Маслов А.В., Григорьева А.А. Математическое моделирование в экономике и управлении: Учебное пособие. Гриф УМО
Подождите немного. Документ загружается.
Рис. 11.5. Движение запасов с учётом убытков из-за
неудовлетворённого спроса и с задержкой их пополнения
.
22
2
1
2
1
2
2
4321
дyx
дyx
C
V
Q
C
V
TSV
C
V
TS
nCCttSVCttSY
Исследование математической модели
Продифференцировав целевую функцию Y относительно V и S и
прировняв полученные при этом частные производные
V
Y
и
S
V
к
нулю, получим систему уравнений:
.0
;0
2
2
2
22
2
2
2
y
x
дy
x
C
V
TSV
V
STC
S
Y
C
V
Q
C
V
TSVVTSV
V
TCS
V
Y
или
.0
;02
222
yx
yyx
CSVSC
QCTCVSTCS
Решив систему уравнений, находим:
.
2
;
2
yxx
yд
опт
yx
yxд
опт
CCTC
CQC
S
CTC
CCQC
V
Одновременно с определением оптимальной величины потребной
опт
V
и поставленной
опт
S
партий можно определить оптимальный
интервал времени между двумя поставками:
QTVt
оптопт
/
.
После соответствующих преобразований получим
yx
yxд
опт
CQC
CCTC
t
2
.
181
Задачу управления запасами при случайном спросе не будем
рассматривать. (Интересующихся отсылаем в к специальной
литературе).
Задачи замены оборудования
Технические характеристики любой машины и оборудования
вследствие старения, износа и других причин со временем ухудшаются.
Это приводит к необходимости замены оборудования с целью как
уменьшения суммарных затрат на эксплуатацию оборудования, так и
предупреждения его полного выхода из строя (отказа). Кроме того, это
приводит к необходимости рационально организовать
профилактическое обслуживание.
Классификация задач замены оборудования
Задачи замены оборудования по наличию того или иного признака
можно разделить следующим образом.
1. По характеру замены оборудования на 3 типа:
а) по замене оборудования длительного использования из-за
неуклонно возрастающих с увеличением срока службы
эксплуатационных затрат. В этих задачах определяется оптимальный
срок службы оборудования, минимизирующий эксплуатационные
затраты;
б) по замене оборудования с целью предупреждения отказов
(поломки).
Требуется найти такое время замены, чтобы суммарные издержки
были минимальны;
в) по выбору оптимального плана предупредительного ремонта и
профилактического обслуживания оборудования для уменьшения
вероятности отказа.
2. По характеру учёта затрат на оборудование – на дискретные и
непрерывные. Если расходы по ремонту и уходу за оборудованием
производятся через некоторые интервалы времени, то задача
дискретная, в противном случае – непрерывная.
3. По выходу из строя оборудования – на детерминированные и
случайные. Если расходы по ремонту и уходу за оборудованием
являются постоянными или известными функциями от времени, то мы
имеем детерминированную задачу замены оборудования.
4. По стратегии замены оборудования на плановые (по мере
выхода из строя) и смешанные. Если замена оборудования производится
строго по плану с учётом соотношения затрат на ремонт и уход за
182
оборудованием и эффекта, получаемого от эксплуатации оборудования,
то имеем задачу с плановой стратегией замены оборудования.
Смешанные задачи замены оборудования – это задачи, в которых
придерживаются плановой стратегии замены оборудования, но если
оборудование вышло из строя раньше запланированного времени, то
оно заменяется.
5. По времени учёта затрат – на оборудование с приведением
затрат и без их приведения. Если затраты на эксплуатацию
оборудования осуществляются в разные сроки или они изменяются во
времени, то следует привести затраты более поздних лет к расчётному,
в этом случае имеем задачу замены оборудования с приведением затрат,
в противном случае – без приведения.
Рассмотрим далее в порядке возрастания сложности только
некоторые типы задач замены оборудования.
Задача замены оборудования длительного пользования
Постановка задачи. Выбор критерия оптимизации
Пусть в эксплуатации находится некоторое оборудование.
Покупная цена нового оборудования известна и равна S. Допустим, что
известны затраты на эксплуатацию оборудования (уход за ним, ремонт
и т. д.), производимые в начале 1,2,…,t,…,n периодов. Предположим,
что периоды равны, например, году. Обозначим затраты, производимые
в t-й период, через
t
C
. В результате износа балансовая цена
оборудования непрерывно падает и зависит от периода списания,
обозначим её
t
S
. Требуется определить период списания оборудования.
Выявление основных особенностей, взаимосвязей и
количественных закономерностей
Рассмотрим задачу, в которой известны эксплуатационные затраты
в разные периоды (дискретную)
,...,...,,
21 t
CCC
(естественно, что
tt
CC
1
), а также значения
ttt
SSSSS
121
,...,...,,
, и непрерывные
задачи, в которых известны зависимости
)( ),( tStfС
tt
.
При этом ограничимся рассмотрением трёх случаев, когда:
1)
t
C
и
t
S
линейно зависят от
t
:
;;
101
tbbStaC
tt
2)
t
C
и
t
S
квадратично зависят от
t
(по параболе):
;;
2
210
2
21
tbtbbStataC
tt
3)
t
C
и
t
S
экспоненциально зависят от
t
:
t
t
t
t
ebSeaC
00
,1
.
183
Это связано с заменой оборудования, подверженного износу. Все
три случая можно представить графически.
Построение математической модели
Средние затраты равны: 0) – дискретный вариант.
;/)(
1
tSCStY
t
i
ti
;)(
11
101
ba
t
tbbtaS
tY
;)(
2211
2
210
2
21
batba
t
tbtbbtataS
tY
.
111
)(
1
000
t
eSea
t
ebeaS
tY
ttt
Для всех случаев
Sb
0
т.е.
SS
0
.
1)
2)
3)
184
0
0
t
t
0
b
t
S
tbbS
t 10
t
C
taС
t 1
t
0
0
t
t
C
t
S
0
b
2
210
tbtbbS
t
2
21
tataC
t
t
S
t
С
1
0
t
t
eaС
t
t
ebS
0
Рис. 11.6. Зависимость эксплутационных затрат
и балансовой стоимости оборудования от времени
Исследование математической модели
Рассмотрим все указанные случаи. Чтобы затраты при замене
оборудования через t периодов были наименьшими, естественно должно
выполниться условие:
11 tYtYtY
или в развёрнутом виде
tY
t
SCS
t
SCCS
t
SCS
tY
t
t
i
i
t
i
tti
t
i
ti
11
11
1
1
1
11
1
tY
t
SCS
t
CSCS
t
SCS
tY
t
i
ti
t
i
tti
t
i
ti
1
1
1
1
1
1
11
1
После соответствующих преобразований получим окончательно:
tttttt
SSCtYSSС
111
Это условие при любых соотношениях между величинами
t
С
и
t
S
является необходимым условием оптимальности стратегии, а т.к.
tt
CС
1
и
tt
SS
1
, то написанное условие является ещё и достаточным
условием оптимальности:
.,0 constY
t
Y
Оптимального периода списания нет. Если
функции
t
C
и
t
S
линейные, то средние издержки эксплуатации
оборудования будут постоянны, поэтому, если хотим произвести замену
в любое время, достаточно обеспечить линейность характеристик
t
С
и
t
S
;
;min;0
1122
baYba
t
Y
в этом случае средние издержки
линейно зависят от периода эксплуатации;
0
11
2
00
t
eSeaeSeat
t
Y
ttt
. После соответствующих
преобразований получим
.11
0
tttt
eteSeeta
.
185
00
t
t
Решая это уравнение (целесообразнее графическим способом и
обозначив предварительно
tttt
eteSYeetaY
1,1
201
),
получим точку пересечения, которая и даст искомое время t, при
котором необходимо произвести замену оборудования.
Задача замены оборудования с целью предупреждения отказа
Постановка задачи и выбор критерия оптимизации
Пусть в эксплуатации находится некоторое оборудование.
Допустим, что известны затраты, связанные с отказом оборудования
(брак готовой продукции, простой и т. д.), включая затраты на замену
от
С
=100 тыс. руб., а также известны затраты на одну замену
з
С
=50
тыс. руб. (предупредительную замену). Известно количество
неотказавшего оборудования n(t) ко времени t (табл. 11.3). Требуется
определить оптимальный интервал между последовательными заменами
оборудования, при котором минимизируются средние затраты на
единицу времени.
Вероятности отказа работы оборудования известны.
186
Таблица 11.3
Исходные данные задачи замены оборудования
Время работы t 0 1 2 3 4 5 6 7
Количество
неотказавшего
оборудования
ко времени t
n(t) 200 190 180 160 100 40 20 10
Выявление основных особенностей, взаимосвязей и
количественных закономерностей
Вероятность исправной работы оборудования свыше времени t:
0n
tn
tPtTP
, где
tn
– количество неотказавшего оборудования
ко времени t из
0n
обследованных;
tP
часто называют функцией
живучести оборудования.
Среднее время безотказной работы оборудования за t (средний
аварийный возраст):
.
1
0
t
i
t
ipQ
Значение вероятностей P(t) исправной работы оборудования свыше
времени t представлены в таблице и на рис.11.7:
Таблица 11.4
Значение вероятностей P(t) исправной работы оборудования
Показатель Время работы оборудования t
0 1 2 3 4 5 6 7 8
tn
200 190 180 160 100 40 20 10 0
tP
1 0,95 0,9 0,8 0,5 0,2 0,1 0,05 0
t
Q
- 1,00 1,95 2,85 3,65 4,15 4,35 4,45 4,5
Построение математической модели
Обозначим средние затраты в единицу времени через
t
Y
при
замене оборудования в возрасте t. Вероятность выхода из строя
оборудования в возрасте t составит
11 tP
. В результате средние
затраты в единицу времени составляют
t
зoт
t
Q
tPCtPC
Y
111
.
187
t
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
tP
t
0,2
0
0,4
0,6
0,8
1,0
tP
)(tP
Рис. 11.7. Вероятность исправной работы оборудования
Исследование и решение математической модели
Для определения оптимального интервала между
последовательными заменами протабулируем значение
t
Y
(табл.11.5):
Таблица 11.5
Определение оптимального интервала между последовательными
заменами
Показатель Время работы оборудования t
0 1 2 3 4 5 6 7 8
tQ
0 1 1,95 2,85 3,65 4,15 4,35 4,45 4,5
11 tPC
от
0 5 10 20 50 80 90 95
1tРС
з
50 47,5 45 40 25 10 5 2,5
t
Y
50 26,5 19,3 16,4 18,1 20,7 21,3 21,6
Оптимальный интервал между последовательными заменами
можно определить графически (рис.11.8).
4
onm
t
(года),
44,16
t
Y
(тыс. руб.) = min.
Предупредительная замена не всегда оправдана. Так, если
вероятность отказа
tP
om
не зависит от возраста, то предупредительная
замена не имеет смысла. Если дополнительные потери, вызываемые
отказом, очень малы, то применять предупредительные замены
нецелесообразно.
188
10
20
30
40
50
t
Y
1 2
3 4
5 6
7 8
Рис. 11.8. Зависимость средних затрат в единицу времени от времени
Вопросы для самопроверки
Предмет рассмотрения задач упорядочения.
Классификация задач упорядочения.
Детерминированная задача упорядочения. Алгоритм Джонсона.
Общая формулировка задачи управления запасами.
Классификация задач управления запасами.
Однопродуктовая детерминированная задача управления запасами.
Задача управления запасами с учётом убытков из-за
неудовлетворённого спроса.
Общая детерминированная многопериодная задача управления
запасами.
Предмет задач замены оборудования.
Классификация задач замены оборудования.
Задача замены оборудования длительного пользования.
Задача замены оборудования с целью предупреждения отказа.
189
1 2 3
4
5
6 7
8
t
0
Тема 12 Задачи массового обслуживания
Системы массового обслуживания (СМО) в общем виде можно
представить как совокупность последовательно связанных между собой
входящих потоков требований на обслуживание, очередей, каналов
обслуживания и выходящих потоков требований.
Задачи массового обслуживания условно делят на задачи анализа и
задачи синтеза – оптимизации систем массового обслуживания. Задачи
анализа предполагают оценку эффективности функционирования СМО
при известных, наперёд заданных исходных характеристиках системы:
структуре системы, дисциплине обслуживания, потоках требований и
законах распределения времени их обслуживания. Задачи синтеза
направлены на поиск оптимальных параметров проектируемой СМО.
Рис. 12.1. Схема СМО
Случайный характер входящего потока требований (машин,
самолетов, пользователей и т. д.), а также длительность обслуживания
каналом (станция техобслуживания, аэродром, ЭВМ и т. д.) приводит
к образованию случайного процесса в системе, который необходимо
исследовать.
Классификация СМО
СМО по наличию того или иного признака можно разделить
следующим образом:
1. По характеру поступления требований – на системы с
регулярным и случайным потоком поступления требований в систему.
Если количество поступающих требований в систему в единицу
времени (интенсивность потока) постоянно или является заданной
190
Входящие
потоки
Очередь
Каналы
обслужи
вания
Выходящ
ие
потоки