Машимов М.М. Геодезия.Теоретическая геодезия

Подождите немного. Документ загружается.

выраженные через вторые гармонические коэффициенты разложения

гравитационного потенциала планетарного тела. Формулу для долготы

Х,о, аналогичную формуле (255), получил М. Бурша.

Задаваясь тензором инерции Земли в фиксированной в теле Земли

системе отсчета на определенную эпоху, можно вычислить главный

тензор инерции Земли и ориентацию главных осей ее динамической

фигуры. Наблюдая за этими фундаментальными параметрами, можно

судить о планетарных изменениях фигуры Земли и геофизических про-

цессах в ее теле.

Периодические планетарные изменения динамической фигуры Земли

обусловлены деформациями от сил притяжения в системе Солнце —

Земля — Луна. Эти изменения с необходимой точностью могут быть

предвычислены и учтены в геодезических и астрометрических расчетах.

До сих пор планетарные изменения, связанные с перемещением масс

в теле, на поверхности и в воздушной оболочке Земли, геодезически

не изучены. Эта задача примыкает к геодинамическим проблемам пла-

нетарной геодезии.

Теория определения параметров динамической фигуры Земли рас-

смотрена применительно к абсолютно твердому телу. В действительно-

сти перемещение масс в ее теле должно приводить к изменению тен-

зора инерции и, следовательно, к изменению значений главных цент-

ральных моментов Ао, В», Со инерции Земли и ориентации главных

центральных осей инерции и, V, до.

Важное значение для планетарной геодезии имеет оценка взаимного

положения инерциальных, средних и мгновенных полюсов Земли. Под

инерциальным полюсом мы понимаем пересечение с поверхностью Земли

ее главной центральной оси инерции до, относительно которой Земля

обладает максимальным главным центральным моментом инерции.

Устанавливая параметры уровенного эллипсоида, наилучшим обра-

зом аппроксимирующего планетарный геоид и во многих задачах тео-

рии и практики применения геодезических данных представляющего

фигуру Земли, необходимо ось вращения уровенного эллипсоида точно

совмещать с главной центральной осью инерции Земли до, а ее центр —

с центром инерции Земли.

Достигаемые точности и требования к исходным геодезическим

параметрам таковы, что приходится изучать эллипсоид инерции Земли

и его ориентировку относительно уровенного эллипсоида Земли. Если

центры двух эллипсоидов не совмещены, то прибавляются еще пара-

метры йио, йьо, йгао взаимного положения центров двух эллипсоидов.

В общем случае для любой заданной точки в теле Земли можно по-

строить эллипсоид инерции.

За динамическую фигуру Земли принимают центральный эллип-

соид инерции Земли, оси которого совмещены с главными центральны-

ми осями инерции, а центр его совпадает с центром инерции Земли.

Известно, что динамическое сжатие Н отличается от сжатия а уро-

венного эллипсоида. Равенство динамического сжатия Н и гравита-

ционного сжатия а невозможно, так как динамическая и гравитацион-

ная фигуры Земли друг от друга отличаются, и тем более они пред-

назначены для решения разных задач. Однако есть одна фундамен-

тальная проблема о вращении Земли вокруг своей мгновенной оси,

при изучении которой нужно использовать различие обеих фигур в пол-

ном спектре. Близость инерциальных и средних полюсов упрощает

изучение их движения. По существу, в этом случае движение полюсов

будет отождествлено с движением мгновенного полюса относительно

полюса инерции Земли. Уточнение коэффициентов первого и второго

порядков незональных гармоник притяжения Земли облегчает решение

этой задачи.

Если оси земной системы координат совпадают с главными цент-

ральными осями инерции Земли, то из выведенных формул следует, что

все незональные коэффициенты первого и второго порядков, кроме /22,

должны отсутствовать, т.е. должно соблюдаться условие /

| =

/С

/(22

= 0. Во всех моделях Земли указанные коэффициенты незональ-

ных гармоник первого и второго порядков отличаются от нуля. Сле-

довательно оси земной системы координат не совпадают с главными

центральными осями инерции, а средний полюс не совпадает с полюсом

инерции.

Однако коэффициенты /21 и ЛС21 настолько малы, что по существу

центробежные моменты О и Е каждый по модулю в 10

раз меньше,

чем главные моменты. Это признак близости средних и инерциальных

полюсов, т. е. д — малый угол. Следовательно во многих случаях можно

пренебречь несовпадением полярных осей динамического и гравита-

ционного эллипсоидов. Из-за малости угла 0 долготу Хо главной цент-

ральной оси инерции, относительно которой Земля обладает наимень-

шим главным центральным моментом инерции, можно вычислять как

сумму двух эйлеровых углов ф и ф. Этот прием использовался при

изучении взаимной ориентации двух систем координат.

3.5. МОМЕНТ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ ЗЕМЛИ

В качестве координатных осей примем главные оси инерции. Тогда

0 = Е— Р = 0 и проекции кинетического момента (221) определяется

формулами

Кх —

Аоы

Ку=Воы

\ К

—Соы

. (258)

Покажем, что главные оси инерции будут единственными направле-

ниями, для которых векторы ш_и Ко коллинеарны. В самом деле, если

эти векторы коллинеарны, то векторное их произведение равно нулю

I I к

<Ох Шу ш

= 0.

ЛиМх ВоШу С<>(0,

Отсюда имеет соотношения

(В

— Со)»^ = 0; (Со

—

/4о)со

Мх=0; (Л

—

во)а)

= 0. (259)

Если моменты инерции не равны между собой, то уравнения (259)

можно решить, приняв две из проекций угловой скорости равными

нулю. Следовательно главные оси являются единственными направле-

ниями, для которых векторы <в_и Ко коллинеарны.

Пусть два из моментов инерции равны между собой, например

Ао

— Во,

т.е. эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения. В этом случае

достаточно принять

со

= 0, тогда удовлетворяются все три уравнения.

Оси, лежащие в плоскости экватора Объявляются главными. Если при-

нять о)х=(о

, = 0, то главной осью будет ось г, по которой ш=(о

#0.

Если Ао—Во—Со, тогда эллипсоид инерции превращается в сферу.

В этом случае уравнения (259) удовлетворяются при любых значениях

, Шу, ш

, т. е. векторы ш_и Ко коллинеарны при вращении вокруг любой

оси, проходящей через неподвижную точку.

Таким образом, кинетический момент Ко и угловая скорость <о могут

быть коллинеарны только по главным осям эллипсоида инерции. В этом

заключается динамический смысл главных осей инерции.

У реальной Земли мгновенная ось вращения не совпадает с ее глав-

ной полярной осью инерции. Относительно правой системы координат

ОХУ2. (ось 01 совпадает с осью вращения Земли; ось ОХ направлена

в точку Гринвича; вектор

ь>

= ыК) центробежные моменты инерции не

равны нулю. Поэтому момент добавочной реакции на ось свободно

вращающейся Земли (М

= 0,

<о

= ш

= соп54) отличен от нуля и согласно

уравнениям (218) имеет составляющие по осям координат

Я,= Осо

; К

=-Еы

-, К

= 0. (260)

Иначе говоря, имеется кинетический момент центробежных сил

Кк=-Ет-0<а1 + Сшк, (261)

который при векторном умножении слева на вектор угловой скорости

дает момент реакции на ось вращения Земли, т. е.

К= ш_Х К/?. (262)

В действительности вектор /? момента реакции на мгновенную ось

вращения Земли имеет составляющие, точно соответствующие выра-

жениям (260).

В нашем частном случае, когда М

— 0, ш

ш,,

= 0 и ш=ш

= сопз1, согласно уравнениям (238) составляющие момента центробеж-

ной силы вычисляются по формулам (260), полученным из уравне-

ний (218).

3.6. ПОЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ш_

И МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ К

ОТНОСИТЕЛЬНО ПОЛЯРНОЙ ОСИ ИНЕРЦИИ ЗЕМЛИ

Каждое мгновенное движение Земли относительно центра масс пред-

ставляет собой элементарный поворот вокруг мгновенной оси вращения,

расположенной под углом 0| к полярной оси инерции и проходящей

через ее центр масс. В разные моменты времени мгновенная ось враще-

ния по-разному расположена внутри Земли. Это изменение положения

мгновенной оси вращения зависит от ее расположения по отношению

к вектору момента количества движения Ко. Как ранее было показано,

если векторы м_и Ко коллинеарны, то мгновенная ось вращения совпа-

дает с полярной осью инерции тела и не изменяет свое положение

внутри тела.

Направляющие косинусы вектора Ко относительно главных осей

инерции с учетом формул (226) имеют значения:

соз (КО, Х) = АО<А

КО

]

;

соз (КО, У)=В

КО

соз (КО, Г) =

СОШГ/СО"

;

Угол 6| вектора угловой скорости м настолько мал, что можно записать

соотношение

Сформулируем два положения:

1) полярный момент инерции относится к экваториальному моменту

инерции Земли так же, как относятся синусы углов ее вектора угловой

скорости и вектора момента количества движения;

2) вектрр момента количества движения расположен между поляр-

пой осью инерции и мгновенной осью вращения Земли.

Как следует из исследований, для Земли отношение полярного мо-

мента инерции Со к экваториальному моменту инерции АО отличается

от единицы, значит ощутимо и изменение положения мгновенной оси

иращения Земли в ее теле.

Положим задан вектор N. приложенный к неподвижной точке О,

с составляющими ХЦ==ПЫ

ПЫ

Г=ПЫ

. Если теперь подставим

жачения составляющих вектора м^ выраженные через составляющие

нектора N в формулу (225) и примем

= сопз1, то получим формулу

2ТП

= АХ% + ВУ% + СГ% - 2 ОУ

- 2 ЕХ

- 2РХ„У

2Ф(ДСЛ,,

, 2

лг

) = сопз1,

представляющую собой уравнение эллипсоида. Подобрав коэффициент

пропорциональности П, получим уравнение эллипсоида инерции.

КЪ=А1Ы

+В1Щ + СЪ

Если Ао=*Во, то

О=

(О

(Ло31П

0| + СоСО3

0|),

ибо соз01 = а)

о)

-1

, поэтому ш

= ш

соз91. Следовательно

,, . 51П6| ^ .

51Пб2= 31П(Ло, г) = <31П0|.

Кроме того

дФ/дх

— Ах

— Ру

— Ег

дФ/ду„=-Рх

+ Вун - Ог д,;

дФ/д2н=—Ехн — Оу

+ Сгн.

Сравнивая эти выражения с формулами (221), определим, что

пКо=ЪФ(хн, у», г

т. е. кинетический момент твердого тела относительно неподвижной

точки О с точностью до постоянного множителя есть градиент скаляр-

ной фуНКЦИИ

ы)-

Как мы установили, скалярная функция Ф геометрически представ-

ляет поверхность эллипсоида инерции, если подобрать соответствую-

щим образом нормирующий коэффициент п. Градиент скалярного поля

Ф нормален к поверхности Ф(*ль

Ун* 2дг)

= сопз1.

Таким образом, доказана теорема: вектор кинетического момента Ко,

приложенный к неподвижной точке О, параллелен нормали п к эллип-

соиду инерции в точке Ы(хц,ум,г

), в которой эллипсоид инерции пере-

секается с мгновенной осью вращения тела.

Углы 6|=(<1>, г),

= (Ко,г) и 0з =

(о>,/Со)

можно вычислить для

общего случая АоФВофСо. Так например, косинус угла между двумя

векторами

шКо

соз 0з = —р—,

й)Л о

откуда

У(Со

- А

)

ы1т1 +

(Со

Ва)'

ш1

(Во-А

)

а>^

51ПОз

= — ,

л 0<й

з1п0

= 5|п0!= У

(а

' +

й>

(264)

Ло ш

Из этих соотношений видно, что 0з<02<0|- Как было установлено,

мгновенная ось вращения и ось инерции тела располагаются по обг

стороны от вектора Ко- Причем они не лежат в одной плоскости, ибо

из выражения синуса двугранного угла б, составленного плоскостями

ОгКо и ОЕы, т. е.

}

Вп

Ап)ЫхЫу

„ «

"Т

° (265)

У^+ш^Л^+Восо^) Ло

имеем 6 = 0, если только Ло=Во. У эллипсоида вращения полускм!,

нормаль и радиус-вектор лежат в плоскости меридиана.

3.7. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА

Для облегчения интегрирования эйлеровых дифференциальных

уравнений движения твердого тела приходится прибегать к упрощенным

предпосылкам. Первое упрощение нами уже сделано, когда мы полага-

ли, что оси подвижной системы координат совпадают с главными осями

инерции твердого тела. Это возможно только теоретически, а в действи-

тельности подвижную систему отсчета не удается совместить с главными

осями инерции Земли. Необходимо точно выполнить это условие. Кос-

венным признаком соблюдения этого условия служат значения центро-

бежных моментов Й, Е, Р. Как видно из исследований, изложенных

в предыдущем разделе, они по величине существенно отличаются от

нуля и ими можно пренебречь, оговорив точность решения задачи.

Второе упрощение, когда главный момент Мо внешних сил относи-

тельно неподвижной точки принимается равным нулю — случай Эйлера.

Система (239) становится автономной и может быть решена отдельно

от системы (231), поскольку теперь динамические уравнения Эйлера

+ (С — В)

ЫУШ

= 0;

ВШ

-\-(А — С)Ы

(1>Г= 0;

СШ

+ (В —

Л)мх(о

= 0 (266)

связывают только моменты инерции тела и искомые параметры ш*,

">!/, <Ог-

Здесь и в последующем главные моменты инерции будем писать без

нижнего индекса.

Условие

Л1о

= 0 представляет частный случай вращательного движе-

ния планетарного тела вокруг своего центра масс, когда оно не зависит

и г

орбитального движения планетарного тела. Для нешарового плане-

ырного тела, имеющего несферическое распределение масс, закон вра-

щательного движения существенно зависит от орбитального движения.

11оэтому строгая теория вращения Земли основывается на учете глав-

ного момента МО действующих внешних сил. Таким образом, случай

••йлера (266) является первым приближением в теории вращения плане-

| арного тела.

Следующим шагом является допущение, что моменты инерции

•

пюсительно главных экваториальных осей инерции равны, т.е. А = В,

нн.чче говоря тензор инерции представляет эллипсоид вращения.

Очевидно первое допущение необходимо для того, чтобы решение

|>лннений общего вида (238) заменить решением уравнений (239),

имеющих более простой вид.

В настоящее время центробежные моменты О, Е, Р для Земли из-

1 гны с такой точностью, что их можно использовать для вычисления

""бодных членов уравнений (239). В этом случае, не прибегая к упро-

щениям, можно решить их численным методом.

Когда необходимо выполнить точные оценки, тем более в случае

применения ЭВМ, не оправдано допущение о равенстве экваториальных

моментов инерции Земли. Все современные данные доказывают, что

разность моментов инерций В И А значительна и ею нельзя пренебре-

гать в построении строгой теории вращения Земли.

Сначала рассмотрим замкнутую систему Л1о=0, предположив, что

АФВФС. В этом случае интегрирование дифференциальных уравнений

Эйлера потребует специальных приемов вычисления.

Для нахождения первого интеграла умножим строки системы (266)

соответственно на АШ

ВИ>У,

СШ

. Сложив их почленно, получим урав-

нение

<1>*о)

<йуИ>

+ С

и>

(о

О,

интеграл которого

постоянная величина, равная квадрату кинетического момента. В самом

деле, по условию /И

= 0, /(о=соп51. Из соотношения (258) получаем

равенство (267).

Теперь умножим строки системы (266) соответственно на со*, «о,,, ш

и почленно сложим. Тогда получим выражение

ВЫуШу

+ Са>

=0,

интеграл которого

тоже величина постоянная, равная удвоенной кинетической энергии.

В действительности, приняв й = Е=Р = 0 в уравнении (225) получим

равенство (268). С другой стороны, из постоянства КО следует и по-

стоянство То.

Для поиска третьего интеграла полученные нами уравнения (267)

и (268) запишем

где (\ = 2Т

— См

; =

КО

— С

со

; определитель

= АВ(В — А) отличем

от нуля из-за условия АФВ.

Решая уравнения (269) относительно параметров, получим

(о

+ В

о)

+ Сш

=/(о

(267)

АА>

-\- воз

Сш

2ТО

(268)

Ло>

+ Вш

= /,; Л

(о

+ВЧ" = /2,

(269)

(270)

(271)

т. е.

д д

^ ШХШУ— ТО, КО).

(272)

С учетом третьей строки системы (266) имеем уравнение

йш

/7 + Л = О,

интеграл которого

]аш

/(=-1 + с, (273)

где с — постоянная интегрирования.

После подстановки значения / (271) в левой части формулы (273)

получится эллиптический интеграл. Произвольные постоянные опре-

деляются начальными условиями на момент /о.

Теперь рассмотрим случай А = В. С учетом этого условия и ранее

выведенных формул (267) и (268) систему (266) запишем в виде

Л(т2 +

<о2)

+ Сш?«2Го;

= ш

= соп51. (274)

В этом случае <о?+ 1о|=соп51. Кинетический момент Ко постоянен как

по величине, так и по направлению относительно основной системы.

Для простоты вычислений ось е основной системы направим по

направлению вектора Ко, тогда проекции кинетического момента на

подвижные оси будут

Кх = Аы

= /СозтФ втер;

Ку= Аи>

= /СозтФ созф;

Сшо

= /Сосоз в. (275)

Отсюда видно, что угол нутации #=сопз1 вычисляется по формуле

соз# = Ст/Ко.

С учетом кинематических уравнений Эйлера (231) и первых двух

строк системы (238), принимая 4=0, получим соотношение

= Ко/А = л = сопз!, (276)

интеграл которого

Ч> = л/ +

фо

где л — постоянная прецессии оси вращения по долготе; г|>о — значение

угла прецессии на начальную эпоху.

Подставляя

а)г

= мо, 0=Фо и у=п в третье уравнение (231), по-

лучим

шо —

л соз во = л

= сопз1. (277)

Отсюда ф=Л|< +

где фо — значение угла собственного вращения на

начальную эпоху.

Таким образом, углы Эйлера определяются следующими соотно-

шениями

4-М. Машимов 97

(278)

Все три интеграла табличные. Вычисление углов Эйлера сводится к ли-

нейной интерполяции.

Рассмотрим приемы интегрирования дифференциальных уравнений

Эйлера, исходя из более общих предпосылок и с учетом главного мо-

мента Мо внешних сил. Силовую функцию 11 притяжения для Земли

будем вычислять с учетом малых членов, содержащих третью степень

обратного значения расстояний г, от Земли до Солнца, Луны и планет.

Такое допущение естественно, ибо эти расстояния так велики по срав-

нению с линейными размерами планет, а члены выше третьей степени

обратного значения расстояний г,- настолько малы, что можно ими пре-

небречь без ущерба для точности вычислений. Тогда силовая функция I!

притяжения Земли с массой М другим небесным телом с массой М',

с учетом членов разложения г

-3

, равна [4]

М М'

н у

Л' + у + у-зи л + в+с-ы,\

(279)

2г 2г

где р — расстояние между элементарными массами ЙТ и ЛТ'\ Г —

расстояние между центрами масс внешнего тела и Земли; 1,, Г

—

моменты инерции Земли и внешнего тела относительно оси Г\ А, В, С и

А', В', С' — главные моменты инерции Земли и внешнего тела.

Положим, каждое небесное тело притягивает Землю как точечная

масса, т. е. масса небесного тела сосредоточена в центре его инерции.

Тогда второй член выражения (279) равен нулю, так как А' = В' =

= С' —

Г,.

Кроме того, подставляя в уравнение (279) значение осевого

момента (224)

'•-"(тМЯ'-ИЭ'-

где х', у', г' — геоцентрические координаты небесного тела, имеем

(280)

Так как

,, ас

аи

ДУ'

ДГ'

, Д11 ас/

ДГ' ДХ'

,/ зи

Г'

ац

а Х'

ДУ'

—

с учетом (280), получим составляющие моменты внешних сил по осям

координат

=3[М'(С-В)^~;

х'г'

=3[М'(А-С)-

= ЗЩ'{В-А)-^~. (281)

Если эллипсоид инерции симметричен относительно полярной оси, то

= ЗЩ'{С-А)^-\ Му=-3(М'(С-А)-^0~; М

= 0. (282)

Силовая функция (280) имеет вид

—|-/А*'(С —Л)-^1. (283)

Третья строка системы (239) будет

Со)

= 0. (284)

Отсюда соответствующая строка системы (231)

о)

=фсоз# + ф=соп51. (285)

Лагранжевая система обыкновенных дифференциальных уравнений

относительно обобщенных координат ц (ф, -ф, О) для потенциальных

сил имеет вид (4]

.. / 911 ди „\ 81п ш , ьи

= ( — —созФ ) . I +-—-созф.

\ ду ду /мв

I ди д1! „\С05Ш дЦ .

= (286)

Таким образом имеем следующие две системы дифференциальных

уравнений

ш*

= зт ©зт

+ 4соз ф;

0)у=^5т дСОЗф — д31Пф;

<о

= фсо8# + ф, (287)

о ' 1 / л / дУ 311 „ \ соз® д1} .

в*, + (А — С)о)

С(Ь

+ (В—А)(о

Шу=-^-. (288)

Заметим, что система (287) эквивалентна системе (240).

Силовая функция С, вычисляемая по формуле (280), может быть

4* 99