Машимов М.М. Геодезия.Теоретическая геодезия

Подождите немного. Документ загружается.

вертикальная ось вращения прибора — с отвесной линией точки стоя-

ния Этот способ ориентирования угломерного прибора часто исполь-

зуется в астрономо-геодезии, при топографических и инженерных

съемках, в системах навигации и целеуказания.

Различие топоцентрических горизонтных координат в геодезиче-

ской и астрономической системах отсчета обусловлено уклонением

отвесной линии от нормали к земному эллипсоиду. Для перехода от

астрономических координат к геодезическим и обратного перехода от

геодезических к астрономическим координатам необходимо знать укло-

нение отвесной линии О и азимут ш вертикала, содержащего нормаль

С}\2.' к земному эллипсоиду и отвесную линию (см. рис. 3). В аст-

рономо-геодезических определениях, топографических съемках и других

инженерных работах, где не требуется высокой точности, различия

астрономических и геодезических координат могут быть незначительны,

если земной эллипсоид по размеру, форме и ориентировке в теле Земли

определен так, что уклонения отвеса на этой территории не превышают

нескольких угловых секунд. Это обстоятельство также определяет

требования к точности установления земного эллипсоида как отсчетной

поверхности для данной территории и изучения уклонений отвесных

линий по всей этой территории.

В высокоточных астрономо-геодезических работах и при геодезиче-

ских определениях для целей строительства и эксплуатации инженер-

ных объектов требуется знать уклонения отвесной линии с точностью

порядка 0,05—0,70".

Составляющие уклонения отвеса в плоскости меридиана | =

Фсозш и в плоскости первого вертикала г) = •дата» являются необхо-

димыми параметрами для задания систем отсчета координат в совре-

менной геодезии.

1.2. СВЯЗЬ ЗВЕЗДНЫХ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ

КООРДИНАТ ДВУХ ЭПОХ

Переход от звездных геоцентрических экваториальных координат

хо, уо, 2о средней эпохи Т

к соответствующим координатам х, у, г на

момент наблюдения Т осуществляется преобразованием координат за

прецессию и нутацию.

Углы прецессии ео, е, 0 (рис. 5), выраженные в угловых секундах,

вычисляются по формулам Ньюкома — Андуайе

«о = (2304,253 + 1,39737"о + 0,0000671)т +

+ (0,3023 - 0,0027Г

)/т

+ 0,0180т

;

2 = (2304,253 + 1,39737" о + 0,0000671)т +

+ (1,0950 + 0,0039 7"

)т

+ 0,01832т

;

9 = (2004,685 - 0,85337"о - 0,000377"§)т - (1)

-(0,4267 + 0,00377"

)т

- 0,04180т

; т = Т - Т

Рис. 5. Прецессионные углы

В этих формулах эпохи Т и То выражены в тропических столетиях,

отсчитываемых от начальной эпохи 1900,0.

Координаты х', уг' (см. рис. 5) получим тремя последовательными

вращениями: на угол д

в плоскости Охоуо, на угол 0 в плоскости

ОАго и на угол д в плоскости ОМ

. В результате для координат х', у', г'

на эпоху Т получим формулу

ХА

У'

= Р

УО

.2о.

СО5§0—51Пдо 0

зтдо созд

0 0 1

(3)

где матрица прецессии

СОЗд — 31Пд 0~] СО30 0 —31П0

Р = 31Пд СОЗд 0 0 10

0 0 1] |_31П0 0 СО30

имеет элементы:

= СО5д

СОЗд

СО30

—

31П50

3!Пд;

Р\2 — 31П§0 СОЗд

СО50

— созео 51Пе;

Р\ъ — — созд 31П0;

Р21 = создо З1пд соз0 + созд зтдо;

Р22 = — зтдо 51пд соз0 + созд

зтд;

Ргз = — зтд 51П0; рз! = создо 31П0;

Рзг = — зтдо 31П0; рзз — соз0.

Преобразованные координаты х', у', г' называют средними коорди-

натами на эпоху Т.

(4)

Для перехода от средних координат х', у', г' к истинным координа-

там х, у, г необходимо учесть влияние составляющих нутации по долготе

бг|> и наклонению бе. Представив бф двумя составляющими: по прямому

восхождению бфсозе и по склонению бфзте, и пренебрегая членами

второго порядка малости, получим

(5)

х'~

= N

у'

г г'

(6)

где матрица нутации N имеет следующие элементы:

Пп = 1; п 12= — бфсозе; П|з =—бф $ш е;

| =

Й1|з

сове; «22=1; п

з=—бе;

=б^51Пе;

Лз2

= бе; Пзз=1-

С учетом формул (2) и (5) запишем

(7)

Ввиду ортогональности преобразования для обратного перехода имеем

(8)

где Р' и Ы' — транспонированные матрицы Р и N.

"хо"

= ЫР

Уо

_2о_

~ х

Уо

= Р'Ы'

1.3. СВЯЗЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ

ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ И ПОЛЯРНЫХ

СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ

На рис. 1 через г, а, б, А и Ф обозначены геоцентрические эквато-

риальные полярные сферические координаты: радиус, прямое восхож-

дение, склонение, долгота и широта точки <2 в звездной и земной сис-

темах отсчета координат. Геоцентрические декартовы координаты свя-

заны с соответствующими геоцентрическими полярными сферическими

координатами следующим образом:

X = гсоз Фсоз А; У = гсо» Фзт А; 2= гзтФ; (9)

х — г созб соза; у—г созбзта; 2=гз1пб; (10)

18Ф=*8в «-§-=-§-; (11)

г = л/^+ТТ^.

Подставив в формулу (9) значения Л=ос —5, Ф=8 и учитывая

(10), находим

(12)

где 5 — матрица поворота, элементы которой есть функции звездного

времени 5 на начальном меридиане

" X

= 5

5 =

соз5 зт5 0'

—зт5 соз5 0

0 0 1

(13)

х"

'X'

= 5' У

г 2

Ввиду ортогональности преобразования для обратного перехода

имеем

(14)

где 5' — транспонированная матрица от исходной 5.

1.4. ФОРМУЛЫ, ВЫРАЖАЮЩИЕ СВЯЗЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ

ПРЯМОУГОЛЬНЫХ И ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ КООРДИНАТ

На рис. 2 через В, Ь и Н = ф

<2 обозначены эллипсоидальные

геодезические координаты: широта, долгота и высота точки <2 относи-

тельно земного эллипсоида. Отрезок <?ои есть радиус кривизны нор-

мального сечения эллипсоида в плоскости первого вертикала, который

является функцией большой полуоси а, полярного сжатия а земного

эллипсоида и геодезической широты В. Он вычисляется по формуле

N = а/У

-е

зт

В,

где е

— квадрат первого эксцентриситета меридианного эллипса:

= а(2 — а).

Малый отрезок под экватором на рис. 2 равен

С)

п = е

Ы.

(15)

(16)

(17)

Пользуясь принятыми обозначениями и соотношением (17), полу-

чим формулы связи пространственных прямоугольных координат X, У, 2

и пространственных эллипсоидальных койрдинат В, Ь, Н точки С}

относительно земного эллипсоида с параметрами а, а в следующем виде:

X = (М Н) созВсоз/.; .

У= (ЛГ + Я)созВзт/,; (18)

2 = (Ы + Н — е

Л0 81П В;

= К/2; с1дВ = (О — е

Ы созВ)/2; (19)

Н = О зесВ - N = 2 созесВ - (1 - е

)М. (20)

В формулах (19) и (20) через О обозначено экваториальное

расстояние, вычисляемое по формуле (11) по известным значениям про-

странственных координат X и У точки С). Из первых двух строк формул

(18) следует, что экваториальное расстояние может быть вычислено

также по эллипсоидальным координатам, т. е.

/) = (Д? + Я)созВ. (21)

Широта В вычисляется методом последовательных приближений.

Пользуясь известным соотношением зшВ = 1дВ/У1 +1 и формулой

(15), исключим значение МсозВ в формуле (19). Тогда получим сле-

дующие итерационные формулы:

с1

В*=Г>(1 —е\)/2, если

= 2//?(

— е1), если С>2,

(22)

где к — номер итерации. Нулевое и к-е приближения вычисляют по

формулам

2 е а г е а

/00

ео

= —.

;

е%

— — • (23)

л/°

-т&т лЯ+тт^Йг

Параметр еь для малых высот имеет порядок е и с увеличением

высот он быстро уменьшается, а при Н-*-

оо

вк — 0. Для малых высот,

как правило, достаточно принять ен = ео. Для космических высот можно

принять е\ = ё\.

Однако для конечных высот #>0,1 км, включая и космические,

параметр е1 существенно отличается от е

, чтобы можно было пре-

небречь разностью е\ — е

В некоторых случаях для ускорения вычислений на ЭВМ можно

применить итерационную формулу

й — е

а с4д

В* _

(

сЫВ

= , ^ если 0<2;

2У1 -гЧс№-1 (25)

= —: , если 0>2.

0-е

аН\ +(1 -е

[

При этом первое приближение с{%В\ (1§5|) вычисляется по форму-

лам (22)- и (23).

Комбинации формул (22), (23) и (25) могут уменьшить затраты

машинного времени при вычислениях, связанных с преобразованием

координат в режиме реального времени.

Из формулы (19) следует, что

с1

й= [0(1 - е

) + е

Н созЯ)/2.

Для точки фо (Н = 0), лежащей на поверхности земного эллипсои-

да, широту можно вычислять по формуле

с1§В=Я(1 -е

)/2, (26)

не прибегая к итерациям.

1.5. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОБЪЕКТОЦЕНТРИЧЕСКИЕ

ГОРИЗОНТНЫЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ И ИХ СВЯЗЬ

С ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИМИ

ЭКВАТОРИАЛЬНЫМИ ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ КООРДИНАТАМИ

На рис. 1 начало объектоцентрической горизонтной системы коорди-

нат совмещено с центром С} небесного объекта, ось 2' продолжает

геоцентрический радиус г, ось X' лежит в плоскости меридиана точки

и направлена на Северный полюс, ось У' дополняет левую декартову

систему координат.

Переход от объектоцентрической горизонтной к звездной геоцен-

трической экваториальной системе координат осуществляется перено-

сом начала координат, двумя поворотами на угол 90°—б вокруг оси У'

и на угол а вокруг оси г, т. е.

- зшб 0 созб

0 1 0

СОЗб 0 51пб

X —X ф

У — УЯ

2 — 2д_

соза — зта 0

зта соза 0

Следовательно,

0 1

У'

X —

Х'~

У — УЧ

= Л

ав

2 —

2Д_

. 2'_

Матрица поворота А

ь имеет элементы:

ап = — зтб соза; а\г——-зта; апз = созб соза;

<221

= — зтб эта; агг = соза; агз == созб зта;

аз1 = созб; азг=0;

Обратный переход

= 51Пб.

Х'~

—

Х<5

У'

= А'

аЬ

— Уя

- 1'.

— 2<г.

(25)

(26)

(27)

где А'

б—транспонированная матрица Л

в.

По аналогии для земной геоцентрической экваториальной системы

координат запишем следующие соотношения:

— *<?

~х~

У — Уо — Ам

У'

. 2 -2

Л'.

' X''

' X-

У'

— АЬл

У —

Уч

- 2'.

2 —

2«_

где А'ФА — транспонированная матрица АФ\.

Матрица поворота А

ФЛ

имеет элементы:

си

| = —51П Фсоз Л; ая - — зт Л; 0|

= соз Фсоз Л;

1 = —зт Фзш Л; агг = соз Л; а

з = соз Фзш Л; (30)

ал = соз Ф; азг = 0; азз

зт Ф.

В формулах (25) — (29) через X', У', 2' обозначены пространствен-

ные объектоцентрические горизонтные координаты любой точки относи-

тельно начала отсчета координат С) — центра небесного объекта.

Элементы матриц, вычисляемые по формулам (26) и (30), являются

функциями геоцентрических экваториальных сферических координат а, б

и Л, Ф центра небесного объекта (?, принятого за начало отсчета ко-

ординат.

1.6. СВЯЗЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИХ

ЭКВАТОРИАЛЬНЫХ, ТОПОЦЕНТРИЧЕСКИХ ГОРИЗОНТНЫХ

ПРЯМОУГОЛЬНЫХ И СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ

По определению пространственная топоцентрическая горизонтная

система координат является аналогом пространственной объектоцентри-

ческой горизонтной системы координат. Поэтому все необходимые коор-

динатные преобразования осуществим по аналогии, пользуясь форму-

лами (28) —(30), т. е.

-х

-Уя

= А

Л' .

(31)

= А'

-Х

• IV

•2„

(32)

где Л' — транспонированная матрица А, которая имеет элементы:

ац — — зтВсоз/.; 012=—зт/.; а|з = созВ соз/.;

| =

—-

зтВзт/.; а22 = соз/.; агз = созВзт/.;

аз1 = созб; азг == 0; азз = зтВ.

(33)

В формулах (31) и (32) через X', У, 2' обозначены пространствен-

ные топоцентрические горизонтные координаты любой точки относи-

тельно начала отсчета координат С}.

Элементы матрицы А (33) вычисляются по геодезической широте В

и геодезической долготе I точки ф, принятой за начало отсчета коор-

динат.

По определению пространственных топоцентрических горизонтных

сферических координат 2, А, 8 (см. рис. 4) имеем следующие формулы

для координатных преобразований:

X' = 5 31П2 СОЗ/4;

У — 8

31П2

зтЛ;

В формулах (35) горизонтное расстояние получают из выражения

Формулы (34) и (35) решают прямую и обратную геодезические

задачи в пространстве. При этом сферические координаты г, А, з явля-

ются измеряемыми величинами, поэтому их часто называют эфемерид-

ными координатами.

1.7. ПРЯМАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Прямая геодезическая задача формулируется следующим образом.

Заданы эллипсоидальные геодезические координаты В\, Н\ началь-

ной точки и пространственные горизонтные сферические коорди-

наты 212, А12, 5 точки ^2 относительно начальной точки Требуется

определить эллипсоидальные геодезические координаты Вг, /-2, Нг

точки <?2.

Поставленную задачу решают следующим образом.

1. По формулам (15) и (18) вычисляют пространственные геоцен-

трические экваториальные прямоугольные координаты точки <?|

2' = 8 С052;

С!§2 = 2'/0;

Л = У'/Х'\

5 = 7^+7^

(34)

(35)

о = у*'

+ у

(36)

/V, = а/У

-е'зт'В,;

X, = (N1 + //1) созВ| сов^;

К| = (ЛГ| + //,)со5В, 51п/.|;

2\ = Н\ — е

И\) зтВ|.

ЧернИвська державна

обпасиа унияосэл^а

223245 1 1м. 'В. Г. Королей*»!

2. Вычисляют элементы матрицы преобразования координат А\ (33)

" — 31П В|С03 — 31П С03В|С03/.1

А\= —зтВ^т!* соз!| соз В\З1п

СОЗ

В\ О

51П

В\ -

3. Пользуясь формулами (34), вычисляют пространственные топо-

центрические горизонтные прямоугольные координаты точки ($2 относи-

тельно начальной точки <3|

Х'

У*

Ил

51П212 СОЗЛ |2

31П2|2 31ПЛ

С03212

4. Пользуясь формулами (31), вычисляют пространственные гео-

центрические экваториальные прямоугольные координаты точки <3

"Л, "

31П212 СОЗЛ

У\ + Л,Х5

51П212 31пЛ 1

С032(2

5. По формулам (19) — (23) преобразуют Х

, У 2, 2

в эллипсоидаль-

ные геодезические координаты В

, /-г, Н

точки (2г.

1.8. ОБРАТНАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Вычисление пространственных топоцентрических горизонтных сфери-

ческих координат 2, А, $ по известным значениям пространственных

эллипсоидальных геодезических координат В, Я двух точек <2) и фг

составляет содержание обратной геодезической задачи. Список исход-

ных данных включает В,, Я,- (/= 1, 2). Требуется вычислить г 1

, Л[

5, 2

1 и А

Решение обратной геодезической задачи заключается в выполнении

следующих операций.

1. По формулам (15) и (18) вычисляют геоцентрические эквато-

риальные прямоугольные координаты точек (/= 1, 2)

= а/л]

— е

зт

В,;

= (/V,- + Я,) соз В, соз/.,;

У,.

= (Ы, + Я,) соз В, зт!,;

2,- = (/V,- + Я, - е

Л/,) зтВ,.

2. Вычисляют элементы матриц преобразования координат Л,- (33)

— ЗтВ, соз/.; — зтВ, з т !,- соз В,

Л' = —зт!, соз!,

созВ, соз!, соз В, Зт!, ЗтВ,

3. Пользуясь формулами (32), вычисляют пространственные топо-

центрические горизонтные прямоугольные координаты точек С?| и фг

" Х'г '

Хч.

—

~х\'

х, -

У'2 Уч-Ух

У, - У2

. К

(0 М - 2. .

_2] .

(Ч

- 21 - 2г_

4. По формулам (35) и (36) вычисляют пространственные топо-

центрические горизонтные сферические координаты

5 = У*1

+П

+ 21

= У^+У2

+ 2'

;

с1§ 2,2 = гу-^/х? + У

; с(§ 22! = 21/7^41^

Как видно, решения прямой и обратной геодезических задач состоят

из элементарных операций преобразования пространственных коорди-

нат, выполняемых на ЭВМ с любой заданной точностью.

1.9. ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ ОРБИТЫ.

ОРБИТАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ

Элементы орбиты представляют собой параметры, характеризующие

положение орбиты в пространстве, ее форму и размеры, а также поло-

жение небесного объекта на орбите.

Элементы орбиты удобно задать относительно координатной пло-

скости Оху, проходящей через центр масс Земли и точку весеннего рав-

ноденствия у (рис.6). Прямая ЙОЙ', по которой пересекаются коорди-

натная -плоскость Оху и плоскость орбиты, называется линией узлов.

Когда движение объекта происходит против часовой стрелки, если

смотреть из полюса орбиты Рточка й называется восходящим узлом,

а точка О' — нисходящим узлом. Дуга большого круга уй, обозна-

чаемая через Я, называется долготой восходящего узла или просто

долготой узла. Дуга большого круга РР^ или угол, под которым пло-

скость орбиты пересекает координатную плоскость Оху, называется

наклонением орбиты и обозначается через Дуга большого круга 4Ш,

обозначаемая через т, называется угловым расстоянием перигея П от

узла (аргументом перигея). Форма и размеры орбиты задаются экс-

центриситетом е и большой полуосью а. Углы й, г определяют поло-

жение плоскости орбиты относительно основной координатной плоско-

сти, а угол

хш

— ориентацию орбиты в этой плоскости. Для определе-

ния положения небесного объекта 5« на орбите вводится шестой эле-

мент т — момент прохождения небесного объекта через точку пери-

гея П.

Заметим, что положение небесного объекта в плоскости орбиты

(см. рис. 6) можно задать полярными координатами относительно ли-

нии узлов: углом и, называемым аргументом широты, и геоцентриче-

ским радиусом г небесного объекта.