Машимов М.М. Геодезия.Теоретическая геодезия

Подождите немного. Документ загружается.

Отрезок внешней нормали с1Н между двумя бесконечно близкими

уровенными поверхностями будет

(104)

Отсюда заключаем, что расстояние между двумя бесконечно близ-

кими уровенными поверхностями не остается постоянным из-за изме-

нения потенциальной силы § при переходе от одной точки к другой

точке уровенной поверхности. В частном случае это расстояние по-

стоянно только для двух сферических уровенных поверхностей.

Кривые, касательные к которым во всех точках совпадают с направ-

лением потенциальной силы, называются силовыми линиями. Силовые

линии, по определению, пересекают все уровенные поверхности ортого-

нально.

Отрезок силовой линии между двумя уровенными поверхностями

И?о=С1 и — Сг можно найти, интегрируя выражение (104),

С,-С

=5 ё<1к. (105)

Таким образом, зная разность потенциалов между двумя уровен-

ными поверхностями, можно определить отрезок силовой линии, заклю-

ченный между этими поверхностями, т. е. высоту одной уровенной по-

верхности относительно другой.

1.21. НЕСТАЦИОНАРНОЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

Мы до сих пор рассматривали стационарное потенциальное поле.

В действительности все планетарные тела имеют нестационарные по-

тенциальные поля, изменяющиеся во времени. Например, Земля притя-

гивается другими небесными телами, в первую очередь Солнцем и

Луной. Притяжение изменяется во времени из-за периодического изме-

нения направления и расстояний до этих небесных тел. Основным полем

внешнего притяжения является поле притяжения Солнца. Для сравне-

ния напомним, что притяжение Земли Меркурием не превосходит

ООО ООО,

Марсом —

/800 000, Венерой —

/32 000, Юпитером —

1/16 000 доли солнечного притяжения.

Земля не абсолютно твердое тело, поэтому она под влиянием дей-

ствующих на нее сил деформируется. Приливное движение твердой и

водной оболочки, движение земной коры и литосферных плит, дрейф

континентов, изменения береговых линий и уровня океанов и морей —

это не полный перечень изменений фигуры Земли. Эти и другие дефор-

мации Земли вызывают возмущения потенциального поля вследствие

переноса масс с одной уровенной поверхности на другую и изменения

их взаимного расположения.

Движение полюсов и неравномерность вращения Земли, сезонные

атмосферные явления континентального и планетарного масштабов

тоже изменяют параметры потенциального поля.

Нестационарность потенциального поля особенно заметна при

изучении околоземных уровенных поверхностей, представляющих наи-

больший интерес для практики.

1.22. ГЕОИД

В теоретических исследованиях целесообразно иметь уровенную

поверхность, которая была бы внешней по отношению ко всем притяги-

вающим массам и менее чувствительной к незначительным вариациям

параметров гравитационного поля Земли. Только для такой уровенной

поверхности справедлива теорема Стокса, утверждающая, что если дана

уровенная поверхность а потенциала силы тяжести массы М, заклю-

ченной внутри нее и вращающейся с постоянной угловой скоростью

вокруг неизменной оси, то ускорение силы тяжести в любой точке уро-

венной поверхности а и потенциал притяжения V определяются одно-

значно во всем внешнем пространстве, независимо от распределения

масс внутри поверхности.

Для Земли такой уровенной поверхностью могла бы быть поверх-

ность изопотенциала, охватывающая ее вместе с вращающейся плот-

ной атмосферой. Но в этом случае возникают трудности, связанные

с изучением фигуры Земли и определением высот, из-за того, что такая

уровенная поверхность далеко отстоит от места практических измере-

ний. Она более пригодна для изучения потенциала притяжения на

больших высотах. Для практических нужд приходится отказаться от

такой гипотетической уровенной поверхности.

За главную уровенную поверхность принимают изопотенциальную

поверхность силы тяжести, проходящую через начало отсчета высот

и называемую геоидом. Поверхность геоида совпадает с невозму-

щенным средним уровнем Мирового океана и сообщающихся с ним

морей, а под материками она во всех своих точках ортогональна сило-

вым линиям.

Поверхность геоида не является внешней уровенной поверхностью,

так как над нею возвышаются почти все материки и плотная атмо-

сфера Земли. Кроме того, из-за колебания уровня Мирового океана

и морей относительно среднего невозмущенного их уровня, поверх-

ность геоида не может совпадать с реальной фигурой водной оболочки.

Заметим, что разность уровней Тихого и Атлантического океанов в зоне

Панамского канала составляет 0,6 м. Почти на 0,7 м выше уровня

Черного моря располагается нуль-пункт Кронштадтского футштока.

Однако несмотря на указанные недостатки геоид, имеющий массу,

равную массе Земли, и вращающийся с угловой скоростью, равной

угловой скорости вращения Земли, на практике заменяет Землю в пла-

нетарном масштабе и представляет объект изучения.

Для научного и практического использования необходима более

простая фигура, чем геоид. Такой фигурой является общеземной

трехосный эллипсоид. Еще более простой математической моделью

м'оида служит общеземной двухосный эллипсоид, аппроксимирующий

геоид в планетарном масштабе. Хотя двухосный земной эллипсоид по

уровню аппроксимации планетарного геоида уступает трехосному зем-

ному эллипсоиду, однако он имеет более простое математическое опи-

сание, чем трехосный эллипсоид, и находит самое широкое приме-

нение.

Потенциальное поле эллипсоида и математический аппарат, приме-

няемый для его изучения, является одним из центральных вопросов

в планетарной теории Земли, Луны и планет Солнечной системы.

1.23. ПЛАНЕТОЦЕНТРИЧЕСКАЯ ГРАВИТАЦИОННАЯ ПОСТОЯННАЯ

И НОРМАЛЬНАЯ ПЛАНЕТА. ВОЗМУЩАЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ

При изучении фигуры и свойств пространства планетарного тела

процесс приближений неизбежен. В первом приближении можно при-

нять, что планетарное тело — шар с однородным или сферическим рас-

пределением плотности. Шаровая модель сильно упрощает теорию и ее

практическое приложение. Действительно, применяя математический

аппарат, рассмотренный в предыдущих параграфах, без особого труда

можно определить потенциал и его производные как для внутренней,

так и для внешней точки шара.

В следующем приближении планетарное тело можно представить

однородным эллипсоидом. Эллипсоидальная модель, учитывающая по-

лярное сжатие вращающегося тела и аппроксимирующая его в плане-

тарном масштабе, является сильным приближением. Математический

аппарат эллипсоидальной модели достаточно прост. Если принят одно-

родный эллипсоид вращения, то интегралы берутся в конечных квадра-

турах. Математический аппарат однородного трехосного эллипсоида

более сложный. Подыинтегральные функции оказываются эллиптиче-

скими. Однако, рассматривая математический аппарат эллиптических

функций, убеждаемся, что трехосный эллипсоид не дает погрешно-

стей в практических приложениях. Если принять модель неоднород-

ного эллипсоида, более адекватную Земле и некоторым другим плане-

там, математический аппарат усложнится. Используя гипотезы о законе

распределения плотности внутри планетарного тела, можно получить

ряд упрощений в решении задачи.

Для реальной фигуры планетарного тела с неоднородным распре-

делением плотности математический аппарат планетарной модели будет

сложным и поэтому придется применять разложение функций в ряд.

Оказывается, убывание членов ряда будет быстрым, а вычисление

их упрощается, если ось вращения и центр абстрактной фигуры совпа-

дут с осью вращения и центром масс планетарного тела, их массы и

угловые скорости вращения будут соответственно равны.

Главные члены, имеющие по величине шестой или третий порядок

относительно других членов ряда, могут быть вычислены из шаровой

или эллипсоидальной модели планетарного тела. Поэтому и в плане-

тарной модели методически целесообразно использовать промежуточ-

ную шаровую или эллипсоидальную модель.

Одним из основных параметров является планетоцентрическая гра-

витационная постоянная }М, определяемая как произведение постоян-

ной тяготения / и массы планетарного тела М. Действительно, в ранее

полученных формулах потенциала, эта постоянная используется как

основной коэффициент. Если взять шар с однородным распределением

плотности, то, зная его массу, можно просто вычислить его потенциал

как для внутренней, так и для внешней точки.

Однородный эллипсоид вращения, масса которого М, угловая ско-

рость вращения о>, большая полуось а и полярное сжатие а, а ось вра-

щения и центр совпадают с осью вращения и центром масс плане-

тарного тела, назовем Нормальной планетой. Нормальная планета,

определенная по соответствующим параметрам Земли, называется

Нормальной или Стандартной Землей.

Потенциал силы тяжести (притяжения) Нормальной планеты II (Ко)

примем за нормальный потенциал силы тяжести. Отличие потенциала

силы тяжести планетарного тела УР (К) от потенциала силы тяжести

Нормальной планеты назовем возмущающим потенциалом силы тяже-

сти (притяжения), т. е. соответственно

/?= К—У

. (106)

Нормальный потенциал (У следует установить так, чтобы возмущаю-

щий потенциал Т был гармонической функцией с высокой точностью

приближения, т. е. разность потенциалов центробежной силы реальной

и Нормальной планет должна быть пренебрегаемо малой величиной.

Если поверхность Нормальной планеты отступает от поверхности реаль-

ной планеты на А/?, то относительная ошибка из-за расхождения потен-

циалов центробежных моментов будет е= (о

К\К/Ш. Для Земли, пола-

гая

= 0,729•Ю

-4

рад/с,

«7

= 62,6368 км

/с

, А/? =10 м, находим

8 = 0,5-10"

Таким образом, планетарный эллипсоид с угловой скоростью враще-

ния, точно соответствующей угловой скорости вращения планеты, опре-

деляет возмущающий потенциал Т, который является гармонической

функцией. Это обстоятельство облегчает решение краевых задач теории

потенциала, поэтому возмущающий потенциал силы тяжести занимает

центральное место в изучении физической фигуры планетарного тела

или свойств пространства, занятого массами, вращающимися совместно

с планетарным телом. Для Земли такой массой будет земная атмо-

сфера.

При изучении свойств околопланетарного пространства, не занятого

вращающимися совместно с планетарным телом массами, и для кото-

рого не надо учитывать потенциал центробежной силы, основным явля-

ется возмущающий потенциал притяжения. При этом, когда изучают

движение естественных или искусственных небесных объектов в около-

планетарном пространстве, за Нормальную планету принимают одно-

родный шар, тогда возмущающий потенциал притяжения будет

К-У-&-.

Как видно, в планетарной геодезии используются математические

модели различного уровня, с той или иной подробностью и полнотой

отображающие метрику планетарного тела и его пространства.

Потенциал притяжения можно представить через геоцентрические

координаты разложением по сферическим функциям полинома Лежанд-

ра в гармонический ряд

Г 1-2 (-^У^ (1птСО&тк + Кпт5ттк)р»,п(&тч) 1, (107)

где г, ф, X — полярные геоцентрические радиус, широта и долгота точки,

для которой вычисляется потенциал притяжения; (М, а

— геоцентри-

ческая гравитационная постоянная и экваториальный радиус Земли;

1пт, Кпт — гармонические коэффициенты гармоник потенциала притя-

жения; Р

лт

(51"пф) — сферическая функция Лежандра степени п и по-

рядка т.

Члены нулевого порядка (т—0) называются зональными гармони-

ками, остальные члены (тФ0) — незональными гармониками. Незо-

нальные гармоники подразделяются на секториальные, если т

—

п, и

тессеральные гармоники, если тфп.

Безразмерные величины /„ называются зональными гармоническими

коэффициентами, /„« и Кпт (тФЩ — незональными гармоническими

коэффициентами и являются постоянными параметрами, характеризую-

щими внешнее гравитационное поле Земли.

2. ПОТЕНЦИАЛ ПРИТЯЖЕНИЯ И МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

ПЛАНЕТАРНОГО ТЕЛА

2.1. ПОТЕНЦИАЛ ПРИТЯЖЕНИЯ ПЛАНЕТАРНОГО ТЕЛА

В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ

Потенциал притяжения планетарного тела массы М выразим фор-

мулой

У=/^т/р, (108)

где р — топоцентрическое расстояние между элементарной массой йт

и точкой 5, для которой вычисляется потенциал притяжения; М пока-

зывает, что интегрирование выполняется по всему объему тела.

Заметим, что формула (108) справедлива для любого произволь-

ного распределения плотности масс внутри тела.

Из рис. 11 следует, что

= Г

+ /?

—2/?ГСОЗ1|). (109)

Пользуясь равенством 2со5г|з = е"

^-е

' .формулу (109) приведем

к виду

Рис. II. Главные оси моментов инер-

ции, элементарная масса и точка внеш-

него пространства

1/р =

/У(г-/?<?'*) (г

удобному для применения по формуле (108).

Полагая /?</• и пользуясь известной формулой

1/У1-* =%к„х

-, к„ = (2п)\/2

2п

(п\)

(110)

(111)

разложим правую часть формулы (110) в ряды. Сгруппировав члены

по степеням К/г, получим

+ ( 7") \ 2М!З

СОЙ

3 г|>+ 2к, к

соз1|>)

+ ( у-)* (2к

к< соз

4\|>

+ 2к

Азсоз2у+к1) + ...+ (-уУ" '[2к

2п

_,соз(2л- 1)г|г +

(

р\2п

•у) [2кок

„со&2пу+...

...

+ 2к

-1к

п+1

со52$ + к

]}.

Запишем этот ряд в форме

(112)

Функции

Ро=ко=1; = 2/г

^|= созг(5;

— 2кцк

со&

2^|з

= -^-(Зсоз

2-ф

+ 1)

представим через степенные аргументы ц = созг|>

Ро=1; Р, = ц; Р

=4-(Зц

-1); />з=4-(5ц

-Зц);

= 4-(35^ - 30ц

+ 3); Р

= 4-(63ц

- 70ц

- 15ц)

(113)

Функции Р

(м = 0, 1, 2, ...) называются многочленами Лежандра или

сферическими функциями первого рода.

Три последовательных многочлена Лежандра связаны рекуррентной

формулой

(л +

п+1

(ц) = (2 п + 1)|гЯ„(|г) - /»Я

_,(|А). (114)

В общем случае

Подставляя значение 1/р (112) в исходную формулу (108) и введя

обозначение

= -1г\ (^-УРпШт, п = 0, 1,2,..., оо, (116)

получим выражение для потенциала притяжения планетарного тела

оо

)

/1 = 0

в полярных координатах.

Потенциалы Уо, 1Л, •••. Уп в разложении (117) назовем соответ-

ственно потенциалами нулевого, первого, второго и л-го порядка.

Пользуясь указанными выше правилами, последовательности формул

(113) и (117) можно продолжить до любого порядка.

2.2. ПОТЕНЦИАЛ ПРИТЯЖЕНИЯ ПЛАНЕТАРНОГО ТЕЛА

В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ

Пространственная экваториальная декартова система координат и,

V, т (см. рис. 11) определяется следующим образом. Ось ьи совпадает

с мгновенной осью вращения тела; ось и лежит на пересечении плоско-

стей экватора и меридиана с долготой >.о; ось

дополняет правую систему

координат. Точка 5 и элементарная масса йт в этой системе отсчета

определяются соответственно декартовыми координатами и, V,

но

и и, V, т.

В формуле (116) исключим /? и г|>, пользуясь известными соотно-

шениями

... (118)

созг|з =

получим

V\ = -

^-(иио +

VVо

+ и>т), (119)

где = йс1т; й>Лт — координаты центра

МММ

инерции тела.

Если начало декартовой системы координат совмещено с центром

инерции планетарного тела, то

мо

с>о

о>о

= 0. В этом случае потенциал

первого порядка

1Л

= 0. (120)

Теперь вычислим потенциал второго порядка. Подставляя значение

созтр (118) в формулу (116), находим

= Г и

\(ЗЙ

-К

)йт + V

\(3й

-Я

)с*/п +

и>

\{Ъш

-К

)йт +

2г

м м м

+ муйт + быш^ мшйт + бош) \Ьй)йт . (120)

м м -м

Вычислим потенциал третьего порядка. Исключим в формуле (116)

С051|) (118) и получим

Уз

= [5(ий +

и>г^))

— 3(ий + + ха>т)И

)йт.

2г

После несложных преобразований имеем

[(5й

— Зй/?

)и

+ (5а

— ЗР/?

)У

+ (5до

— ЗШ/?

)Ш

2г

+ (1

ЪЬЙ

- Зу/?

)м

у +(15шй

- 3 ш/?

)м

ш +

(1 бы?»

- ЗЙ/?>1>

+ (15йш

— 3 йК

)ии>

5шу

- Згй/?>

ш + (15гру

— Зй#>ш

+ 30иушиим<]г/т. (121)

Пользуясь вышеуказанными правилами, можно вычислить потенциал

притяжения любого порядка. В монографии [11] представлены потен-

циалы притяжения в декартовых координатах с 4-го по 8-й порядок вклю-

чительно.

2.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПРИТЯЖЕНИЯ

ЧЕРЕЗ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛАНЕТАРНОГО ТЕЛА

Моменты первого, второго и более высоких порядков отражают рас-

пределение масс в планетарном теле. По их величинам и изменениям

во времени можно судить о распределении и перемещении масс в теле.

По известным значениям моментов инерции планетарного тела можно

вычислить его потенциал притяжения для любой точки внешнего про-

странства, а также решить обратную задачу: по известным значениям

потенциала притяжения во внешнем пространстве определить моменты

инерции планетарного тела.

Для решения поставленной задачи воспользуемся ранее выведен-

ными формулами (119) — (121) и определениями из механики. Обозна-

чим через

/юо 1то=^г>ёт; /от = ^гтйт (122)

статические моменты планетарного тела.

С учетом (119) и (122) имеем выражение

У\ = Я«/|00+0/010 +ш/ооО/Л (123)

представляющее связь потенциала притяжения первого порядка и ста-

тических моментов. Исключая декартовы координаты при помощи фор-

мул (см. рис. 1)

и = гсоз фсоз

А,;

V = гсоз фзш

А,; га

— гзт ф, (124)

получим выражение для потенциала притяжения в полярных координа-

тах

= Д/юоСоз фсоз

Я,

+ /оюСОЗ ф81П Х, + /

о1&1П ф)/г

. (125)

По определению из механики /юо=иоЛ1; Iо^о—VоМ; Лин = а>оМ.

Следовательно,

V, = /М(ИоС08 фСОЗ

А,

+ УоСОЗ ф8Ш

+ ДОоЗт ф)/г

. (126)

Если начало координат совмещено с центром инерции, т. е. «о =

= оо = шо^0, тогда /|оо = /ою =

/оо1

=0 и потенциал первого порядка

1Л = 0.

Моменты порядка 2 определим интегралом

ря$

= (127)

где р, ц, з — целые положительные числа, удовлетворяющие условию

= п.

Тогда в формуле (120) для потенциала У

2//200 = ^(3 и

~Р

)йт = 2/

оо — /ого — /оог;

2{/

о = ^{Ы

- И

)йт = -/200 + 2/020-/002;

2 (У оог = ^(Зш

-/?

У" = -/200-/020 + 2/002;

(128)

//по = \ юйт = /по; (У

101

= \ и.шАт = /101; Сои = \ Ушйт = /

ц.

МММ

Число независимых коэффициентов гармонического многочлена

(120) 2п+1=5. Следовательно к 6 уравнениям (128) необходимо

добавить условие

00+С

0+С002 = 0. (129)

Таким образом, потенциал второго порядка Кг (120) с учетом фор-

мул (128) и (129) имеет вид

= 1[(и

-да

)//200 + (V

- ш

)//ого + 3*шС|

+ Зыу

{/,01

+ ЗишСои]//-

(130)

Заменив в последней формуле декартовы координаты полярными

(124), после несложных преобразований получим

= /[(С/

оо + 6'о2о)(1 — 381п

(р)+6(С/10|Соз Х+1/ом51п к) соз фзт ф +

+ (Уш

— Уого)

соз 2Я.С03

+ 31/нозт 2ксоз

ф]/2г \ (131)

В потенциал притяжения третьего порядка (121) введем гармони-

ческие коэффициенты как функции моментов инерции третьего порядка

/м*

(/?

= 3). Эти гармонические коэффициенты имеют следующий

вид:

(/,,,= = 15/т;

2 (У зоо = |(5Й

—3/?

)ш*т = 2/зоо —З/120

—

З/102;

2С,

= 15й

- 3«Ут = -3/

оо + 12/,

- 3/,

;

2{У

2= ^(15а>

-3/?

)ййт= -3/ЗОО-3/|2О+12/Ю2;

2^озо = ^(5у

-3/?

)^т = 2/озо —З/210 —З/012;

2 (У

= | (15м

- З/?

) у^т = — З/озо + 12/

о —

• 2;

26УО|

= ^ (15й

-3/?

)^т= -3/озо-3/21о+12/о

;

2С/ооз

(5й

— Ш

)йн1т = 2/

— З/201

- 3/

2 6/201 = ^ (15м

—3/?

)шйт= —3/ооз+12/

о|—3/о21;

2^021 = ^(15у

—3/?

)ш^т= -З/ооз — 3/

| + 12/

(132)

Число независимых коэффициентов (132) гармонического много-

члена

2/1

+ 1=7. Следовательно к 10 уравнениям (132) необходимо

добавить 3 условия. Исходя из формул (132), нетрудно записать сле-

дующие условия:

3(Узоо+^.20 +^102 = 0;

^2Ю + 3(/оЗО+

Чо\2

— 0; (133)

^201+^021+3^003 = 0.

Таким образом, потенциал Уз (121) с учетом формул (132) и (133)

имеет вид

Уз =

([ /712О(ЗМУ

- и

) + 6/|

(3иш

—и

) + ^

ю(3и

г> - у

) + (У

012

(3гш

- у

) + С

1(3и

а>

—

ау

) + С

.(3у

ш - ш

) + 3(/п 1МУ ау]/3г

. (134)