Маслов А.В., Григорьева А.А. Математическое моделирование в экономике и управлении: Учебное пособие. Гриф УМО
Подождите немного. Документ загружается.
нативы
Образов
анный
исследо
ватель
Производ
ственный
стаж
Способнос
ть к
экспертизе
Интуици
я
Способно
сть найти
заказчика
Кандида
т №1
0,8 Образов. 0,5 Средний 0,6 Средняя 1,0 Высокая 0,0 Отсуств.
Кандида
т №2
0,6 Вполне 1,0 Большой 0,9 Оч. высок. 0,3 Низкая 0,5 Средняя
Кандида
т №3
0,5 Средний 0,0 Отсутств. 1,0 Отличная 1,0 Высокая 1,0 Оч.высок.
Кандида
т №4
0,1 Плохой 0,5 Средний 0,7 Высокая 0,0 Отсутсв. 0,8 Высокая
Кандида
т №5
0,3 Ниже
среднего
1,0 Большой 1,0 Отличная 0,0 Отсутсв. 0,1 Низкая
После этого фрагменты знаний принимают вид
d
1
: Если Х=А, и B, и С, то Y=S;
d
2
: Если X=A, и B, и С, и D, то Y=MS;
dз: Если X=A, и В, и С, и D, и Е, то Y=Р;
d
4
: Если Х=А, и В, и С, и E, то Y= VS;
d
5
: Если X= очень A, и не В, и С, и E, то Y=S;
d
6
: Если Х=не А или не С, то Y=US.
Используя правило (4.14) для перевода этих операции, получаем
для d
1
:
M1
(u)= min (
A
(u),
B
(u),
C
(u)); M
1
={0,5/u
1
; 0,6/u
2
; 0/u
3
; 0,1/
u
4
; 0,3/u
5
};
для d
2
:
M2
(u)= min (
A
(u),
B
(u),
C
(u),
D
(u)); M
2
={0,5/u
1
; 0,3/u
2
; 0/
u
3
; 0/u
4
; 0/u
5
};
для d
3
:
M3
(u)= min (
A
(u),
B
(u),
C
(u),
D
(u),
E
(u)); M
3
={0/u
1
; 0,3/u
2
;
0/u
3
; 0/u
4
; 0/u
5
};
для d
4
:
M4
(u)= min (
A
(u),
B
(u),
C
(u),
E
(u)); M
4
={0/u
1
; 0,5/u
2
; 0/u
3
;
0,1/u
4
; 0,1/u
5
};
для d
5
:
M5
(u)= min (
2
A
(u),1–
B
(u),
C
(u),
E
(u)); M
5
={0/u
1
; 0/u
2
; 0/u
3
;
0,1/u
4
; 0/u
5
};
для d
6
:
M6
(u)= max (1–
A
(u),1–
C
(u)); M
6
={0,4/u
1
; 0,4/u
2
; 0,5/u
3
;
0,9/u
4
; 0,7/u
5
};
253
Таким образом,
d
1
: Если Х=М
2
, то Y=S;
d
2
: Если X=M
2
, то Y=MS;
d
3
: Если X=Mз, то Y=P;
d
4
: Если X=M
4
, то Y=VS;
d
5
: Если X=M
5
, то Y=S;
d
6
: Если X=М
6
, то Y=US.
Используя правило преобразования импликации «Если Х=М, то
Y=Q « в выражении
D
(u, i)= min (1,1–
M
(u)+
Q
(u)),для каждой пары
(u,i)U
J получаем следующие нечеткие подмножества из U
J:
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
D
1
=
u
u
u
u
u
1
2
3
4
5
0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 1 1 1 1 1
0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 7 0 8 0 9 1 1 1 1 1 1 1 1
, , , , ,
, , , , , ,
,
, , ,
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
D
2
=
u
u
u
u
u
1
2
3
4
5
0 5 0 53 0 59 0 66 0 75 0 85 0 96 1 1 1 1
0 7 0 73 0 79 0 86 0 95 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
, , , , , , ,
, , , , ,
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
D
3
=
u
u
u
u
u
1
2
3
4
5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 7 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
, , , , , , , , , ,
254
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
D
4
=
u
u
u
u
u
1
2
3
4
5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 5 0 51 0 54 0 59 0 66 0 75 0 86 0 99 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 9 0 91 0 94 0 99 1 1 1 1 1 1 1
0 9 0 91 0 94 0 99 1 1 1 1 1 1 1
, , , , , , , ,
, , , ,
, , , ,
0 0,1 0,2 0,30,40,50,60,70,80,9 1
D
5
=
u
u
u
u
u
1
2
3
4
5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
,
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
D
6
=
u
u
u
u
u
1
2
3
4
5
1 1 1 1 1 1 1 0 9 0 8 0 7 0 6
1 1 1 1 1 1 1 0 9 0 8 0 7 0 6
1 1 1 1 1 1 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5
1 1 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1
1 1 1 1 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3
, , , ,
, , , ,
, , , , ,
, , , , , , , , ,
, , , , , , ,
В результате получаем общее функциональное решение:
D=D
1
D
2
D
3
D
4
D
5
D
6
, т.е.
D
(и,i) = min (
D j
(u ,i)) ; j=1,...,6
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
255
D=
u
u
u
u
u
1
2
3
4
5
0 5 0 53 0 59 0 66 0 75 0 85 0 96 0 9 0 8 0 7 0 6
0 4 0 5 0 54 0 59 0 66 0 7 0 7 0 7 0 7 0 7 0 6
1 1 1 1 1 1 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5
0 9 0 91 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1
0 7 0 8 0 9 0 99 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
, , , , ,
, , , , , , , , , , ,
, , , , , , , , , , ,
Для вычисления удовлетворительности каждой из альтернатив
применим правило композиционного вывода в нечеткой среде:
E
k
=G
k
°D , где E
k
— степень удовлетворения альтернативы k; G
k
—
изображение альтернативы k в виде нечеткого подмножества U; D —
функциональное решение. Тогда
E k
(I)=
max min( ( ), ( , ))
u U
Gk Dk
u u i
.
Кроме того, в этом случае
G k
(u)=0, и
и
k
;
G k
(u)=1, u=u
k
. Отсюда
E
k
(i)=
D
(u
k
, i). Другими словами, E
k
есть k-я строка в матрице D.
Теперь применим процедуру для сравнения нечетких
подмножеств E
1
, Е
2
, Е
3
, E
4
, E
5
в единичном интервале для получения
наилучшего решения.
Для первой альтернативы
E
1
= {0,5/0; 0,53/0,1; 0,59/0,2; 0,66/0,3; 0,75/0,4; 0,85/0,5; 0,96/0,6; 0,9/0,7;
0,8/0,8; 0,7/0,9; 0,6/1}.
Вычисляем уровневые множества E
j
.
Их мощность М(Е
j
) находится
по формуле
M(E
j
)=
x
n
i
i
n
1
,
0
0,5; d
=0,5;
E
1
= {0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; M(E
1
)=0,5;
0,5<
0,53; d
=0,03;
E
1
= {0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; M(E
1
)=0,55;
0,53<
0,59; d
=0,06;
E
1
={0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; M(E
1
) =0,6;
0,59<
0,6; d
=0,01;
E
1
={0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; М(Е
1
) =0,65;
0,6<
0,66; d
=0,06;
256
E
1
={0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9}; М(Е
1
)=0,6;
0,66<
0,7; d
=0,04;
E
1
={0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9}; М(Е
1
)=0,65;
0,7<
0,75; d
=0,05;
E
1
={0,4; .0,5; 0,6; 0,7; 0,8}; М(Е
1
)=0,6;
0,75<
0,8; d
=0,05;
E
1
={0,5; 0,6; 0,7; 0,8}; М(Е
1
)=0,65;
0,8<
0,85; d
=0,05;
E
1
={0,5; 0,6; 0,7}; М(Е
1
)=0,6;
0,85<
0,9; d
=0,05;
E
1
={0,6; 0,7}; M(E
1
)=0,65;
0,9<
0,96; d
=0,06;
Найдем точечную оценку E
1
:
F(E
1
)=
1 1
0 96
1 1
0
0 96
0
max
,
( )
,
( )
max
M E d M E d
= 1/0,96
(0,50,5+0,550,03+0,60,06+0,650,01+0,60,06+ 0,650,04 +
0,60,05 + 0,6 0,05+ 0,650,05 + 0,650,05 + 0,60,06) = 0,554.
Для второй альтернативы
E
2
= {0,4/0; 0,5/0,1; 0,54/0,2; 0,59/0,3; 0,66/0,4; 0,7/0,5;
0,7/0,6; 0,7/0,7; 0,7/0,8; 0,7/0,9; 0,6/1}.
Уровневые множества:
0< 0,4; d
=0,4;
E
2
= {0; 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; М(Е
2
)=0,5;
0,4< 0,5; d
=0,1;
E
2
={0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; М(Е
2
)=0,55;
0,5< 0,54; d
=0,04;
E
2
={0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; М(Е
2
)=0,6;
0,54< 0,59; d
=0,05;
E
2
= {0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; М(Е
2
)=0,65;
257
0,59< 0,6; d
=0,01;
E
2
= {0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; М(Е
2
)=0,7;
0,6< 0,66; d
=0,06;
E
2
={0,4; 0,5; 0,7; 0,8; 0,9}; М(Е
2
)=0,65;
0,66< 0,7; d
=0,04;
E
2
={0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1}; М(Е
2
)=0,75.
Точечная оценка:
F(E
2
)=1/0,7(0,50,4+0,550,1+0,60,04+0,650,05+0,70,01+0,650,06+
0,750,04)=0,554.
Для третьей альтернативы
E
3
={1/0; 1/0,1; 1/0,2; 1/0,3; 1/0,4; 1/0,5; 0,9/0,6; 0,8/0,7; 0,7/0,8; 0,6/0,9;
0,5/1};
F(E
3
)= 1/1
(0,50,5+0,450,1+0,40,1+0,350,1+0,30,1+0,250,1)=0,425.
Для четвертой альтернативы
E
4
={0,9/0; 0,91:/0,1; 0,9/0,2; 0,8/0,3; 0,7/0,4; 0,6/0,5; 0,5/0,6; 0,4/0,7;
0,3/0,8; 0,2/0,9; 0,1/1};
F(E
4
) = 1/0,91
(0,5+0,45+0,4+0,35+0,3+0,25+0,2+0,15+0,1)0,1+0,10,01= =0,298.
Для пятой альтернативы
E
5
= {0,7/0; 0,8/0,1; 0,9/0,2; 0,99/0,3; 0,9/0,4; 0,8/0,5; 0,7/0,6; 0,6/0,7;
0,5/0,8; 0,4/0,9; 0,3/1};
F (E
5
)= 1/0,99 (0,50,3+(0,45+0,4+0,35+0,33)0,1 + 0,30,09)=0,391.
Таким образом, точечная оценка удовлетворительности для
альтернативы u
1
равна 0,553, и
2
– 0,554, u
3
– 0,425, u
4
– 0,298, u
5
– 0,391.
В качестве наилучшей выбираем альтернативу u
2.
Т.е. ЛПР наибольшее
предпочтение отдали кандидату с высоким опытом производственного
стажа (степень предпочтения 1) и хорошей способностью к экспертизе
(степень предпочтения 0,9); при этом исследовательские способности и
обладание интуицией как критерии получили меньшие степени
предпочтения (0,6 и 0,3 соответственно). Это можно объяснить тем, что
исследовательские способности приобретаются при проведении
теоретической работы, а уровень интуиции можно получить по мере
258
роста производственного стажа. Рассмотренный метод принятия
решений с использованием правил нечеткого вывода является
адаптацией нечеткой логики к процессам принятия решений с
исходными данными в виде точечных оценок.
Вопросы для самопроверки
Метод попарных сравнений.
Модель определения конкурентоспособности наукоемкой
машиностроительной продукции на основе метода попарных
сравнений.
Показатель эффективности производства продукции.
Критерий финансового приоритета.
Критерий эффективности сбыта.
Шкала предпочтительности показателей (критериев).
Математическая модель рейтинговой оценки
конкурентоспособности продукции.
Метод многокритериального выбора альтернатив на базе
нечеткого логического вывода.
Понятие уровневого множества.
Мощность уровневого множества.
259
Заключение
Многие методы, нашедшие своё широкое применение в
машиностроительной и других отраслях, остались за рамками данного
учебного пособия, преследующего, в первую очередь, образовательные
цели. Здесь представлены были основные методы исследования
операций, многокритериальной оценки альтернатив и теории нечетких
множеств в достаточно сжатом виде для последующего написания
студентами указанных специальностей и других интересующихся этой
областью знаний рефератов, докладов, статей и самостоятельного
изучения. Несмотря на последнее обстоятельство, изложенный
материал надо отнести к необходимому минимуму, поскольку без
приведенных знаний менеджеру, экономисту будет трудно вести
совместную работу со специалистами – аналитиками.
Для тех, кто желает приобрести какую-либо специализацию,
пособие может служить введением в предмет. Для плодотворной
работы будущие специалисты должны получить соответствующую
математическую подготовку, на базе которой можно изучать и
исследование операций, и экспертное оценивание, и многое другое с
должной широтой, глубиной и на соответствующем уровне строгости.
260
Список литературы
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и
задачах. – М.: Высшая школа, 1986. – 189 c.
2. Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез, планирование
решений в экономике.- М.: Финансы и статистика, 2000.- 368 с.
3. Банди Б. Основы линейного программирования. – М.: Радио и связь,
1989. – 418 с.
4. Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие решения на
основе нечетких моделей. - Рига, 1990. - 180 с.
5. Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы,
методология. – М.:, Наука,1980. – 215 с.
6. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-
математические модели. – М.: Компьютер, ЮНИТИ, 1995. – 162 с.
7. Григорьева А.А., Маслов А.В., Осипов Ю.М. Методика определения
конкурентоспособности продукции порогами несравнимости //
"Автоматизация и современные технологии"- М., 1998. - № 3.- С. 26-27.
8. Григорьева А.А., Осипов Ю.М. Математические модели задачи
определения конкурентоспособностью продукции. // "Автоматизация и
современные технологии", М., 1999. - № 4.- С. 36-39.
9.Григорьева А.А., Ямпольский В.З., Осипов Ю.М. Универсальная
модель определения конкурентоспособности предприятия методами
теории нечетких множеств // Автоматизация и современные технологии.
- М., 2001. № 7. - С.42-43.
10.Дегтярев Ю.И. Исследование операций: Учеб. пос. для вузов по спец.
АСУ. – М.: Высшая школа, 1986. – 320 с.
11.Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к
принятию приближенных решений. - М.: Мир. 1976 – 165 с.
12. Зайченко Ю.П. Исследование операций. – Киев: Выща школа, 1988.
– 552 с.
13.Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические
методы в экономике: Учебник. – М.: Дело и сервис, 2001. – 368 с.
14. Исследование операций. / Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. Том
I. Методологические основы и математические методы. – М.: Высшая
школа, 1981. – 298 с.
15. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому
программированию. – М.: Высшая школа, 1975. – 243 с.
16. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы
и модели в планировании. – М.: Экономика, 1987. – 198 с.
17. Черчмен У., Акоф Р., Арноф Л. Введение в исследование операций/
Пер. с англ. – М.: Наука, 1968.
261
18. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб.
пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н.Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.;
Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000. –391 с.
262