Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
177176
135. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè
.kxfy )(=
Çàäà÷à I. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
),(kxfy =
ãäå
,1,0 ¹> kk
çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè
).(xfy =
q Ïóñòü
).(
00
xfy =
Ïîñòàâèì âîïðîñ: êàêîå çíà-
÷åíèå àðãóìåíòà õ íóæíî âçÿòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ
)(kxfy =
ïðèíÿëà çíà÷åíèå ó
0
? ßñíî, ÷òî ýòî çíà÷å-
íèå õ äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ
,
0
xkx =
ò. å.
.
/
0
kxx =
Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà (õ
0
; ó
0
), ëåæàùàÿ íà
ãðàôèêå çàäàííîé ôóíêöèè
),(xfy =
ïðåîáðàçóåòñÿ
â òî÷êó
)
,;
/
(
00
ykx
ëåæàùóþ íà ãðàôèêå ôóíêöèè
).(kxfy =
Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå åñòü ñæàòèå ãðàôè-
êà
)(xfy =
ñ êîýôôèöèåíòîì k ê îñè Îó (åñëè
,10 << k
òî ôàêòè÷åñêè ïîëó÷àåòñÿ ðàñòÿæåíèå îò
îñè Îó ñ êîýôôèöèåíòîì
)./1 k
n
Íà ðèñ. 65 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé
xy
arccos
=
è
,2arccos xy =
à íà ðèñ. 66 ãðàôèêè
ôóíêöèé
xy =
è
.3
/
xy =
Çàäà÷à II. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
),( xfy -=
çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè
).(xfy =
q Ïóñòü
).(
00
xfy =
Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ
=y
)( xf -=
ïðèíÿëà çíà÷åíèå ó
0
, çíà÷åíèå õ äîëæíî
óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ õ
0
= õ, ò. å. õ = õ
0
. Òî÷êà
(õ
0
; ó
0
) ãðàôèêà ôóíêöèè
)(xfy =
ïðåîáðàçóåòñÿ â
Íàéäåì òî÷êè ãðàôèêà, èìåþùèå îðäèíàòó, ðàâ-
íóþ ñâîáîäíîìó ÷ëåíó êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà. Äëÿ
ýòîãî ðåøèì óðàâíåíèå
,445,0
2
=+-- xx
ò. å.
,05,0
2
=+ xx
îòêóäà
.2,0
21
-== xx
Èòàê, ìû íàøëè äâå òî÷êè ãðàôèêà À (0; 4) è
 ( 2; 4).
Òàê êàê òî÷êè À è  ëåæàò íà ïàðàáîëå è èìåþò
îäèíàêîâóþ îðäèíàòó, òî îíè ñèììåòðè÷íû îòíîñè-
òåëüíî îñè ñèììåòðèè ïàðàáîëû, à ïîòîìó óêàçàííàÿ
îñü ïðîõîäèò ïåðïåíäèêóëÿðíî îòðåçêó À ÷åðåç åãî
ñåðåäèíó. Àáñöèññà òî÷êè À ðàâíà íóëþ, à àáñöèññà
òî÷êè  ðàâíà 2, ïîýòîìó óðàâíåíèå îñè ïàðàáîëû
èìååò âèä õ = 1. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå õ = 1 â ðà-
âåíñòâî ó = 0,5õ
2
õ + 4, ïîëó÷èì ó =
= 4,5. Çíà÷èò, âåðøèíà Ñ ïàðàáîëû, ò. å. åäèíñòâåí-
íàÿ òî÷êà ïàðàáîëû, ëåæàùàÿ íà åå îñè ñèììåòðèè,
èìååò êîîðäèíàòû õ
0
= 1, ó
0
= 4,5. Îòìåòèâ íà êîîð-
äèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷êó Ñ ( 1; 4,5), ïîñòðîèì ïà-
ðàáîëó, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òðè òî÷êè À, Â, Ñ. Ýòî è
åñòü èñêîìûé ãðàôèê (ðèñ. 64).
III ñïîñîá: ïîñòðîåíèå ïàðàáîëû ïî êîðíÿì êâàä-
ðàòíîãî òðåõ÷ëåíà.
Èç óðàâíåíèÿ
045,0
2
=+-- xx
íàõîäèì
.2,4
21
=-= xx
Ïîýòîìó ìû çíàåì äâå òî÷êè èñêîìîé
ïàðàáîëû: D ( 4; 0) è E (2; 0). Òàê êàê îñü ñèììåò-
ðèè ïàðàáîëû ïåðïåíäèêóëÿðíà îòðåçêó DE è ïðî-
õîäèò ÷åðåç åãî ñåðåäèíó, òî óðàâíåíèå ýòîé îñè
èìååò âèä õ = 1. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå õ = 1 â
ðàâåíñòâî
,45,0
2
+--= xxy
íàõîäèì ó = 4,5. Èòàê,
âåðøèíîé ïàðàáîëû ñëóæèò òî÷êà Ñ (1; 4,5). Ïî òðåì
òî÷êàì D, E è Ñ ñòðîèì èñêîìûé ãðàôèê (ðèñ. 64). n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
177176
135. Ïîñòðîåíèå ãðàôèêà ôóíêöèè
.kxfy )(=
Çàäà÷à I. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
),(kxfy =
ãäå
,1,0 ¹> kk
çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè
).(xfy =
q Ïóñòü
).(
00
xfy =
Ïîñòàâèì âîïðîñ: êàêîå çíà-
÷åíèå àðãóìåíòà õ íóæíî âçÿòü, ÷òîáû ôóíêöèÿ
)(kxfy =
ïðèíÿëà çíà÷åíèå ó
0
? ßñíî, ÷òî ýòî çíà÷å-
íèå õ äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ
,
0
xkx =
ò. å.
.
/
0
kxx =
Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà (õ
0
; ó
0
), ëåæàùàÿ íà
ãðàôèêå çàäàííîé ôóíêöèè
),(xfy =
ïðåîáðàçóåòñÿ
â òî÷êó
)
,;
/
(
00
ykx
ëåæàùóþ íà ãðàôèêå ôóíêöèè
).(kxfy =
Ýòî ïðåîáðàçîâàíèå åñòü ñæàòèå ãðàôè-
êà
)(xfy =
ñ êîýôôèöèåíòîì k ê îñè Îó (åñëè
,10 << k
òî ôàêòè÷åñêè ïîëó÷àåòñÿ ðàñòÿæåíèå îò
îñè Îó ñ êîýôôèöèåíòîì
)./1 k
n
Íà ðèñ. 65 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé
xy
arccos
=
è
,2arccos xy =
à íà ðèñ. 66 ãðàôèêè
ôóíêöèé
xy =
è
.3
/
xy =
Çàäà÷à II. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
),( xfy -=
çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè
).(xfy =
q Ïóñòü
).(
00
xfy =
Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ
=y
)( xf -=
ïðèíÿëà çíà÷åíèå ó
0
, çíà÷åíèå õ äîëæíî
óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ õ
0
= õ, ò. å. õ = õ
0
. Òî÷êà
(õ
0
; ó
0
) ãðàôèêà ôóíêöèè
)(xfy =
ïðåîáðàçóåòñÿ â
Íàéäåì òî÷êè ãðàôèêà, èìåþùèå îðäèíàòó, ðàâ-
íóþ ñâîáîäíîìó ÷ëåíó êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà. Äëÿ
ýòîãî ðåøèì óðàâíåíèå
,445,0
2
=+-- xx
ò. å.
,05,0
2
=+ xx
îòêóäà
.2,0
21
-== xx
Èòàê, ìû íàøëè äâå òî÷êè ãðàôèêà À (0; 4) è
 ( 2; 4).
Òàê êàê òî÷êè À è  ëåæàò íà ïàðàáîëå è èìåþò
îäèíàêîâóþ îðäèíàòó, òî îíè ñèììåòðè÷íû îòíîñè-
òåëüíî îñè ñèììåòðèè ïàðàáîëû, à ïîòîìó óêàçàííàÿ
îñü ïðîõîäèò ïåðïåíäèêóëÿðíî îòðåçêó À ÷åðåç åãî
ñåðåäèíó. Àáñöèññà òî÷êè À ðàâíà íóëþ, à àáñöèññà
òî÷êè  ðàâíà 2, ïîýòîìó óðàâíåíèå îñè ïàðàáîëû
èìååò âèä õ = 1. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå õ = 1 â ðà-
âåíñòâî ó = 0,5õ
2
õ + 4, ïîëó÷èì ó =
= 4,5. Çíà÷èò, âåðøèíà Ñ ïàðàáîëû, ò. å. åäèíñòâåí-
íàÿ òî÷êà ïàðàáîëû, ëåæàùàÿ íà åå îñè ñèììåòðèè,
èìååò êîîðäèíàòû õ
0
= 1, ó
0
= 4,5. Îòìåòèâ íà êîîð-
äèíàòíîé ïëîñêîñòè òî÷êó Ñ ( 1; 4,5), ïîñòðîèì ïà-
ðàáîëó, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òðè òî÷êè À, Â, Ñ. Ýòî è
åñòü èñêîìûé ãðàôèê (ðèñ. 64).
III ñïîñîá: ïîñòðîåíèå ïàðàáîëû ïî êîðíÿì êâàä-
ðàòíîãî òðåõ÷ëåíà.
Èç óðàâíåíèÿ
045,0
2
=+-- xx
íàõîäèì
.2,4
21
=-= xx
Ïîýòîìó ìû çíàåì äâå òî÷êè èñêîìîé
ïàðàáîëû: D ( 4; 0) è E (2; 0). Òàê êàê îñü ñèììåò-
ðèè ïàðàáîëû ïåðïåíäèêóëÿðíà îòðåçêó DE è ïðî-
õîäèò ÷åðåç åãî ñåðåäèíó, òî óðàâíåíèå ýòîé îñè
èìååò âèä õ = 1. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå õ = 1 â
ðàâåíñòâî
,45,0
2
+--= xxy
íàõîäèì ó = 4,5. Èòàê,
âåðøèíîé ïàðàáîëû ñëóæèò òî÷êà Ñ (1; 4,5). Ïî òðåì
òî÷êàì D, E è Ñ ñòðîèì èñêîìûé ãðàôèê (ðèñ. 64). n
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
179178
136. Ñæàòèå è ðàñòÿæåíèå ãðàôèêîâ òðèãîíî-
ìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Çäåñü ðå÷ü èäåò î ïîñòðîå-
íèè ãðàôèêîâ ôóíêöèé âèäà
,sin kxmy =
=y
,cos kxm=
,tg kxmy =
.ctg kxmy =
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
.2cos3 xy -=
q Ïîñòðîèì îäíó ïîëóâîëíó ãðàôèêà ôóíêöèè
.cos
xy =
Îñóùåñòâèâ åå ñæàòèå ê îñè Îó ñ êîýôôè-
öèåíòîì 2, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè
.2cos xy =
Òåïåðü ïðîèçâåäåì ðàñòÿæåíèå ïîñòðîåííîãî ãðà-
ôèêà îò îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì 3, à çàòåì ïðåîá-
ðàçîâàíèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ. Â ðå-
çóëüòàòå áóäåò ïîñòðîåíà ïîëóâîëíà ãðàôèêà ôóí-
êöèè
.2cos3 xy -=
Íà ðèñ. 69, à ïîêàçàíà îäíà ïî-
ëóâîëíà èñêîìîãî ãðàôèêà, à íà ðèñ. 69, á âåñü
ãðàôèê.
òî÷êó (õ
0
; ó
0
) ãðàôèêà ôóíêöèè
)( xfy -=
. Ýòî çíà-
÷èò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè
)( xfy -=
ìîæíî ïîëó÷èòü
èç ãðàôèêà ôóíêöèè
)(xfy =
ïðåîáðàçîâàíèåì
ñèììåòðèè ïîñëåäíåãî îòíîñèòåëüíî îñè Îó. n
Íà ðèñ. 67 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé
=y
x
3
log
=
è
).(log
3
xy -=
Çàäà÷à III. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
),(kxfy =
ãäå
,0<k
k ¹ 1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè
).(xfy =
q Èìååì
.
)
(
)
(
xkfkxf -=
Ïîýòîìó ãðàôèê ôóí-
êöèè
)(kxfy =
ìîæíî ïîëó÷èòü ñæàòèåì ãðàôèêà
ôóíêöèè
)(xfy =
ñ êîýôôèöèåíòîì
k
ê îñè Îó è
ñèììåòðèåé ïîëó÷åííîãî ãðàôèêà
)
(
xkfy =
îòíîñè-
òåëüíî îñè Îó. n
Íà ðèñ. 68 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé
2/3
xy =
è
.)2(
2/3
xy -=
n
Ðèñ. 65 Ðèñ. 66
Ðèñ. 67 Ðèñ. 68
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
179178
136. Ñæàòèå è ðàñòÿæåíèå ãðàôèêîâ òðèãîíî-
ìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Çäåñü ðå÷ü èäåò î ïîñòðîå-
íèè ãðàôèêîâ ôóíêöèé âèäà
,sin kxmy =
=y
,cos kxm=
,tg kxmy =
.ctg kxmy =
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
.2cos3 xy -=
q Ïîñòðîèì îäíó ïîëóâîëíó ãðàôèêà ôóíêöèè
.cos
xy =
Îñóùåñòâèâ åå ñæàòèå ê îñè Îó ñ êîýôôè-
öèåíòîì 2, ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè
.2cos xy =
Òåïåðü ïðîèçâåäåì ðàñòÿæåíèå ïîñòðîåííîãî ãðà-
ôèêà îò îñè Îõ ñ êîýôôèöèåíòîì 3, à çàòåì ïðåîá-
ðàçîâàíèå ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî îñè Îõ. Â ðå-
çóëüòàòå áóäåò ïîñòðîåíà ïîëóâîëíà ãðàôèêà ôóí-
êöèè
.2cos3 xy -=
Íà ðèñ. 69, à ïîêàçàíà îäíà ïî-
ëóâîëíà èñêîìîãî ãðàôèêà, à íà ðèñ. 69, á âåñü
ãðàôèê.
òî÷êó (õ
0
; ó
0
) ãðàôèêà ôóíêöèè
)( xfy -=
. Ýòî çíà-
÷èò, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè
)( xfy -=
ìîæíî ïîëó÷èòü
èç ãðàôèêà ôóíêöèè
)(xfy =
ïðåîáðàçîâàíèåì
ñèììåòðèè ïîñëåäíåãî îòíîñèòåëüíî îñè Îó. n
Íà ðèñ. 67 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé
=y
x
3
log
=
è
).(log
3
xy -=
Çàäà÷à III. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
),(kxfy =
ãäå
,0<k
k ¹ 1, çíàÿ ãðàôèê ôóíêöèè
).(xfy =
q Èìååì
.
)
(
)
(
xkfkxf -=
Ïîýòîìó ãðàôèê ôóí-
êöèè
)(kxfy =
ìîæíî ïîëó÷èòü ñæàòèåì ãðàôèêà
ôóíêöèè
)(xfy =
ñ êîýôôèöèåíòîì
k
ê îñè Îó è
ñèììåòðèåé ïîëó÷åííîãî ãðàôèêà
)(
xkfy =
îòíîñè-
òåëüíî îñè Îó. n
Íà ðèñ. 68 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ôóíêöèé
2/3
xy =
è
.)2(
2/3
xy -=
n
Ðèñ. 65 Ðèñ. 66
Ðèñ. 67 Ðèñ. 68
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
181180
q Èìååì
.
23
1
sin2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-= xy
Ïîñòðîåíèå ãðà-
ôèêà âûïîëíèì â íåñêîëüêî ýòàïîâ.
1. Ïðîèçâåäåì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ñèñòåìû
êîîðäèíàò, âûáðàâ â êà÷åñòâå íà÷àëà íîâîé ñèñòåìû
òî÷êó
.0;2
/
p
¢
O
 ñèñòåìå
yOx
¢¢¢
íàì íóæíî ïîñò-
ðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
).3/(sin2 xy
¢
=
¢
2. Ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè
.sin xy
¢
=
¢
3. Âûïîëíèâ ñæàòèå ãðàôèêà ê îñè
yO
¢¢
ñ êîýô-
ôèöèåíòîì 1/3 (ò. å. ðàñòÿæåíèå ñ êîýôôèöèåí-
òîì 3), ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè
).3/(sin xy
¢
=
¢
4. Îñóùåñòâèì ðàñòÿæåíèå ïîñëåäíåãî ãðàôèêà
îò îñè
xO
¢¢
ñ êîýôôèöèåíòîì 2. Ïîëó÷åííûé ãðà-
ôèê ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-=
63
sin2
x
y
(ðèñ. 70).n
137. Ãðàôèê ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ó =
).(sin a+wxA=
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè èñ-
ïîëüçóþòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ.
Îäèí èç íàèáîëåå âàæíûõ ïðîöåññîâ òàêîãî ðîäà îïè-
ñûâàåòñÿ ôîðìóëîé
),(sin a+w= xAy
êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ãàðìîíè÷åñêèõ (èëè
ñèíóñîèäàëüíûõ) êîëåáàíèé. Âåëè÷èíà À íàçûâà-
åòñÿ àìïëèòóäîé êîëåáàíèÿ, îíà õàðàêòåðèçóåò ðàç-
ìàõ êîëåáàíèÿ. Âåëè÷èíà
w
íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé
êîëåáàíèÿ. ×åì áîëüøå
,
w
òåì áîëüøå ÷èñëî êîëå-
áàíèé çà åäèíèöó âðåìåíè. Íàêîíåö, a íàçûâàåòñÿ
íà÷àëüíîé ôàçîé êîëåáàíèÿ.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
.
63
sin2
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-=
x
y
à)
á)
Ðèñ.69
Ðèñ. 70
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 13. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàôèêîâ
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë III. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÃÐÀÔÈÊÈ
181180
q Èìååì
.
23
1
sin2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-= xy
Ïîñòðîåíèå ãðà-
ôèêà âûïîëíèì â íåñêîëüêî ýòàïîâ.
1. Ïðîèçâåäåì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ñèñòåìû
êîîðäèíàò, âûáðàâ â êà÷åñòâå íà÷àëà íîâîé ñèñòåìû
òî÷êó
.0;2
/
p
¢
O
 ñèñòåìå
yOx
¢¢¢
íàì íóæíî ïîñò-
ðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
).3/(sin2 xy
¢
=
¢
2. Ñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè
.sin xy
¢
=
¢
3. Âûïîëíèâ ñæàòèå ãðàôèêà ê îñè
yO
¢¢
ñ êîýô-
ôèöèåíòîì 1/3 (ò. å. ðàñòÿæåíèå ñ êîýôôèöèåí-
òîì 3), ïîëó÷èì ãðàôèê ôóíêöèè
).3/(sin xy
¢
=
¢
4. Îñóùåñòâèì ðàñòÿæåíèå ïîñëåäíåãî ãðàôèêà
îò îñè
xO
¢¢
ñ êîýôôèöèåíòîì 2. Ïîëó÷åííûé ãðà-
ôèê ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-=
63
sin2
x
y
(ðèñ. 70).n
137. Ãðàôèê ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ ó =
).(sin a+wxA=
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè èñ-
ïîëüçóþòñÿ äëÿ îïèñàíèÿ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ.
Îäèí èç íàèáîëåå âàæíûõ ïðîöåññîâ òàêîãî ðîäà îïè-
ñûâàåòñÿ ôîðìóëîé
),(sin a+w= xAy
êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ãàðìîíè÷åñêèõ (èëè
ñèíóñîèäàëüíûõ) êîëåáàíèé. Âåëè÷èíà À íàçûâà-
åòñÿ àìïëèòóäîé êîëåáàíèÿ, îíà õàðàêòåðèçóåò ðàç-
ìàõ êîëåáàíèÿ. Âåëè÷èíà
w
íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé
êîëåáàíèÿ. ×åì áîëüøå
,
w
òåì áîëüøå ÷èñëî êîëå-
áàíèé çà åäèíèöó âðåìåíè. Íàêîíåö, a íàçûâàåòñÿ
íà÷àëüíîé ôàçîé êîëåáàíèÿ.
Ï ð è ì å ð. Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
.
63
sin2
÷
ø
ö
ç
è
æ
p
-=
x
y
à)
á)
Ðèñ.69
Ðèñ. 70
182
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
183
íûìè. Ðàâíîñèëüíûìè ñ÷èòàþòñÿ è óðàâíåíèÿ, êàæ-
äîå èç êîòîðûõ íå èìååò êîðíåé.
Íàïðèìåð, óðàâíåíèÿ õ + 2 = 7 è 2õ + 1 = 11
ðàâíîñèëüíû, òàê êàê êàæäîå èç íèõ èìååò åäèíñòâåí-
íûé êîðåíü ÷èñëî 5. Ðàâíîñèëüíû è óðàâíåíèÿ
01
2
=+x
è
132
2
=+x
íè îäíî èç íèõ íå èìååò êîð-
íåé. Óðàâíåíèÿ õ 6 = 0 è
36
2
=x
íåðàâíîñèëüíû,
ïîñêîëüêó ïåðâîå èìååò òîëüêî îäèí êîðåíü 6, âòîðîå
èìååò äâà êîðíÿ: 6 è 6.
Ò.4.1. Åñëè â óðàâíåíèè êàêîå-íèáóäü ñëàãàåìîå ïå-
ðåíåñòè èç îäíîé ÷àñòè â äðóãóþ, èçìåíèâ åãî
çíàê, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàí-
íîìó.
Ò.4.2. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ óìíîæèòü èëè ðàç-
äåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, èìåþùåå ñìûñë
ïðè âñåõ õ è íè ïðè êàêèõ õ íå îáðàùàþùååñÿ â
íóëü, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàí-
íîìó.
Ò.4.3. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ âîçâåñòè â îäíó è
òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü èëè èç îáåèõ ÷àñòåé
óðàâíåíèÿ èçâëå÷ü êîðåíü îäíîé è òîé æå íå÷åò-
íîé ñòåïåíè, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëü-
íîå äàííîìó.
Ò.4.4. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íåîòðèöàòåëüíû
ïðè âñåõ õ, òî ïîñëå èõ âîçâåäåíèÿ â îäíó è òó æå
÷åòíóþ ñòåïåíü ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëü-
íîå äàííîìó.
140. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ. Ëèíåéíûì óðàâíå-
íèåì ñ îäíîé ïåðåìåííîé õ íàçûâàþò óðàâíåíèå
âèäà
,bax =
ãäå à è b äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà; à
íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ïðè ïåðåìåííîé, b
ñâîáîäíûì ÷ëåíîì.
Ðàçäåë IV
ÓÐÀÂÍÅÍÈß È ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
138. Îïðåäåëåíèå óðàâíåíèÿ. Êîðíè óðàâíåíèÿ.
Ðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííîé
)()( xgxf =
íàçûâàåòñÿ óðàâ-
íåíèåì ñ îäíîé ïåðåìåííîé õ, åñëè ïîñòàâëåíà çà-
äà÷à íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé õ, ïðè êî-
òîðûõ âûðàæåíèÿ
)(xf
è
)(xg
ïðèíèìàþò ðàâíûå ÷èñ-
ëîâûå çíà÷åíèÿ. Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî
)()( xgxf =
óðàâíåíèå ñ îäíèì íåèçâåñòíûì õ.
Âñÿêîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì âûðà-
æåíèÿ
)(xf
è
)(xg
ïðèíèìàþò ðàâíûå ÷èñëîâûå çíà-
÷åíèÿ, íàçûâàåòñÿ êîðíåì (èëè ðåøåíèåì) óðàâíå-
íèÿ. Ðåøèòü óðàâíåíèå ýòî çíà÷èò íàéòè âñå åãî
êîðíè èëè óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî èõ íåò.
Òàê, óðàâíåíèå 3õ + 2 = 8 èìååò åäèíñòâåííûé
êîðåíü õ = 2, ïîñêîëüêó òîëüêî ïðè õ = 2 ïîëó÷àåòñÿ
âåðíîå ðàâåíñòâî 8 = 8. Óðàâíåíèå (õ 1) (õ 3) = 0
èìååò äâà êîðíÿ: 1 è 3. Óðàâíåíèå
01
2
=+x
íå èìååò
äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé.
Çàìåòèì, ÷òî ìîæíî ãîâîðèòü è î ìíèìûõ êîðíÿõ
óðàâíåíèé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå
04
2
=+x
èìååò äâà
ìíèìûõ êîðíÿ:
ixix 2,2
21
-==
(ñì. ï. 50). Âñþäó
íèæå ðå÷ü èäåò òîëüêî î äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿõ.
139. Ðàâíîñèëüíîñòü óðàâíåíèé. Óðàâíåíèÿ, èìå-
þùèå îäíè è òå æå êîðíè, íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëü-
182
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
183
íûìè. Ðàâíîñèëüíûìè ñ÷èòàþòñÿ è óðàâíåíèÿ, êàæ-
äîå èç êîòîðûõ íå èìååò êîðíåé.
Íàïðèìåð, óðàâíåíèÿ õ + 2 = 7 è 2õ + 1 = 11
ðàâíîñèëüíû, òàê êàê êàæäîå èç íèõ èìååò åäèíñòâåí-
íûé êîðåíü ÷èñëî 5. Ðàâíîñèëüíû è óðàâíåíèÿ
01
2
=+x
è
132
2
=+x
íè îäíî èç íèõ íå èìååò êîð-
íåé. Óðàâíåíèÿ õ 6 = 0 è
36
2
=x
íåðàâíîñèëüíû,
ïîñêîëüêó ïåðâîå èìååò òîëüêî îäèí êîðåíü 6, âòîðîå
èìååò äâà êîðíÿ: 6 è 6.
Ò.4.1. Åñëè â óðàâíåíèè êàêîå-íèáóäü ñëàãàåìîå ïå-
ðåíåñòè èç îäíîé ÷àñòè â äðóãóþ, èçìåíèâ åãî
çíàê, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàí-
íîìó.
Ò.4.2. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ óìíîæèòü èëè ðàç-
äåëèòü íà îäíî è òî æå âûðàæåíèå, èìåþùåå ñìûñë
ïðè âñåõ õ è íè ïðè êàêèõ õ íå îáðàùàþùååñÿ â
íóëü, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå äàí-
íîìó.
Ò.4.3. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ âîçâåñòè â îäíó è
òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü èëè èç îáåèõ ÷àñòåé
óðàâíåíèÿ èçâëå÷ü êîðåíü îäíîé è òîé æå íå÷åò-
íîé ñòåïåíè, òî ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëü-
íîå äàííîìó.
Ò.4.4. Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íåîòðèöàòåëüíû
ïðè âñåõ õ, òî ïîñëå èõ âîçâåäåíèÿ â îäíó è òó æå
÷åòíóþ ñòåïåíü ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ðàâíîñèëü-
íîå äàííîìó.
140. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ. Ëèíåéíûì óðàâíå-
íèåì ñ îäíîé ïåðåìåííîé õ íàçûâàþò óðàâíåíèå
âèäà
,bax =
ãäå à è b äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà; à
íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì ïðè ïåðåìåííîé, b
ñâîáîäíûì ÷ëåíîì.
Ðàçäåë IV
ÓÐÀÂÍÅÍÈß È ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
138. Îïðåäåëåíèå óðàâíåíèÿ. Êîðíè óðàâíåíèÿ.
Ðàâåíñòâî ñ ïåðåìåííîé
)()( xgxf =
íàçûâàåòñÿ óðàâ-
íåíèåì ñ îäíîé ïåðåìåííîé õ, åñëè ïîñòàâëåíà çà-
äà÷à íàéòè âñå òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé õ, ïðè êî-
òîðûõ âûðàæåíèÿ
)(xf
è
)(xg
ïðèíèìàþò ðàâíûå ÷èñ-
ëîâûå çíà÷åíèÿ. Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî
)()( xgxf =
óðàâíåíèå ñ îäíèì íåèçâåñòíûì õ.
Âñÿêîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïðè êîòîðîì âûðà-
æåíèÿ
)(xf
è
)(xg
ïðèíèìàþò ðàâíûå ÷èñëîâûå çíà-
÷åíèÿ, íàçûâàåòñÿ êîðíåì (èëè ðåøåíèåì) óðàâíå-
íèÿ. Ðåøèòü óðàâíåíèå ýòî çíà÷èò íàéòè âñå åãî
êîðíè èëè óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî èõ íåò.
Òàê, óðàâíåíèå 3õ + 2 = 8 èìååò åäèíñòâåííûé
êîðåíü õ = 2, ïîñêîëüêó òîëüêî ïðè õ = 2 ïîëó÷àåòñÿ
âåðíîå ðàâåíñòâî 8 = 8. Óðàâíåíèå (õ 1) (õ 3) = 0
èìååò äâà êîðíÿ: 1 è 3. Óðàâíåíèå
01
2
=+x
íå èìååò
äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé.
Çàìåòèì, ÷òî ìîæíî ãîâîðèòü è î ìíèìûõ êîðíÿõ
óðàâíåíèé. Íàïðèìåð, óðàâíåíèå
04
2
=+x
èìååò äâà
ìíèìûõ êîðíÿ:
ixix 2,2
21
-==
(ñì. ï. 50). Âñþäó
íèæå ðå÷ü èäåò òîëüêî î äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿõ.
139. Ðàâíîñèëüíîñòü óðàâíåíèé. Óðàâíåíèÿ, èìå-
þùèå îäíè è òå æå êîðíè, íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëü-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
185184
Êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (1) íàõîäÿò ïî ôîð-
ìóëå
.
2
4
2
a
acbb
x
-±-
=
(2)
Âûðàæåíèå
acbD 4
2
-=
íàçûâàþò äèñêðèìè-
íàíòîì êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (1).
Åñëè
,0<D
òî óðàâíåíèå (1) íå èìååò êîðíåé;
åñëè
,0=D
òî îíî èìååò îäèí êîðåíü; åñëè
,0>D
òî îíî èìååò äâà êîðíÿ.
 ñëó÷àå, êîãäà
,0=D
èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî êâàä-
ðàòíîå óðàâíåíèå èìååò äâà îäèíàêîâûõ êîðíÿ.
Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå
,4
2
acbD -=
ìîæíî ïå-
ðåïèñàòü ôîðìóëó (2) â âèäå
.
2a
Db
x
±-
=
Åñëè
,2kb =
òî ôîðìóëà (2) ïðèíèìàåò âèä
,
2
a
ackk
x
-±-
=
ãäå
.
2
b
k =
(3)
Ôîðìóëà (3) îñîáåííî óäîáíà â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà
êîýôôèöèåíò b ÷åòíîå ÷èñëî.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à)
;0252
2
=+- xx
á)
;096
2
=+- xx
â)
.0532
2
=+- xx
q à) Çäåñü à = 2,
.2,5 =-= cb
Íàõîäèì äèñê-
ðèìèíàíò
.9224)5(4
22
=××--=-= acbD Òàê êàê
Äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ax = b âîçìîæíû òðè
ñëó÷àÿ:
1)
;0¹a
êîðåíü óðàâíåíèÿ ðàâåí
;/ ab
2)
;0,0 == ba
â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèíè-
ìàåò âèä 0 · õ = 0, ÷òî âåðíî ïðè ëþáîì õ, ò. å. êîðåíü
óðàâíåíèÿ ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî;
3)
;0,0 ¹= ba
â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèíè-
ìàåò âèä 0 · õ = b, îíî íå èìååò êîðíåé.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.1
12
5
6
1
43
2
-=
-
++
xxx
q Ýòî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó. Óìíî-
æèâ îáå åãî ÷àñòè íà 12 (íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå
çíàìåíàòåëåé 3, 4, 6, 12), ïîëó÷èì
;1
12
5
12
6
1
43
2
12
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
++
xxx
;1252238 -=-++ xxx
;2351228 xxx +-=++
.5,5;224 == xx
n
141. Êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèÿ âèäà
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
ãäå
cba ,,
äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì
,0¹a
íàçûâàþò êâàäðàòíûì. Åñëè
,1=a
òî êâàäðàòíîå
óðàâíåíèå íàçûâàþò ïðèâåäåííûì; åñëè
1¹a
òî íåïðèâåäåííûì. ×èñëà
cba ,,
íîñÿò ñëåäóþùèå
çíà÷åíèÿ: à ïåðâûé êîýôôèöèåíò,
b
âòîðîé
êîýôôèöèåíò, ñ ñâîáîäíûé ÷ëåí.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
185184
Êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (1) íàõîäÿò ïî ôîð-
ìóëå
.
2
4
2
a
acbb
x
-±-
=
(2)
Âûðàæåíèå
acbD 4
2
-=
íàçûâàþò äèñêðèìè-
íàíòîì êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (1).
Åñëè
,0<D
òî óðàâíåíèå (1) íå èìååò êîðíåé;
åñëè
,0=D
òî îíî èìååò îäèí êîðåíü; åñëè
,0>D
òî îíî èìååò äâà êîðíÿ.
 ñëó÷àå, êîãäà
,0=D
èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî êâàä-
ðàòíîå óðàâíåíèå èìååò äâà îäèíàêîâûõ êîðíÿ.
Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå
,4
2
acbD -=
ìîæíî ïå-
ðåïèñàòü ôîðìóëó (2) â âèäå
.
2a
Db
x
±-
=
Åñëè
,2kb =
òî ôîðìóëà (2) ïðèíèìàåò âèä
,
2
a
ackk
x
-±-
=
ãäå
.
2
b
k =
(3)
Ôîðìóëà (3) îñîáåííî óäîáíà â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà
êîýôôèöèåíò b ÷åòíîå ÷èñëî.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à)
;0252
2
=+- xx
á)
;096
2
=+- xx
â)
.0532
2
=+- xx
q à) Çäåñü à = 2,
.2,5 =-= cb
Íàõîäèì äèñê-
ðèìèíàíò
.9224)5(4
22
=××--=-= acbD Òàê êàê
Äëÿ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ax = b âîçìîæíû òðè
ñëó÷àÿ:
1)
;0¹a
êîðåíü óðàâíåíèÿ ðàâåí
;/ ab
2)
;0,0 == ba
â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèíè-
ìàåò âèä 0 · õ = 0, ÷òî âåðíî ïðè ëþáîì õ, ò. å. êîðåíü
óðàâíåíèÿ ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî;
3)
;0,0 ¹= ba
â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèíè-
ìàåò âèä 0 · õ = b, îíî íå èìååò êîðíåé.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.1
12
5
6
1
43
2
-=
-
++
xxx
q Ýòî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîìó. Óìíî-
æèâ îáå åãî ÷àñòè íà 12 (íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå
çíàìåíàòåëåé 3, 4, 6, 12), ïîëó÷èì
;1
12
5
12
6
1
43
2
12
÷
ø
ö
ç
è
æ
-=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
++
xxx
;1252238 -=-++ xxx
;2351228 xxx +-=++
.5,5;224 == xx
n
141. Êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèÿ âèäà
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
ãäå
cba ,,
äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì
,0¹a
íàçûâàþò êâàäðàòíûì. Åñëè
,1=a
òî êâàäðàòíîå
óðàâíåíèå íàçûâàþò ïðèâåäåííûì; åñëè
1¹a
òî íåïðèâåäåííûì. ×èñëà
cba ,,
íîñÿò ñëåäóþùèå
çíà÷åíèÿ: à ïåðâûé êîýôôèöèåíò,
b
âòîðîé
êîýôôèöèåíò, ñ ñâîáîäíûé ÷ëåí.