþ êîîðäèíàò âðàùàþùåéñÿ òî÷êè. Ðàññìîòðèì íà

êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè õÎó åäèíè÷íóþ îêðóæ-

íîñòü, ò. å. îêðóæíîñòü åäèíè÷íîãî ðàäèóñà ñ öåíò-

ðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ð

òî÷êó

åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè ñ êîîðäèíàòàìè (1; 0), ýòó òî÷-

êó áóäåì íàçûâàòü íà÷àëüíîé. Âîçüìåì ïðîèçâîëü-

íîå ÷èñëî

è ïîâåðíåì íà÷àëüíóþ òî÷êó îòíîñè-

òåëüíî òî÷êè Î íà óãîë

; ïðè ýòîì åñëè

,0>t

òî

ïîâîðîò îñóùåñòâëÿåòñÿ â íàïðàâëåíèè ïðîòèâ ÷àñî-

âîé ñòðåëêè (ðèñ. 44, à), à åñëè

,0<t

 òî ïî ÷àñîâîé

ñòðåëêå (ðèñ. 44, á).

Â ðåçóëüòàòå ïîâîðîòà ïîëó÷èì íà åäèíè÷íîé îê-

ðóæíîñòè òî÷êó

Åå îðäèíàòà íàçûâàåòñÿ ñèíóñîì

÷èñëà

è îáîçíà÷àåòñÿ

,sin t

à àáñöèññà  êîñèíó-

ñîì ÷èñëà

(èëè óãëà

) è îáîçíà÷àåòñÿ

.cos t

(ñì. ï. 224) â òî÷êå (0; 1) îáðàçóåò ñ îñüþ Îõ óãîë 45°

(ðèñ. 42). Îñíîâàíèå à òàêîé ôóíêöèè ó = à

ïðèíÿòî

îáîçíà÷àòü áóêâîé å, ò. å. ó = å

. Ïîäñ÷èòàíî, ÷òî å =

= 2,7182818284590..., è óñòàíîâëåíî, ÷òî å  èððà-

öèîíàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñëå-

äóþùóþ ñóììó:

....

...321

...

321

1 +

×××

××

++=

Èìåííî ñ ïîìîùüþ ýòîãî ðàâåíñòâà è íàõîäÿò çíà÷å-

íèå ÷èñëà å ñ ëþáîé òî÷íîñòüþ.

Ôóíêöèþ ó = å

èíîãäà íàçûâàþò ýêñïîíåíòîé.

Ëîãàðèôìè÷åñêóþ ôóíêöèþ, îáðàòíóþ ýêñïîíåí-

òå ó = å

, ò. å. ôóíêöèþ

,log xy

ïðèíÿòî îáîçíà-

÷àòü

xy ln=

(ãäå ln ÷èòàåòñÿ: «íàòóðàëüíûé ëî-

ãàðèôì»). Ãðàôèêè ôóíêöèé ó = å

xy ln=

ñèì-

ìåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé ó = õ (ðèñ. 43).

á)

·...·n

Ðèñ. 44Ðèñ. 42 Ðèñ. 43

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 12. Âèäû ôóíêöèé

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

155154

1 ðàä =

180

1;57

180 p

=°°»

ðàä

017,0»

ðàä.

Íàïðèìåð,

,228sin)574(sin4sin °=°×»

cos

180

225cos225cos

×=°

Ôóíêöèè

xyxyxyxy ctg,tg,cos,sin ====

íàçûâàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè.

119. Çíàêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åò-

âåðòÿì. Ïîñêîëüêó

tsin

tcos

 ýòî ñîîòâåòñòâåí-

íî îðäèíàòà è àáñöèññà òî÷êè Ð

åäèíè÷íîé îêðóæ-

íîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò (ñì. ï. 118), ñè-

íóñ ïîëîæèòåëåí äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà âåðõíåé ïî-

ëóîêðóæíîñòè, è îòðèöàòåëåí äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà

íèæíåé ïîëóîêðóæíîñòè; êîñèíóñ ïîëîæèòåëåí äëÿ

òî÷åê, ëåæàùèõ íà ïðàâîé ïîëóîêðóæíîñòè, è îòðè-

öàòåëåí  íà ëåâîé ïîëóîêðóæíîñòè. Çíàêè âñåõ òðè-

ãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì åäèíè÷íîé

îêðóæíîñòè óêàçàíû íà ðèñ. 45.

120. Èññëåäîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé

íà ÷åòíîñòü, íå÷åòíîñòü. Òî÷êè

åäèíè÷íîé

Òàíãåíñîì ÷èñëà

íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ñè-

íóñà ÷èñëà

ê åãî êîñèíóñó:

cos

sin

t =

Êîòàíãåíñîì ÷èñëà

íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå êî-

ñèíóñà ÷èñëà

ê åãî ñèíóñó:

sin

cos

ctg

t =

Ïðèâåäåì òàáëèöó çíà÷åíèé ñèíóñà, êîñèíóñà,

òàíãåíñà è êîòàíãåíñà íåêîòîðûõ óãëîâ:

Èç îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò òàí-

ãåíñ óãëîâ, êîñèíóñ êîòîðûõ ðàâåí íóëþ, è êîòàíãåíñ

óãëîâ, ñèíóñ êîòîðûõ ðàâåí íóëþ.

Ãîâîðÿ î ñèíóñå, êîñèíóñå, òàíãåíñå è êîòàíãåíñå

÷èñëà, èñïîëüçóþò êàê ãðàäóñíóþ, òàê è ðàäèàííóþ

ìåðó óãëà (ñì. ï. 254):

Ôóíêöèÿ

Àðãóìåíò t

0°

30°

45° 60°

90°

180°

270°



1



Ö2

Ö3

Ö2

Ö3

Ðèñ. 45

cos t

tg t

sin t

ctg t

ÀËÃÅÁÐÀ

§ 12. Âèäû ôóíêöèé

ÀËÃÅÁÐÀ

Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ

155154

1 ðàä =

180

1;57

180 p

=°°»

ðàä

017,0»

ðàä.

Íàïðèìåð,

,228sin)574(sin4sin °=°×»

cos

180

225cos225cos

×=°

Ôóíêöèè

xyxyxyxy ctg,tg,cos,sin ====

íàçûâàþò òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè.

119. Çíàêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åò-

âåðòÿì. Ïîñêîëüêó

tsin

tcos

 ýòî ñîîòâåòñòâåí-

íî îðäèíàòà è àáñöèññà òî÷êè Ð

åäèíè÷íîé îêðóæ-

íîñòè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò (ñì. ï. 118), ñè-

íóñ ïîëîæèòåëåí äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà âåðõíåé ïî-

ëóîêðóæíîñòè, è îòðèöàòåëåí äëÿ òî÷åê, ëåæàùèõ íà

íèæíåé ïîëóîêðóæíîñòè; êîñèíóñ ïîëîæèòåëåí äëÿ

òî÷åê, ëåæàùèõ íà ïðàâîé ïîëóîêðóæíîñòè, è îòðè-

öàòåëåí  íà ëåâîé ïîëóîêðóæíîñòè. Çíàêè âñåõ òðè-

ãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ïî ÷åòâåðòÿì åäèíè÷íîé

îêðóæíîñòè óêàçàíû íà ðèñ. 45.

120. Èññëåäîâàíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé

íà ÷åòíîñòü, íå÷åòíîñòü. Òî÷êè

åäèíè÷íîé

Òàíãåíñîì ÷èñëà

íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ñè-

íóñà ÷èñëà

ê åãî êîñèíóñó:

cos

sin

t =

Êîòàíãåíñîì ÷èñëà

íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå êî-

ñèíóñà ÷èñëà

ê åãî ñèíóñó:

sin

cos

ctg

t =

Ïðèâåäåì òàáëèöó çíà÷åíèé ñèíóñà, êîñèíóñà,

òàíãåíñà è êîòàíãåíñà íåêîòîðûõ óãëîâ:

Èç îïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî íå ñóùåñòâóåò òàí-

ãåíñ óãëîâ, êîñèíóñ êîòîðûõ ðàâåí íóëþ, è êîòàíãåíñ

óãëîâ, ñèíóñ êîòîðûõ ðàâåí íóëþ.

Ãîâîðÿ î ñèíóñå, êîñèíóñå, òàíãåíñå è êîòàíãåíñå

÷èñëà, èñïîëüçóþò êàê ãðàäóñíóþ, òàê è ðàäèàííóþ

ìåðó óãëà (ñì. ï. 254):

Ôóíêöèÿ

Àðãóìåíò t

0°

30°

45° 60°

90°

180°

270°



1



Ö2

Ö3

Ö2

Ö3

Ðèñ. 45

cos t

tg t

sin t

ctg t