Маслов А.В., Григорьева А.А. Математическое моделирование в экономике и управлении: Учебное пособие. Гриф УМО

Подождите немного. Документ загружается.

преобразуем её. Каждое из слагаемых x

разделим на x

и обозначим

отношение x

через а

, т.е. а

= x

. В этом случае система уравнений примет

следующий вид:













....

...

,...

2211

222221212

112121111

nnnnnnn

Yxaxaxax

(13.8)

Таким образом, преобразованием системы (13.7) привели её к

обычной математической форме системы n линейных уравнений с n

неизвестными x

, x

,,…, x

при заданных значениях коэффициентов a

Коэффициенты а

= x

/ x

называют коэффициентами прямых

затрат. Коэффициенты прямых затрат задают для всех отраслей

в виде матрицы:















nnnn

aaa

...

............

...

22221

11211

(13.9)

Если использовать матричную форму записи, то система уравнений межотраслевого баланса

принимает вид:

YAXX 

, (13.10)

где А – матрица коэффициентов прямых затрат; Y – вектор конечного

продукта; X – вектор объёма производства.

В натуральном балансе коэффициент прямых затрат означает

расход i-й продукции на изготовление единицы j-й продукции

(например, расход угля на производство тонны чёрных металлов). В

стоимостном балансе коэффициенты a

означают затраты i-й отрасли на

каждый рубль валовой продукции j-й отрасли.

Помножив вектор Х на единичную матрицу, соотношение (13.10) можно

преобразовать как:

YAXEX 

, (13.11)

или

YXAE  )(

(13.12)

После подсчёта коэффициентов прямых затрат (порядок расчёта

коэффициентов прямых затрат будет изложен далее) соотношение

(13.12) можно использовать для анализа и решать следующие задачи:

1. Определить объёмы конечного продукта отраслей Y

, Y

,…,Y

по

заданным объёмам валовой продукции X

, X

, …, X

по формуле

Y=(E-A)X.

211

2. Определить объёмы валовой продукции отраслей X

, X

,…, X

по

заданным объёмам конечного продукта Y

, Y

,…,Y

по формуле

X=(E-A)

-1

Пример построения экономико-математической модели

межотраслевого баланса и его расчёта для случая трёх отраслей

Пример 13.1.

В табл. 13.3 приведён пример для построения модели и расчёта

межотраслевого баланса для трёх отраслей:

Таблица 13.3

Исходные данные для построения модели межотраслевого баланса

Отрасли

произв.

Коэффициент прямых затрат Конечный

продукт

потребления 1 2 3

0,1

0,2

0,3

0,2

0,1

0,2

0,3

0,4

По данным табл. 13.3 можно записать следующую систему уравнений:













.84,01,01,0

,113,02,02,0

,362,03,01,0

3213

3212

3211

xxxx

Превратив конечные продукты отраслей в свободные члены, получим:













84,01,01,0

,113,02,02,0

,362,03,01,0

3213

3212

3211

xxxx

или

















.86,01,01,0

,113,08,02,0

,362,03,09,0

321

xxx

Решение данной системы линейных уравнений осуществляется

известными методами алгебры (Ответ: x

=60, x

=40, x

=30).

Экономическая природа коэффициентов прямых и полных

затрат и их расчёт

212

Коэффициенты прямых затрат характеризуют непосредственный

расход материальных ресурсов одного вида на изготовление единицы

продукции другого вида.

Из-за огромной номенклатуры производимой и потребляемой в

стране продукции возникает необходимость агрегирования

номенклатуры, включаемой в межотраслевой баланс.

Агрегирование номенклатуры продукции осуществляется с учётом

следующих факторов:

народно-хозяйственного значения продукции;

степени однородности технологии изготовления продукции;

степени однородности потребительских свойств продукции;

масштабов выпуска продукции;

затрат на производство продукции.

В связи с агрегированием продукции, включаемой в межотраслевой

баланс, приходится решать вопрос, каким образом в таких случаях

формировать коэффициенты прямых затрат. Очевидно, что расходы

одних видов продукции на производство единицы других видов

продукции, включённых в межотраслевой баланс, должны быть

агрегированы в той же самой степени, что и позиции межотраслевого

баланса.

Формирование агрегированных коэффициентов прямых затрат осуществляется путём

последовательного усреднения индивидуальных по формуле:

 



 

jijij

daa

1 1

(13.13)

где a

– агрегированный коэффициент прямых затрат;

–

индивидуальные коэффициенты прямых затрат отдельных видов

продукции, включённых в агрегированный вид i-й продукции, на

производство единицы отдельных видов продукции, включенных в

агрегированный вид j-й продукции;

– удельный вес отдельных видов

продукции, включённых в агрегированный вид j-й продукции, в объёме

производства агрегированной j-й продукции.

Коэффициентом полных затрат i-го вида материальных ресурсов на

изготовление единицы j-й продукции называется сумма

соответствующего коэффициента прямых затрат i-го вида материальных

ресурсов и всех его косвенных затрат на предыдущих стадиях

производства j-й продукции. Обычно коэффициенты полных затрат

значительно превосходят коэффициенты прямых затрат.

Рассмотрим на примере, как возникают косвенные затраты. Так, на

изготовление автомобиля в виде прямых затрат расходуется уголь,

стальной прокат, цветные металлы, электроэнергия и т.д. Но на

213

производство стального проката, цветных металлов и электроэнергии

также расходуется уголь. Если определить затраты угля на

производство стального проката, цветных металлов, электроэнергии и

другой продукции, используемой при изготовлении автомобиля, то

получим косвенные затраты первого порядка. Однако следует учесть,

что на производство стального проката, цветных металлов и

электроэнергии расходуется сырьё и материалы (например, для

производства стального проката были использованы стальные слитки,

расходовалась электроэнергия для работы прокатного стана и т.д.), для

получения которых также расходовался уголь. Это уже будут косвенные

затраты угля на изготовление автомобиля второго порядка. Продолжая

расчёты, можно определить косвенные затраты угля третьего,

четвёртого и т.д. порядков. Сложив все эти затраты и прибавив к ним

прямые затраты, можно получить величину полных затрат. Однако так

проводить расчёты полных затрат практически невозможно, поскольку

процесс последовательного наслоения косвенных затрат на прямые

продолжается бесконечно, но экономическая природа коэффициентов

полных затрат отображается именно при рассмотрении

многоступенчатого наслоения косвенных затрат.

Расчёт коэффициентов полных затрат можно осуществить другим

способом. Из определения сущности коэффициентов прямых затрат и

косвенных затрат видно, что коэффициенты полных затрат b

характеризуют потребность в валовом выпуске продукции i-й отрасли,

которая необходима для получения в процессе материального

производства единицы конечного продукта j-й отрасли.

Выше было доказано, что объёмы валовой продукции отраслей по

заданным объёмам конечной продукции можно рассчитать по формуле

X=(E-A)

-1

Y, где (E-A)

-1

– матрица, обратная к матрице (Е-А). Отсюда

матрица коэффициентов полных затрат:

B=(E-A)

-1

, X=B·Y.

Коэффициенты полных затрат отражают все многообразие и

сложность косвенных связей в процессе общественного

воспроизводства.

При анализе результатов натурального межотраслевого баланса

определённый интерес представляют следующие соотношения

коэффициентов прямых затрат – a

, полных затрат – b

и косвенных

затрат – с

отношение b

, которое показывает, во сколько раз полные

затраты превышают прямые;

отношение a

, которое показывает удельный вес прямых затрат

в полных затратах;

214

отношение с

=(b

-a

)/a

, которое показывает, во сколько раз

косвенные затраты больше (или меньше) прямых затрат.

Далее приведён пример расчёта коэффициентов полных затрат для

случая трёх отраслей, приведённых выше в табл. 13.3.

Пример 13.2.

Матрица коэффициентов прямых затрат равна:















4,01,01,0

3,02,02,0

2,03,01,0

Разность матриц Е-А равна:

6,01,01,0

3,08,02,0

2,03,09,0

4,01,01,0

3,02,02,0

2,03,01,0

110

010

001











































Обратную матрицу (Е-А)

-1

находим методами линейной алгебры.

Она равна:

937,1351,0273,0

908,0527,1430,0

732,0587,0304,1

)(

















BAE

Отсюда видно, что коэффициенты полных затрат значительно

превышают величину коэффициентов прямых затрат.

Вопросы для самопроверки

1. Сущность балансового метода согласования ресурсов и

потребностей. Область применения.

2. Классификация межотраслевых балансов производства и

реализации продукции.

3. Принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном

выражении.

4. Принципиальная схема межотраслевого баланса в стоимостном

выражении.

5. Принципиальная схема межотраслевого баланса в натуральном

выражении.

6. Районные межотраслевые балансы.

7. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса.

8. Экономическая природа коэффициентов прямых и полных затрат

и их расчёт.

215

9. Экономическое происхождение косвенных затрат.

Тема 14 Многокритериальные задачи

Во всех оптимизационных задачах, рассматривавшихся раньше,

речь шла о единственном критерии в каждой из задач. На практике

однокритериальные задачи встречаются редко, реальным является

наличие у человека или организации одновременно несколько

критериев. Задача многокритериальной оптимизации – это задача с

несколькими критериями, которые с разных сторон характеризуют

различные решения. При этом большинство задач формируется как

задачи выявления одной наилучшей альтернативы. Последнее

предполагает существование и использование при формальном анализе

альтернатив обобщенного (интегрального, агрегированного) критерия

оптимальности, который определяет компромисс между степенями

достижения целей, оцениваемых значениями частных критериев.

Обоснованность выбора какой-либо альтернативы как

наилучшей определяется тем, насколько точно используемая

многокритериальная модель оптимизации отвечает характеру решаемой

задачи и насколько адекватно реальности отражены в обобщенном

критерии оптимальности – базовом компоненте модели –целевые

установки (мотивы) поиска наилучшей альтернативы. Поэтому

разработка таких адекватных реальности многокритериальных моделей

оптимизации в каждой конкретной задаче имеет первостепенное

значение.

К настоящему времени предложено большое число методов и

реализующих их алгоритмов синтеза обобщенных критериев и

многокритериальных моделей оптимизации в задачах принятия

решения. Однако вопросы теории, совершенствования известных и

разработки новых методов построения таких моделей продолжают

оставаться актуальными. При этом до настоящего времени не получила

должного разрешения проблема согласования условий применимости

многокритериальных моделей оптимизации с реальными

возможностями лица, принимающего решения (ЛПР). Эти условия

связаны с требованиями к информации, получаемой от ЛПР, от

уяснения того, что следует понимать под наилучшей альтернативой в

конкретной многокритериальной задаче принятия решений.

216

Классификация методов многокритериальной оценки

альтернатив

В литературе описывается множество методов классификации

методов оценки и сравнения многокритериальных альтернатив.

Наиболее популярны из них классификация по структурным

особенностям самих моделей (при этом выделяются, например, методы,

использующие веса критериев, сравнивающие критерии по важности,

например, лексикографическое упорядочение критериев, использующие

модели и алгоритмы линейного и нелинейного программирования и т.

д.) и классификация по условиям принятия решений: принятие решений

при определенности, неопределенности, риске; при одном или

нескольких критериях; в статической (один момент принятия решения)

или динамической (много таких моментов) ситуации; принятие

индивидуальных пли групповых решений. Классификация по признаку

«способ перехода к единой оценке альтернатив», позволяют выделить

пять групп методов: аксиоматические, прямые, компенсации, порогов

несравнимости, человеко-машинные процедуры. Данная классификация

приведена на рис. 14.1.

Аксиоматические методы опираются непосредственно на

теорию полезности фон Неймана и Моргенштерна, которые предлагали

систему аксиом и при их помощи доказали существование функции

полезности с точностью до линейного преобразования. Аксиомы

проверяются путем получения информации от лиц, принимающих

решения. В соответствии с этой информацией делается вывод о той или

иной форме зависимости. Критически оценивая аксиоматические

методы с позиции возможности использования их для решения

поставленной задачи оценки конкурентоспособности наукоемкой

продукции, следует отметить их некоторую искусственность. Здесь в

основу заложены чисто формальные допущения и главная проблема

сравнения альтернатив отступает на второй план перед чисто

формальной проблемой поиска функции полезности в определенной

форме. Таким образом, применение данных методов в нашем случае не

предусматривается.

217

Прямые методы предусматривают, что зависимость общей

полезности альтернативы от оценок по отдельным критериям известна

заранее. В этой группе методов можно выделить пять подгрупп:

1. Постулируемые принципы

2. Выбор глобального критерия:

Максиминный критерий (наибольшая осторожность).

Критерий минимаксного сожаления.

Критерий максимакса (крайний оптимизм)

Критерий Гурвица.

Критерий Лапласа.

Двойники аксиоматических методов:

Метод взвешенной суммы.

Мультипликативный метод.

Лексикографическое упорядочение критериев

4. Интерполяция функции полезности

5. Наука о решениях

Чаще всего используется вид зависимости, при котором

определяются численные показатели важности критериев (веса),

умножаемые на оценки по критериям (метод взвешенной суммы оценок

критериев). Это методы, в которых форма зависимости результирующей

полезности альтернативы от ее оценок по многим критериям не требует

теоретических оснований, а параметры этой зависимости задаются

непосредственно субъектами диалога. Оценивая данную группу

методов можно отметить, что для большинства из них характерны

высокие требования к субъектам на начальных этапах работы, который

должен сделать выбор наиболее обоснованного принципа оценки

критериев.

Методы компенсации предлагают уравновесить

(скомпенсировать) оценки одной альтернативы оценками другой, чтобы

найти, какие оценки лучше. Человек выписывает достоинства и

недостатки каждой из альтернатив и, вычеркивая попарно

эквивалентные достоинства (недостатки), изучает то, что осталось. Эти

методы развивают идею компромисса полезности оценок различных

критериев. Переход от сравнения качеств по различным критериям к

сравнению альтернатив может быть осуществлен различными путями.

Среди них следует выделить построение - безразличия и сравнение

разностей. Необходимо отметить, что методы построения кривых или

поверхностей безразличия очень трудоемки и малопригодны при

количестве критериев больше трех. Таким образом, в виду низкой

достоверности и частой нетранзитивности результатов, эти методы для

218

решения поставленной задачи оценки конкурентоспособности наукоемкой

продукции не используются.

219

Методы многокритериальной оценки альтернатив

Аксиоматические

методы

Методы

компенсации

Прямые методы Методы порогов

несравнимости

Человеко-машинные

методы

Постулируемые

принципы

Двойники

аксиоматичских

методов

Интерполяция

функции полезности

Выбор глобального

критерия

Наука о решениях

Рис. 14.1. Классификация методов оценки многокритериальных альтернатив

222