Маслов А.В., Григорьева А.А. Математическое моделирование в экономике и управлении: Учебное пособие. Гриф УМО

Подождите немного. Документ загружается.

В соответствии с размеченным графом состояний и используя

мнемоническое правило, запишем систему дифференциальных

уравнений для вероятностей состояний:

 

 

 





















).()(

)(

...

);()(1)(

)(

...

);()(

)(

tPtP

tdP

tPtPnmtPnm

tdP

tPtPm

tdP

nnn







Исследование и решение математической модели

Ограничимся исследованием установившегося режима работы

системы. Тогда

 

tdP

,...,1,0 0

)(



Вместо системы обыкновенных дифференциальных уравнений

получаем систему алгебраических уравнений:

 

 

 





















...

;01

...

nnn

PPnmPnm

PPm







Для

mn 0

нетрудно получить рекуррентную формулу: при

0n

;

001

PmP









при

1n

 



 



;)1(1)1()1(

101012

PmPmPmPmPmP







при

2n

 





 

 

...

;)2()1(1)2(

)1()2(

211









PnmP

PmPmPm

PmPmP









Вероятность того, что в системе находится

требований, составит

     

 

1...21 P

PmmnmnmP









201

Используя равенство

)!(

0 0







 

 



, можно получить

выражение для

Вероятность простоя канала обслуживания P

)!(

























Среднее число требований, находящихся в очереди:

 

 

 











nоч

PmP

mPnN





Среднее число требований, находящихся в системе:

 

PmnPN

nсист













Среднее время ожидания требования в очереди:

 

























оч

Среднее время ожидания требования в системе:

 























сист

Как можно заметить, определение основных характеристик

одноканальных СМО требует большой вычислительной работы, потому

целесообразно использовать ЭВМ.

В задачах анализа многоканальных СМО получаются ещё более

сложные формулы для вычисления аналогичных характеристик, мы их

рассматривать не будем.

Вопросы для самопроверки

Понятие систем массового обслуживания. Задачи анализа и

синтеза СМО.

Классификация СМО.

Основные показатели функционирования СМО.

Задачи анализа одноканальных СМО, общее представление.

Задача анализа детерминированной одноканальной СМО.

Задача анализа разомкнутой СМО с ожиданием (потоки

требований пуассоновские).

Задача анализа замкнутой СМО с ожиданием (потоки требований

пуассоновские).

Мнемоническое правило построения системы обыкновенных

дифференциальных уравнений для нахождения вероятностей состояний

на основе размеченного графа.

202

203

Тема 13 Балансовые методы согласования

ресурсов и потребностей

Анализ хозяйственных связей с помощью моделей

межотраслевого баланса

В условиях роста масштабов общественного производства и

усложнения производственно-логистических связей важной и трудной

задачей является установление правильных пропорций экономики. Эта

задача решается на основе балансового метода, сущность которого

заключается в увязке объёма и структуры общественных потребностей с

материальными, трудовыми и финансовыми ресурсами.

Балансовый метод применяется при разработке стратегии развития

всего народного хозяйства, отдельных отраслей, экономических

районов, предприятий.

В системе балансов народного хозяйства важную роль играют

материальные балансы, которые составляются по отдельным видам

продукции. Система материальных балансов координируется с

помощью межотраслевого баланса производства и распределения

продукции в народном хозяйстве, который отражает процесс

производства, распределения и использования совокупного

общественного продукта и национального дохода в отраслевом разрезе.

В нашей стране основы анализа межотраслевых связей были

заложены при составлении первого баланса народного хозяйства на

1923-24 гг. Начиная со второй половины 50-х годов прошлого века

метод межотраслевого баланса получил своё дальнейшее развитие как

инструмент анализа производственных темпов роста и пропорций

общественного производства. С применением экономико-

математических методов и вычислительной техники метод

межотраслевого баланса стал глубоко охватывать сложные взаимосвязи

расширенного воспроизводства и лучше определять оптимальные

варианты развития экономики.

Американцы составили межотраслевой баланс страны только в 60-

х годах XX века не без помощи В.В. Леонтьева – американского

экономиста русского происхождения, эмигрировавшего в 20-х годах

прошлого столетия.

Модели межотраслевого баланса применяются для выработки

социально-экономической концепции развития макро- (и микро-, что

немаловажно) экономики для определения различных уровней

экономического развития при разных гипотезах о видах трендов

развития общественного производства. Разрабатываются с помощью

204

межотраслевого баланса несколько вариантов развития экономики, в

которых определяются важнейшие общеэкономические показатели:

национальный доход, фонды потребления и накопления, объёмы

производства важнейших видов продукции и их распределение,

распределение капитальных и трудовых ресурсов по отраслям. С

помощью межотраслевого баланса проводится анализ основных

пропорций и показателей, а также можно проверить

сбалансированность народного хозяйства и межотраслевых

производственных комплексов.

Межотраслевые балансы производства и реализации продукции

весьма разнообразны. Их можно разделить на следующие группы:

А) по характеру используемой модели – на статические и

динамические;

Б) по характеру измерителей – на натуральные, стоимостные,

натурально-стоимостные и продуктовые;

В) по масштабам расчётов – на макроэкономические, отраслевые и

производственные.

При построении экономико-математической модели

межотраслевого баланса особое внимание уделяется характеру и

направлению использования продукции, качественным

характеристикам её потоков.

Принципиальная схема межотраслевого баланса

Схема межотраслевого баланса базируется на предпосылке, что

продукция отраслей общественного производства может быть по

характеру использования отнесена к промежуточному или к конечному

продукту.

К промежуточному продукту относится та часть продукции,

которая в рассматриваемом периоде поступает в дальнейшее

производственное потребление.

К конечному продукту относится та часть продукции, которая

выходит за пределы текущего производственного потребления и служит

для накопления и обслуживания населения, содержания

государственного аппарата и т.п.

Из данного определения конечного и промежуточного продукта

видно, что эти понятия не равнозначны понятиям готовой и

промежуточной продукции. Так, железная руда является

промежуточным продуктом, если она находится внутри страны как

сырьё для металлургической промышленности, и конечным продуктом,

если она отправляется на экспорт. Так же автомобиль может быть

205

промежуточным продуктом, если он предназначен для перевозки угля в

угольном разрезе, и конечным продуктом, если он направляется в

торговую сеть для продажи населению.

Схема межотраслевого стоимостного баланса для n отраслей

представлена в таблице 13.1.

Таблица 13.1

Схема межотраслевого стоимостного баланса

Отрасли

1 2 … j … n Итого

Конеч-

ная

продукция

Валовая

продукция

1 x

… x

x

2 x

… x

x

: : : : : : : :

i x

… x

x

: : : : : : : :

n x

… x

x

Итого x

x

… x

x

Y

X

Чистая

продукция V

…

V

Всего X

… X

X

В балансе каждой отрасли материального производства

соответствует отдельная строка и отдельный столбец. В матрице

элементов, стоящих на пересечении n первых строк и n первых столбцов

межотраслевого баланса, содержится информация о межотраслевых

потоках продукции. Каждый элемент этой матрицы показывает годовые

затраты продукции одной отрасли на производство продукции другой

отрасли. Так, элемент x

отражает производственные затраты i-й

отрасли на производство продукции j-й отрасли за год. Например, если

первая отрасль угольная, а вторая – чёрная металлургия, то величина x

представляет годовые затраты угля на производство чёрных металлов.

Следовательно, величины x

(i=1,…,n, j=1,…,n) характеризуют объёмы

межотраслевых поставок материальных ресурсов, обусловленные

производственной деятельностью отраслей материального

производства. Каждая строка межотраслевого баланса отражает

поставки продукции данной отрасли другим отраслям. Например, i-я

строка показывает, какое количество продукции i-й отрасли

206

поставляется другим отраслям межотраслевого баланса и потребляется

на собственные нужды.

Таким образом, каждая строка описывает реализацию продукции

конкретной отрасли.

Каждый столбец межотраслевого баланса отражает поставки,

которые данная отрасль получает от других отраслей, т.е. он описывает

потребление продукции (производственные затраты) конкретной

отрасли.

Сумма величин х

по строкам для всех отраслей образует (n+1)-й

столбец межотраслевого баланса, который помещается справа от

матрицы межотраслевых потоков.

Сумма величин х

по всем столбцам образует (n+1)-ю строку

межотраслевого баланса, которая помещается снизу от матрицы

межотраслевых потоков. На пересечении (n+1)-й строки и (n+1)-го

столбца стоит величина

 

 

1 1

, которая равна сумме

производственного потребления всех отраслей. Она представляет собой

промежуточный продукт народного хозяйства.

Матрица элементов межотраслевых потоков вместе с (n+1)-й

строкой и (n+1)-м столбцом образуют первый раздел (первый квадрант)

межотраслевого баланса. Это важнейшая часть межотраслевого баланса,

которая иллюстрирует межотраслевые производственные связи.

Ко второму разделу межотраслевого баланса относится столбец

конечного продукта отраслей Y

и столбец валовых суммарных

выпусков продукции отраслей X

. Очевидно, что валовой выпуск i-й

отрасли можно рассчитывать по формуле:

niYxX

iji

,...,1 ,







(13.1)

В (n+1)-й строке второго раздела межотраслевого баланса стоят

суммы





Первая сумма представляет собой конечный продукт народного

хозяйства, а вторая – валовой продукт народного хозяйства.

Обычно в межотраслевых балансах конечный продукт отраслей

рассматривается более подробно и подразделяется на возмещение

выбытия и капитальный ремонт производственных и

непроизводственных основных фондов, на фонд личного и

общественного потребления, на фонд накопления основных

производственных и непроизводственных фондов, оборотных фондов,

207

товарных запасов и резервов, экспорт за минусом импорта, потери и

прочий расход.

В натуральных межотраслевых балансах часть материально-произ-

водственных затрат не находит отражения в шахматной части баланса и

прибавляется к величине конечного продукта под названием "прочее

производственное потребление".

Третий раздел межотраслевого баланса расположен под первым

разделом и отражает стоимостную структуру валового продукта

отраслей. В табл. 13.1 третий раздел состоит из двух строк. В первой

строке стоят величины V

(j=1,…,n), каждая из которых представляет

собой условно-чистую продукцию отрасли. Во второй строке третьего

раздела стоят суммы валовых выпусков продукции отраслей. Таким

образом, величины условно-чистой продукции отраслей равны разности

между их валовым продуктом и производственными затратами.

Из разложения валового продукта отраслей на конечный и

промежуточный продукт во втором разделе и на условно-

чистую продукцию и производственные затраты в третьем

разделе баланса можно вывести следующее соотношение:

  

  





























VxYx

1 11 1

(13.2)

что равнозначно:







(13.3)

Это значит, что конечный продукт народного хозяйства равен

условно-чистой продукции народного хозяйства. Следовательно, в

третьем разделе межотраслевого баланса также присутствует конечный

продукт. Разница лишь в том, что во втором разделе отражается

потребление конечного продукта, а из третьего раздела видно, в каких

отраслях была произведена стоимость конечного продукта.

Обычно в межотраслевых балансах в третьем разделе стоимость

конечного продукта отражается более подробно и разбивается на

амортизацию, доход рабочих и служащих, чистый доход

государственных предприятий, централизованный чистый доход

государства, чистый доход сельскохозяйственных организаций и

коопераций, прочие элементы чистого дохода.

В четвёртом разделе межотраслевого баланса отражены

перераспределительные отношения в народном хозяйстве, образование

доходов предприятий и учреждений непроизводственной сферы. Здесь

показаны заработные платы врачей, учителей, научных сотрудников,

прибыль предприятий культуры и т.д.

208

На основе межотраслевого баланса можно определить

национальный доход, который равен разнице между конечным

продуктом народного хозяйства и амортизационными отчислениями,

направленными на возмещение выбытия основных фондов.

Схема межотраслевого баланса в натуральном выражении

представлена в таблице 13.2.

Таблица 13.2

Схема межотраслевого баланса в натуральном выражении

Продукция

Ед. измерения

Поступ-

ление

ресурсов

Использование ресурсов

Всего

Все го

в том

числе:

на текущее производственное

потребление

по видам продукции

на

кон.

пр.

прои

з.

пр.

рес.

1 2 … j … n Ито

го

1 R

… Q

Q

2 R

… Q

Q

: : : : : : : : : : :

i R

… Q

Q

: : : : : : : : : : :

n R

… Q

Q

Здесь первый раздел отражает источники формирования ресурсов

продукции, а второй – направление использования ресурсов на текущее

производственное потребление и конечное потребление. Суммарные

ресурсы предприятий для каждой отрасли можно определить по формуле:

, i=1,…,n, (13.4)

где R

– ресурсы i-го вида продукции; Q

– производство i-го вида

продукции; S

– прочие ресурсы i-го вида продукции.

Производственное потребление учитывается в разделе тех видов

продукции, по которым в балансе учитывается формирование ресурсов.

Этим обеспечивается шахматное построение второго раздела

межотраслевого баланса в натуральном выражении. Суммарное

потребление продукции можно определить по формуле:

209

GQ 



1

(13.5)

где Q

– продукция i-го вида, потреблённая для производства единицы

j-го вида продукции; G

– конечное потребление продукции i-го вида.

Существенное значение для экономики государства имеет

территориальный аспект анализа и планирование структуры

общественного производства. Для этой цели используются районные

межотраслевые балансы, в которых важное место занимают данные о

ввозе и вывозе продукции. Полученные данные оформляются в виде

специальных таблиц, характеризующих ввоз и вывоз продукции в

разрезе районов-поставщиков и районов-потребителей продукции.

Как правило, в районных межотраслевых балансах затраты

продукции, произведённой в районе, не отделяются от затрат ввозимой

продукции этого же наименования. В таких балансах коэффициент

прямых затрат определяется по формуле:

ijij





(13.6)

где r

– затраты продукции i-го вида, производимой в районе, на

производство единицы продукции j-го вида в год; m

– затраты

продукции i-го вида, ввозимой в район, на производство единицы

продукции j-го вида.

Районные межотраслевые балансы образуют единую систему

межотраслевых балансов всех экономических районов, включающую в

себя параметры, характеризующие межрайонные связи.

Экономико-математическая модель межотраслевого баланса

представляет собой систему уравнений, отражающих функциональную

взаимосвязь включённых в его схему элементов.

Модель межотраслевого баланса для n отраслей можно отобразить с помощью

следующей системы линейных уравнений:

(13.7)

Эту систему уравнений мы не можем решить, даже если значения

конечного продукта известны, т.к. кроме искомых неизвестных x

система содержит ещё n∙n неизвестных x

. Для решения данной системы













....

...

,...

2222212

1112111

nnnnnn

Yxxxx

210