Машимов М.М. Геодезия.Теоретическая геодезия

Подождите немного. Документ загружается.

точек М^г, ф, X.) с фиксированными весами р°, используя уравнения

моментов инерции планетарного тела (см. раздел 2.6) и определения

ускорения силы притяжения. При этом на основе физических данных и

изучения экстремальных свойств исходного потенциала I) можно сфор-

мулировать ограничительные условия для координат точечных масс.

Таким образом, задача о потенциале N точечных масс может быть ре-

шена методом наименьших квадратов групповыми итерациями. В первой

группе отыскиваются веса р/, а во второй группе — планетоцентрические

координаты точек М;. Групповые итерации продолжаются до тех пор,

пока не будет достигнута необходимая точность в решении линейных

уравнений в каждой группе.

Вычисленные значения ускорения силы притяжения по гравитацион-

ной модели планетарного тела сильно сглажены и отражают усреднен-

ную характеристику окрестности некоторой точки, тогда как измеренное

значение ускорения силы притяжения точки представляет дискретную

характеристику. Для планетарной модели целесообразно использовать

сглаженные значения ускорения силы притяжения, исправленные за

рельеф окрестности точки.

После того как зафиксирована математическая модель планетарных

точечных масс, удовлетворяющая четырем условиям (см. раздел 2.5),

можно приступать к улучшению ее в деталях по данным каждого региона

планеты и прецизионным наблюдениям наземных и околоземных косми-

ческих объектов. Планетарное ядро точечных масс, установленное на

эпоху, для планетарных задач должно быть стабильным.

2.10. УРАВНЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛ ПРИТЯЖЕНИЯ

ТОЧЕЧНЫХ МАСС

Гравитационное ускорение потенциала О в формуле (181) двух

неподвижных точечных масс определим по координатным осям

о X о У о с 2.

ёх=—8 —

8У=—8 —

;

8г——8 — ,

где

* = -7г[ 2 (»+1)(Т

)"'-'

(5ТФ)]. (188)

Составляющие ускорения потенциала притяжения точечной массы

68Х, = -68! ; -681 ^^; Ьег, = -881 . (189)

Р< Р/ Р/

где

88, = Щ-Р,. (190)

Р/

Результирующее планетоцеитрическое гравитационное ускорение

всего множества точечных масс

г =й+2в*|С08Ч>,, (191)

; = з

С05 =

х(х-х

)+у(у-у

)+2(г-г

)

сопоставляется со значением ускорения ц, потенциала притяжения, из-

меренным или вычисленным по модели внешнего гравитационного поля

планетарного тела.

В правой части уравнения (191) сумма элементарных ускорений по

величине почти в 10

раз меньше, чем гравитационное ускорение

Поэтому уравнение для точечных масс выгодно составлять как диффе-

ренциальное соотношение

2 6^05^.= ё,-е, (192)

1 = 3

где [>г — планетоцеитрическое гравитационное ускорение, вычисляемое

по модели внешнего гравитационного поля или измеренным значениям

ускорения потенциала притяжения планеты.

Имея разложения потенциала притяжения V планетарного тела по

сферическим гармоникам, гравитационное ускорение вычислим по фор-

муле

^со8(В-ф)= — ди/дг, (193)

где

Г 1-5 (Т

лт

со*тХ +

= 2

т = 0

+ КптВ'т тХ)Рпт(&т ф) ^ ; (194)

8 и §

— ускорение силы притяжения и его проекция на планетоцентри-

ческий радиус.

Измеренное значение ускорения силы притяжения § можно проеци-

ровать на планетоцентрический радиус по формуле (193). При совмест-

ном использовании измеренных и вычисленных значений ускорения силы

притяжения нужно вводить соответствующие веса. Заметим, что значе-

ния ускорения, измеренные с точностью до 0,001 см-с

-2

, можно считать

безошибочными, так как вычисленные ускорения по моделям потенциала

пока не имеют такой точности.

3. ТЕОРИЯ ВРАЩЕНИЯ И ДИНАМИЧЕСКОЙ

ФИГУРЫ ЗЕМЛИ

3.1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ВРАЩЕНИЯ ЗЕМЛИ

ВОКРУГ ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ

3.1.1. Принципиальные установки

Элементарную теорию вращения Земли будем строить из предполо-

жения, что Земля — абсолютно твердое тело, т. е. расстояния между

любыми ее точечными массами остаются постоянными и вся она пол-

ностью заполнена массами. Абсолютно твердое тело не деформируется

под влиянием внешних и внутренних сил и служит идеальной механи-

ческой моделью, тем более подходящей для Земли, чем меньше она

деформируется (в действительности, Земля деформируется). Под дей-

ствием внешних и внутренних сил в теле, на поверхности и в воздушной

оболочке Земли массы перемещаются. Эти перемещения не удается

предсказать и точно оценить их влияние на вращение Земли. Поэтому

целесообразно в идеальные данные, вычисленные по законам вращения

абсолютно твердого тела, вводить поправки за перемещение масс. Опре-

деление этих поправок потребует привлечения геофизических гипотез

внутреннего строения Земли и сравнения поведения идеальной модели

абсолютно твердой Земли с астрономо-геодезическими и геофизическими

наблюдениями. Из экспериментальных данных, определяемых как раз-

ности измеренных и идеальных параметров вращения Земли, известно,

что эти расхождения незначительные, поэтому в первом приближении

допустимо применение модели абсолютно твердой Земли.

Движение Земли представим как совокупность двух движений: по-

ступательного движения ее центра масс вокруг Солнца и вращательно-

го около неподвижной точки. Зависимость движения Земли как единого

твердого тела от действующих на нее сил будем изучать, используя

законы механики в приложении к точечным массам, в совокупности

составляющим Землю. Считая Землю системой точечных масс т,- (< = 1,

2 я), будем рассматривать все внешние Р, и внутренние силы,

действующие на каждую из них, суммировать отдельные дифференци-

альные уравнения движения. При суммировании эффект внутренних сил

притяжения, попарно равных по величине и противоположных по на-

правлению, будет исключен полностью. Внешние силы эквивалентно за-

меним результирующим вектором, приложенным к центру масс Земли,

а сумму моментов всех внешних сил относительно центра масс — момен-

том одной пары сил. Результирующий вектор обусловливает орбитальное

движение, а результирующий момент — вращение Земли вокруг ее цент-

ра масс. При этом будем учитывать моменты инерции Земли, представ-

ляющие ее фундаментальные параметры и характеризующие кинетиче-

ский момент Земли, вращающейся с угловой скоростью м около непо-

движной точки.

Оба вида движения Земли в высшей степени сложны. Орбитальное

движение постоянно возмущается притяжением других тел Солнечной

системы. Вращение Земли около неподвижной точки возмущается при-

тяжением Солнца, Луны и планет, несовпадением мгновенной оси вра-

щения Земли с главными осями ее инерции, большими неоднородностя-

ми плотностей и перемещением масс в теле Земли, движением масс на

поверхности и в ее атмосфере.

Орбитальное движение Земли не зависит от ее вращения около непо-

движной точки, в то время как вращательное движение зависит от поло-

жения Земли относительно Солнца, Луны и планет. Поэтому вращение

Земли будем отделять от ее поступательного движения, изучая его само-

стоятельно. Кроме того, для упрощения за неподвижную точку, около

которой вращается Земля, примем центр ее масс, хотя он не занимает

постоянного положения из-за перемещения масс Земли.

В абсолютно твердой Земле центр масс представляет собой точку,

не имеющую движения, а все остальные точки вращаются вокруг мгно-

венной оси, проходящей через центр масс. Геометрическим местом по-

следовательных положений мгновенной оси вращения в теле Земли

является конус с вершиной в неподвижной точке.

Прежде чем приступить к изложению элементарной теории враще-

ния Земли, перечислим основные положения механики твердого тела.

.').1.2. Главные векторы и момент внешних сил

Если Р„ (г = 1, 2, ..., п) — внешние и внутренние силы, действую-

щие на точки системы, то их главным вектором называется вектор,

равный сумме векторов

Векторы Р,-, Р* попарно приложены к разным точкам. Вектор Р —

' нободный, он может быть приложен к любой точке. Для этого надо к

некоторой точке О приложить векторы, коллинеарные и равные векторам

Г,', Р,-, и сложить их. По третьему закону механики силы взаимодействия

•тух материальных точек твердого тела всегда равны по величине и

противоположны по направлению. Поэтому главный вектор всех внут-

ренних сил притяжения всегда равен нулю. Следовательно главный

ш'ктор системы равен главному вектору внешних сил, т. е.

Моментом силы Р; (Р;) относительно полюса О называется вектор,

•шределяемый векторным произведением

к* г — радиус-вектор, проведенный ьз полюса О к точке г приложения

п,'1Ы.

(195)

I - 2 г-

(196)

Мщ

Г;

х Р<; Мо, =

Г,

х р„

(197)

Рис. 12. Геометрия трех векторов

Главным моментом Мо сил относительно полюса О называется сумма

векторов

Мо = 2

Мм

+ 2 Лм-

Внутренние силы входят только попарно. Поэтому сумма моментов

внутренних сил 2 равна нулю. В действительности (рис. 12) имеем

1*1

X Р12+Г2Х

1*21

(Г2 —

Г 1)1*21 = Г,

1*21

= О,

так как векторы Г12 и ^21 коллинеарны. Таким образом, главный момент

всех сил системы равен сумме моментов внешних сил

Мо=2 г,-ХР,-. (198)

3.1.3. Количество движения системы

Количеством движения системы называется вектор

О = 2 О, = 2 ««V,. (199)

В соответствии со вторым законом механики

0 = 2 = 2

т. е.

0 = Р. (200)

Уравнение (200) читается так: производная от количества движения

по времени равна главному вектору всех действующих на систему внеш-

них сил.

Если результирующий вектор внешних сил меняется во времени, то

уравнение (200) вычисляется на каждую эпоху.

Если система замкнута, т. е. на систему не действуют внешние силы,

то 0 = 0. Следовательно

= сопз1. (201)

При движении замкнутой системы количество движения системы оста

ется постоянным. Это утверждение справедливо и для системы, на кото-

рую результирующее воздействие внешних сил равно нулю.

3.1.4. Центр инерции системы

Центром инерции системы называется точка пространства С, опре-

деляемая вектором

г с=— . (202)

2 "»<

Центром тяжести называется точка О пространства, определяемая

другим вектором

<г<

= — . (203)

В частном случае для тела, находящегося в однородном поле тя-

жести (8 = сопз1), центр тяжести совпадает с центром инерции. Мы

будем пользоваться центром инерции, часто называя его центром масс.

Дифференцируя правые и левые части уравнения (202) по времени,

получим

О = Мус, (204)

где М = 2

' — масса всего тела. Это выражение читается так: коли-

чество движения системы равно массе системы, умноженной на скорость

ее центра инерции.

С учетом (200) и (204) имеем

Мус = Р. (205)

Последнее уравнение представляет теорему о движении центра масс.

Центр масс системы движется так, как двигалась бы материальная

точка с массой, равной массе системы и помещенная в центре масс, если

бы к ней был приложен главный вектор Р всех внешних сил, дей-

ствующих на систему. У замкнутой системы Р = 0. Поэтому центр ее

масс движется с постоянной скоростью.

Если практически пренебречь притяжением звезд, то Солнечная си-

стема представляет замкнутую систему. Следовательно центр ее масс

будет двигаться прямолинейно и равномерно относительно далеких

шезд. Система координат с началом в центре масс Солнечной системы,

оси которой ориентированы по далеким неподвижным звездам, является

высокоточной инерциальной системой относительно таких звезд. Однако

она не строго инерциальна, так как внешние силы действуют и поэтому

Солнечная система, обращаясь вокруг центра Галактики, имеет нерав-

номерное движение. Эта нестрогость пренебрегаемо мала по сравнению

с точностями измерений в практике геодезии. В перспективе, когда в

и-одезии повысится точность измерений на один-два порядка, потребует-

ся оценка неинерциальности гелиоцентрической системы координат.

Геоцентрическая система координат, оси которой ориентируются по

неподвижным звездам, будет квазиинерциальной, так как начало ее име-

ет годовое вращение относительно Солнца. Однако во многих случаях

можно пренебречь квазиинерциальностью геоцентрической системы.

Ясно, когда мы стремимся получить предельно достижимые точности,

тогда с учетом ее квазиинерциальности, следует вводить соответствую-

щие поправки в результаты вычислений.

3.1.5. Кинетический момент системы

Кинетическим моментом системы относительно полюса О называется

сумма моментов количества движения системы

Ко =

го,

X туо,. (206)

Преобразуем это уравнение, введя центр масс С. Из рис. 13 следует

Го,.

= г

+г

(

, (207)

откуда

V»—у

+ у,-. (208)

Подставив выражения (207) и (208) в формулу (206), получим

Ко= 2(<"с+г,)Х(Уг;+У

(

)/п,'.

Раскроем скобки

Ко= 2(

сХ т,Ус)+ 2(гсХ тм)+ 2>,Х т,у

) + 2(

.Х т<\,).

Первый член правой части этого уравнения можно представить так

2(гсХт,

Ус)

= т

X Мус-

Второй и третий члены равны нулю, ибо по определению центра масс,

г'

—0, следовательно 2т,т, = УИгс=0.

Кинетический момент Системы

Ко= ГсХ Мус+ 2 (

'Х ту г)- (209)

Уравнение (209) выражает теорему: кинетический момент системы

относительно неподвижного полюса равен моменту количества движения

центра масс относительно полюса в предположении, что в нем сосредото-

чена масса всей системы, сложенному с кинетическим моментом системы

относительно центра масс.

Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения Е

есть сумма моментов количества движения всех точек тела относительно

этой оси

Кё= 2г,Хш,у„

Рис. 13. Сумма трех векторов

Радиус-вектор и скорость — ортогональные векторы. По определению,

круговая скорость по модулю равна у, = г,ш. Следовательно, кинетиче-

ский момент твердого тела относительно оси вращения по модулю равен

Величина 2 равная сумме произведения массы каждой точки тела

на квадрат расстояния до некоторой оси, есть момент инерции отно-

сительно этой оси. Таким образом,

(210)

Запишем дифференциальные уравнения движения системы п материаль-

ных точек

т,г,= Р,хР„ /=1,2 я,

где Р, и Р, — внешние и внутренние силы, действующие на систему.

Умножим обе части этого уравнения векторно слева на соответствую-

щий радиус-вектор и сложим

2 (г, X /в,г,) = 2

(Г|

X р/) + 2 (Г/ X Ъ).

Главный момент внутренних сил равен нулю. В правой части остается

главный момент внешних сил, т. е.

2(Г,Х/П,?)=2(Г

ХР,). (211)

Каждый член левой части этого уравнения представим

г, X т,г, = -^-(г, X т.-г,).

В справедливости этой записи нетрудно убедиться, выполнив дифферен-

цирование. Выражение, стоящее под знаком производной, есть кинетиче-

ский момент точки с массой т, относительно полюса. Обозначим его

через Ко и получим уравнение (211) в виде

К[о=Мо. (212)

Уравнение (212) выражает теорему об изменении кинетического момента

системы: производная по времени от кинетического момента системы

относительно неподвижной точки равна главному моменту всех внешних

сил, действующих на систему, относительно той же неподвижной точки.

Для замкнутой системы

Мо

= 0. В этом случае Ко=соп8{. Для замкну-

той системы ее кинетический момент есть величина постоянная.

3.1.6. Вращение твердого тела вокруг

неподвижной оси. Условие чистого вращения Земли

Кинематика вращения тела представлена на рис. 14. Действие внеш-

них сил обозначены векторами Р\, Р?,..., Р

, а силы реакции опоры на двух

неподвижных точках О к Р. Применим теорему об изменении количества

движения

Рис. 14. Внешние силы и силы реакции

на опорах

2 О+Р + Р (213)

Проектируя обе части равенства (213) на координатные оси, получим три

скалярных уравнения

-^-2 т#=О

+ Р

;

<И

2 т

у=0

+ Р

+Р

;

-^-2 т,г = О

+ Р

(214)

Применяя теорему о кинетическом моменте и опуская индексы, получим

-^2(г.Хт,у,) = г

Х Р + М.

Имея в виду, что

Х Р

(215)

1 1 к

0 0 Гр

Рх Ру Рг

и проектируя обе части равенства (215) на координатные оси, получим

еще три скалярных уравнения

>{У2

—

21/),•

—

Ру + М

;

2 т{гх — хг), — г

+ М

2 т{ху — ух)г-

(216)

Выразим в уравнениях (214) и (216) все производные от координат через

угловую скорость со и угловое ускорение со. Запишем следующие соотно-

шения:

х=гсозХ,; х=—уш; х——леи

—

</<о;

у=г51пЯ,; у=хт; у=—уш

-\-хо>;

2=СОП$1. 2=0. 2 = 0. (217)

Подставляя значения производных (217) в уравнения (214), (216) и за-

мечая, что

2 «Л

Мх

; 2 —

Ус> 2

(У& =

2 т 121X1 —Е\ 2

(

< + У') = С,

получим

—со

Мх

— Шуе = О

+ Р

;

—ш

Мус — (оМхс = 0

+ Р

= О

+Р

+ Р

;

о)

Й —

и>Е

= — г

Ру + М

—ш

Е — шй = + М^;

шС—Мг. (218)

Последнее уравнение системы (218), не содержащее реакцию опор,

следует также из уравнений (210) и (212). В действительности момент

С = 1

— величина постоянная, а производная составляет

=ыс=м

Проинтегрируем это уравнение и определим м и угол X как функции вре-

мени.

В левых частях уравнений, содержащих реакцию опор, примем

<о

о)

= 0. Тогда они примут вид обычных уравнений статики и будут опре-

делять статические реакции.

Реакции при вращении твердого тела будем называть динамическими.

Найдем условия, при которых они остаются равными статическим, т. е.

когда вращение не вызывает добавочных давлений на ось. Для соблюде-

ния этих условий необходимо и достаточно, чтобы левые части уравнений

(218), содержащие реакции, равнялись нулю, т. е.

<о

-\-шу

— 0; <о

0 — шЕ = 0;

Однородные уравнения (219), определитель которых отличен от нуля,

имеют тривиальное решение

Из этих результатов следует, что при вращении твердого тела не возни-

кает добавочных давлений на ось вращения, если осью вращения явля-

ется одна из главных центральных осей инерции.

Допустим, что на тело не действуют внешние силы и оно вращается

свободно вокруг постоянной оси. Тогда все силы реакции и моменты

внешних сил равны нулю. Из уравнений (218) следует, что чистое враще-

ние твердого тела возможно только вокруг одной из своих главных цент-

ральных осей инерции. Твердое тело, вращающееся вокруг одной своей

ых

— <о

=0; шО-{-ш

Е = 0.

(219)

=у

= 0; 0 = Е= 0.

(220)