Маслова Т.Н., Суходский А.М. Справочник школьника по математике. 5-11 кл
Подождите немного. Документ загружается.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
187186
á) Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà 4, ïîëó÷èì
,025,20
2
=-x ò. å. (õ + 4,5)(õ 4,5) = 0. Çíà÷èò,
õ
1
= 4,5 è õ
2
= 4,5 êîðíè óðàâíåíèÿ.
â) Ïîñêîëüêó 2õ
2
+ 5 > 0 ïðè ëþáûõ õ, äàííîå óðàâ-
íåíèå íå èìååò êîðíåé. n
143. Òåîðåìà Âèåòà.
Ò.4.5. Åñëè ïðèâåäåííîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
0
2
=++ qpxx
èìååò êîðíè õ
1
è õ
2
, òî
,,
2121
qxxpxx =-=+
(1)
ò. å. èõ ñóììà ðàâíà âòîðîìó êîýôôèöèåíòó, âçÿòî-
ìó ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, à ïðîèçâåäåíèå ðàâ-
íî ñâîáîäíîìó ÷ëåíó (òåîðåìà Âèåòà).
Ï ð è ì å ð 1. Íå ðåøàÿ óðàâíåíèå
,0
2
=++ qpxx
íàéòè: à) x
2
1
+ x
2
1
; á) x
3
1
+ x
3
2
.
q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1), ïîëó÷èì
.2
)
(
2
21
2
21
2
2
2
1
qpxxxxxx -=-+=+
á) Èìååì
=+-+=+
)
(
)
(
2
221
2
121
3
2
3
1
xxxxxxxx
= (x
1
+ x
2
)
((x
1
+ x
2
)
2
3x
1
x
2
). Âîñïîëüçîâàâøèñü
ôîðìóëàìè (1), ïîëó÷èì
)
.3
(
23
2
3
1
qppxx --=+
n
Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà, îáðàòíàÿ òåîðåìå Âèåòà.
Ò.4.6. Åñëè ÷èñëà õ
1
è õ
2
òàêîâû, ÷òî
,
21
pxx -=+
,
21
qxx =
òî õ
1
è õ
2
êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíå-
íèÿ
.0
2
=++ qpxx
,0>D
òî óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ, êîòîðûå íàé-
äåì ïî ôîðìóëå (2):
.
4
35
4
95
2
±
=
±
=
±-
=
a
Db
x
Èòàê,
,2
4
35
1
=
+
=x
,5,0
4
35
2
=
-
=x ò. å. õ
1
= 2 è
õ
2
= 0,5 êîðíè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ.
á) Çäåñü à = 1,
.9,6 =-= cb
Ïî ôîðìóëå (3) íàõî-
äèì
,3031993 =±=×-±=x
ò. å. õ = 3 êîðåíü
óðàâíåíèÿ.
â) Çäåñü à = 2,
.5,3 =-= cb
Íàõîäèì
-=
2
bD
.31524)3(4
2
-=××--=- ac
Òàê êàê
,0<D
òî óðàâ-
íåíèå íå èìååò êîðíåé. n
142. Íåïîëíûå êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Åñëè â
êâàäðàòíîì óðàâíåíèè
0
2
=++ cbxax
âòîðîé êî-
ýôôèöèåíò b èëè ñâîáîäíûé ÷ëåí ñ ðàâåí íóëþ, òî
êâàäðàòíîå óðàâíåíèå íàçûâàþò íåïîëíûì. Äëÿ
îòûñêàíèÿ åãî êîðíåé ìîæíî íå ïîëüçîâàòüñÿ ôîð-
ìóëîé êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ïðîùå ðå-
øèòü óðàâíåíèå ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ åãî ëåâîé
÷àñòè íà ìíîæèòåëè.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à)
;052
2
=- xx
á)
;0814
2
=-x â)
.052
2
=+x
q à) Èìååì õ (2õ 5) = 0. Çíà÷èò õ = 0, ëèáî 2õ
5 = 0, ò. å. õ = 2,5. Èòàê, óðàâíåíèå èìååò äâà
êîðíÿ: 0 è 2,5.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
187186
á) Ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà 4, ïîëó÷èì
,025,20
2
=-x ò. å. (õ + 4,5)(õ 4,5) = 0. Çíà÷èò,
õ
1
= 4,5 è õ
2
= 4,5 êîðíè óðàâíåíèÿ.
â) Ïîñêîëüêó 2õ
2
+ 5 > 0 ïðè ëþáûõ õ, äàííîå óðàâ-
íåíèå íå èìååò êîðíåé. n
143. Òåîðåìà Âèåòà.
Ò.4.5. Åñëè ïðèâåäåííîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå
0
2
=++ qpxx
èìååò êîðíè õ
1
è õ
2
, òî
,,
2121
qxxpxx =-=+
(1)
ò. å. èõ ñóììà ðàâíà âòîðîìó êîýôôèöèåíòó, âçÿòî-
ìó ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, à ïðîèçâåäåíèå ðàâ-
íî ñâîáîäíîìó ÷ëåíó (òåîðåìà Âèåòà).
Ï ð è ì å ð 1. Íå ðåøàÿ óðàâíåíèå
,0
2
=++ qpxx
íàéòè: à) x
2
1
+ x
2
1
; á) x
3
1
+ x
3
2
.
q à) Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (1), ïîëó÷èì
.2
)
(
2
21
2
21
2
2
2
1
qpxxxxxx -=-+=+
á) Èìååì
=+-+=+
)
(
)
(
2
221
2
121
3
2
3
1
xxxxxxxx
= (x
1
+ x
2
)
((x
1
+ x
2
)
2
3x
1
x
2
). Âîñïîëüçîâàâøèñü
ôîðìóëàìè (1), ïîëó÷èì
)
.3
(
23
2
3
1
qppxx --=+
n
Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà, îáðàòíàÿ òåîðåìå Âèåòà.
Ò.4.6. Åñëè ÷èñëà õ
1
è õ
2
òàêîâû, ÷òî
,
21
pxx -=+
,
21
qxx =
òî õ
1
è õ
2
êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíå-
íèÿ
.0
2
=++ qpxx
,0>D
òî óðàâíåíèå èìååò äâà êîðíÿ, êîòîðûå íàé-
äåì ïî ôîðìóëå (2):
.
4
35
4
95
2
±
=
±
=
±-
=
a
Db
x
Èòàê,
,2
4
35
1
=
+
=x
,5,0
4
35
2
=
-
=x ò. å. õ
1
= 2 è
õ
2
= 0,5 êîðíè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ.
á) Çäåñü à = 1,
.9,6 =-= cb
Ïî ôîðìóëå (3) íàõî-
äèì
,3031993 =±=×-±=x
ò. å. õ = 3 êîðåíü
óðàâíåíèÿ.
â) Çäåñü à = 2,
.5,3 =-= cb
Íàõîäèì
-=
2
bD
.31524)3(4
2
-=××--=- ac
Òàê êàê
,0<D
òî óðàâ-
íåíèå íå èìååò êîðíåé. n
142. Íåïîëíûå êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Åñëè â
êâàäðàòíîì óðàâíåíèè
0
2
=++ cbxax
âòîðîé êî-
ýôôèöèåíò b èëè ñâîáîäíûé ÷ëåí ñ ðàâåí íóëþ, òî
êâàäðàòíîå óðàâíåíèå íàçûâàþò íåïîëíûì. Äëÿ
îòûñêàíèÿ åãî êîðíåé ìîæíî íå ïîëüçîâàòüñÿ ôîð-
ìóëîé êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ïðîùå ðå-
øèòü óðàâíåíèå ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ åãî ëåâîé
÷àñòè íà ìíîæèòåëè.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à)
;052
2
=- xx
á)
;0814
2
=-x â)
.052
2
=+x
q à) Èìååì õ (2õ 5) = 0. Çíà÷èò õ = 0, ëèáî 2õ
5 = 0, ò. å. õ = 2,5. Èòàê, óðàâíåíèå èìååò äâà
êîðíÿ: 0 è 2,5.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
189188
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé
ê
ê
ë
é
=+-
=-
.0
)
2
(
)
1
(
,01
2
xx
x
q Êîðíÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà
1 è 1, à êîðíÿìè âòîðîãî ÷èñëà 1 è 2. Çíà÷èò,
ðåøåíèåì äàííîé ñîâîêóïíîñòè ñëóæàò ÷èñëà 1, 1
è 2. n
145. Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðåìåííóþ ïîä
çíàêîì ìîäóëÿ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à)
;372 =-x
á)
.1382 +=- xx
q à) Åñëè
,3=a
òî ëèáî à = 3, ëèáî à = 3. Ýòî
çíà÷èò, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóï-
íîñòè äâóõ óðàâíåíèé: 2õ 7 = 3, 2õ 7 = 3. Èç
ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ
1
= 5, èç âòîðîãî
õ
2
= 2.
á) Çäåñü íàäî ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ:
,082 ³-x
,082 <-x
ïîñêîëüêó â êàæäîì èç íèõ çíàê ìîäóëÿ
ðàñêðûâàåòñÿ ïî ñâîåìó ïðàâèëó.
Åñëè
,082 ³-x
òî
8282 -=- xx
è äàííîå óðàâ-
íåíèå ïðèìåò âèä
.1382 +=- xx
Îòñþäà íàõîäèì
õ = 9. Îäíàêî ïðè õ = 9 íåðàâåíñòâî
082 ³-x
íå
âûïîëíÿåòñÿ, çíà÷èò, õ = 9 íå ìîæåò áûòü êîðíåì
äàííîãî óðàâíåíèÿ.
Åñëè
,082 <-x
òî
)
82
(
82 --=- xx
è äàííîå
óðàâíåíèå ïðèìåò âèä 8 2õ = 3õ + 1. Îòñþäà íàõî-
äèì õ = 1,4. Íåðàâåíñòâî 2 · 1,4 8 < 0 âåðíî; çíà-
÷èò, õ = 1,4 êîðåíü äàííîãî óðàâíåíèÿ. n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.0283
2
=-+ xx
q Ïîïðîáóåì íàéòè òàêèå äâà ÷èñëà õ
1
è õ
2
, ÷òî-
áû âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà õ
1
+ õ
2
= 3, õ
1
õ
2
= 28.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî òàêèìè ÷èñëàìè ÿâëÿþò-
ñÿ 7 è 4. Ñîãëàñíî òåîðåìå 4.6, îíè è ñëóæàò êîðíÿ-
ìè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. n
144. Ñèñòåìû è ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé. Ïóñòü
äàíû äâà óðàâíåíèÿ
)
(
)
(
11
xgxf =
è
).()(
22
xgxf =
Â
òîì ñëó÷àå, êîãäà íóæíî íàéòè çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé,
óäîâëåòâîðÿþùèå
îáîèì äàííûì óðàâíåíèÿì, ãîâî-
ðÿò, ÷òî çàäàíà ñèñòåìà óðàâíåíèé è èñïîëüçóþò
äëÿ çàïèñè ôèãóðíóþ ñêîáêó:
î
í
ì
=
=
).()(
),()(
22
11
xgxf
xgxf
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=--
=-
.0))2()1((
,0)1(
2
22
xx
x
q Êîðíÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñëóæàò ÷èñëà 1 è
1, à êîðíÿìè âòîðîãî ÷èñëà 1 è 2.
Îáùèì êîðíåì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 1 ýòî è åñòü
ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. n
 òîì ñëó÷àå, êîãäà ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå
òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâ-
ëÿåòñÿ êîðíåì
õîòÿ áû îäíîãî èç äàííûõ óðàâíåíèé,
ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé è èñ-
ïîëüçóþò äëÿ çàïèñè êâàäðàòíóþ ñêîáêó:
ê
ë
é
=
=
)
.
(
)
(
)
,
(
)
(
22
11
xgxf
xgxf
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
189188
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé
ê
ê
ë
é
=+-
=-
.0
)
2
(
)
1
(
,01
2
xx
x
q Êîðíÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà
1 è 1, à êîðíÿìè âòîðîãî ÷èñëà 1 è 2. Çíà÷èò,
ðåøåíèåì äàííîé ñîâîêóïíîñòè ñëóæàò ÷èñëà 1, 1
è 2. n
145. Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå ïåðåìåííóþ ïîä
çíàêîì ìîäóëÿ.
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå:
à)
;372 =-x
á)
.1382 +=- xx
q à) Åñëè
,3=a
òî ëèáî à = 3, ëèáî à = 3. Ýòî
çíà÷èò, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóï-
íîñòè äâóõ óðàâíåíèé: 2õ 7 = 3, 2õ 7 = 3. Èç
ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ
1
= 5, èç âòîðîãî
õ
2
= 2.
á) Çäåñü íàäî ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ:
,082 ³-x
,082 <-x
ïîñêîëüêó â êàæäîì èç íèõ çíàê ìîäóëÿ
ðàñêðûâàåòñÿ ïî ñâîåìó ïðàâèëó.
Åñëè
,082 ³-x
òî
8282 -=- xx
è äàííîå óðàâ-
íåíèå ïðèìåò âèä
.1382 +=- xx
Îòñþäà íàõîäèì
õ = 9. Îäíàêî ïðè õ = 9 íåðàâåíñòâî
082 ³-x
íå
âûïîëíÿåòñÿ, çíà÷èò, õ = 9 íå ìîæåò áûòü êîðíåì
äàííîãî óðàâíåíèÿ.
Åñëè
,082 <-x
òî
)
82
(
82 --=- xx
è äàííîå
óðàâíåíèå ïðèìåò âèä 8 2õ = 3õ + 1. Îòñþäà íàõî-
äèì õ = 1,4. Íåðàâåíñòâî 2 · 1,4 8 < 0 âåðíî; çíà-
÷èò, õ = 1,4 êîðåíü äàííîãî óðàâíåíèÿ. n
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.0283
2
=-+ xx
q Ïîïðîáóåì íàéòè òàêèå äâà ÷èñëà õ
1
è õ
2
, ÷òî-
áû âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà õ
1
+ õ
2
= 3, õ
1
õ
2
= 28.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî òàêèìè ÷èñëàìè ÿâëÿþò-
ñÿ 7 è 4. Ñîãëàñíî òåîðåìå 4.6, îíè è ñëóæàò êîðíÿ-
ìè çàäàííîãî óðàâíåíèÿ. n
144. Ñèñòåìû è ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé. Ïóñòü
äàíû äâà óðàâíåíèÿ
)(
)
(
11
xgxf =
è
).()(
22
xgxf =
Â
òîì ñëó÷àå, êîãäà íóæíî íàéòè çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé,
óäîâëåòâîðÿþùèå
îáîèì äàííûì óðàâíåíèÿì, ãîâî-
ðÿò, ÷òî çàäàíà ñèñòåìà óðàâíåíèé è èñïîëüçóþò
äëÿ çàïèñè ôèãóðíóþ ñêîáêó:
î
í
ì
=
=
).()(
),()(
22
11
xgxf
xgxf
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé
ï
î
ï
í
ì
=--
=-
.0))2()1((
,0)1(
2
22
xx
x
q Êîðíÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñëóæàò ÷èñëà 1 è
1, à êîðíÿìè âòîðîãî ÷èñëà 1 è 2.
Îáùèì êîðíåì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 1 ýòî è åñòü
ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. n
 òîì ñëó÷àå, êîãäà ñòàâèòñÿ çàäà÷à íàéòè âñå
òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâ-
ëÿåòñÿ êîðíåì
õîòÿ áû îäíîãî èç äàííûõ óðàâíåíèé,
ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé è èñ-
ïîëüçóþò äëÿ çàïèñè êâàäðàòíóþ ñêîáêó:
ê
ë
é
=
=
)
.
(
)
(
)
,
(
)
(
22
11
xgxf
xgxf
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
191190
Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ âîçâåñòè â êâàäðàò
(è âîîáùå â ëþáóþ ÷åòíóþ ñòåïåíü), òî ïîëó÷èòñÿ
óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîãî. Âìåñ-
òå ñ òåì, âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ â îäíó è
òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ,
ðàâíîñèëüíîìó èñõîäíîìó.
147. Óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííîé â çíàìåíàòåëå. Ðàñ-
ñìîòðèì óðàâíåíèå âèäà
.0
)
(
)
(
=
xq
xp
(1)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âèäà (1) îñíîâàíî íà ñëåäóþ-
ùåì óòâåðæäåíèè: äðîáü ðàâíà íóëþ òîãäà è òîëü-
êî òîãäà, êîãäà åå ÷èñëèòåëü ðàâåí íóëþ, à çíàìåíà-
òåëü îòëè÷åí îò íóëÿ (íà íóëü äåëèòü íåëüçÿ).
Ïîýòîìó ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) ïðîâîäèòñÿ â äâà
ýòàïà: ñíà÷àëà ðåøàþò óðàâíåíèå ð (õ) = 0, à çàòåì
äëÿ êàæäîãî êîðíÿ âûÿñíÿþò, îáðàùàåòñÿ ëè ïðè íàé-
äåííîì çíà÷åíèè ïåðåìåííîé õ çíàìåíàòåëü
)(xq
â
íóëü. Åñëè
,0)( ¹xq
òî êîðåíü óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0
ÿâëÿåòñÿ è êîðíåì óðàâíåíèÿ (1); åñëè æå
,0)( =xq
òî êîðåíü óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
óðàâíåíèÿ (1).
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ð (õ) = 0 ÿâëÿåòñÿ ñëåä-
ñòâèåì óðàâíåíèÿ (1) (ñì. ï. 146). Ïðè ïåðåõîäå îò
óðàâíåíèÿ (1) ê óðàâíåíèþ ð (õ) = 0 (ýòîò ïåðåõîä íà-
çûâàåòñÿ îñâîáîæäåíèåì îò çíàìåíàòåëÿ) ìîãóò
ïîÿâèòüñÿ ïîñòîðîííèå êîðíè. Èõ ìîæíî îòñåÿòü ñ
ïîìîùüþ óñëîâèÿ
0)( ¹xq
èëè íåïîñðåäñòâåííîé ïîä-
ñòàíîâêîé êàæäîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0 â óðàâíå-
íèå (1).
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ âèäà
bax =-
ìîæíî
ðåøaòü è ãåîìåòðè÷åñêè (ñì. ï. 29).
146. Ïîíÿòèå ñëåäñòâèÿ óðàâíåíèÿ. Ïîñòîðîííèå
êîðíè. Ïóñòü äàíû äâà óðàâíåíèÿ
),()(
11
xgxf =
(1)
)
.
(
)
(
22
xgxf =
(2)
Åñëè êàæäûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (1) ÿâëÿåòñÿ îä-
íîâðåìåííî è êîðíåì óðàâíåíèÿ (2), òî óðàâíåíèå (2)
íàçûâàåòñÿ ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ (1). Çàìåòèì, ÷òî
ðàâíîñèëüíîñòü óðàâíåíèé îçíà÷àåò, ÷òî êàæäîå èç
óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì äðóãîãî.
 ïðîöåññå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ÷àñòî ïðèõîäèò-
ñÿ ïðèìåíÿòü òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðûå ïðèâî-
äÿò ê óðàâíåíèþ, ÿâëÿþùåìóñÿ ñëåäñòâèåì èñõîä-
íîãî. Óðàâíåíèþ-ñëåäñòâèþ óäîâëåòâîðÿþò âñå êîð-
íè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, íî, êðîìå íèõ, óðàâíåíèå-ñëåä-
ñòâèå ìîæåò èìåòü è òàêèå ðåøåíèÿ, êîòîðûå íå ÿâ-
ëÿþòñÿ êîðíÿìè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, ýòî òàê íàçû-
âàåìûå ïîñòîðîííèå êîðíè. ×òîáû âûÿâèòü è îòñå-
ÿòü ïîñòîðîííèå êîðíè, îáû÷íî ïîñòóïàþò òàê: âñå
íàéäåííûå êîðíè óðàâíåíèÿ-ñëåäñòâèÿ ïðîâåðÿþò
ïîäñòàíîâêîé â èñõîäíîå óðàâíåíèå.
 ñëó÷àå, êîãäà ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ îíî áûëî
çàìåíåíî åãî óðàâíåíèåì-ñëåäñòâèåì, óêàçàííàÿ ïðî-
âåðêà ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ ðåøåíèÿ. Ïî-
ýòîìó âàæíî çíàòü, ïðè êàêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ äàí-
íîå óðàâíåíèå ïåðåõîäèò â ñëåäñòâèå.
Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ óìíîæèòü íà âûðà-
æåíèå, èìåþùåå ñìûñë ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ õ, òî
ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ñëåäñòâèåì èñ-
õîäíîãî.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
191190
Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ âîçâåñòè â êâàäðàò
(è âîîáùå â ëþáóþ ÷åòíóþ ñòåïåíü), òî ïîëó÷èòñÿ
óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîãî. Âìåñ-
òå ñ òåì, âîçâåäåíèå îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ â îäíó è
òó æå íå÷åòíóþ ñòåïåíü ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ,
ðàâíîñèëüíîìó èñõîäíîìó.
147. Óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííîé â çíàìåíàòåëå. Ðàñ-
ñìîòðèì óðàâíåíèå âèäà
.0
)
(
)
(
=
xq
xp
(1)
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âèäà (1) îñíîâàíî íà ñëåäóþ-
ùåì óòâåðæäåíèè: äðîáü ðàâíà íóëþ òîãäà è òîëü-
êî òîãäà, êîãäà åå ÷èñëèòåëü ðàâåí íóëþ, à çíàìåíà-
òåëü îòëè÷åí îò íóëÿ (íà íóëü äåëèòü íåëüçÿ).
Ïîýòîìó ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) ïðîâîäèòñÿ â äâà
ýòàïà: ñíà÷àëà ðåøàþò óðàâíåíèå ð (õ) = 0, à çàòåì
äëÿ êàæäîãî êîðíÿ âûÿñíÿþò, îáðàùàåòñÿ ëè ïðè íàé-
äåííîì çíà÷åíèè ïåðåìåííîé õ çíàìåíàòåëü
)(xq
â
íóëü. Åñëè
,0)( ¹xq
òî êîðåíü óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0
ÿâëÿåòñÿ è êîðíåì óðàâíåíèÿ (1); åñëè æå
,0)( =xq
òî êîðåíü óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì
óðàâíåíèÿ (1).
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ð (õ) = 0 ÿâëÿåòñÿ ñëåä-
ñòâèåì óðàâíåíèÿ (1) (ñì. ï. 146). Ïðè ïåðåõîäå îò
óðàâíåíèÿ (1) ê óðàâíåíèþ ð (õ) = 0 (ýòîò ïåðåõîä íà-
çûâàåòñÿ îñâîáîæäåíèåì îò çíàìåíàòåëÿ) ìîãóò
ïîÿâèòüñÿ ïîñòîðîííèå êîðíè. Èõ ìîæíî îòñåÿòü ñ
ïîìîùüþ óñëîâèÿ
0)( ¹xq
èëè íåïîñðåäñòâåííîé ïîä-
ñòàíîâêîé êàæäîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ ð (õ) = 0 â óðàâíå-
íèå (1).
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèÿ âèäà
bax =-
ìîæíî
ðåøaòü è ãåîìåòðè÷åñêè (ñì. ï. 29).
146. Ïîíÿòèå ñëåäñòâèÿ óðàâíåíèÿ. Ïîñòîðîííèå
êîðíè. Ïóñòü äàíû äâà óðàâíåíèÿ
),()(
11
xgxf =
(1)
)
.
(
)
(
22
xgxf =
(2)
Åñëè êàæäûé êîðåíü óðàâíåíèÿ (1) ÿâëÿåòñÿ îä-
íîâðåìåííî è êîðíåì óðàâíåíèÿ (2), òî óðàâíåíèå (2)
íàçûâàåòñÿ ñëåäñòâèåì óðàâíåíèÿ (1). Çàìåòèì, ÷òî
ðàâíîñèëüíîñòü óðàâíåíèé îçíà÷àåò, ÷òî êàæäîå èç
óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì äðóãîãî.
 ïðîöåññå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ÷àñòî ïðèõîäèò-
ñÿ ïðèìåíÿòü òàêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ, êîòîðûå ïðèâî-
äÿò ê óðàâíåíèþ, ÿâëÿþùåìóñÿ ñëåäñòâèåì èñõîä-
íîãî. Óðàâíåíèþ-ñëåäñòâèþ óäîâëåòâîðÿþò âñå êîð-
íè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, íî, êðîìå íèõ, óðàâíåíèå-ñëåä-
ñòâèå ìîæåò èìåòü è òàêèå ðåøåíèÿ, êîòîðûå íå ÿâ-
ëÿþòñÿ êîðíÿìè èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, ýòî òàê íàçû-
âàåìûå ïîñòîðîííèå êîðíè. ×òîáû âûÿâèòü è îòñå-
ÿòü ïîñòîðîííèå êîðíè, îáû÷íî ïîñòóïàþò òàê: âñå
íàéäåííûå êîðíè óðàâíåíèÿ-ñëåäñòâèÿ ïðîâåðÿþò
ïîäñòàíîâêîé â èñõîäíîå óðàâíåíèå.
 ñëó÷àå, êîãäà ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ îíî áûëî
çàìåíåíî åãî óðàâíåíèåì-ñëåäñòâèåì, óêàçàííàÿ ïðî-
âåðêà ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëåìîé ÷àñòüþ ðåøåíèÿ. Ïî-
ýòîìó âàæíî çíàòü, ïðè êàêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ äàí-
íîå óðàâíåíèå ïåðåõîäèò â ñëåäñòâèå.
Åñëè îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ óìíîæèòü íà âûðà-
æåíèå, èìåþùåå ñìûñë ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ õ, òî
ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ñëåäñòâèåì èñ-
õîäíîãî.
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
193192
íèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îäíîâðåìåííî äîëæíû âûïîë-
íÿòüñÿ óñëîâèÿ:
01,0 ³-³ xx
è
.02 ³-x
Âñå ýòè
íåðàâåíñòâà ñïðàâåäëèâû ïðè
,2³x
ò. å.
),2[ ¥+
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ.
ã) Ëîãàðèôì èìååò ñìûñë ëèøü â ñëó÷àå ïîëî-
æèòåëüíîãî ÷èñëà ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà. Çíà÷èò,
äîëæíû îäíîâðåìåííî âûïîëíÿòüñÿ äâà íåðàâåíñòâà:
,03 >-x
îòêóäà
,3>x
è
,05 >- x
îòêóäà
.5<x
Èòàê, (3, 5) îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ. n
Åñëè â ïðîöåññå ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèÿ åãî
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ðàñøèðèëàñü, òî ìîãóò ïîÿâèòü-
ñÿ ïîñòîðîííèå êîðíè. Ïîýòîìó âñå íàéäåííûå çíà-
÷åíèÿ ïåðåìåííîé íàäî ïðîâåðèòü ïîäñòàíîâêîé â
èñõîäíîå óðàâíåíèå èëè ñ ïîìîùüþ îáëàñòè îïðåäå-
ëåíèÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
).92(lg)5(lg -=- xx
(1)
q Òàê êàê
,lglg ba =
òî â ñèëó ìîíîòîííîñòè ëîãà-
ðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè èìååì à = b (åñëè
,ba ¹
íà-
ïðèìåð
,ba <
òî è
,lglg ba ¹
à èìåííî
ba lglg <
).
Çíà÷èò, îò çàäàííîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïåðåéòè ê óðàâ-
íåíèþ
õ 5 = 2õ 9, (2)
îòêóäà õ = 4. Ïðè ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ (1) ê óðàâ-
íåíèþ (2) îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ðàñøèðèëàñü: â óðàâ-
íåíèè (1) îíà çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîì
,5>x
à äëÿ
óðàâíåíèÿ (2) åþ ñëóæèò âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. Ïî-
ýòîìó çíà÷åíèå õ = 4, ÿâëÿþùååñÿ êîðíåì óðàâíå-
íèÿ (2), ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîñòîðîííèì êîðíåì äëÿ
óðàâíåíèÿ (1).  äàííîì ñëó÷àå èìåííî ýòî è ïðî-
èñõîäèò, ïîñêîëüêó õ = 4 íå óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåí-
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.0
2
63
2
=
--
-
xx
x
q Èç óðàâíåíèÿ 3õ 6 = 0 íàõîäèì õ = 2. Òàê
êàê ïðè õ = 2 çíàìåíàòåëü õ
2
õ 2 îáðàùàåòñÿ â
íóëü, òî çàäàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
148. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ. Îáëàñòüþ
îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ
)()( xgxf =
íàçûâàþò ìíî-
æåñòâî âñåõ òåõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé õ, ïðè êîòîðûõ
è âûðàæåíèå
),(xf
è âûðàæåíèå
)(xg
èìåþò ñìûñë.
Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ íàçûâàþò èíîãäà
îáëàñòüþ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâ-
íåíèÿ:
à)
;215
2
xxx +=-
á)
;3
2
1
1
=
-
+
- xx
x
â)
;21
64
-=-- xxx
ã)
)
.5
(
log
)
3
(
log
33
xx -=-
q à) Âûðàæåíèÿ
xx 5
2
-
è
x21 +
îïðåäåëå-
íû ïðè âñåõ õ. Çíà÷èò, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíå-
íèÿ âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
á) Âûðàæåíèÿ
1-x
x
è
2
1
-x
íå îïðåäåëåíû ñîîò-
âåòñòâåííî ïðè õ = 1 è õ = 2. Ïîýòîìó îáëàñòü îïðå-
äåëåíèÿ óðàâíåíèÿ ìîæíî çàäàòü óñëîâèÿìè:
,1¹x
.2¹x
â) Êîðåíü ÷åòíîé ñòåïåíè èìååò ñìûñë ëèøü ïðè
íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïîäêîðåííîãî âûðàæå-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
193192
íèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, îäíîâðåìåííî äîëæíû âûïîë-
íÿòüñÿ óñëîâèÿ:
01,0 ³-³ xx
è
.02 ³-x
Âñå ýòè
íåðàâåíñòâà ñïðàâåäëèâû ïðè
,2³x
ò. å.
),2[ ¥+
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ.
ã) Ëîãàðèôì èìååò ñìûñë ëèøü â ñëó÷àå ïîëî-
æèòåëüíîãî ÷èñëà ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà. Çíà÷èò,
äîëæíû îäíîâðåìåííî âûïîëíÿòüñÿ äâà íåðàâåíñòâà:
,03 >-x
îòêóäà
,3>x
è
,05 >- x
îòêóäà
.5<x
Èòàê, (3, 5) îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ. n
Åñëè â ïðîöåññå ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèÿ åãî
îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ðàñøèðèëàñü, òî ìîãóò ïîÿâèòü-
ñÿ ïîñòîðîííèå êîðíè. Ïîýòîìó âñå íàéäåííûå çíà-
÷åíèÿ ïåðåìåííîé íàäî ïðîâåðèòü ïîäñòàíîâêîé â
èñõîäíîå óðàâíåíèå èëè ñ ïîìîùüþ îáëàñòè îïðåäå-
ëåíèÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
).92(lg)5(lg -=- xx
(1)
q Òàê êàê
,lglg ba =
òî â ñèëó ìîíîòîííîñòè ëîãà-
ðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè èìååì à = b (åñëè
,ba ¹
íà-
ïðèìåð
,ba <
òî è
,lglg ba ¹
à èìåííî
ba lglg <
).
Çíà÷èò, îò çàäàííîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïåðåéòè ê óðàâ-
íåíèþ
õ 5 = 2õ 9, (2)
îòêóäà õ = 4. Ïðè ïåðåõîäå îò óðàâíåíèÿ (1) ê óðàâ-
íåíèþ (2) îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ðàñøèðèëàñü: â óðàâ-
íåíèè (1) îíà çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîì
,5>x
à äëÿ
óðàâíåíèÿ (2) åþ ñëóæèò âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ. Ïî-
ýòîìó çíà÷åíèå õ = 4, ÿâëÿþùååñÿ êîðíåì óðàâíå-
íèÿ (2), ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîñòîðîííèì êîðíåì äëÿ
óðàâíåíèÿ (1).  äàííîì ñëó÷àå èìåííî ýòî è ïðî-
èñõîäèò, ïîñêîëüêó õ = 4 íå óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåí-
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.0
2
63
2
=
--
-
xx
x
q Èç óðàâíåíèÿ 3õ 6 = 0 íàõîäèì õ = 2. Òàê
êàê ïðè õ = 2 çíàìåíàòåëü õ
2
õ 2 îáðàùàåòñÿ â
íóëü, òî çàäàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
148. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ. Îáëàñòüþ
îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ
)()( xgxf =
íàçûâàþò ìíî-
æåñòâî âñåõ òåõ çíà÷åíèé ïåðåìåííîé õ, ïðè êîòîðûõ
è âûðàæåíèå
),(xf
è âûðàæåíèå
)(xg
èìåþò ñìûñë.
Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíåíèÿ íàçûâàþò èíîãäà
îáëàñòüþ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé.
Ï ð è ì å ð 1. Íàéòè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâ-
íåíèÿ:
à)
;215
2
xxx +=-
á)
;3
2
1
1
=
-
+
- xx
x
â)
;21
64
-=-- xxx
ã)
)
.5
(
log
)
3
(
log
33
xx -=-
q à) Âûðàæåíèÿ
xx 5
2
-
è
x21 +
îïðåäåëå-
íû ïðè âñåõ õ. Çíà÷èò, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ óðàâíå-
íèÿ âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ.
á) Âûðàæåíèÿ
1-x
x
è
2
1
-x
íå îïðåäåëåíû ñîîò-
âåòñòâåííî ïðè õ = 1 è õ = 2. Ïîýòîìó îáëàñòü îïðå-
äåëåíèÿ óðàâíåíèÿ ìîæíî çàäàòü óñëîâèÿìè:
,1¹x
.2¹x
â) Êîðåíü ÷åòíîé ñòåïåíè èìååò ñìûñë ëèøü ïðè
íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïîäêîðåííîãî âûðàæå-
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
195194
150. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ p (x) = 0 ìåòîäîì ðàç-
ëîæåíèÿ åãî ëåâîé ÷àñòè íà ìíîæèòåëè. Ñóòü ìå-
òîäà ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ñîñòîèò â ñëåäó-
þùåì. Ïóñòü íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå
,0)( =xp
ãäå
ð (õ) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè
.n
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì
óäàëîñü ðàçëîæèòü ìíîãî÷ëåí íà ìíîæèòåëè:
),()()()(
321
xpxpxpxp ××=
ãäå
)(),(),(
321
xpxpxp
ìíîãî÷ëåíû áîëåå íèçêîé ñòåïåíè, ÷åì
.n
Òîãäà âìå-
ñòî óðàâíåíèÿ
,0)( =xp
íóæíî ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü
óðàâíåíèé
,0)(
1
=xp
,0)(
2
=xp
.0)(
3
=xp
Âñå íàé-
äåííûå êîðíè ýòèõ óðàâíåíèé, è òîëüêî îíè, áóäóò
êîðíÿìè óðàâíåíèÿ
.0)( =xp
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.0632
23
=+++ xxx
q Ðàçëîæèì íà ìíîæèòåëè ëåâóþ ÷àñòü óðàâ-
íåíèÿ. Èìååì x
2
(x + 2) + 3(x + 2) = 0 îòêóäà (x +
+2) (x
2
+ 2) = 0. Çíà÷èò, ëèáî õ + 2 = 0, ëèáî õ
2
+
+ 3 = 0. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ = 2, âòî-
ðîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ïðèìåíXèì ê
ëþáûì óðàâíåíèÿì âèäà
,0)( =xp
ãäå ð(õ) íå-
îáÿçàòåëüíî ìíîãî÷ëåí.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.09
2
=- xxx
q Èìååì
,0)9(
2
=-xx
çíà÷èò, ëèáî
,0=x
ñòâó
.5
>x
Èòàê , õ = 4 ïîñòîðîííèé êîðåíü, ò. å.
çàäàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
149. Ðàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèå
=)(xf
)(xg=
íàçûâàåòñÿ ðàöèîíàëüíûì, åñëè
)(xf
è
)(xg
ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ. Ïðè ýòîì åñëè
)(xf
è
)(xg
öåëûå âûðàæåíèÿ, òî óðàâíåíèå íàçû-
âàåòñÿ öåëûì; åñëè æå õîòÿ áû îäíî èç âûðàæåíèé
),(xf
)(xg
ÿâëÿåòñÿ äðîáíûì, òî ðàöèîíàëüíîå óðàâ-
íåíèå
)()( xgxf =
íàçûâàåòñÿ äðîáíûì.
Íàïðèìåð, öåëûìè ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûå è êâàä-
ðàòíûå óðàâíåíèÿ (ñì. ïï. 140 è 141).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.
)
2
(
4
2
1
2
2
xxx -
=+
-
q Îáùèì çíàìåíàòåëåì äðîáåé ÿâëÿåòñÿ 2õ (2
õ). Íàéäåì äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè äëÿ êàæ-
äîé äðîáè è îñâîáîäèìñÿ îò çíàìåíàòåëåé:
;
)2(
4
2
1
2
2
2
)2(
2
xxx
xx
x
-
=+
-
ÈÈÈ
-
;8)2(4 =-+ xxx
.086
2
=+- xx
Èç óðàâíåíèÿ õ
2
6 õ + 8=0 ïîëó÷èì õ
1
= 2, õ
2
=
= 4. Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, îáðàùàþò ëè íàéäåííûå êîð-
íè â íóëü âûðàæåíèå 2õ (2 õ), ò. å. ïðîâåðèòü âû-
ïîëíåíèå óñëîâèÿ
.0)2(2 ¹- xx
Çàìåòèì, ÷òî 2 íå
óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óñëîâèþ, à 4 óäîâëåòâîðÿåò. Èòàê,
õ = 4 åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ. n
x(2 x)
»»
»»
»
ÀËÃÅÁÐÀ
§ 14. Óðàâíåíèÿ ñ îäíîé ïåðåìåííîé
ÀËÃÅÁÐÀ
Ðàçäåë IV. ÓÐÀÂÍÅÍÈß
195194
150. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ p (x) = 0 ìåòîäîì ðàç-
ëîæåíèÿ åãî ëåâîé ÷àñòè íà ìíîæèòåëè. Ñóòü ìå-
òîäà ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ñîñòîèò â ñëåäó-
þùåì. Ïóñòü íóæíî ðåøèòü óðàâíåíèå
,0)( =xp
ãäå
ð (õ) ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè
.n
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì
óäàëîñü ðàçëîæèòü ìíîãî÷ëåí íà ìíîæèòåëè:
),()()()(
321
xpxpxpxp ××=
ãäå
)(),(),(
321
xpxpxp
ìíîãî÷ëåíû áîëåå íèçêîé ñòåïåíè, ÷åì
.n
Òîãäà âìå-
ñòî óðàâíåíèÿ
,0)( =xp
íóæíî ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü
óðàâíåíèé
,0)(
1
=xp
,0)(
2
=xp
.0)(
3
=xp
Âñå íàé-
äåííûå êîðíè ýòèõ óðàâíåíèé, è òîëüêî îíè, áóäóò
êîðíÿìè óðàâíåíèÿ
.0)( =xp
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.0632
23
=+++ xxx
q Ðàçëîæèì íà ìíîæèòåëè ëåâóþ ÷àñòü óðàâ-
íåíèÿ. Èìååì x
2
(x + 2) + 3(x + 2) = 0 îòêóäà (x +
+2) (x
2
+ 2) = 0. Çíà÷èò, ëèáî õ + 2 = 0, ëèáî õ
2
+
+ 3 = 0. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ íàõîäèì õ = 2, âòî-
ðîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè ïðèìåíXèì ê
ëþáûì óðàâíåíèÿì âèäà
,0)( =xp
ãäå ð(õ) íå-
îáÿçàòåëüíî ìíîãî÷ëåí.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.09
2
=- xxx
q Èìååì
,0)9(
2
=-xx
çíà÷èò, ëèáî
,0=x
ñòâó
.5
>x
Èòàê , õ = 4 ïîñòîðîííèé êîðåíü, ò. å.
çàäàííîå óðàâíåíèå íå èìååò êîðíåé. n
149. Ðàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ. Óðàâíåíèå
=)(xf
)(xg=
íàçûâàåòñÿ ðàöèîíàëüíûì, åñëè
)(xf
è
)(xg
ðàöèîíàëüíûå âûðàæåíèÿ. Ïðè ýòîì åñëè
)(xf
è
)(xg
öåëûå âûðàæåíèÿ, òî óðàâíåíèå íàçû-
âàåòñÿ öåëûì; åñëè æå õîòÿ áû îäíî èç âûðàæåíèé
),(xf
)(xg
ÿâëÿåòñÿ äðîáíûì, òî ðàöèîíàëüíîå óðàâ-
íåíèå
)()( xgxf =
íàçûâàåòñÿ äðîáíûì.
Íàïðèìåð, öåëûìè ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûå è êâàä-
ðàòíûå óðàâíåíèÿ (ñì. ïï. 140 è 141).
Ï ð è ì å ð. Ðåøèòü óðàâíåíèå
.
)
2
(
4
2
1
2
2
xxx -
=+
-
q Îáùèì çíàìåíàòåëåì äðîáåé ÿâëÿåòñÿ 2õ (2
õ). Íàéäåì äîïîëíèòåëüíûå ìíîæèòåëè äëÿ êàæ-
äîé äðîáè è îñâîáîäèìñÿ îò çíàìåíàòåëåé:
;
)2(
4
2
1
2
2
2
)2(
2
xxx
xx
x
-
=+
-
ÈÈÈ
-
;8)2(4 =-+ xxx
.086
2
=+- xx
Èç óðàâíåíèÿ õ
2
6 õ + 8=0 ïîëó÷èì õ
1
= 2, õ
2
=
= 4. Îñòàåòñÿ ïðîâåðèòü, îáðàùàþò ëè íàéäåííûå êîð-
íè â íóëü âûðàæåíèå 2õ (2 õ), ò. å. ïðîâåðèòü âû-
ïîëíåíèå óñëîâèÿ
.0)2(2 ¹- xx
Çàìåòèì, ÷òî 2 íå
óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óñëîâèþ, à 4 óäîâëåòâîðÿåò. Èòàê,
õ = 4 åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ. n
x(2 x)
»»
»»
»