Машимов М.М. Геодезия.Теоретическая геодезия

Подождите немного. Документ загружается.

вой океан можно 20 раз покрыть нивелировкой. Поэтому планирование

и выполнение планетарного спутникового нивелирования, периодическое

эталонирование спутниковых радиовысотомеров относятся к классу

крупных научно-технических и производственных задач государственно-

го масштаба.

В зарубежной и отчасти в советской литературе спутниковое ниве-

лирование, которое представляет идеальный способ прямого определе-

ния высот геоида, называют спутниковой альтиметрией. Очевидно, тер-

мин «спутниковое нивелирование» правильно отражает сущность нового

способа определения высот геоида, так же как традиционный способ

определения высот геоида по наземным астрономо-геодезическим и

гравиметрическим измерениям называется астрономо-гравиметрическим

нивелированием.

4.13.2. Уравнения спутникового нивелирования

Рассмотрим уравнения, связывающие геоид, измеренную высоту

ИСЗ над геоидом и его геоцентрическое положение. Пользуясь рис. 22,

запишем известную формулу для сторон треугольника

= г

-{-Го

—

2/тосоз (400)

Как было выяснено ранее, угол го мал по величине, так например,

для ИСЗ, нивелирующих геоид, этот угол составляет около 2'. Ошибка

его оценки 0,001" приводит в вычислении косинуса угла к ошибке

з-ю-'

Для удобства в последующих действиях формулу (400) представим

в виде следующего уравнения:

Ф = (г

г1

— й

)/2

—

ггосои \о= 0. (401)

Вычислим частные производные функции Ф (401) по г и г о

«ЭФ ЗФ ,.

по

-г— — г — г

соз\

; -т— —го — гсо&хо. (402)

ог ог о

Пользуясь рис. 22 и формулами (401), находим

^-=Нсо&\\ •^-=—Нсо&(х-\-\о)- (403)

Частная производная функции Ф (401) по Л равна

дФ/дН = —к. (404)

Пусть измеренная величина есть

= й' + Дй + у, (405)

где й' — результат измерения; Дй и

— поправки за систематическую

и случайную ошибки измерения.

Известное значение геоцентрического расстояния спутника г° не-

обходимо уточнить поправкой

140

А г = Ах о соз ф соз X + Ауо соз ф зт А, + Аг о зт ф (406)

за несовпадение начала отсчета координат с центром масс Земли и по-

правкой

= (407)

за ошибку модели внешнего гравитационного поля Земли, принятой

для вычисления г.

. Таким образом, геоцентрический радиус спутникового радиовысото-

мера будет

г =

г°

+ Ахасоъ

соз

+ Ауо соз

зт

+ Аго зт

+ V. (408)

Геоцентрический радиус геоида представим суммой счислимого

значения го и поправкой Аг

за ошибку модели внешнего гравитацион-

ного поля Земли

го=г8 + йго; Аг

=^-АУ. (409)

Полагая поправки АЛ, V, (IV, Аг, Аг, Аг

малыми по величине и учи-

тывая формулы (400) — (409), функцию (401) запишем в виде уравне-

ния поправок

V = —

АН

+ (Ах о соз

соз

+ Ауосов

зт

А,

+ Аг

зт ф)соз +

Г дг дг 1

(410)

+-^р-соз"Уо ^ргсоз^

"Уо)

^ АУ +1,

где свободный член

= Н°—Л';

Л°

= (г°

Ло

—

2г

Лосоз го)'

. (411)

Высота Н

вычисляется по счислимым значениям геоцентрических

расстояний спутникового радиовысотомера и подспутниковой точки

геоида. При этом счислимые значения геоцентрических радиусов г°

и го соответствуют известному значению V

потенциала притяжения

Земли. В формуле (410) исключена поправка за начальные условия

движения ИСЗ, ибо в ее определении большой вес имеют угловые,

лазерные и доплеровские наблюдения ИСЗ наземных обсерваторий.

4.13.3. Вклад спутникового нивелирования

Первая задача. Оперативное нивелирование высот поверхности

Мирового океана позволяет изучать топографию океана и периодически

уточнять параметры внешнего гравитационного поля Земли. Повторные

нивелировки дают представительную статистику изменения геоида во

времени, а также данные для установления на каждую эпоху плане-

тарной геоцентрической системы геодезических координат и опреде-

ления модели земного тяготения, ей соответствующей и адекватной

внешнему гравитационному полю Земли. В этом заключается основной

141

вклад спутникового нивелирования в решение фундаментальных задач

геодезии.

Вторая задача. В дифференциальной формуле спутникового ниве-

лирования (410) искомыми параметрами являются координаты центра

масс Земли или, иначе говоря, составляющие радиуса-вектора Дг нача-

ла отсчета координат относительно центра масс Земли. Равномерно

располагая районы нивелирования по всему Мировому океану и на(^по-

дая за вариациями силы тяжести на гравиметрических пунктах, равно-

мерно размещенных на поверхности планеты, можно оценивать вектор

Дг с сантиметровой точностью, и затем следить за вековым движением

центра масс Земли в ее теле.

Третья задача. Ее можно рассматривать как следствие решения

первых двух задач. Зная параметры планетарного геоида и планетар-

ную систему геодезических координат, определяют уровенный эллип-

соид, наилучшим образом аппроксимирующий планетарный геоид.

Указанная группа задач отчасти относится к задачам геодина-

мики.

Четвертая задача. Спутниковое нивелирование позволяет изучать

геоид для отдельных районов и оперативно определять периодические

и быстрые изменения кривизны и высот геоида, обусловленные пере-

мещением масс в теле и на поверхности Земли.

В сочетании с данными наземных, морских и океанских гравимет-

рических съемок можно изучить местный геоид на акваториях детально

по площадкам с оценкой высот в пределах нескольких сантиметров,

фильтруя волны приливного и метеорологического характера.

Пятая задача. Из основного уравнения спутникового нивелирова-

ния (399) следует, что, сравнивая высоту ИСЗ, прогнозируемую по

элементам его орбиты, и измеренное значение его высоты, получаем

обширную статистику для оптимизации прогноза движения ИСЗ и для

эталонирования их орбит над океанами, где практически отсутствуют

станции слежения за космическими объектами. Решение этой задачи

особенно важно для навигационных и других ИСЗ специального на-

значения (космические съемки, исследования и охрана природы, тема-

тическое картографирование и др.).

Шестая задача. Технический прогресс в спутниковых наблюдениях

в будущем позволит определять с высокой точностью высоты ИСЗ над

континентами. Используя совместно данные спутникового нивелирова-

ния над сушей и наземные астрономо-геодезические и гравиметриче-

ские измерения можно будет определять геоид на континентах с ошиб-

ками порядка нескольких сантиметров с учетом приливных деформа-

ций и неприливных земной коры.

Седьмая задача. Используя материалы спутникового нивелирования,

можно надежно определить параметры фигуры Земли и их вековые

изменения из-за переноса масс планетарного характера.

Решение указанных выше задач актуально как для планетарной

геодезии, так и для геологии, геофизики, океанологии и других наук

о Земле.

142

4.14. ДЛИННОБАЗИСНАЯ РАДИОИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ

\ Принцип использования радиоинтерферометрических наблюдений

квэзаров в геодезических целях основан на том, что сигналы от ква-

заров на антенны радиотелескопов, находящихся друг от друга на

большом расстоянии, поступают не одновременно, а с некоторым запаз-

дыванием т, обусловленным разностью расстояний от базисных пунктов

радиринтерферометрии (РИ) до квазара. Причем со временем эта

разнцсть будет меняться из-за изменения угла между базой РИ и на-

правлением на квазар, вызванного суточным вращением Земли. Синхро-

низация во времени реализуется с помощью перевозимых часов или по

сигналам Службы единого времени, шкала которой задается с помощью

стандарта частоты.

Принцип длиннобазисной РИ рассмотрим на примере рис. 23. Поло-

жим а=~сх — разность расстояний от базисных пунктов РИ и (?

до квазара а; с — скорость распространения электромагнитных волн;

т — относительное временное запаздывание радиосигнала, поступающе-

го от квазара на пункты <2, и <Э

. Углы б и О — склонение и гринвич-

ский часовой угол квазара.

Пользуясь векторами

а = а(соз б соз

+ соз

зт + зт бк);

= Х\ + У\+2к,

скалярное произведение которых

аЬ = а(Хсозб созО+ Ксозб 5т# + 2зт6) = а6со5ф = а

получаем уравнение связи измеренной величины т, топоцентрических

экваториальных координат X, У, 2 обсерватории ф

, склонения б и

гринвичского часового угла О квазара в виде

СТ

= ХС036 С05Ф+ УС036 31Пд + 251пб. (412)

Часовой угол квазара # равен разности прямого восхождения ква-

зара а и гринвичского звездного времени 5.

Производная т по времени «

Йт/й<5

= (Хс05б 51П§— Усозб СОЗ0)й)/с,

обусловленная суточным вращением Земли с угловой скоростью со даст

второе уравнение базы.

Рис. 23. Геометрия длиннобазисной ра-

дноинтерферометрии

г.'

143

Поскольку экваториальные координаты а, б квазара постоянны»

а шкала атомных часов равномерна, то изучив в течение нескольки^

суток уклонение йт/йз от периодической функции можно установить

неравномерность вращения Земли. Выяснено, что продолжительность

звездных суток и ее вариации могут быть определены с точностью по-

рядка 0,2 мс. /

Имеются и другие факторы. Результат измерения запаздывания

во времени т' будет искажен погрешностями измерений, несинхрон-

ностью часов и вариацией скорости распространения электромагнит-

ных волн из-за неодинакового состояния атмосферы и ионосфевы на

концах базы. /

Измеряемую величину т представим суммой трех величин: т' —

результат измерения; Ат — поправка за несинхронность часов и ошибку

представления модели, ионосферы и атмосферы на концах базы; VI —

поправка за случайную ошибку измерения времени запаздывания.

Влияние погрешности модели атмосферы и ионосферы мож^но осла-

бить наблюдением квазаров на коротких волнах и на различных диапа-

зонах частот, а также зондированием атмосферы в районах обсерва-

торий и <3г. Выяснено, что влияние ионосферы и атмосферы на

оценку можно учесть с точностью 0,1 м.

Постоянные наблюдения на нескольких обсерваториях за квазарами

дадут обширную систему уравнений

. , СОЗ

б С05

, С05

51П д ,

,, . .

=-^^-\ (6Х

—6Х,)Н (6У

—6К,) + (

413

)

_5Еб-(62

-б2|) + /.

Свободный член

/ = [(Х°

- ХЧ) соз б соз в +(Кг - VI) соз б зт О + (2%—2Ч)&т б]/С - т'.

(414)

Формулы (413) и (414) представляют уравнение квазарной радио-

интерферометрии в геоцентрических координатах.

Пользуясь формулами (341) и (413), получаем уравнение квазар-

ной радиоинтерферометрии для горизонтных координат в виде

==-^^-(ЬШ'^ +

Ь'^2ЬУ{

+ Ь

[

8Н^)/с + (ЬШ^ + ЬЫУ'2 + Ь^

бН2)/с+^.

(415)

Коэффициенты Ь'

\, 6'зг, Ь

вычисляют по формуле (342).

Решив системы уравнений (413) и (415), можно'определит^ ряд

важных параметров Земли.

С помощью формулы (412) решают и обратную задачу о геоцентри-

ческих положениях далеких квазаров. Ожидается, что при длинах баз

РИ в несколько тысяч километров и использовании стандарта частоты

стабильности порядка Ю

-13

, можно составить каталог прямых восхож-

дений и склонений квазаров, внутреннее согласие которых будет ле-

жать в пределах тысячных долей угловых секунд. Такой каталог, к ко-

144

торому можно будет привязать все звездные каталоги, составит фунда-

ментальную инерциальную систему координат и послужит основой для

построения высокоточных геодезических сетей.

По вариациям топоцентрических координат баз РИ можно будет с

точностью 0,1 м следить за движением полюсов Земли и определять

взаимные перемещения крупных блоков земной коры. Система РИ, охва-

тывающая земной шар, принесет неоценимую помощь при глобальных

динамических исследованиях. По наблюдениям станций РИ, располо-

женных на различных литосферных плитах, можно установить их взаим-

ное перемещение, а по наблюдениям нескольких РИ, размещенных на

одной литосферной плите,—определить ее деформацию и вращение.

С точностью 0,1 м будут определены длины базисов, соединяющих

пункты РИ, а часы на этих пунктах могут быть синхронизированы с

точностью 1 не.

Для обеспечения понимания сущности длиннобазисной радиоинтер-

ферометрии мы пользовались упрощенной моделью явления. В действи-

тельности принимаемый в момент I обсерваторией С?1 фронт волны

радиоизлучения от квазара достигнет обсерватории С?2 в момент (>,

когда база и <2г займет другое положение (^«Зг в пространстве из-за

суточного вращения и орбитального движения Земли. Координатная

система ХУ2 за сеансы наблюдения тоже изменит свое положение

из-за прецессии и нутации в пространстве и колебания оси вращения

Земли в ее теле. Таким образом, возникает задача редукции измерений

с учетом указанных выше геодинамических факторов. Так например,

поправка за суточное вращение может составить около 30 не, а за

орбитальное движение — около 2000 не.

Если радиоисточник поместить на спутник, то во-первых уменьша-

ется длина базы <2\(2

\ во-вторых, из-за близости к Земле радиомаяка а

направления С?|ст и <2го будут непараллельны между собой; в-третьих,

спутниковый радиомаяк, обращающийся вокруг Земли, обладает пере-

менным собственным движением. Поэтому в отличие от квазарной

радиоинтерферометрии в спутниковой радиоинтерферометрии требуется

выполнить редукционные вычисления и необходимо знать теорию движе-

ния ИСЗ.

Однако, если на короткой дуге накоплен большой объем измери-

тельной информации по спутниковому радиомаяку, то можно доста-

точно полно исключить влияние ошибок определения элементов орбиты

ИСЗ на оценку параметров базы наблюдения (}>С}2.

Имея несколько баз радиоинтерферометрии, пространственные по-

ложения которых известны с высокой точностью, можно эталониро-

вать орбиту ИСЗ, несущего радиомаяк. В то же время радиомаяк с

известными элементами орбиты можно использовать как транслятор

для определения пространственных положений и длин баз радиоинтер-

ферометрии. Таким образом, строят сеть хорд, пространственные поло-

жения и длины которых будут определены в единой системе отсчета

координат и времени.

Результаты квазарной радиоинтерферометрии с базой <2| (Земля)

145

и <3г (спутник Земли) дадут условные уравнения, дополняющие урав-

нения движения ИСЗ в поле тяготения Земли.

Особый интерес представляет случай, когда одна обсерватория явля-

ется наземной, а другая — лунной. При этом возможно ^точненйе

параметров системы Земля—Луна в инерциальной системе отсчета,

закрепленной каталогами координат квазаров. Этот проект позволяет

решить задачу определения положения центра масс системы Земля —

Луна относительно центра масс Земли на каждый момент и ориенти-

ровку хорды, соединяющей эти два центра, в инерциальной системе

отсчета, а также уточнить теорию движения Луны.

4.15. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ

В АСТРОНОМИЧЕСКОЙ ТОПОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ГОРИЗОНТНОЙ

СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Решая сферический треугольник, изображенный на рис. 24, где

Р, 2 — точки полюса и астрономического зенита места наблюдения;

Ф, к — астрономические широта и долгота места наблюдения; а, б, <7,

а, г — прямое восхождение, склонение, параллактический угол, топо-

центрический азимут и зенитное расстояние светила в момент наблю-

дения 5 по гринвичскому времени, получаем

СОЗ2= ЗШф ЗТБ +

СОЗф

СОЗБ СОЗ/;

— 31П231Па = С03б зт/;

зтг соза = созф зтб

—

зтф созб соз/;

зт

= зтф соз2-(-созф51пг соза; созбзт/ = — зтг зта; (416)

соз б соз / = соз

соз

2 —

зт ф зт 2 соз а;

созб соз*?= зтф зтг

—

созф созгсоза;

— соз = соз а соз / + зт / зт а зт ф.

Теперь составим исходные уравнения (306) для астрономического

топоцентрического азимута и зенитного расстояния светила

Фг= аГСС03(31Пф 31Пб +СОЗфСОЗб соз/)

—

2=0.

Частные производные функций (417) по широте, склонению и часовому

углу с учетом формул (416) будут

= агс!д

СОЗб

5Ш

5Ш ф СОВ б СОЗ I — СОЗф

81Пб

(417)

90°- Ч>

Рис. 24. Полярный сферический тре>

угольник

146

= зта с1дг; (созфсозб + зтфзтосоз/)-!-

. . - . , , дФ

СОЗ

СОЗ (7 . ,

-Нзтозт^соза]; =—^ =зтф

—

созфсозас^^; (418)

д<$>

дФ

соз а; —^т-=51П2С05<7; =—созфзта.

<5ф' ' 56 д1

Напишем дифференциальные формулы, приведя функции (417) к линей-

ному виду.

Составим уравнения для азимута. Азимут местного предмета

=а + <г, (419)

где <2 — горизонтальный угол местный предмет — светило.

Дифференциальная формула для астрономического азимута местно-

го предмета

а%

+ Дар = а" + (<?Ф

/<?ф)

Дф + (дФ

/д()

( +

ДА. —

) +

+ (йФ

/<Э6)

Уб + + У 0= 0.

где аф Дар — предварительное значение астрономического азимута

местного предмета и поправка к нему; а

— астрономический азимут

светила, вычисленный по формуле (417) по предварительным значениям

ее аргументов; — измеренный горизонтальный угол; Дф, ДА,, —у

Уб, ид — поправки к широте, долготе, времени, склонению и горизон-

тальному углу, соответственно.

Напишем последнюю формулу, разделив переменные по группам,

в виде условного уравнения поправок с дополнительными параметрами

Ур

+ (дФ

/д()

( — у,) + (<ЭФ„/(Э6)оУв

—

Дар + (дФ„/<Зф)

Дф +

+ (<?Ф

/(Э/)<,ДА, + а

+ р

-<4=0. (420)

В матричной форме

АУ + ВХ + Г=0. (421)

Для 1-го светила

(»

= 1, 2 п)

ац= 1; а

= (дФ

/д()оГ,

= (дФ

/дд)ог,

Ьп = —

Ьц = (дФ

/дц>)ог,

= (дФ

/д1)

и'/,

= а1 +

<2,-

—

аУ

— свободный член.

Решая систему уравнений (420) при условии У'рУ — гтмп, находим

искомые величины по формулам

У=—дА'Р{ВХ+Щ\ (422)

Р = (Л^')"'; (423)

Х=—(В'РВ)-

В'Р№. (424)

Весовая матрица Р — диагональная, с элементами для каждого све-

тила

147

Определив по формулам (422) — (425) поправки X {&(!(), Дф, ДХ), вы-

числяем астрономические азимут, широту и долготу

=а^Ч-Да

; <р=ф

Дср;

А=А°-|-АХ. /426)

Затем вычисляем поправки к уравниваемым величинам

(427)

Vь

=-^ь

(дФ

/дЬ)

№^

где

V? = Р,[ Да

+ (йФ

/Зф)о,Аф + (дФ

/д1)

\к + Щ.

В вышеприведенных формулах Цц, Ц{ и — обратные веса уравнивае-

мых величин (2, / и б.

Теперь составим дифференциальные соотношения для зенитного

расстояния, пользуясь исходным уравнением (417). Дифференциальная

формула с соответствующей группировкой аргументов

+ (<ЭФ

/д0АХ + 2

-2

О,

(428)

где 2° — измеренное зенитное расстояние; V

, Аг — поправка к г° за

случайную и систематическую ошибку измерения; 2о — вычисленное

значение зенитного расстояния (417) по предварительным значениям

его аргументов; Аф, ДА., (у

—-1/„), 1>а— поправки к широте, долготе,

времени и склонению. Дифференциальная формула (428) представляет

собой условное уравнение поправок с дополнительными параметрами.

Запишем ее в матричной форме

А? + ВХ+№ = 0. (429)

Для »'-го светила (/—1, 2, ..., я)

а„ = —1;

а,2

= (<ЗФ

/<5/)о,; а,

= (<ЭФ

/<Э6)

5ц = —

1; 6,2

= (йФ

/аф)

,-;

= (дФ

/д1)о1,

где #, =

—г" — свободный член.

Решая систему уравнений (429) при условии У'рУ= гтпп, находим

искомые величины по формулам (422) — (424). Весовая матрица Р

—

диагональная, с элементами для каждого светила

р—[д

Ч1

(д Фг/д^ + я^дФ/дЬ^г'. (430)

Определив по формулам (422) — (424) и (430) поправки X (Дг,

Дф, А к), вычисляем астрономические широту и долготу

= 2° + Дф; Х=А° +

ДХ.

(431)

Затем вычисляем поправки к уравниваемым величинам

148

у«,= -<7

,(<5Ф

/<56)о,да7. (432)

где

Й?=Р,[-Аг + (дФ

/дФ)оЛц> + (дФ

/д1)оЛк + Г,];

<7?, <?<, да — обратные веса уравниваемых величин г, I и 6.

Астрономическое зенитное расстояние будет

;'+Д2+у

,. (4'зз)

Если известны геодезические координаты места наблюдения, то,

приняв ф°=В, из решения уравнений (421) и (429), получим

астрономо-геодезические уклонения отвеса

| = Дф=

ср —

б;

т)

ДА,со8ф

(Я

—/-)созф. (434)

Геодезический азимут местного предмета

=а

—

л + соз а

—|зт а

) с1§г

. (435)

В частном случае, если допустимо нестрогое решение задачи, т. е. пред-

полагается безошибочное знание времени и склонения светила = 0,

<76= 0), то дифференциальные формулы (420) и (425) упрощаются и

будут иметь следующий вид:

На практике применяются нестрогие формулы (436) и (437) даже

в высокоточных работах, тогда как внедрение в геодезическую астро-

номию прецизионных приборов и последних достижений радиоэлект-

роники требуют все более совершенных методов обработки результатов

наблюдений. Только применяя строгие теории, можно более надежно

оценить эффективность фотоэлектрической техники визирования, новых

средств измерения и хранения времени.

Если горизонтальное направление и зенитное расстояние светила

измерены на один и тот же момент времени 5, то системы уравнений

(420) и (429) необходимо решать совместно под условием УрУ-\-

-(- У'рУ= ггйп, так как имеются связующие поправки и (у

— у„).

Запишем рядом одноименные /-е строки уравнений (420) и (429) так

У<3+(дФ

/д()о(и

— У*)

+ (<ЭФ

/<?6)оУв - д

а<?

+ (дФ

/<Эф)

Дф +

' (438)

—о, + (вФ/д/)о(о5 —оЛ-(5Ф,/М)о»в —Аг + (вФ,/вф)оАф +

+ (<ЭФ

/д/)

ДА.+ иР=0.

Для наглядности представим эти формулы в формализованном виде

(табл. 10)

149