Машимов М.М. Геодезия.Теоретическая геодезия

Подождите немного. Документ загружается.

составляющие хорды А, М, N по осям координат (351), можно перейти

к сферическим координатам Ф, Л хорды. При этом

Л = агс1в М/Ы\ Ф == агс(& Ы/^ТТ+Ш. (353)

Решая сферический треугольник (см. рис. 3), заменив <р, к на Ф, Л, полу-

чаем формулы

31П

А31П г = соз Фзт (Л

—

Ц)\

соз Лзт 2 = соз В|5т Ф — зт йтсоз Фсоз (Л — Ь\)\

соз 2 = зт В|31п Ф + соз Й1С05 Фсоз (Л —

^ д

51п (А — /»|)

(354)

° ~ сое б|1д Ф

— 51п

в|С08 (Л

—

для перехода от сферических координат Ф, Л к геодезическим азимуту

А и зенитному расстоянию г хорды ^|^2.

4.7. УСЛОВИЕ ПУЧКА ПЛОСКОСТЕЙ. УСЛОВНОЕ УРАВНЕНИЕ

ПОПРАВОК ТОПОЦЕНТРИЧЕСКИХ ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ КООРДИНАТ

НЕБЕСНЫХ ОБЪЕКТОВ

Два наземных пункта <Э| и ()

образуют пучок синхронных плоско-

стей. Две синхронные плоскости однозначно фиксируют хорду. Третья

плоскость будет избыточной и даст одно условие.

Пусть каждая синхронная плоскость задана нормаль-вектором

п? = М +

ВЪ

+ СМ.

Смешанное произведение трех векторов

А, й, С,

А 2 ЙГ С 2

[П1П2П3] =

Аз Вз Сз

равно объему параллелепипеда. Поскольку все три плоскости принадле-

жат одному пучку, параллелепипед вырождается в хорду (}\С1г. Следо-

вательно

ф:

А, В, С,

Аг йг Сг

Аз Вз Сз

= 0. (355)

Уравнение (355), записанное в обычной форме

ф = (В

СЗ-ВЗС

)А

]

+(АЗС2-А

СЗ)В

]

+(А

ВЗ-АЗВ

)С

]

= 0, (356)

представляет условное уравнение пучка плоскостей, образующих хорду

<21(22.

Запишем уравнение (356) в линейной форме

120

где

— ВзС

\ А3С2—Л2С3; А2В3 —

А3В2;

^^ = ВзС 1—В\Сз', = А|Сз — /4зС|; = Л3В1—А\Вз\

= В\С

— В

С\\ •4тг-= А

С\—А\С

', А\В

— А2В1.

ал з ооз а Сз

Дифференциалы сМ„ ЙС, вычисляют по формулам (349), а свобод-

ный член Ф° (357) — с помощью формул (345) и (356) по измеренным

значениям топоцентрических координат Фц, 6ц, 62, трех небесных

объектов 5,- (« = 1, 2, 3).

Формула (357) представляет условное уравнение поправок йФк, 46ц,

йЬш, АЬп (/=1, 2, 3) топоцентрических экваториальных координат.

По величине свободного члена Ф° можно судить о качестве определений

топоцентрических экваториальных координат небесных объектов.

4.8. УРАВНЕНИЕ СИНХРОННОЙ ПЛОСКОСТИ

В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

Нормаль-вектор синхронной плоскости п" = А1-\-В\ +Ск, составляю-

щие которого представляют известные функции (345) и (348) топо-

центрических направлений небесного объекта, синхронно измеренных с

наземных пунктов и С}

•

Хорду-вектор и фг, принадлежащий синхронной плоскости, пред-

ставим в координатной форме

с! =

(Х2

— *|)| +

(«/2 —

\)\+{г

— 21)к.

Из условия ортогональности векторов <1 и п° следует, что их скалярное

произведение равно нулю, т. е.

Ф = А(Х

- х,) + В(У2 - у

{

) + С(г

- 2|) = 0. (358)

Формула (358) — уравнение синхронной плоскости в координатной

форме. Уравнение (358) в дифференциальной форме имеет вид

(хИ

- хУ )йА + (у! - уЧ)аВ+(г

2 - г\)аС+А\(1х2 - йхх) + ВГ(а

Уг

-</</,) +

+ С°(аг

— йг\) + Ф° = 0. (359)

Дифференциалы ДА, йВ, йС с помощью формул (359) выражаются

через поправки в топоцентрические направления небесного объекта.

Свободный член Ф° вычисляют по формуле (358), (345) и (348), под-

ставляя измеренные значения топоцентрических направлений и счисли-

мые координаты наземных пунктов и <д

Формула (359) — условное уравнение поправок с дополнительными

параметрами. За дополнительные параметры приняты поправки в счис-

лимые координаты наземных пунктов. Составив для каждой синхронной

121

плоскости уравнение (359), получаем систему условных уравнений с

дополнительными параметрами, которую запишем в матричной форме

ЛК + В6Л

+ Г = 0. (360)

Решив это уравнение при условии У'рУ = гшп, получим нормальные

уравнения

В'РВ6Х + В'Р\Р = 0,

где Р = (Л^Л')

—1

—диагональная матрица, число диагональных элемен-

тов которой равно числу групп синхронных наблюдений. Отсюда найдем

искомые поправки к счислимым координатам наземных пунктов и изме-

ренным топоцентрическим направлениями О и б:

6*= —(В'РВ)-'В'РШ\

V = -

А'Р(ВЬХ+Щ.

4.9. НЕСИНХРОННЫЕ НАБЛЮДЕНИЯ НЕБЕСНЫХ ОБЪЕКТОВ

Положим, наземные пункты представляют совокупность несинхрон-

ных наблюдений, представленных системой уравнений (337), в которой,

кроме постоянных векторов К наземных пунктов и измеренных топоцен-

трических векторов имеются непрерывно изменяющиеся векторы г.

Представив векторы г,- на момент 5,- как функцию элементов орбиты -в-,

можно число неизвестных в системе (337) сократить до минимума. Если

при этом известны элементы кеплеровой орбиты, то известен вектор г.

В действительности элементы околоземного спутника непрерывно изме-

няются из-за возмущений в его движении, вызванных главным образом

нецентральностью гравитационного поля Земли.

Рассмотрим главную часть возмущающих ускорений, вызванную ано-

малией геопотенциала. Возмущающую функцию Не определим как раз-

ность между потенциалом У (155) Земли и потенциалом У

=(М/г

шара, имеющего такую же массу, что и Земля, т. е.

(361)

Составляющие Кь Кч, Кз возмущающего ускорения выразим через

элементы орбиты в и возмущающую функцию Р

Для пояснения рассмотрим рис. 19, на котором изображены геоцен-

трическая сфера радиуса г небесного объекта 5 и след его оскулирую-

щей орбиты с наклонением »' и долготой восходящего узла Я.

Угол между осями X' и т) равен сферическому азимуту V следа орби-

ты, так как ось X' — касательная к линии меридиана Р55*, а ось ц —

касательная к следу орбиты небесного объекта. Отсюда следует

122

Рис. 19. Объектоцентрические орби-

тальные Л. ? * объектоцентриче-

ские горизонтные X', V, 2' коор-

динаты

К ,=

бЯе

дч

дНе

«5»,

дНе

31П V-

ах'

дНе

= СОЗ V -

дХ'

ая

а у

соз V;

. „ ая

аКе

5|ПГ> /Сз==

г=

(362)

Составляющие возмущающего ускорения по осям объектоцентрических

горизонтальных координат как производные по переменным аргументам

<р, К и г формулы (361) получим после перехода к предельным соотно-

шениям

Д/?

_ I дН, ,

ах' лср

'•Дф г дц> '

дНе

~аГ

5ес

ч>:

= Пш ——~гг

А У

4)1

— 0 '"С08 ФДХ

дЯе/дГ = Пт АКе/Ьг = дЦ

/дг.

Дг-»0

(363)

Таким образом, орбитальные составляющие возмущающего ускорения

можно вычислить по формулам

АV

1 вЯе

Г дф

1 дНе

г дк

1_ дг

вес ф

(364)

где

О 0 1

СОЗ V 51П V О

51П V —СОЗ V О

123

Пользуясь уравнениями (41) и (364), получаем формулы для составля-

ющих возмущающего ускорения по осям координат геоцентрической

звездной системы

- " Г

дЦ

дх г Зф

<?/?,

= АА

1 дН

ду

= АА

г дк

дКе

дг

дКе

дг

-зес ф

(365)

Элементы матрицы А, представляющие функции элементов орбиты, вы-

числяются по формулам (42).

В правых частях формул (364) и (365) в качестве аргументов

участвуют геоцентрические широта и долгота небесного объекта и сфе-

рический азимут следа его орбиты. Аргументы ф и V исключим, поль-

зуясь равенствами

зт ф = зт изт г, зт

= соз /зес ф;

СОЗ V

= соз из!п «зес ф, (366)

вытекающими из решения сферического прямоугольного треугольника

125,5 (см. рис. 19).

Затем с помощью формулы к = а—5, связывающей долготу к,

прямое восхождение и гринвичское звездное время 5, аргумент тк выра-

зим через т[(а— Я) + (Я

—

5)]. Тогда

соз тк = соз т(а—Я)соз т(Я

—

зт т(а—Я)зт т(Я —5);

зт тк — зт т(а—Я)соз т(Я

—

5) +соз т(а— Я)зт т(Я —5).

Прямое восхождение а можно исключить, использовав равенства

соз (а— Я) = соз ызес ф;

зт(а —Я) = зт исоз/зесф,

получаемые из решения того же сферического треугольника Я5г5. При

этом предварительно косинусы (синусы) кратных дуг заменяются поли-

номами по степеням косинусов (синусов) этих же дуг.

Можно исключить геоцентрический радиус, использовав формулу

+есо8 (и

—

ш)

(367)

Таким образом, орбитальные составляющие КI, Кз, Кз возмущающего

ускорения выражаются через гармонические коэффициенты разложения

/„, 1

пт

, Кпт геопотенциала, элементы орбиты небесного объекта и грин-

вическое звездное время.

Интегрируя дифференциальные уравнения движения ИСЗ по време-

ни

—

1о),

можно получать возмущения в элементах орбиты А6 (йа, йе,

ЙЯ, Лга, Ш) в функции параметров /„ = 1„

, Кпт геопотенциала в

виде

124

де= (/„

1п

I пт

Кпт

(368)

Описание процедуры вычисления матрицы 11 у выходит за рамки настоя-

щей книги и, поэтому, ограничимся ссылкой на специальные труды [8].

4.10. ТОПОЦЕНТРИЧЕСКАЯ РАДИАЛЬНАЯ СКОРОСТЬ

Топоцентрическое расстояние представим в звездной системе отсчета

Р = У (* - ХЦУ+(У - УЯГ+(* - гч)'

Тогда топоцентрическая радиальная скорость будет

(369)

Пользуясь формулой (13), определяем

-Х<) —зт 5

—соз 5 0

УО

= ш соз 5 —зт 5 0

(370)

2<?

0 0 0

где о) — угловая скорость вращения Земли.

Затем переходя от звездной к земной системе отсчета (12) и под-

ставляя найденные значения «/<?, 2<э (370) в формулу (369), получаем

Р =

Х Х

° (ХС05 8 + (/зт 5 + мК<?) + -——

г-г

( —

ЛС31П

5 + «/соз 8 — ЫХО) +

(371)

В свою очередь, разложив скорость небесного объекта на две составля-

ющие: V, — геоцентрическую радиальную и У

— трансверсальную,

определим ее проекцию на любое направление 5 по формуле

дг

Уг

ди

Применительно к осям геоцентрической звездной системы координат, с

учетом выражения (42)

* = — У

-|-(—31П ИСОЗ й—СОЗ Ы31П ЙСОЗ 1)\/

I/ = М- 1/,-|-(_5|П Ы51П Й +

СОЗ

ИСОЗ Йсоз

(372)

= — Уг+

СОЗ И31П

/Vи.

Умножив угловую скорость 6 (367) на геоцентрический радиус г и ис-

ключив г (367), получим трансверсальную скорость

125

= УЖ(1+есо5м). (373)

Геоцентрическая радиальная скорость будет

дг • реет

— — V.

(1+есо8и)

Исключив V (367), получим

= эту. (374)

Наконец, подставив значения ]/

(373) и V

(374) в уравнения (372),

представим правую часть формулы (371) через элементы орбиты небес-

ного объекта

«-V

х = »(соз «соз Я —зт «зт Ясоз /)—(1 +^соз с/)Х

X (зт цсоз Я -|-со5 изт Ясоз /)];

^-[езт 1>(соз ызт Я + зт исоз Ясоз /) +

+есоз

X (375)

Х(—зт изт Я + соз^мсоз Ясоз/)],

2 = --[ев'т азт ызт /+(1 +есоз о)соз ызт /].

Таким образом, с помощью формул (371) и (375) измеренные зна-

чения радиальной скорости можно представить функциями, аргумента-

ми которых являются элементы орбиты небесного объекта и координаты

наблюдательной станции. Решив эти уравнения совместно с уравнения-

ми линейно-угловых измерений по методу наименьших квадратов, можно

вычислить координаты пункта геодезической сети со всеми необходимы-

ми оценками. При этом численные методы геодезии позволяют оптими-

зировать наблюдения так, что можно определить положение пунктов с

ошибками в заданных пределах.

4.11. ИДЕЯ ДИНАМИЧЕСКОГО МЕТОДА

Если в наблюдениях ИСЗ учесть притяжения Луны, Солнца и все

негравитационные силы, то пертурбационную функцию в уравнении

движения представит возмущающий потенциал Земли

. оо

) 2 (1птС05тк + Кпп,&ттк)Р

пт

(»), (376)

п = 2^

' т = О

определяемый как разность между потенциалом притяжения Земли и

потенциалом шара, имеющего такую же массу, какую имеет Земля.

Задача заключается в исключении составляющих возмущающего

ускорения через возмущающую функцию Ц

и элементы орбиты ИСЗ.

126

Затем, проинтегрировав уравнения движения ИСЗ за время

—

полу-

чают возмущения в элементах орбиты Д0 как функции параметров /„,

/лш, Кпт гравитационного поля Земли.

Согласно формулам (364) и (366) составляющие возмущающего

ускорения будут

„ дНе „ 1 / дКе . . . ая

. .

Л| = —Т—; л2 = —( —=—соз «зт

——

соз гзес ф)зес Ф;

аг г V дф «и. ^ н-

(377)

у 1 / дКе . дКе \

Кз = —^ соз I

М81П

«зес ф^зес ф.

При этом, как показано в предыдущем параграфе, геоцентрические

радиус, широта и долгота могут быть представлены соответствующими

функциями элементов орбиты ИСЗ.

Методически задачу отыскания коэффициентов гармоник геопотен-

циала удобно решать методом последовательных приближений. В пер-

вую очередь необходимо определить зональные гармоники. Это оправда-

но, так как основная часть возмущения ИСЗ вызвана полярным сжати-

ем, характеризующимся четными зональными гармониками и прежде

всего — второй зональной гармоникой с коэффициентом /г. Затем, при-

нимая зональные гармоники с коэффициентами /„ за известные парамет-

ры, приступают к вычислению незональных коэффициентов !

пт

и Кпт.

В последующем приближении зональных коэффициентов учитывают

незональные гармоники, вычисляя их по известным из первого прибли-

жения значениям незональных гармонических коэффициентов. При вы-

числении незональных гармонических коэффициентов целесообразно

учитывать данные наземной гравиметрической съемки, представляющие

более полно потенциал по элементарным площадкам.

Такой дифференциальный метод изучения фигуры Земли позволяет

оптимизировать задачу отыскания той или иной группы коэффициентов

гармоник геопотенциала надлежащим выбором орбиты ИСЗ, комбина-

цией наблюдений и целесообразной методикой обработки данных.

Возмущающее влияние на элементы орбиты двух четных зональных

гармоник геопотенциала

~'^Г [ т (•Т )

З(38|п2

+т( Т )

5(358

» -

3081п2

+ 3)/

]. (378)

в основном характеризующих полярное сжатие Земли, рассмотрим от-

дельно.

Ортогональные составляющие /С|, /С

, Кз возмущающего ускорения

от представим формулами

127

К, = ±)

[ -§-(Зз1п

ф-1 )/

+ )'(ЗБзт

-30зт

«р + 3)Л ] .

= _У*^ Ззш ф/

+(у )

( 140зт

ф—'60зт ф)/

соз изт«] ,

Кз „ _)

[ Ззт ф/

"Т)^

п3 ф

П ф)Л

]

со8

(379)

Исключив в этих формулах зт ф = зт изт

и приведя к соответ-

ствующему масштабу, получим

КЧ = /г

[ (Ззт

изт

1 -

+ ^)

(35зт

81п

/ -

—

ЗОзт

изт

/ + 3)/

] ;

К°2= зт 2мзт

«7

+^(-у-)

(705>п2изт

мзт

1 —

—

ЗОзт 2ызт

«)/

] ; (380)

= -А

[ зт 2(31п и/

+ -^(-у.)

(705т 2/зт

(зт

и —

—

ЗОзт 2«зт и)/

^ ;

С помощью этой методики можно определить значения /С", /С

, Кз для

возмущающего потенциала Земли, представленного всеми гармониками

геопотенциала. Численное интегрирование уравнения движения ИСЗ

показывает, что четные зональные гармоники вызывают вековые и дол-

гопериодические возмущения элементов орбиты Я, га, М и долгоперио-

дические возмущения элементов орбиты е и нечетные зональные гар-

моники — долгопериодические возмущения га, М, е и «. Основную часть

вековых возмущений, надежно определяемых из наблюдений ИСЗ, дает

вторая зональная гармоника, а доля любой другой четной зональной

гармоники на три порядка меньше, чем доля второй зональной гармо-

ники. Из обработки наблюдений большого числа ИСЗ с различными

параметрами орбит надежно оценено значение коэффициента /г =•

= 1082,627-Ю

-6

. Коэффициент /

определяется столь надежно, что

В. Козаи, обработав наблюдения ИСЗ на большом промежутке, обнару-

жил его изменение с годовым периодом Д/

= 1,3* 10

соз(2я/+ 160°±

± 10°) (I — время в долях года). Незональные гармоники, за исключением

гармоники с коэффициентами /гг, К22, представляющей эллиптичность

экватора, вызывают короткопериодические вариации всех элементом

орбиты ИСЗ. Сжатие экватора вызывает долгопериодические изменении

с малой амплитудой элементов Я, га, М, ».

В общем случае, решив уравнения движения ИСЗ, наблюдении*

128

вековые и долгопериодические возмущения элементов орбиты ИСЗ

можно представить уравнениями вида

й<ду= Ш; 1 = 1(12, 1 з, ...,/„)•

(381)

Прежде чем использовать уравнения (381), в значения й&у вводят

поправки за гравитационные короткопериодические и любые другие

вариации. При этом используют такие ИСЗ, в движении которых надеж-

но учитываются влияния атмосферы, давления света и лунно-солнечного

притяжения. Оптимизируя уравнения (381) по методу наименьших квад-

ратов, можно определить все зональные коэффициенты / = /°-(-А/ из

нормальных уравнений

Для улучшения обусловленности матрицы нормальных уравнений VI)

используют спутники, равномерно распределенные по наклонению орбит

О—90°, наблюдения каждого ИСЗ выполняют равномерно по всей орби-

те. Если группа ИСЗ имеет узкий диапазон наклонений, наблюдают

как низкие, так и высокие спутники. Уравнение (381) удобно решать

отдельно для четных и нечетных гармоник, так как нечетные гармоники

не вызывают вековых изменений в элементах орбит. Для вычисления

коэффициентов нечетных зональных гармоник составляют уравнения

долгопериодических возмущений й&у-

Определение коэффициентов /

ят

и К пт незональных гармоник пред-

ставляет собой трудную задачу. Это объясняется, во-первых, тем, что

амплитуда и периоды возмущений от незональных гармоник малы и

поэтому могут быть надежно определены по точным и равномерно рас-

пределенным наблюдениям, выполненным за каждый период таких воз-

мущений. Для этого необходимо наземные пункты располагать равно-

мерно по всему земному шару. Во-вторых, возмущения от незональных

гармоник по амплитуде сравнимы с амплитудой рассогласования коор-

динат пунктов геодезической сети и они коррелированы. Поэтому задача

уточнения незональных коэффициентов и координат пунктов геодези-

ческой сети решается последовательными приближениями. В-третьих,

незональные гармоники надежно определяются по наблюдениям низких

спутников, в движении которых сильно сказывается влияние атмосферы

и ионосферы. Следовательно, рассматриваемая задача тесно связана с

задачей моделирования атмосферы и иносферы. Для уменьшения воз-

мущения от сопротивления атмосферы и светового давления Солнца

используют спутник, имеющий большую массу и сравнительно малую

поверхность.

Совместное уточнение параметров геопотенциала и координат пунк-

тов геодезической сети составляет основное содержание динамического

метода.

Напишем уравнения поправок в виде

М = ((У'С)-

^'^ 0!/— Ш°).

V = Ас1Хз + ВйХо

•+•

Ь, (382)

5 - М.

Машимов

129