Машимов М.М. Геодезия.Теоретическая геодезия

Подождите немного. Документ загружается.

~6Х

Ах'

АХз =

6 Уз = А'рЗ

Лу

б 2з Аг

где АХз и

йХ<)

— соответственно векторы поправок координат спутника

и наземных пунктов.

При этом

Ах'

(383)

Положим при составлении уравнений поправок (382) исключено

влияние зональных гармоник геопотенциала и веех негравитационных

сил за время I

— (о.

Тогда АХз представляет поправку за ошибку уста-

новления начальных элементов а о, во, «о, М

и возмущающее

влияние незональных гармоник геопотенциала.

Представим дифференциальные изменения прямоугольных коорди-

нат Ах, Ау, Аг через малые приращения элементов Аа, Ае, сН, АН, Ага,

АМ оскулирующей эллиптической орбиты ИСЗ. Пользуясь формулами

г = а( \ — есоз Е); М = Е-е&тЕ\ Аь =-ул! \—е*АЕ, (384)

получаем дифференциальные соотношения

Аи = Аш~{-( — Vл/1 — е

АМ; Аг = — Аа — асов ЕАеА-^—з'т ЕАМ;

° г

(385)

Аз = -4^- — Аа—^-асоз ЕАе-\-( •^-•^—вт — ^ -\/1 — е

^ АМ +

дг а дг \ дг г ди \ г / * /

^ д1

т т

дш>

Частные производные, следующие из уравнений

дх х дх . „ дх

—г-=—; -—-=25!ПЙ;

-——

= —и;

дг г <?« <30 "

ду У ду „ ду

—; -ТГ= — 2С03 Й; —- = х\

дг г д1 дЯ

дг г дг . дг „

-т-=—; -тг= Г51П ысоз«; ——=0;

дг г Л дЯ

(386)

дх

(

п ис05

й +соз ызт Йсоз «');

= г(СОЗ МСОЗ ЙСОЗ I — 51П М81П Й);

дг . .

—— = ГСОЗ И51П I.

ди

Пользуясь формулами (385) и (386), получаем

Аз = вАв, (387)

130

где

ав' — [йх йу аг]; ав' = [ааае

<И

йй Ш],

а матрица в имеет элементы:

Ъи — х/а- Ьп — у/а\

012 = уХСО& Е; 022 =

031 == г/а;

усов Е\ 032 = —у гсоз Е;

)5 й; 033 = Г51П исоз

0|3=25!ПЙ; 023=— гсоз й;

014 = —у, 024 = х\

034 = 0;

дх

• А

У •

ди ди

016= ^-(ехзш Е + — е*у,

026 = ^-(еу&ю Е + ;

(388)

036 = -^-^231 + .

Формулы (387) и (388) — матричная запись дифференциальных

уравнений, связывающих малые приращения элементов оскулирующей

орбиты и прямоугольных координат спутника Й5.

Таким образом, исходное уравнение (382), выраженное через эле-

менты орбиты, имеет вид

Обозначив поправки в элементы оскулирующей эллиптической орби-

ты за начальное условие через Дбо, за возмущающее влияние через

аву = С/^Ху, где йХу — вектор неизвестных гармоник, напишем урав-

нение (389) для сеансов наблюдения спутников

Уравнение (390) удобно решать групповым способом при условии

У'РоУ = гтпп, описанным в работе (12], поэтому ограничимся перечисле-

нием формул

Дбо, «= —(А 'в,РоА в,) ~ 'Л&.ЯоХ В4Хс} + СДХ у + Ц;

ИР1ДаХ(1 + В1РаС4Ху + Ц = 0;

С1Р

В4Ха + С\РаС4Ху + Ц = 0;

( )

Р\, = Ро, — Ро/1в,(А'в,РоАв,)~

]

А'в,Ро,.

Ро, — весовая матрица уравнения (390), которая в частном случае

может быть и диагональной.

Составим уравнения (390) для каждой серии наблюдений ИСЗ (/ =

= 1, 2, ..., «) и, просуммировав их, получим нормальные уравнения

$• 131

У = Ле^в + ВйХс} + Ц

(389)

= л в.дво,+вах

+А

,и,<1Ху+и

(390)

N^,(^X^ + N^2(^XV+^и = 0;

Щ2аХа + Ы22аХу+Цг = 0,

из решения которых находим искомые величины ёХо и йХу.

Анализ результатов позволяет косвенно изучать влияние неучтенной

части гармоники геопотенциала, оценить качество наблюдений и плани-

ровать наблюдения новых ИСЗ.

В первом приближении после согласования координат пунктов гео-

дезической сети и коэффициентов гармоник геопотенциала, можно вер-

нуться к более точному определению новых значений коэффициентов

зональных гармоник, поскольку короткопериодические возмущения от

незональных гармоник будут учтены более полно. Затем вновь повторя-

ется определение незональных гармоник с учетом новых значений зо-

нальных гармоник и более точных начальных условий, при этом включа-

ются новые наблюдения ИСЗ и исключается часть старых, оцененных

некачественно.

По изменениям значений координат пунктов геодезической сети от

приближения к приближению можно судить о принятой модели геопо-

тенциала (число зональных и незональных гармоник, точность коэффи-

циентов зональных гармоник и др.) и о надежности учета возмущений

негравитационного характера.

Таким образом, задача динамического метода, решаемая последова-

тельными приближениями, связана с планированием новых наблюдений

и уточнением теории учета возмущений от негравитационных сил.

Достоинством метода является совместное определение координат

пунктов геодезической сети и параметров геопотенциала и то, что гео-

дезическая сеть определяется в абсолютной системе; при этом пункты

могут быть удалены друг от друга на несколько тысяч километров. Если

на каком-то пункте было мало наблюдений, то это не влияет или очень

слабо влияет на определение положения других пунктов.

4.12. СВЕТОЛОКАЦИЯ ЛУНЫ

4.12.1. Общие сведения о светолокации

лунного отражателя

В этом параграфе рассмотрим решение геодезических задач по изме-

рениям расстояний методом светолокации угловых отражателей, уста-

новленных на Луне.

Светолокация космических объектов стала возможной после созда-

ния оптических квантовых генераторов благодаря работам, выполнен-

ным в Физическом институте АН СССР под руководством лауреатов

Ленинской и Нобелевской премий академиков Н. Г. Басова и А. М. Про-

хорова. В том же институте под руководством профессора Ю. Л. Коку-

рина проводились работы по лазерной светолокации Луны. В Крымской

астрофизической обсерватории АН СССР в 1963 г. впервые было полу-

132

чено отражение лазерного импульса от поверхности Луны, а в 1965 г.

измерено расстояние до Луны с точностью около 200 м.

Лазерный пучок, проходя толщу земной атмосферы, расходится на

5—7" и образует на Луне пятно радиусом около 6 км. Рельеф этой осве-

щенной площадки и сферичность Луны, обуславливая размытие отра-

женного лазерного сигнала во времени, ограничивают точность измере-

ния расстояния до Луны. Повышение точности измерения расстояния

можно достигнуть, локализуя точку наведения телескопа с помощью

уголковых отражателей. К настоящему времени на Луне установлено

5 уголковых отражателей, доставленных туда советскими и американ-

скими космическими летательными аппаратами. В табл.9 приведены

даты доставки лунных уголковых отражателей и их селенографические

координаты.

Таблица 9

Носитель, дата доставки на Луну

отражателя

Селенографические координаты Носитель, дата доставки на Луну

отражателя

широта долгота

«Луноход-Ь, 17.11.1970

34°47' +38°24'

«Луноход-2», 17.01.1973 30 24 +26 07

«Аполлон-1 Ь,-21.07.1969 23 27 0 41

«Аполлон-14», 05.02.1971 17 25 3 36

«Аполлон-15», 31.07.1971 3 40 20)5

Луна, обращенная к Земле всегда одной и той же стороной, являет-

ся удобным космическим объектом для лазерных наблюдений благодаря

медленному изменению экваториальных координат точек ее поверхности.

С помощью лазерного телескопа, непрерывно отслеживая отражатель,

удается интегрировать сигналы целой серии импульсов, в пределах кото-

рой с высокой точностью учитываются изменения расстояния от теле-

скопа до лунного отражателя. Скорость изменения расстояния теле-

скоп — лунный отражатель составляет 100 м/с. Если временная привяз-

ка измерений выполняется с точностью 0,1 мс, ошибка привязки соста-

вит 0,01 м. Однако, когда решается задача совместной обработки на-

блюдений, накопленных на протяжении нескольких лет, стабильность

часов, задающих шкалу времени, должна быть не хуже 10 не. Такую

стабильность могут обеспечить атомные стандарты частоты.

Регулярные наблюдения лунных отражателей ведут Крымская ас-

трофизическая обсерватория АН СССР, Макдональдская обсерватория

в США и австралийская обсерватория Оррорал вблизи г. Канберра.

В настоящее время точность одного измерения расстояния до Луны

составляет несколько дециметров. В перспективе ожидается, что приме-

няя лазеры с очень узким пучком и продолжительностью импульса

0,1 не, можно измерять расстояния до Луны с точностью 0,03 м.

133

4.12.2. Уравнения системы Земля — Луна

Для изучения принципа использования измеренных расстояний от

наземной обсерватории до лунного отражателя обратимся к рис. 20 и 21

представляющим геометрию системы Земля — Луна. На этих рисунках

приняты следующие обозначения: О и с — центры масс Земли и Луны,

Р и Р

— северные полюсы Земли и Луны; у и О

— точки весеннего рав-

ноденствия и отсчета геоцентрической долготы; г, ф, к — геоцентриче-

ские радиусы, широта и долгота обсерватории лоцирующей лунный

отражатель 5* на момент времени 5 начального геоцентрического мери-

диана РС

\ г(г

), а(а

), 6(6^) — геоцентрические радиус, прямое вос-

хождение и склонение лунного отражателя (центра масс Луны); /?

, Ь

/о — селеноцентрические радиусы, широта и долгота лунного отражате-

ля; й и 1 — расстояния обсерватории от оси вращения и экватора

Земли; 8о и д

— расстояния отражателя от оси вращения и экватора

Луны; Ь и / — селеноцентрические широта и долгота Земли или либра-

134

ция Луны по широте и долготе; р — расстояние от обсерватории до

лунного отражателя.

На основании рис. 20 и принятых обозначений имеем

= /?

+ г

- 2/?гсоз

г|>.

(392)

Для косинуса угла между двумя векторами

К = Осоз (5 +

Х)1

+ Озт (5 +

Я.)]

+ 2к,

= х\ + у\ +2к,

где х, у, г — геоцентрические координаты лунного отражателя, 5 +А,—

время на меридиане наземной обсерватории, запишем формулу

соз1|> = [0*:соз(5 +

А,)

+ 0«/8Т(5 +

Я.)

+ 2г)//?/\

Подставим значение соз1|) в формулу (392), получим

р = V/?

+ г

—

2(Охсоз « + Дуэт 5 + 2г), (393)

где /?

==0

+ 2

, г

= х

+ у

+ г

, $ = 5 + Х.

Теперь геоцентрические координаты х, у, г лунного отражателя

представим через параметры системы Земля — Луна и селеноцентри-

ческие координаты лунного отражателя.

Селеноцентрические прямоугольные прямолинейные |, т|, с и цилин-

дрические 6

, до, /о координаты отражателя связаны следующим обра-

зом:

| = йозт

+ босоз бсоз (/

—

/),

т) = бозт(/

-0, (394)

6 = еосоз Ь— 6

зт бсоз (/о

—

/).

Исключив в формуле (394) б

= /?осоз

Ьо,

?о = /?озт

Ьо,

получим

I = /?о[ 31П БОЗШ Ь + СОЗ ЙОСОЗ ЙСОЗ ( /о — /)],

= /?осоз 6

51П (/о— /), (395)

5 =

/?о[ 31П

босоз

Ь —

соз йозт йсоз (/о

—

/)].

Если начало координат перенести в центр масс Луньк (х

, у2

)

и повернуть оси координат на угол бс вокруг оси т} и на угол <*( вокруг

оси, параллельной оси г, то

'*-*с"| Р

У-У с = <

г-г

созб^соза^ — 31П а{ зтбцсоза^

= |созбс81па{ соз ас зт б^зт а^

31П бс 0 соз бс

(396)

где

с —

''С

соз б

соз а

У^ —

Г^

СОЗ Б^ 31П В(,

{

=. Г

(

51П б{.

135

Таким образом, геоцентрические координаты х, у, г лунного отража-

теля в формуле (393) с помощью полученных нами соотношений (395)

и (396) представлены через параметры , а

, 6

, Ь, I системы Земля —

Луна и селеноцентрические координаты /?

, Ьо, /о лунного отражателя.

4.12.3. Принципы решения уравнений светолокации Луны

Обозначим правую часть формулы (393) через р(«, Б, 2, г^, а

, 6

Ь, /, /?о, Ьо, /о) как функцию времени 5 = 5 +А,, геоцентрических коорди-

нат й, 2 обсерватории, параметров а^, Ь, / системы Земля — Лу-

на, селеноцентрических координат /?о, Ьо, /о лунного отражателя, и запи-

шем ее в виде нелинейной функции

Разложим эту функцию в ряд Тейлора. Пользуясь тем, что аргумен-

ты ее известны или могут быть вычислены с малыми ошибками, ограни-

чимся линейным разложением и запишем формулу (397) в виде урав-

нения поправок.

где р', Др,

— результат измерения топоцентрического расстояния и по-

правки за систематическую и случайную ошибки его измерения; р° — вы-

численное значение топоцентрического расстояния по счислимым значениям

аргументов 5°, О

, 2°, 6°

Ь°

/8, /?8, Ь

, Дз, ДД Д2, Дг

, Да,

Дёц-, ДЬ, Д/, Д/?о, Д^о, Д/о — поправки соответствующих аргументов.

Заметим, что поправка времени Д« складывается из поправки гринви-

ческого времени и поправки долготы обсерватории. Как видно из фор-

мулы (393), поправка долготы обсерватории не разделяется, поэтому

можно определить разность долгот двух обсерваторий, синхронно или

квазисинхронно лоцирующих лунный отражатель.

Составляя уравнение поправок (398) для каждого измерения топо-

центрического расстояния р, (/'= 1, 2, ..., п) получим неопределенную и

несовместную систему п линейных уравнений, которую можно решить

методом наименьших квадратов и найти поправки к результатам изме-

рений и счислимым значениям аргументов. При этом, конечно, поправку

за систематическую ошибку будем полагать пренебрегаемо малой вели-

чиной или постоянной для большой группы измерений.

В общей постановке можно совместно искать все параметры. Однако

полезно их определить групповыми приближениями. На первом этапе,

полагая известными геоцентрические координаты обсерватории, по

наблюдениям отражателей, определенным образом размещенных на

Ф = р —р = 0.

(397)

(398)

136

Луне, уточняются геоцентрические координаты и либрация Луны, а

также селеноцентрические координаты отражателей. На втором этапе

уточняют геоцентрические координаты обсерваторий, используя деффе-

ренциальные и периодические изменения координат отражателей и сведя

к минимуму влияние ошибок их определения.

В формуле (393), заменив прямоугольные координаты отражателя

его сферическими координатами

х = гсоз бсоз а; у = г соз бзт а; г = лат б,

после несложных преобразований получим

р = У'

+ О

+ 2

—

2г[ 1ъ\й б + Осоз бсоз (а- «)].

На малых интервалах времени в приращениях расстояния можно выде-

лить периодическую составляющую

Др

= —Осоз бзт (а— 5)Дя,

обусловленную суточным вращением Земли, амплитуда и фаза которой

соответствует радиусу суточной параллели и долготе обсерватории.

Требования к точности определения геоцентрического радиуса от-

ражателя невелики, поскольку (то), = От

/г.

. Ошибку прямого восхождения можно считать постоянной и, наблю-

дая отражатель симметрично относительно меридиана, ее влияние мож-

но свести до минимума. Момент времени, когда изменение в расстоянии

р, обусловленное суточным вращением Земли, равно нулю, соответствует

кульминации отражателя.

Ошибку склонения также можно считать постоянной. Влияние ее

на вывод радиуса суточной параллели обсерватории будет носить систе-

матический характер с периодом, равным периоду обращения Луны.

Оно может быть исключено методически по месячному ряду наблюде-

ний.

Выяснено, что ошибка определения радиуса суточной параллели

обсерватории приблизительно равна удвоенной ошибке измерения топо-

центрического расстояния отражателя. Ожидается, что точность измере-

ния топоцентрического расстояния составит 0,05 м. В этом случае точ-

ность определения радиуса суточной параллели обсерватории будет око-

ло 0,1 м.

При вычислении разности долгот ДА, обсерватории по наблюдениям

кульминации отражателей ошибки систематического характера исклю-

чаются и поэтому разность долгот обсерваторий можно определить с

точностью 0,07 м.

Синхронно лоцируя Луну с двух обсерваторий, можно определить

разность их расстояний от экватора Д2 = 2г

— 21

с такой же точностью,

с какой установлены радиусы их суточных параллелей.

137

4.13. СПУТНИКОВОЕ НИВЕЛИРОВАНИЕ

4.13.1. Сущность спутникового нивелирования

Радиовысотомер, установленный на борту ИСЗ, измеряет разность

высот двух поверхностей: средней уровенной поверхности морей и океа-

нов и уровенной поверхности точки нахождения ИСЗ в момент измере-

ния. Радиовысотомер с помощью параболической антенны передает

вертикально вниз высокочастотные импульсы электромагнитных волн

сантиметрового диапазона, продолжительностью 100 не. Сферический

фронт волны, распространяемый от радиовысотомера, достигает поверх-

ности океана по кратчайшему расстоянию и в течение почти 100 не под-

спутниковая точка поверхности океана покрывается освещенной пло-

щадкой. Отраженный сигнал в идеальных условиях прохождения тем

же кратчайшим путем возвращается в приемник радиовысотомера. Спе-

циальное устройство детектирует и осредняет большое число сигналов.

Пик сигнала нормируется до постоянного значения и за момент приема

отраженного сигнала принимается момент, когда его мощность впервые

оказывается больше нормированного ее значения. Бортовой компьютер

выдает время прямого и обратного прохождения сигналов по кратчай-

шему расстоянию.

Геометрию спутникового нивелирования поясним с помощью рис. 22,

в котором приняты следующие обозначения: г, ф — геоцентрические

радиус и широта спутникового радиовысотометра <3; г% фо — геоцентри-

ческий радиус и широта подспутниковой точки (?о на геоиде; В — гео-

дезическая широта спутникового радиовысотомера; | — составляющая

уклонения отвеса в плоскости меридиана точки отрезок <?

<3 — к —

высота спутникового радиовысотомера над геоидом; отрезок (?<.(? = е —

высота геоида над отсчетным эллипсоидом.

Сумма углов V и VI для фиксированной высоты равна разности гео-

дезической В и геоцентрической ф широты точки (}о• На широте В = 45°

при Л =1000 (1500) км эти малые углы имеют следующие значения:

= 10,02'(9,34'); V,, = 1,52'(2,20').

Пользуясь рис. 22, запишем векторное уравнение спутникового ниве-

лирования

г = Го + Н. (399)

Из этого векторного уравнения следует: во-первых, если при известном

значении геоцентрического радиуса-вектора г спутникового радиовысо-

тометра измерен вектор Н, то можно определить геоцентрический радиус-

вектор Го подспутниковой точки геоида; во-вторых, если задан геоид и

измерен вектор й, то определяется геоцентрический радиус-вектор г

спутникового радиовысотометра.

Особый практический интерес представляет вариант, когда известны

геоцентрические радиусы-векторы геоида Го и радиовысотометра г.

В этом частном случае можно будет предвычислить вектор й и сравнить

с измеренным значением Н'. Имея статистику генеральной совокупности

разностей вычисленных и измеренных значений высот радиовысотомера

над океаном, можно решать разнообразные геодезические и геофизи-

ческие задачи: эталонирование радиовысотомера, исследование метео-

условий над океаном, определение амплитуды волн океана, оценку точ-

ности прогноза орбиты ИСЗ и др.

В спутниковом нивелировании измеряется высота ИСЗ над геои-

дом — вектор Н. Главными источниками ошибок измерения Н являются:

радиовысотометр, условия прохождения импульсов и топография по-

верхности океана.

Систематические приборные поправки радиовысотомера могут быть

определены метрологически на эталонных полигонах океана. Случайная

часть приборной погрешности радиовысотомера может быть снижена

до 0,05 м.

Ошибки за условие прохождения импульса из-за неучета тропосфер-

ной рефракции фронта радиоволн могут достигать 5 м. Большую часть

этих ошибок можно исключить, определяя температуру, давление и

влажность воздуха над океаном вблизи района нивелирования. При

тщательно отработанной методике учета метеофакторов ошибку опреде-

ления прохождения импульса можно снизить до 0,08 м.

Для ослабления влияния топографии поверхности океана использу-

ют статистику высот волн на различных акваториях океана по време-

нам года. Выявлено, что при эффективной высоте волн /= 12 м высота

ИСЗ от среднего уровня океана уменьшается на 1,8 м. Статистика пока-

зывает, что эффективная высота волн / = 8 м зимой в северной Атланти-

ке наблюдается один раз в неделю, а значение /= 16 м можно ожидать

в течение 3—4 ч за 15 лет. Летом волны высотой / =2м наблюдаются

40 % времени, а высотой / = 6 м — 1 % времени. Таким образом, наибо-

лее точные определения геоида могут быть выполнены по летним наблю-

дениям.

За сутки можно отнивелировать два профиля геоида, а за год Миро-

139