Машимов М.М. Геодезия.Теоретическая геодезия

Подождите немного. Документ загружается.

Заменив в последней формуле декартовы координаты полярными

(124), после несложных преобразований получим

Уз = ЯЗО(С

о1 + С021) (381П ф —5з1П

ф) +45(Сю2СОЗ Х.+ (/0128т к)Х

X (5зт

ф— 1)со8 ф + 90((С201 — //

2|)соз 2А.+ (У

зт 2Х)зт фсоз

ф —

- 15((4//,20 + //

2)со8 3А,— (4//2ю+//

|2)зтЗЯ,)со8

ф]/180л

. (135)

В разложениях потенциалов У? (131) и Уз (135) гармонические ко-

эффициенты представляют линейные комбинации моментов инерции

вычисляемые по формулам (128) и (132). Изучая закономерность

построения этих формул, замечаем, что их можно представить в матрич-

ной форме

= А

1п, (136)

где матрица А„ представляет симметричную клеточно-диагональную,

состоящую из 4 симметричных матриц А

о, А„, — Л„

= А„з, т. е.

Л„ = {Л„о, А

(1= 1, 2, 3)}. (137)

Из формул (128) с учетом (136) и (137) следует, что

2 -1

-1 2

-1 —1

; А*= 1,

(138)

если гармонические коэффициенты (моменты инерции) составлены в

последовательности С2//2 (200, 020, 002, 110, 101, 011), принятой в

формулах (128).

Матрица А

имеет размеры 6X6 и ранг г = 5. Для потенциала

(135), если гармонические коэффициенты (моменты инерции) составить

в той последовательности, как это принято в формулах (132), то матри-

ца Аз (10Х Ю) будет состоять из 4 клеточно-диагональных матриц

Лзо = 15;

А31

= -у

2 —3 -3

-3 12 -3

—3 —3 12

(139)

При этом ранг матрицы Аз будет г =7.

Выполнив необходимые расчеты с учетом формул (113), (116),

(125), (131), (135), (138) и (139), получим выражения для потенциалов

притяжения У а (п = 0, 1, 2, 3) в виде

= [М/г; У,= --^Ц-^-) [/

з1пф+(/пС08А.+ /Сп5т\)созф];

= —*^(-^)

[-^(Звт

ф-1)/

+ Зз1п фС08ф(/

1С08Я, + Л;2|Зт\) +

+ Зсоз

ф(/

соз 2Х.+ /С2281П ;

Уз=--^-(-у-) — Ззт ф)/

+ (5зт

ф — 1 )соз ф X

Х(/З1С05 /СЗ131П к) + 15зШ фСОЗ

ф(/згС08 2А. + /СЗ251П 2Х) + 5С08

ФХ

Х(/ззСозЗХ + Кзз81пЗХ,)], (140)

где 1\а

М — — /ооь 1\\а

М = —/юо; К\\а

М — —1

ю;

М = —/оо2+-у/о2о+-^-/гоо;

/21

аШ = —/101;

К21

М = —/он;

/гга

М = -^-(/020-/200); Каа

М = —^-/ио;

3 3

/з а

М =

—/003

-2-/201

/021;

1Я?М = —

/102

+ (/зоо + /120); Кз\й

М = — /

|2 + (/озо + 1цо);

1ыа

М = -^-(/021-/201); /Сз2=—гр/ш; (141)

/зза^М = -^-(3/

о-/зоо); Кзза

еМ = —-±-(3/

,о-/озо).

Безразмерные гармонические коэффициенты 1

пт

и помноженные

на а"М (где а

— экваториальный радиус; М — масса планетарного

тела), называются стоксовыми постоянными.

В монографии [11] операции, подобные (123) — (141), выполнены

для потенциалов более высоких порядков. В прил. 1 и 2 представлены

коэффициенты а

№

, р

р<

(р +

+ 5 = я), с помощью которых можно вы-

числить гармонические коэффициенты 1

пт

, Кпт по формулам

[птЯеМ — 2

Ырцв?

(142)

подставляя известные значения моментов инерции /

М5

планетарного

тела.

Формулы (141) и коэффициенты а

, (прил. 1, 2) получены

путем преобразования декартовых координат и, V, ли в полярные коорди-

наты г, ф, А, и замены гармонических коэффициентов С1

на моменты

инерции /

(136). Г. А. Мещеряков и М. М. Фыс предложили оригиналь-

ный способ раскрытия сумм (142). Однако приведенные ими формулы

для вычисления коэффициентов а

№

и р

имеют погрешности, обуслов-

ленные неполным учетом связей в матрице преобразования А„ (136).

Ошибки в вычислениях коэффициентов а

№

и $

ря$

появляются при л>5

и число их растет по мере возрастания степени п разложения потен-

циала притяжения.

Формулы для вычисления а

^ и строго учитывающие все эле-

менты матрицы А„ в выражении (136), имеют вид

О, если з>(п — т), или (п — т — з) — нечетное, или (р — т) —

нечетное, или если рФ21 — 2\-{-т для всех 0</<!

/Ш\Г (2л)! (2 п)\(п-т)\

V Р Л 2> + т)!л!

2"(2п- 1)!!(я + т)!п! *=|

(

1)М(я-т-2/е)! ] '

есЛИ

* = Р<

> (А»-") - четное;

(2п)\(п

—

т)! у, (2л— 2к 1)!! /к\

(п + т)!2»(2п-1)!1/«!

' (2к)!!(п -т-2*)!

/ /

р=2«-2Л-т 1\ /т\

х 2 (—1)'( .)( ), если 5<(л — т), (р — т) — четное,

о<></

' '

о<;<е(5-) (143)

О, если 5>(л —/л), или (л

—

т —

— нечетное, или (р — т) —

четное, или р Ф

— 2/ + т—

для всех 0</<т

—

(ЧР)

Р / I. 2"(л + т)!л! ' 2"(2л— !)!!(" + т)!л!

(2к)\\(п

—

2к)\ ]'

еСЛИ 5

(Р-«)- нечетное;

/ш\Г (2л)! (2п)!(я от)! ^ п**

Р / I 2"(л + т)!л! 2"(2л- 1)!!(л + т)!л!

(2п

—

2к—

1)!!

. (2п)!(п

— /я)!

» (2я —2*— 1)Н

(л + от)!2"(2л-1)!!л!

' (2А)!!(л -т-2к)\ \ I )

р = 21 - 2/ + т -

X 2 у (2/+

если 5<

(

п — — т

)

—

нечет-

ное, (144)

. „/

п — т —

5\ „ /1 при т = 0

где /«=Е( б = |

2 при т 0

Заметим, что коэффициент а

РЧ8

при значениях степени первой коор-

динаты р— 2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, 18, 19, 22, 23... меняет знак на

противоположный. Кроме того, последняя сумма в формуле (144)

вычисляется следующим образом

р = 2/-2/ + И-

/1\ /

2 (-1)'( )(

/" ,),еели т>2.

С помощью формул (142)—(145) для гармонических коэффициентов

1пт, Кпт можно получить разложения относительно моментов инерции

любой степени.

Полученные разложения потенциала притяжения и уравнения, свя-

зывающие гармонические коэффициенты потенциала и моменты инерции

планетарного тела, можно использовать для изучения распределения

масс в планетарном теле, моделирования его внутреннего строения,

изучения гравитационной и динамической фигур Земли и других планет,

перемещения центра масс и движения полюсов, ряда планетодинами-

ческих явлений.

Модель внутреннего строения Земли не только имеет геофизическое

значение, но она необходима в геодезии для строгого решения редукци-

онных задач, построения уровенных поверхностей силы притяжения и

тяжести, для представления массы планетарных тел точечными масса-

ми. Последняя нетрадиционная для геодезии задача все более выдвига-

ется на передний план, во-первых, из-за потребностей повседневной

практики прогнозирования движения космических объектов и необходи-

мости для этой цели иметь различные референцные модели внешнего

гравитационного поля планетарных тел; во-вторых, из-за актуальности

проблемы создания общей теории Земли, которая может быть исполь-

зована при изучении других планет Солнечной системы.

Если известно внутреннее строение планетарного тела, то по форму-

ле (127) можно вычислить моменты инерции и затем с помощью

выражений (142) — (145)—гармонические коэффициенты 1„

и Кпт

(п = р + д + з).

Имея список гармонических коэффициентов /„

, Кпт, можно вычис-

лить потенциалы притяжения планетарного тела Ун (к = 0, 1, 2, ... , л).

Если для множества точек пространства известны потенциалы при-

тяжения планетарного тела, то по формулам типа (140) и (141) можно

вычислить моменты инерции /

(р-\-д-\-з = л). Например, для вычисле-

ния 10 моментов инерции третьего порядка необходимо знать значения

для 10 точек пространства с координатами /•„ ф„ А,, (/= 1, 2, ..., 10).

На практике следует иметь число точек Л/>10. В этом случае несов-

местная система линейных уравнений (140) решается методом наимень-

ших квадратов и определяются 10 моментов инерции третьего порядка

с соответствующими оценками их точности и тесноты корреляции.

Если известны первые гармонические коэффициенты, то известны и

координаты центра инерции. В действительности

/оо| = тМ — —а

М1\\

ы>о

— —а

1 ь

/ою == коМ = — а

МК\й Vо=— а

Ки;

/юо = иоМ = — а

М1\\\ м

=— а«./ц.

Преобразуя формулы (141) для вторых моментов, получим

/аоо

— /ого

= — 4/

а«Л1; /

оо

— /002

= (/г —2/

2)а?М;

/020-/020= (/2 + 2/22КМ; /,,0= -2К22П

еМ; (146)

/|01 == —12\а

М\ /он = —К

\а

еМ.

Введем моменты инерции относительно осей координат

А — и)

)Ат\ О =

\^>и>с1т;

В=^(й

+ й)

)йт- Е=^йй>с1т; (147)

С=^(й

+ ?)с1т-, Р=\^йЫт.

Пользуясь выражениями (143) и (144), получим формулы для мо-

ментов инерции А, В, С, О, Е, Р, выраженные через безразмерные

коэффициенты

С —А = (/

-2/

)А?Л1; С-В = (/

+ 2/

)А?Л1;

О = —Кг\а]М\ Е= -1^а

М; Р = -2К

Л1; Л-В=4/

а?М. (148)

Введя параметр динамического сжатия

// = (с-^±^-)/с (149)

для моментов инерции относительно осей и, V, ш, получим

С = а

М1

/Н; В—С(\—Н — 2///

);

Л = С(1 —Н + 2///

). (150)

Сравнивая формулы (140), (141), (143) и (145), получим выраже-

ние

= Д-[

2С

~И +

) (1 _Зз1п

ф) + 3(Ясо5

+ А,)з1п фсоз

1.^^1±со5

2Х

+ /

-5т2х)со5

ф] (151)

для потенциала второго порядка У

относительно моментов инерции

Л, В, С, О, Я и Р.

2.4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПРИТЯЖЕНИЯ

ПЛАНЕТАРНОГО ТЕЛА ЧЕРЕЗ ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ

ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ ЛЕЖАНДРА

Введем функцию Лежандра Р

т{\л)—лежандриан степени п и по-

рядка т, вычисляемую с помощью формулы

Р„тЫ= сов"

ф; ц = 5Шф. (152)

ац

Для частного случая т — 0 лежандрианы нулевого порядка явля-

ются функциями синуса геоцентрической широты различных степеней и,

вычисленные по формуле (115), в зависимости от степени п имеют сле-

дующие значения:

/>0=1; Р, = ц; Р

= -±-(Зц

-!); Р

— ~^(5ц

— Зц);

= (35ц

- 30ц

+ 3); /'5=4" (

х5

а3

;

= -±- (462ц

- 630ц

+ 21 Оц

- 10);

= 4г (858ц

- 1386ц

+ 630ц

- 70ц); (153)

= ' (6435ц

- 12 012ц

+ 6930ц

- 1260ц

+ 35);

1 ^о

= _1_(12 155ц

-25 740ц

+ 18 018ц

-4620ц

+ 315ц);

12о

= ' (46 189ц

- 109 395ц

+ 90 090ц

—

30 030ц

+ 3465ц

-63).

Присоединенные функции Лежандра Р„

(ц) при тФ 0 получим

последовательным дифференцированием лежандрианов нулевого поряд-

ка (153) по формуле (152). Ниже приводятся значения присоединен-

ных функций Лежандра до 10 порядка в функции косинуса и синуса

геоцентрической широты:

Р1.1 = со5(р; />2.| = Зцсоз ф; Р

.2 = Зсоз

ф;

Рзл —

-2"

(5ц

— 1)соз ф; Р

.2 = 15цсоз

ф; Рз.з = 15соз

ф;

5 15

РАЛ = — Ц(7Ц

—3)СОЗ ф; Р

.2 = — (7ц

—

1)соз

ф;

= Ю5цсоз

ф; Р

ч= 105соз

ф;

= ^(21Ц

-14Ц

+1)СОЗФ;

.2 = -12! ц(3ц

)соз

; Р

.з = (9ц

)соз

;

.4 = 945цсоз

ф; Р5.5 = 945соз

ф;

., = 21 ц(33ц

- 30ц

+ 5)соз ф; Р

6 2

= (33ц

- 18ц

)соз

<р;

О О

Рб.з = ц( 11Ц

- 3)соз

; Р

= (11 ц

)

оз

<р;

Рб.

= 10 395цсоз

ф; Р

.6= Ю395соз

ф;

= -1_(429Ц

—

495Ц

+ 135ц

—

5)соз ф;

7 2

= ц( 143ц

Оц

+ 15)соз

ф;

= (143ц

- 66|А

+ 3)соз

Ф; Р

7А

= ц(

Зц

- 3)соз

;

=-^2|^-(13Ц

-1)СОЗ

Ф;

= 135 135цсоз

ф; Р?.? = 135 135соз

ф;

, = -1- ц(715ц

- 1001 ц

+ 385ц

- 35)соз ф;

8 2

= (143ц

- 143ц

+ 33ц

-1 )соз

;

Раз = ц(39ц

- 26ц

+ 3)соз

ф;

8 4

= (65ц

- 26ц

)соз

; />

= ц(5ц

)соз

;

= -!^1(5ц

-1)соз

ф;

РВЛ

= 2 027 025цсоз

ф; Р».

= 2 027 025соз

ф;

= -А-(12 155ц

— 20 020ц

+ 10 010ц

— 1540ц

+ 35)соз ф;

= -11

(2431

— 3003ц

+ 1001ц

- 77ц)соз

ф;

з =

-5151(221

— 195ц

+ 39ц

)соз

ф;

10395

(221 ц

ЗОц

Зц)соз

135

(85Ц

- 30ц

)соз

;

= ЕЁ™.

(

, _

3ц)со5

ф;

9 у =

2 027 025

(

, _ , ^

9 8

= 34 459 425цсоз

ф; Р

= 34 459 425соз

ф;

Рюл = -т1-(46 189ц

-87 516ц

+ 54 054ц

- 12 012ц

+ 693ц)соз ф;

12о

102

= (46 189ц

- 68 068ц

+ 30 030ц

- 4004ц

+ 77)соз

12о

з = -11(46 189ц

— 51 051 ц

+ 15 015ц

- 1001 ц)соз

ф;

1(М

= (4199ц

— 3315ц

+ 585ц

— 13)соз

|05

= -11|Н1(4|99ц

-2210ц

+ 195ц)соз

ф;

/>,0.6 = -511™. (4199ц

- 1326ц

+ 39)соз

ее;

Р,0.7 =

' !

(4199ц

-663ц)со5

ф; Р

155 925

(4199ц

-221)со5

;

о 2

Р\о.э = 654 729 075цсоз

ф; Рю.ю = 654 729 О75соз

ф. (154)

Сравнивая формулы (140), (141) и (154), находим, что потенциал

планетарного тела можно представить через полярные координаты по

сферическим функциям Лежандра в форме

( — )" % (I

пт

со& тк+ Кпт$т тк)Р

т(ц)~\ . (155)

л=1

4 Г

' т=0 -I

Члены нулевого порядка /„/>„( ц) (т — 0) называются зональными

гармониками; остальные члены, для которых тф 0, называются незо-

нальными гармониками. Незональные гармоники подразделяются на

секториальные, если т = п, и тессеральные гармоники, если т Ф п.

Безразмерные величины /„ называются зональными гармоническими

коэффициентами, !„

и Кпт (т Ф 0) — незональными гармоническими

коэффи циента

и.

Таким образом, нами найдено обоснование разложения гармони-

ческой функции V по сферическим функциям. Гармонические коэффи-

циенты зависят от принятой системы координат, распределения масс в

планетарном теле и принятых масштабов — экваториального радиуса а

и массы М планетарного тела.

В некоторых случаях пользуются безразмерными коэффициентами

1'пт

= у +

К'1п,.

Тогда

/„«соз тк + КптЫп тк — Г

пт

соз т(к — к

пт

)', (156)

Шкпт

агс!^ К пт/Iпт-

Коэффициент Г

пт

имеет значение амплитуды, а к

пт

— фазы. Разло-

жение (152) через новые параметры будет представлено таким образом,

что

у = Г

пт

со& т(к-кпт)Рпт(11). (157)

С возрастанием порядка у сферических функций растут и числовые

коэффициенты. Это создает трудности в вычислениях. Поэтому вводят

множитель Ы

пт

, нормирующий элементарную сферическую функцию

таким образом, чтобы на поверхности сферы средняя величина ее квад-

рата была равна 1, т. е. нормирующий множитель должен удовлетворять

условию

Указанное условие удовлетворяется только тогда, когда

_,/ у(2л + 1) (п — т)\

Г V

= 1, если т~ 0,

(я + т)

, Ь = 2, если тфО.

(158)

Функции Лежандра Р

т(и), умноженные на норму N„

, называются

нормированными и помечаются чертой сверху Р

ят

(ц) = N

пт

(^^).

Если применять нормированные функции Р

пт

{\1), то гармонические

коэффициенты разложения 1

пт

, Кпт необходимо разделить на ту норму

N пт, на которую были умножены функции Лежандра. Если их тоже

пометить чертой сверху, то

Iпт ~~~ М~

пт

1пт»" Кпт — ли

* пт• (159)

Таким образом, формулу (155) напишем через нормированные ве-

личины

у = 2 (—)"(^со8шЯ. + К

пт

зттХ,)Р

пт

(ц)1. (160)

Значения коэффициентов г

ят

= у 2(1

М„ = ^2гГ+Т для

нормирования функции Лежандра до десятого порядка приведены в

табл. 1 и 2.

Нормированные функции Лежандра с помощью данных таблицы

следует вычислять по формулам

Р„(ц) = А^/уц);

Рпт{\1)

= Гп^

пт

(\и). (161)

Нормированные гармонические коэффициенты разложения соответ-

ственно будут вычислены по формулам

/л Мп 1п\ [цт^^Гпт^п Iпт* Кпт^^Гпт^п Кпт•

Часто, введя обозначения 1

пт

= —С

пт

, Кпт = —5

пт

, разложение

потенциала записывают в форме

\/ = Ж. Г

+ 2 (-—) 2 (С„,„со5 тА, + 5„

51п тЯ,)Р

пт

(ц)1. (163)

I я=Л

' т =

Если сферические функции нормированы, то

—)"2 (С

„С05 тХ + 8пт5\п гпЦР

т\(и) 1 (164)

л= Л

' т — 0 -»

Потенциал планетарного тела эллипсоидальной формы с массой М

всегда меньше потенциала шара такой же массы, т. е. У<(М/г. Поэто-

му наибольший гармонический коэффициент /

>0 (для Земли /

= 108263-Ю

-8

). Естественно, исходя из физической сущности потен-

циала притяжения планетарного тела, следует пользоваться разложе-

ниями (155) и (160), выведенными из условия /

>0.

Таблица 1

т = 1

т = 2 т = 3

1,000

ООО

2 1,732 050 807

3,464 101 615

2,449 489 742

7.745 966 692 18,973 665 96

4 3,162 277 660

13,416 407 66

50,199 601 59

5 3,872 983 346

20,493 901 53 100,399 203 1

6 4,582 575 694

28,982 753 49

173,896 520 9

5,291 502 622

38,884 444 19 274,954 541 6

8 6,000 ООО ООО

50,199 601 59

407,823 491 2

6,708 203 932 62,928 530 89

576,749 512 3

7,416 198 487 77,071 395 47

785,977 098 9

т = 4 т = 5

т = 6

141,985 914 7

425,957 744 3 1 346,996 659

6 952,470 471 9

4 467,482 512

15 475,813 38

1823,842 098 10 943,052 59

55 798,838 69

8 3158,987 179

22 779,780 50 147 629,850 6

5093,713 772 42 617,067 00

330 110,381 5

10 7780,776 310

73 814,925 32 660 220,763 0

т = 7

т = 8 т = 9

208 780,136 9

8 808 601,993 5

3 234 407,974

2287 071,811 13 335 805,71

56 579 031,91

5444 319,884

40 007 417,14 246 622 282,4

п т = 10

10 1 102 928 376

Таблица 2

Л/„

1 1,732 050 807

3,605 551 275

2,236 067 977 7

3,872 983 346

3 2,645 751 311

4,123 105 625

3,000 ООО ООО

9 4,358 898 943

5 3,316 624 790

4,582 575 694