Маслов А.В., Григорьева А.А. Математическое моделирование в экономике и управлении: Учебное пособие. Гриф УМО

Подождите немного. Документ загружается.

Методы порогов несравнимости впервые предложены Б.Руа

характеризуются тем, что связь между любой парой альтернатив

определяется последовательностью бинарных отношений. «Сильным»

бинарным отношениям соответствуют большие требования к

превосходству одной альтернативы над другой и, следовательно,

большее число несравнимых альтернатив. Самым сильным является

требование полного доминирования одной альтернативы над другой.

Более «слабые» бинарные отношения определяют условия, при

которых, несмотря на противоречивые оценки, одна альтернатива

объявляется лучшей, чем другая. На основе выбранного бинарного

отношения осуществляется попарное сравнение всех альтернатив,

причем альтернативы, оказавшиеся лучшими при всех сравнениях,

выделяются во множество Парето. Разработанные Б.Руа методы

ЭЛЕКТРА 1, 2, 3, предназначены для сужения первоначального

множества альтернатив, достигающего нескольких сот, до

подмножества, содержащего не более 20 альтернатив. Данные методы

позволяют субъектам влиять на процесс сравнения альтернатив за счет

веса критериев, уровней индексов согласия и несогласия. Однако эти

методы также имеют недостатки. Остается вопрос: всегда ли

множество предпочтительных альтернатив должно включать

доминирующие и несравнимые элементы, ведь существуют проблемы,

когда необходимо выбрать подмножество только лучших альтернатив.

Второй недостаток связан с тем, что если взять безусловно лучший

вариант и вариант, незначительно отличающийся от него в худшую

сторону по одному критерию, то второй из них не войдет во множество

Парето.

Человеко-машинные процедуры применяется в случае, когда

решение вырабатывается в результате неоднократного взаимодействия

ЛПР и ЭВМ. Как правило, в этих задачах имеется частичная

формализация проблемы, определены параметры модели и

соотношения между ними. Качество процессов, протекающих в модели,

оценивается по многим критериям. В то же время связь между

критериями, степень компенсации изменения качества одного критерия

изменением качества другого заранее неизвестны. Проблема состоит

как раз в определении наилучшего для ЛПР соотношения между

критериями, достигаемого при данной модели. Чаще всего в этой

группе проблем рассматривается проблема математического

программирования при нескольких критериях качества, которая

решается следующим образом: ЛПР определяет какие-то

первоначальные требования к соотношениям критериев, вводит их в

ЭВМ, получает решение и реальные значения критериев, изменяет свои

223

требования, снова вводит в ЭВМ и т. д. Процесс заканчивается, когда

ЭВМ выдает приемлемое решение, либо когда ЛПР убедится в

нецелесообразности дальнейших попыток получить разумный

компромисс при данной модели.

Пример определения конкурентоспособности наукоемкой

продукции на основе показателя “значимость технического

решения” порогами несравнимости

Данная методика была разработана на основе метода порогов

несравнимости и показателя “значимость технического решения”.

Показатель “значимость технического решения”, определяемый

по аддитивно-мультипликативной формуле:

Зтр = Аи



Пр



Сз + Ми



Ои



Шо,

где Аи - коэффициент актуальности решенной технической

задачи:

Пр - коэффициент соответствия решенной технической задачи

программам важнейших работ научно-технического прогресса;

Сз - коэффициент сложности технической задачи;

Ми - коэффициент места использования решенной

технической задачи;

Ои - коэффициент объема использования решенной

технической задачи;

Шо - коэффициент широты охвата охранными мероприятиями

решенной технической задачи.

При большом банке данных существующей на рынке аналогичной

продукции, когда нет явного лидера, с помощью метода порогов

несравнимости можно выделить группу наилучших альтернатив, т. е.

множество Парето. А затем проводить сравнение Зтр

и Зап

аналогичной продукции с помощью аддитивно-мультипликативной

модели. Можно пойти по другому пути, поместив все альтернативы,

включая (Зтр) решенной технической задачи в исследуемое множество.

Если после решения

порогами несравнимости Зтр попадет в множество

Парето, то после анализа ядра можно сделать вывод о

конкурентоспособности продукции. При использовании данной

методики применяется многокритериальный подход. Критериями

служат А

, П

, С

з,

, О

, Ш

В данном методе связь между любой парой альтернатив

определяется последовательностью бинарных отношений. Бинарные

224

отношения задаются следующим образом. Выдвигается гипотеза о

превосходстве альтернативы А над альтернативой В. Множество,

состоящее из N критериев (в нашем случае N = 6]), разбивается на три

подмножества:

(А,В) - подмножество критериев, по которым А предпочтительнее

В,

(A,B) - подмножество критериев, по которым А равноценно В,

(A,B) - подмножество критериев, по которым В предпочтительнее

А.

Далее формулируется индекс согласия с гипотезой о

превосходстве А над В. В случае "сильного" бинарного отношения этот

индекс определяется как отношение суммы весов критериев

подмножеств Q

и Q

к общей сумме весов:

( р )

Aи П Сз Ми Ои Шо

Аи П Сз Ми Ои Шо

i i

i Q Q

i i i i

i i

i i i i

    





 



Наряду с этим определяется индекс несогласия с гипотезой о

превосходстве A над B как отношение суммы весов критериев

подмножеств Q

к общей сумме весов.

Очевидно, что 0  I

1, 0  I

 1.

Бинарное отношение превосходства задается уровнями индексов

согласия и несогласия. Если I

 c и I

 d (где с, d- заданные уровни),

то альтернатива А объявляется превосходящей альтернативу В. Уровни

, d

позволяют выделить ядро, в которое входят доминирующие и

несравнимые элементы.

Вопросы для самопроверки

Аксиоматические методы оценки альтернатив.

Методы порогов несравнимости.

Понятие множества Парето.

Прямые методы.

Человеко-машинные процедуры.

Метод компенсации.

225

Тема 15 Моделирование в условиях нечеткой информации

Для формализованного описания реальных ситуаций, в которой

нет полной определенности и однозначности, в настоящее время

используется такой математический аппарат, как теория нечетких

множеств. Термин «fuzzy sets», введенный Л. Заде, переводится по-

разному: нечеткие, размытые, нечетко определенные, расплывчатые и

т.д. множества.

В основании теории из любой области естествознания лежит

очень важное, основополагающее для ее построения понятие

элементарного объекта. Например, для механики — это материальная

точка, для электродинамики — это вектор напряженности поля, для

квантовой теории — понятие состояния. Для теории нечетких множеств

основополагающим понятием является понятие нечеткого множества,

которое характеризуется функцией принадлежности. Посредством

нечетких множеств можно строго описывать присущие для языка

человека расплывчатые элементы, «без формализации которых нет

надежды существенно продвинуться вперед в моделировании

интеллектуальных процессов».

После появления первой публикации профессора Л. Заде по

теории нечетких множеств за рубежом появилось очень много работ,

развивающих данную теорию в самых различных направлениях. Число

публикаций в нашей стране по теории нечетких множеств неоправданно

мало. Наиболее полно отражены идеи данной теории и их практическое

использование в работах Поспелова А.Д., Борисова А.Н., Крумберга

О.А., Федорова И.П., Мелихова А.Н., Малышева Н.Г., Бернштейна Л.С.,

Жуковина В.Е., Алиева Р.А., Церковного А.Э. Анализ данных

результатов выявил основные вопросы, возникающие при разработке и

реализации методов и моделей принятия решений при нечеткой

исходной информации. К ним можно отнести следующие:

построение функций принадлежности нечетких множеств;

выполнение операций над нечеткими числами;

сравнение и упорядочение нечетких множеств и чисел;

разработка моделей принятия решений.

Концептуальные и вычислительные особенности реализации

перечисленных методов настолько отличаются от традиционных, что

часто являются тормозом для широкого их использования.

Перечисленные задачи решены с различной степенью глубины, а иногда

226

только найдены пути их решения. Как правило, они требуют глубокой

методической доработки - создания алгоритмов и программных средств

и т.д.

Понятие нечеткого множества Нечеткое множество образуется

путем введения обобщенного понятия принадлежности, т.е. расширения

двухэлементного множества значений характеристической функции {0,

1} до континуума [0, 1]. Это означает, что переход от полной

принадлежности объекта классу к полной его непринадлежности

происходит не скачком, а плавно, постепенно, причем принадлежность

элемента множеству выражается числом из интервала [0, 1].

Для введения понятия нечеткого множества обозначим через

X={x} – универсальное множество.

Тогда нечетким множеством

на множестве X назовем

совокупность пар вида

= {

(x)/x},

где



:X  [0,1] – отображение множества X в единичный отрезок

[0,1], эта функция называется функцией принадлежности нечеткого

множества

Для каждого элемента x



X величина



(x) принимает конкретное

значение из интервала [0,1], которое называется степенью

принадлежности элемента x нечеткому множеству

. Степень

принадлежности является субъективной мерой того, насколько данный

элемент соответствует понятию, смысл которого формализуется

нечетким множеством

Носителем нечеткого множества

называется множество

= {x









(x)|x > 0}.

Иными словами, носителем нечеткого множества

является

подмножество S

универсального множества X, для элементов которого

функция принадлежности



строго больше нуля.

Нечеткое множество

называется нормальным, если

выполняется условие:

sup ( )

x X







Над нечеткими множествами могут производиться такие же

операции, как и над четкими, а именно дополнение, пересечение,

объединение, возведение в степень (в частности, концентрация и

растяжение).

Понятие лингвистической переменной Лингвистическая

переменная отличается от числовой переменной тем, что значениями

являются не числа, а слова или предложения на естественном или

227

формальном языке. Поскольку слова в общем менее точны, чем числа,

понятие лингвистической переменной дает возможность приближенно

описывать явления, которые настолько сложны, что не поддаются

описанию в общепринятых количественных терминах. В этом смысле

роль нечетких множеств аналогична той роли, которую играют слова и

предложения в естественном языке.

Нечеткой переменной называется переменная вида:



, X,



где



- наименование нечеткой переменной;

Х={x} - область определения;



= {





(x)/x} - нечеткое множество на Х, описывающее

ограничения на возможные значения нечеткой переменной



(ее

семантику).

Лингвистической переменной называется переменная вида:



- наименование лингвистической переменной;

T - множество ее значений (терм-множество), представляющих

собой наименования нечетких переменных;

X - область определения нечетких переменных;

G - синтаксическая процедура (грамматика), позволяющая

оперировать элементами терм-множества;

M - семантическая процедура, позволяющая превратить

каждое новое значение лингвистической переменной, образуемое

процедурой G, в нечеткую переменную, т.е. приписать ему нечеткую

семантику путем формирования соответствующего нечеткого

множества.

Например, пусть эксперт оценивает стоимость какого либо из

выпускаемого изделия, при этом минимальная стоимость составляет 20

единиц, а максимальная 40 единиц. Формализация такого описания

может быть проведена с помощью следующей лингвистической

переменной:



, T, X, G, M>, где:



- стоимость изделия;

T = {



) = {низкая стоимость, средняя стоимость,

высокая стоимость);

X = {20, 40}.

Пусть нечеткие множества

C C C

1 2 3

описывают семантику

базовых значений переменной



. Каждое нечеткое множество

описывается функцией принадлежности.

228

Нечеткие высказывания Нечеткими высказываниями называют

высказывания следующего вида:

1) высказывание <



есть



>, где



- наименование

лингвистической переменной, отражающей некоторый объект или

параметр реальной действительности, относительно которой

производится утверждение



, являющееся ее нечеткой оценкой

(нечеткой переменной). Например, <стоимость высокая>,

<конкурентоспособность низкая>.

2) высказывания вида <



есть m



>, <



есть Q



>, <Q



есть



>, <m есть Q>, при этом m называется модификатором (ему

соответствуют такие слова, как ОЧЕНЬ, БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ,

СРЕДНИЙ и др.), Q - квантификатором (ему соответствуют такие слова,

как БОЛЬШИНСТВО, НЕСКОЛЬКО, МНОГО, НЕМНОГО, ОЧЕНЬ

МНОГО и др.). Например, <стоимость очень высокая>;

3) высказывания, образованные из высказываний первого и второго

вида и союзов И; ИЛИ; ЕСЛИ ... , ТО; ЕСЛИ ...., ТО ..., ИНАЧЕ.

Например, <ЕСЛИ стоимость высокая, ТО конкурентоспособность

низкая>.

При построении нечетких моделей принятия решений

немаловажное значение имеет определения истинности одного

высказывания относительно другого.

Предположим, что имеются некоторые высказывания

относительно ситуации А. Пусть рассматриваемые высказывания имеют

вид

: <



есть

: <



есть

>, где

- нечеткие

переменные, определенные на универсальном множестве U={u}.

Истинность высказывания

относительно

есть значения

функции

T D C(

)

, определяемое степенью соответствия высказываний

. В формальной записи:

T D C(

)

= {



(



где (





U)(





(u));



(



) = max



(u), u



= {u





(u) =



};



- функции принадлежности нечетких переменных

;



(



) - функция принадлежности значения истинности;



[0,1] - область ее определения.

Иными словами, истинностью нечеткого высказывания

относительно нечеткого высказывания

является нечеткое множество

T D C(

)

, определенное на интервале [0, 1], такое, что для любого

значение ее функции принадлежности равно наибольшему значению



(u) по всем u, при которых





(u).

229

Методы теории нечетких множеств

Нахождение функции принадлежности – это первый этап по

созданию математических моделей на основе теории нечетких

множеств. Можно выделить две группы методов построения функции

принадлежности: прямые и косвенные методы.

Прямые методы определяются тем, что эксперт непосредственно

задает правила определения значений функции принадлежности 

характеризующей понятие А. Как правило, прямые методы

используются для описания понятий, которые характеризуются

измеримыми свойствами, такими, как высота, рост, вес, объем. В этом

случае удобно непосредственное задание значений степени

принадлежности. Примеры прямых методов: непосредственное задание

функции принадлежности таблицей, формулой, примером.

В косвенных методах значения функции принадлежности

выбираются таким образом, чтобы удовлетворить заранее

сформулированным условиям. Экспертная информация является только

исходной информацией для дальнейшей обработки. Косвенные методы

более трудоемки, чем прямые, но их преимущество — в стойкости по

отношению к искажениям в ответе.

Но т.к. функция принадлежности может отражать, как мнение

группы экспертов, так и мнение одного (уникального) эксперта,

следовательно, возможно выделить следующие группы методов:

прямые и косвенные для одного эксперта, прямые и косвенные для

группы экспертов.

В работах Заде предлагается параметрическое определение

функций принадлежности термов в зависимости от расстояния до

эталонов. Наиболее прост и в то же время эффективен в применении

метод нахождения функции принадлежности исходя из попарных

сравнений рассматриваемых элементов, предложенный Т. Л. Саати

[190]. При формировании оценок попарных сравнений, обычно,

эксперта просят отразить ощущения или опыт следующим образом: а)

установить какой из двух предлагаемых элементов, по его мнению,

более важен; б) оценить восприятие интенсивности различия в виде

ранга важности по определенной ранговой шкале.

Метод многокритериального выбора альтернатив на основе

композиционного правила агрегирования описаний альтернатив

230

Метод многокритериального выбора альтернатив на основе

композиционного правила агрегирования описаний альтернатив с

информацией о предпочтениях ЛПР, заданных в виде нечетких

суждений позволяет сравнивать альтернативы незначительно

отличающиеся друг от друга по качественным критериям, а это является

необходимым условием оценки экспертов.

Пусть U — множество элементов, А — его нечеткое

подмножество, степень принадлежности элементов которого есть число

из единичного интервала [0,1]. Подмножества А являются значениями

лингвистической переменной X.

Пусть множество решений характеризуется набором критериев X

,..., Хр, т.е. лингвистических переменных на базовых множествах U

,.., Up соответственно. Например, переменная – X

«Квартирная

плата» может иметь значение НИЗКАЯ, а переменная Х

«Расположение

квартиры» — значение ХОРОШЕЕ и т. п. Набор из нескольких

критериев с соответствующими значениями характеризует

представления ЛПР об удовлетворительности (приемлемости) решения.

Переменная S «Удовлетворительность» также является лингвисти-

ческой. Пример высказывания:

: «Если X

=НИЗКАЯ и X

=ХОРОШЕЕ, то S=ВЫСОКАЯ». В

общем случае высказывание d

имеет вид

di: «Если X

1 i

и Х

=А

2 i

и ... Хр=Аp

, то S=B

». (15.1)

Обозначим пересечение (Х

=А



 ...Хр=Aр

) через Х=А

. Опе-

рации пересечения нечетких множеств соответствует нахождение мини-

мума их функций принадлежности:



(v)=

 

min ( ), ( ),..., ( )

v V

Ai Ai Aip p

u u u



  

1 1 2 2

. (15.2)

где V=U



...



Up; v=(u

, u

,,. ..,u

);



Aij

(и

) — значение

принадлежности элемента u

нечеткому множеству A

. Тогда правило

можно записать в виде

: «Если X=A

, то S=B

».

(15.3)

Для придания общности рассуждениям обозначим базовое мно-

жество U или V через W. Тогда A

— нечеткое подмножество W, в то

время как B

— нечеткое подмножество единичного интервала I.

Импликация нечетких множеств выражается следующим об-

разом:

231



(w,i)=

 

min , ( ) ( )

w W

A B

w i



 1 1

 

, (15.4)

где Н — нечеткое подмножество на W



I , w



.W, i



Аналогичным образом высказывания d

, d

,. ..,d

преобразуются в

множества Н

, Н

,..., Н

. Их пересечением является множество D:

D=H

H

...H

(15.5)

и для каждого (w, i)  W





(w,i)=

 

min ( , )

w W

w i





, j=1,2...,q

(15.6)

Далее опишем способ выбора альтернатив, каждая из которых

описывается нечетким подмножеством С из W.

Удовлетворительность альтернативы находится на основе компози-

ционного правила вывода:

G=C



(15.7)

где G — нечеткое подмножество интервала I.

Тогда



(i)=

 

max min( ( ), ( , ))

w W

C D

w w i



 

(15.8)

Сопоставление альтернатив происходит на основе точечных оценок.

Для нечеткого множества AI определим



-уровневое множество (



[0, 1]):



={х|



(х)





, хI}.

(15.9)

Для каждого А



. можно вычислить среднее число элементов — М(А



1) для множества из п элементов М(А



x A







;

2) для А



= {а



b} M(A



a b

3) для 0



...









{ а



}; M(A



a b

b a

i i



 







( )

Тогда точечное значение для множества А

232