Машимов М.М. Геодезия.Теоретическая геодезия

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 6. Элементы эллиптической орби-

ты и орбитальные координаты

Элементы а, е, /, 12, ш, т называются кеплеровскими элементами.

Для планет за основную плоскость обычно принимают плоскость

эклиптики, для околоземных небесных объектов — плоскость эква-

тора. В первом случае кеплеровские элементы орбиты называются

эклиптическими, во втором — экваториальными.

Рассмотрим орбитальные координаты, приняв плоскость экватора за

основную плоскость Оху. Оси неподвижных геоцентрических орби-

тальных координат определим следующим образом: ось е направлена

на полюс орбиты />,; ось § направлена в точку восходящего узла й;

ось г) дополняет правую декартову систему координат.

Геоцентрические орбитальные координаты преобразуем в геоцентри-

ческие экваториальные координаты по формуле

(37)

= А

_ г

.6 -

где матрица преобразования

"созй —зтй 0"1 Г1 О О

, = -зтЙ созй 0 0 соз/ — зт/

д о 1 0 зт/ соз»

имеет элементы

<111

= созй; аЬ = — зтй соз/; аЬ = зтй зт/;

а'

2Х

= зтй; агг = соей соз/; аи = — созй зт/; (38)

а'з\

— 0;

а'з2

— зт/;

а'зз

— соз/.

Обратный переход осуществляется с помощью транспонированной

матрицы А'ш по формуле

" I"

— А»

. с.

_ г _

(39)

Подвижную геоцентрическую орбитальную систему координат опре-

делим следующим образом: ось д направлена на полюс орбиты ось |

направлена по геоцентрическому радиусу г; ось т) лежит в плоскости

орбиты, дополняя правую декартову систему координат.

Неподвижные орбитальные координаты т), д (см. рис. 6) связаны

с подвижными орбитальными координатами 14, д соотношением

г'

сози

—зти 0"

'г'

"Г

31ПИ сози 0

= А

»1

е .

0 0 1

.6 _

(40)

Пользуясь формулами (37) и (40), получим выражение для пре-

образования подвижных орбитальных координат в экваториальные

(41)

X '

" ? "

_ е

Матрица А = АжАи имеет элементы:

аи = сози созй — зти зтй соз«;

й|2 = — 31ПИ СОЗЙ — СОЗИ 31ПЙ С08Г,

аи = зтй зтг, а21 = сози зтй + зти созй соз«;

«22 =

—

зти зтй + сози созй сом';

агз = — созй зт»;

аз1 = зти $|ш'; азг = созизт/;

азз = соз/. (42)

" Г

= А'

Обратный переход осуществляется с помощью транспонированной

матрицы А' по формуле

(43)

Подвижные орбитальные координаты небесного объекта: | — г, г) =

= 0, д = 0, следовательно, экваториальные координаты небесного объ-

екта будут

X =

(СОЗИ созй — 81ПИ 31ПЙ С05();

у = г (созй зтй + зти созй соз<); (44)

г = г зти 81Ш.

1.10. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ,

СВЯЗЫВАЮЩИЕ ЭЛЛИПСОИДНЫЕ, ЭКВАТОРИАЛЬНЫЕ

И ТОПОЦЕНТРИЧЕСКИЕ ГОРИЗОНТНЫЕ ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ

Пользуясь формулами (18), найдем полные дифференциалы эква-

ториальных координат

45)

Предварительно определим производные двух функций

-(М созб) = -^-созв - N зтВ;

ав

-{Ы з1пВ) = -4тг-

тв

М С05Я

ав

' ав

Поскольку

йЫ а / а \ е

Л/созВз1пВ

/ а \ _

ав ~ ав \ VI -^31п

В ) ~ 1-е

5 1п

и радиус кривизны меридианного эллипса М связан с радиусом кри-

визны нормального сечения первого вертикала формулой

М = (1 — е

) Ы/(

- е

зт

В),

соответственно,

а а 2ч

(Л/ созВ) = — М зтВ; зтВ) = М созВ/(1 — е

ав

' ' ав

После этого нетрудно записать искомые частные производные

дХ

{М + Я) зтВ соз!; = —(М + Н) зшВзш Ц

дВ V • / ~ ' дВ

дХ

•

(М + Я) созВ зт/,; (Л/+ Я) созВсоз/.;

а*

(46)

созВсоз/.; -—-= созВ зт/.;

<эя ' дН

д2 /

ал

I и\ о д2 „ д2

-^ = (М + Я)со5В; -^=0; ^

Пользуясь формулами (45) и (46), дифференциальные формулы,

связывающие эллипсоидальные и экваториальные декартовы коорди-

наты, запишем в матричном виде

" ах

йУ

= Л

йТ.

(М + ЩйВ

(УУ

+ Н) соз ВсИ

йН

(47)

Матрица преобразования координат Л имеет элементы:

= —зтВсоз/,; ац =—зтА; а\

= созВ соз^;

й21 = — зтВ зт/,; 022= соз/,; агз = созВ зт/,; (48)

аз, = созВ; азг = 0; а

= зтВ.

Заметим, что матрица А ортогональна своей транспонированной А',

т. е. справедливо АА' = А'А = Е. Имеет место ортогональное преобра-

зование координат. Отрезки

ах' =

(М

ЩаВ,

ау = {И + Н) со&ВйЦ (49)

аг = ан

составляют ортогональную систему координат.

В действительности, по определению топоцентрических горизонтных

координат их малые приращения связаны с малыми приращениями

эллипсоидальных координат в окрестности точки С таким образом, что

имеют место соотношения (49). Элементы матрицы А (48) точно со-

ответствуют элементам (33).

Из формул (47) — (49) следует, что

(50)

" ах'

ах

йУ = л ау

аг аг'_

Обратное преобразование выполняется следующим образом:

ах''

ах~

ау = Л' ау

аг аг

(51)

1.11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ КООРДИНАТ

ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ В СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

НАЧАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Пусть б/?,- представляет малые изменения экваториальных коорди-

нат точки <2,-. Тогда, согласно формуле (51), эти изменения в системе

топоцентрических горизонтных координат начальной точки будут

представлены формулой

(в#0, = Л16/?,.

Исключив 67?, с помощью выражений (50), получим дифферен-

циальную формулу

(6/?0. = А\АШ

для преобразования малых изменений топоцентрических горизонт-

ных координат 6К{ точки С}, в топоцентрическую горизонтную систему

начальной точки

При этом, умножая матрицы А\ и А-, с известными элементами (48),

находим матрицу преобразования Д- = А'А-,, элементы которой соответ-

ственно равны:

ЬII = СОЗВ| СОЗ В, + 81пВ| 8ШВ, СОЗ(!, — 1|);

Ь12= 31пВ|81п(!, —Ь |);

= созВ| зтВ, — 51пВ| соз В, соз( — !|);

\ = — зтД 31п(!, — !|); Ь

= соз(/., — (53)

&2з = созД зт(!, —

= $шВ| соз В, — созВ| зтД соз(1, —

= — созВ! зт(/., —

= зтВ| зтД созД| соз В, соз(!, — А|).

С учетом формул (52) и (53) имеем

(6Х,0,= 6

.6У?+ *>з.62<;

(6У0. = Ь

6А-/ + Й

У7

+ Й3262Г; (54)

(62,01 = Ь,

6Х! + Ь

6У<+ ЬззЬЦ

Очевидно, что матрица В = Л1Д- ортогональна своей транспониро-

ванной & = А1А\. Действительно, ВВ' — А'хАМАх — Е, так как А/А' =

= А\ А'\ = Е. Поправки 6Л,', 6У,' 62? малы по величине, поэтому при

вычислениях элементов матрицы В эллипсоидальные координаты в

"I Рис. 7. Сферические координаты

формулах (53) можно считать сферическими. В сферическом прибли-

жении, согласно обозначениям, принятым на рис. 7, и формулам (53)

имеем

6,3 = 31ПО СО5Д12; &23 = 51ПО 51пЛ |

; Ьзз = СО80; ^^

631 = 81ПСТСО8Л21; Ь

2 = зта 31ПЛ21.

1.12. ЛИНЕЙНЫЙ СДВИГ И ВРАЩЕНИЕ

Пусть референцная система ХУ2 определена в другой референцной

системе ХоУо2

положением начала координат Ахо, йуо, йга и эйлеро-

выми углами шо, о, ш, показанными на рис. 8.

В такой постановке координаты из одной системы в другую будут

преобразованы по формулам

,х~

Хо — Лхп

= Р

Ко — Лу«

. 2

2о — Й2о _

" Хо~

йхо ' X'

Ко

Луи

+ Р'

аг

_ 2

(56)

Элементы матрицы Р можно вычислить по формулам (4), принимая

Шо= —

?о,

а = 0, ш — е.

В национальных системах ось вращения референц-эллипсоидов

устанавливается параллельно оси вращения Земли на эпоху, а началь-

ные меридианы определяются относительно Гринвичского меридиана.

Все зависит от точности фундаментальных астрономических определе-

ний широт и долгот, использованных при установлении национальных

систем координат. В любом случае углы а и до — шо малы. Поэтому в

формуле (4), учитывая только члены первого порядка малости и вводя

малые углы л<>> Vо, связанные с эйлеровыми углами соотношениями

Рис. 8. Эйлеровы углы систем коор-

динат

|о=осозшо; г1о=сг51пшо; шо = агс1е-^-;

ст = л/^о +

г]о;

—

ИУо,

получим матрицу Р через новые малые параметры

1 —уо —|о

р= Vо 1 —л» • (58)

5о По 1

Пользуясь рис. 8, запишем

51П1^0= 51Пгг»051ПО/СО5Ф= 51П(ш— а»о)/51ПФ.

Отсюда, с учетом того, что зт(а> —

Шо)

= уо и &т а>о51па = ^о, имеем

=Т)

Ф. (59)

Долготный разворот Уо=ш—м>о показывает, что в двух референц-

ных системах нуль-пункты отсчета долгот на экваторе лежат в разных

точках. Например, если начальные меридианы проходят через Гринвич,

то у

= 1,25*10- Если же нуль-пункты отсчета долгот совмещены на

экваторе, то Ф = 0 и долготный параметр Уо будет отсутствовать.

Представив формулы (56) в обычной записи

йХ = Х — Х о = —

(1хо

— У

— 1о2о,

аУ=У-У

=-йу

+ V

-x\

, (60)

й2. = 2 — 2.й=—Лго + \аХо-\-щУа,

рассмотрим решение обратной задачи.

Каждый пункт (/=1, 2, ..., я), координаты которого известны

в двух референцных системах, образует систему (60) из трех уравне-

ний. При п>2 система уравнений (60) будет переопределенной и не-

совместимой из-за влияния погрешностей положения пунктов в каж-

дой референцной системе. Искомые параметры связи двух референцных

систем можно вычислить с полной их оценкой, применяя принцип наи-

меньших квадратов. Если это необходимо, то можно ввести масштабный

коэффициент и оценить разномасштабность двух систем.

В частном случае одна из систем может быть и общей земной систе-

мой координат, установленной на определенную эпоху.

1.13. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ

КООРДИНАТ

Малые приращения эллипсоидальных координат В, Л, Н из-за пере-

носа центра эллипсоида и ориентирования его по новым осям X, У, 2

можно вычислить, пользуясь ранее выведенными уравнениями (51) и

(60), т. е.

(М + Н)ёВ

№+н) со* вал

ан

= А'

—ах о —УоУо — 1о2о

—ауо +У()Л'о —Цо2о

_—аго -КоА'о +т)оУа

(61)

Вариации большой полуоси а и сжатия а эллипсоида,, хотя и не

повлияют на пространственные координаты X, У, 7. точки и поэтому

не изменят ее геодезическую долготу

= агс!§(У/Х), однако вызовут

изменения ее широты и высоты.

Малые приращения широты В и высоты Н найдем, пользуясь со-

отношениями

0 = (Ы + Н)со5В-, г = (Ы + Н)5тВ

—

е^5тВ, (62)

вытекающими из (18).

Дифференцируя по аргументам В, Н, а, а, пользуясь равенством

йе

= 2с1а и формулой (46), находим

(м + н) эй! вав—соз ван=—соз ваа +

т2в

С05 Вс1а

— е

— (М + Н) соз вав-51П ВаН = -^(

- е

)

31П

ваа + (М&\п

В — 2Л0

31П

ваа.

Умножив первую строку на зтВ (созВ), а вторую строку — на

соз В (з1П В), исключив члены с дифференциалом высоты (широты) и

решив относительно аВ (аН), находим

(М + Н)аВ=е

—5\пВсоаВаа+ ( N \

тВсозВ</а;

а \ 1-е /

(63)

аи = - ±аа + N 31П

ваа.

Полные приращения эллипсоидальных координат В, Н из-за

переноса центра, ориентирования по новым осям координат и изменения

размеров референц-эллипсоида вычислим, складывая почленно левые и

правые части формул (61) и (63). Умножая при этом на А' (48), на-

ходим

(М + щав=(ах

+У О+ИГ») зт в соз /„+(ау

- У

+ Ло^о)

51П

В зт —(аго —

1оХо —

г)оУо)созЯ + е

-^-зт В соз Ваа +

)

2 )зтВсоз5Ла;

(N + Н) соз ваь = (ах

+ VI)

Уо

+ ^о2

) зт /. —(ауо

—

д'о^о +

У]о2о)

соз ;

(1Н— —(ахо + г

Уо 4- 1о2

) соз В соз /,

—

(йуо

— УоХо

4- (64)

4ло2о)созВз1п1;

(аго — |оХо — т]оУо)з'тВ — -^аа +N 5'т

Ва<х.

Пользуясь формулами (48), (61) и (63), получим дифференциаль-

ные формулы обратной задачи

<1х

+ х

Уо + Ыо = (М + Н)&тВсо$1аВ + (М + Н)со5В5т1,а1 —

(Аи , N . . М$т

В . \ _ ,

( аН-\ ааЧ тг-аа 1созВсоз/.;

\ а 1-е

ауо — \оХо +

ч\о2о

= (М + Н)&\п В ЛаВ —

(Ы

+ ЩсозВсо&ЛаЛ —

Параметры а, а референц-эллипсоидов известны. Следовательно,

имея эллипсоидальные геодезические координаты точек Д-, //,- («=1,

2, ..., п^2) в двух референц-системах координат, с помощью формул

(65) можно определить линейный сдвиг ах о, ауо, аг о и углы вращения

одной системы отсчета геодезических координат относительно другой.

1.14. СВЯЗЬ ДВУХ ТОПОЦЕНТРИЧЕСКИХ

ГОРИЗОНТНЫХ КООРДИНАТ

Предположим, что система топоцентрических горизонтных коор-

динат 0Х°У°2° в геодезической топоцентрической горизонтной системе

координат С}Х'У2' определена тремя углами: углом прецессии во,

отсчитываемым по ходу часовой стрелки вокруг оси 2°; углом чистого

вращения и, отсчитываемым против хода часовой стрелки в плоскости

ф2°2'; углом прецессии в, отсчитываемым против хода часовой стрелки

вокруг оси 2' (рис. 9).

Координаты из одной горизонтной системы в другую горизонтную

систему преобразовываются по формулам

(102)

X' Л"

У = Р„ К"

2' 2"

Л"1 Л"

Г = Я,', У

г = п> г

] 2'

(66)

(67)

Рис. 9. Связь топоцентрических гори-

зонтных координат

Ра —

Матрица Ро равна произведению трех матриц вращения

созв — зтв 01 Г сози 0 эти! Г созво зтв

О"

зтв сов е 0 0 1 О I |—Зтво соз во О

О О N 1-зтм 0 созм] I 0 0 1

и имеет элементы:

Рп = соз во соз в соз и зтвозтв;

Р12=31пв

созв сози — зтв созв

;

Р\з = зти созв;

= зт в соз в

соз и

—

зт во соз в;

р 22 = зт во зт в соз и + соз во соз в;

з = зтизтв; р

\ =

—

зтисозв

; (68)

Р 32

===

— 51П И 31П ВО; /?33 = С05И.

На рис. 9 изображен полярный сферический треугольник, вершины

которого представлены геодезическим г и негеодезическим 2о зенитами

точки (} и полюсом мира Р. По определению систем координат сторонам

треугольника и, (90°

—

В), (90°

— Во)

противолежат соответственно

углы и

—

Ц (180° —во), в.

Решая сферический треугольник Рго2, находим

Р12— зт(/.о —

1*)

зтВ;

Рг) = — зт(1.

—

I) зт Во.

На практике углы и, Ц —Во —В,

ВО

—В малы. Ограничиваясь

в формулах (68) членами первого порядка малости и обозначая

&0=ИСОЗВ, 11О=«31ПВ,

го = (/-о— /.)зтВ=(Ь

—

/.)зтв

, (69)

находим матрицу преобразования координат

Г 1 VII Ел

= | —•Уо 1 т|о . (70)

I,— |о —ло I.

Формулу (66), с учетом (70), представим в обычной записи

Х' = Х° + чоУ° + Ь2

У'=У°-хоХ° +

г)о2

7.' = 2°-1оХ°-цоУ°. (71)

Из сферического треугольника Ргог (см. рис. 9) следует

нты 31пв = 51п(/-о

—

/-)созво;

*1п

и соз в = соз В зт

Во

— соз

Во

зт В соз

(Ьо —

Ц.

Учитывая члены первого порядка малости и ранее принятые обозна-

чения (69), получим