Машимов М.М. Геодезия.Теоретическая геодезия

Подождите немного. Документ загружается.

данных прецизионной астрометрии на единую эпоху требует учета эф-

фекта приливных деформаций Земли и фильтрации их от деформаций

неприливного характера. В то же время точность геодезических наблю-

дений настолько возросла, что их можно использовать для изучения

упругих свойств Земли и движения ее оси вращения, аномалий плотно-,

стей в земной коре и астеносфере.

4. УРАВНЕНИЯ АСТРОНОМО-ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

И ГРАВИМЕТРИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

4.1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ

ТОПОЦЕНТРИЧЕСКОЙ ГОРИЗОНТНОЙ

И ЭКВАТОРИАЛЬНОЙ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ

Положим измеренная величина и топоцентрические горизонтные

координаты X', У, 2' связаны в общем случае нелинейной функцией

Ф(Х',У,2',Ц = 0. (306)

При этом известно, что измеренная величина ^ = ^' + 8^ + А^-^-V, где

и — результаты измерения; б/., ДV — поправки за редукцию, систе-

матическую и случайную ошибки измерений.

Поправки к счислимым значениям топоцентрических горизонтных

координат Х'

, У2'

состоят из разностей поправок координат точек

<Э1 и С?2 (см. рис. 4)

6Л:' = (Д^)

-6Л:{; 6У =

(6/2)1

—6У{; 82'= (82$,—82\) (307)

Поправки к координатам точки фг вычисляются по формулам (54)

Представим функцию Ф (306) в линейной форме

+ Ф

(Л-'°, У

, 2'°, /.')+

•••

=0 (308)

относительно малых параметров 8Х', 6У, 82', б/., ДА, и V. Подставим

значение поправок координат с учетом формул (307) и (54) в разло

жение (308) и получим

+ &зз(-Ц-)

] 82'г + Ф\Х'\ У\ 2'\ /,') + ... = 0. (300)

110

Уравнения (309) представлены относительно поправок координат

в топоцентрической горизонтной системе.

Разложение (308), пользуясь формулами (50), можно представить

относительно поправок координат в экваториальной системе

(„<"•'« + ^+ [ -

5|П С05

( -ш) о~

5ш и

( 0+

+ соз В\соз А, —6АГ.) + [ -зтй, зт/., ( -|р-)

[+-зтв

(-|^

](б2

-б2

) + Ф

(А:'

, К'°, 2'°,/.') = 0- (310)

Если измеренная величина связана с экваториальными коорди-

натами точек С?, и ()

нелинейной функцией

Ф(Х,У,г,Ц = 0, (311)

где Х = Х

— Х[; У=У

— К,; 2=22

—

2,, то по аналогии (308) получим

+ (-^-)

(622-62,)+Ф

(Х

, К°,2°,/.') +

•••

= 0. (312)

В формуле (312) поправки Ы\

, Л/.,

, V\

, 6Х, 6К, 62 представлены

в экваториальной системе координат.

Уравнения (308) — (310) и (312) являются строгими с учетом членов

первого порядка малости. Если аргументы в формулах (306) или (311)

известны весьма приблизительно, то формулы (308) — (310) и (312)

необходимо применять последовательными приближениями.

4.2. УРАВНЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО НИВЕЛИРОВАНИЯ

Для измеренного зенитного расстояния (см. рис. 4) имеем формулу

Ф = агсс1

^^-2,2=0. (313)

Частные производные функции (313) равны

<'<!> 1 <?Ф _

I . УФ I . .

^7= —С03Л,2С052,2; -ду7~— 51ПЛ,2С052|

;

<?Ф 1 . дф .

81П212

; -=-1. (314)

Редукционную поправку Ьг\

представим через составляющие уклонения

отвеса

62,2= |,СОЗ Л|2 + ГЦ51П Л,2. (315)

111

Пользуясь формулами (309) и (313) — (315) и учитывая, что 62' = 6Н,

получаем уравнения тригонометрического нивелирования

У12

= — А2|2

—

||СОзЛ

12 —

ТЦ31пЛ|

^-С05/4|

С08 2|2бХ| —

-31ПЛ |2С032|

6К| + — 51П2|

бЯ1 А—-(6ц

СОЗ А12 СОЗ

2| 2

-}-<>2|51пЛ|2С052|

—Ьз|31П 212)6X2+ -^-(б12СОЗ Л

12 СОЗ 212

+ 622З1ПЛ

12С03

212—&3

51П212)6К2+-^-(613СОЗЛ

12С03 212

+ ^23 31П Л 12 СОЗ

2(2 —

^33 31П 2| 2) 6//2 + ИР,2, (31б|

где свободный член

ЧР|2==агсс1е—

—

г"

. (317)

У«

+ Уо

Если результат измерения г"г исправлен за главную часть вертикальной

рефракции, то в уравнении (316) член А212 — поправка за системати-

ческую ошибку измерения зенитного расстояния.

Подставив в выражение (310) значения частных производных (314),

получим в линейной форме относительно малых поправок в зенитное

расстояние и экваториальные координаты точек и <Эг

V 12= — б2|

—^|СОЗЛ

—Т|| 31ПЛ

^-(31Пб| СОЗ/-|

СОЗ Л 12 СОЗ

51П/.1

31ПЛ|2С03212 + С03В| СОЗ/-1 31П2|2)(6Хг

—

6X1) —

—(вшВ) 31П/-1 СОЗЛ|

С08212

—СОЗ/-1

31ПЛ12 СОЗ212 +

СОЗ

В\ ЗШ/,1 31П212) (6К2

—

У])

^-(З!п/3| 31П2|2

—

созб| С05Л

С03 2,2)(622

—

62|)+ Г,2. (318)

Уравнения (316) — (318) не ограничены расстоянием и поэтому они

применимы для обработки наблюдений небесных, околоземных и назем-

ных объектов. Если зенитные расстояния г<75°, то уравнения (316) —

(318) можно применять для пространственного триангулирования.

Особый случай в наземной триангуляции, когда зенитные расстоя-

ния близки к 90°, а координаты В, I, надежно оцениваются по наблюде-

ниям горизонтальных углов. Поэтому, пренебрегая членами второго и

высокого порядка малости, а также, учитывая формулы (55), полу-

чаем уравнения тригонометрического нивелирования для наземной

триангуляции

У12= — А212

—

1| СОЗ Л 12—

Л1

31ПЛ

^-51П2|2б//| ~-Зт(2|2 — а)6Я

+/|2-

(319)

112

Если в сплошной сети известны высоты отдельных пунктов и неко-

торые геодезические пункты являются астрономическими, то, пользуясь

уравнениями (319), можно решить задачу определения высот физиче-

ской поверхности над земным эллипсоидом и составляющих уклонения

отвесных линий из обработки результатов тригонометрического нивели-

рования При этом могут быть испытаны гипотезы о вертикальной состав-

ляющей рефракции и оценена ее величина на каждом пункте. В ближай-

шее время возможно применение дисперсионных методов оценки угла

вертикальной рефракции с точностью 0,5", что существенно улучшит

точность редукции измеренных зенитных расстояний.

При надлежащей постановке тригонометрического нивелирования,

принимая в первом приближении линейное изменение слагающих укло-

нений отвесных линий между двумя соседними пунктами Дд = (д

—

— #|)Д5/5 можно вычислить разность высот геоида над земным эллип-

соидом

е2

, = _ 11±11

С05

л ,

+ Л1±Л1

Ш л ,

Таким образом, при строгой математической обработке данных три-

гонометрического нивелирования с учетом астрономических определений

широт и долгот на некоторых пунктах наземной триангуляции, можно

получить обширный материал для изучения фигуры Земли и решения

редукционной задачи. Для надежной оценки искомых элементов из наблю-

дений зенитных расстояний необходимо существенно улучшить совре-

менную методику тригонометрического нивелирования. Тем более в этой

области выполнены обширные исследования и практические работы.

К сожалению, у геодезистов существуют мнение, что можно предъявить

пониженные требования к измерениям зенитных расстояний. При кон-

струировании и изготовлении теодолитов вертикальные круги делаются

менее точными, чем горизонтальные. Понижены требования к изготовле-

нию уровня при алиладе вертикального круга. Зенитные расстояния в на-

земной триангуляции измеряются в одной и той же части вертикального

круга. Методика исследований триангуляционных теодолитов и програм-

мы полевых наблюдений не предполагают измерение зенитных расстоя-

ний с высокой точностью.

Современная практика требует уточнения основных положений о

тригонометрическом нивелировании в сторону резкого повышения точно-

сти измерений вертикального угла, высот наружных знаков и приборов,

повышения требований к основным узлам при конструировании и изготов-

лении новых угломерных приборов.

4.3. УРАВНЕНИЯ ОРИЕНТИРОВАННОГО НАПРАВЛЕНИЯ

И АСТРОНОМИЧЕСКОГО АЗИМУТА

Ориентированное направление связано с топоцентрическими гори-

тнтными координатами уравнением (см. рис. 4)

Ф= агс1д-р—Л,2 = 0. (320)

113

Частные производные функции (320) соответственно равны

<?Ф _ 5ШЛ|

дФ _ соз А12 5Ф _ дФ _ . /чоп

Ъ ' ву~ о

;

дА

Редукционную поправку 6Л|

представим через составляющие уклонения

отвеса

6Л12

= (л|СОзЛ|

—

1|5тЛ|

)с182|2

—

л^еВ,- (322)

Пользуясь формулами (310) и (320) — (322), получим

У|2=—АЛ12+(||31ПУ4|2—Л|СОЗЛ12)с1д212 + Л1^ёв| +

1 5тЛ|2

-бХ{—1-(6,,51пЛ,

-6

,созЛ,

)6^-

—

-^-(6|

5тЛ 12— 6

2СОЗЛ |2)6К2

—

-^-(6|з81пЛ12 — бгзсоз Л 12)6/^ +/12. (323)

где ДЛ12 — поправка за систематическую ошибку ориентирования и

у г

измерения направления; 0=

-д/Х6

+ Ко

; Л2=агс1д-тт—Л?2— свобод-

но

ный член.

Подставив в уравнение (311) найденные значения частных произ-

водных (321), получим уравнение в линейной форме

У12=— АЛ 12+(5131П Л12— Л1СозЛ|2)с1д2|

+ Л1^

1 +

+ -^-(зтВ1 СОЗ/.1 31ПЛ|2—51П/-1 С03Л|

)(6Х

—6X1) +

-^-(С03/-|

СОЗЛ

12 — 51П

З1ПЛ12) (6У

—

ЬУ\) —

--^-созВ, зтЛ,

(62

-62,) + /|

(324)

относительно малых поправок в экваториальные координаты. Уравнения

(322) — (324) не ограничены расстоянием и поэтому их можно использо-

вать для обработки наблюдений небесных, околоземных и наземных

объектов. Если зенитные расстояния |г|<75°, то возможна оценка сос-

тавляющих уклонения отвесных линий. Заметим, что коэффициент перед

поправкой 6//г мал, а в сферическом приближении (55) он исчезает. Сле-

довательно уравнения (322) — (324) не позволяют оценивать геодезиче-

ские высоты.

Для наземной триангуляции, учитывая формулы (309), получим

,2= — АЛ,2 + (||51пЛ|2 — Т1,созЛ|

)с1ё212 + +-^-[81пЛ|

6Л:1 —

—созЛ,

6У,— (&ц5тЛ|

— 621

соз Л

12)6X2 —

(/»1

з1пЛ1

—

созЛ

)6У

]

/12.

' (325)

Допустим

611

= 622=1 и

621

= 612=0. В этом случае уравнение (325)

упрощается

V12= — ДЛ|

+(^|31ПЛ12

—

Л1С05Л1

)с1е212 + Л1*8

1 —

—^-[З1ПЛ|

(6^-6Л

{)-СО5Л1

(6У5-6У0]+/|

. (326)

114

По аналогии для азимута а.и, определенного астрономически или гиро-

скопически, имеем следующее уравнение:

у,2=—Да,2-1.(1,51П

«12 —Т)|

соз а|

)с1д2|

+ т|| +

+ -^-31п а| 26X1

—

соз а\ 26 У{— (Ь

зт а,

— Ьц соз а.\2)6X2

—

— (6|

зт от — 622СОЗ а^бУг] +/12, (327)

где свободный член

/.2=агс1

-р—«У

. (328)

ЛО

Допустимо упрощение уравнения (327) в форме (326).

4.4. УРАВНЕНИЕ ИЗМЕРЕННОЙ ЛИНИИ

Из рис. 4 следует, что

ф = уХ'*+У'

;г

+ 2'

— 5

= 0. (329)

Частные производные функции (329) соответственно равны:

дФ/дХ' = соз Л12 зт

212;

дФ/д У = зт Л

зт

212

дФ/<?2' = со5 2|

; дФ/д5=-\. (330)

Пользуясь формулами (309), (329) и (330) и учитывая, что 85 = 0, полу-

чаем

У|2= —

А«12 —

СОЗ Л 12

31П 2126X1 —

31пЛ |231П2|2бК|

—

С052126Я1 +

+ (6||СОЗЛ 12

31П 212

^21

31ПЛ|2

31П2| 2

&31 СОЗ 212)6X2

+ (&12С03Л |2 31П212 + &2231ПЛ

51П2|2+&32 СОЗ2|2)6^2 +

+ (6|ЗС03Л1231П

212

^23

31пЛ|2 31П2|2 +

&33 С05

)6#

1\2

(331)

где свободный член

/.2= л/Х^+У^ + г^-з^. (332)

Поскольку расстояние инвариантно относительно систем координат, то

формулу (331) можно представить в более простом виде

1»12

= — Д5|2

—

СОЗ Л

12 51П 2126X1 —

ЗтЛ|

31П2|2бУ|

— С03

6//| —

— СОЗЛ

| 51П 2216X2

—

31П Л

31П22|6У

—

СОЗ 2

| 6//

+/12- (333)

Уравнение измеренной линии в экваториальной системе координат полу-

чим, подставив в уравнение (310) значения частных производных (330),

V12 = — Д5|2 —(31пВ| СОЗ/-1 СОЗ Л 12

3111

+ 31П Ь\ 51П Л 12 31П2|2 —

—

СОзВ| СОЗ/.1 С03212)(6Хг

—

6Х1)+(сОЗ/-1

31П Л 12 51П 212 —

— 31Пб1

31П/.1 СОЗЛ12

51П212

СОЗВ1

31П/.1 С03212)(6У

— 6У1)

+ (СОЗ 3\ СОЗ Л 12 51П 2|2 + 31П С032|

) (6^2 — 6^1) + /12. (334)

115

Для небесных и околоземных объектов уравнение измеренной линии

выгодно представлять в геоцентрических координатах

Ф= У (Х2-Х

У+(У

-У^+(Г

-2

{

У-5.2=0.

512

«12

-(62

—62|) + /]

;

«12

/.2= У(Л

-^)

+ (К

- П)*+(24-24)-зЪ. (335)

Как видно из уравнений (308) — (335), отпадает проблема редукции изме-

рений на поверхность эллипсоида, на уровенную поверхность или на

плоскость.

4.5. УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНО-УГЛОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

НЕБЕСНОГО ОБЪЕКТА

Пользуясь топоцентрическими экваториальными координатами, сна-

чала установим связь геоцентрических и топоцентрических экваториаль-

ных координат небесного объекта и геоцентрических координат наземного

пункта. Как видно из рис. 18, топоцентрические экваториальные коорди-

наты — прямое восхождение а, склонение б и расстояние р небесного

объекта связаны следующим образом:

X = рсозб сое (а—8) — Х

— Хд;

К=рсозб$т(а—5)= К

—

2 = рвтб=2

— 2

. (336)

где 5 — гринвическое звездное время момента наблюдения топоцентри-

ческих координат а, 6 и р небесного объекта. Уравнения (336) можно

записать в векторной форме

Р = г-К, (337)

где топоцентрический радиус-вектор небесного объекта

р= рсозб соз(а—5)1 + рсозб зт(а

—

5)] + рзшбк,

геоцентрический радиус-вектор наземного пункта

Я-Х^+У^ + г^к,

Рис. 18. Топоцентрические экваториальные коорди-

наты небесного объекта

116

геоцентрический радиус-вектор небесного объекта

Если известны векторы г и р, то пользуясь уравнением (337), можно

найти вектор К, иначе говоря,"можно определить геоцентрическое поло-

жение наземного пункта. Если же известны вектор К и р, то с помощью

того же уравнения можно найти вектор г — геоцентрическое положение

небесного объекта. Очевидно, зная векторы К и г, можно определить

вектор р — топоцентрические координаты небесного объекта.

Измеренные величины ф=а

—

5, б и р (см. рис. 18) связаны с то-

поцентрическими экваториальными координатами

X = Х$

— Х<); У

= У

5 —

2 — 2$

—

2о

небесного объекта уравнениями

Фо = агс1в-^-0=0; Ф

= УХ*+

+ 2

-р = 0. (338)

Пользуясь общим уравнением (310), напишем уравнения (338) в линей-

ной форме

V»

= — Дб —[

31П

бсоз 0(6*5

—

ЬХо) + зт бзт 0(6У

— б Уо)

—

соз 6(625

—

62<?)] +/

;

V«

= -Д0 -

[ з1п

0(6*5 - ЬХо)

—

соз <Н

б У

б Уд)]

+ /

;

= — Др + соз бсоз 0(6*5

—

б*

) + соз бзт 0(6У

—

Ур)

-+-

зт 6(625

—

62ц) + /

;

/в= агс1(*—/

= агс1д^-0°;

л/Ж+П *<>

= -Щ+П+21 - р°. (339)

Формулы (339) являются уравнениями космической линейно-угловой

триангуляции в геоцентрической системе координат. Заменив В и Ь на

6 и 0, заметим, что матрица А* перед 6/? = 6/?2

—

6/?• в формулах (339)

имеет такие же элементы, как и матрица А' (48). Кроме того, согласно

формуле (50) геоцентрические координаты связаны с топоцентриче-

скими

6/?

-б/?, = Д

6/?2 —-4|6/?{.

При этом индексы 1 и 2 относятся соответственно к наземному пункту

и небесному объекту.

Таким образом, в уравнениях (339)

Л*(6/?2-6/?,) = А*АзЫЪ — А*А№\. (340)

117

Пользуясь выражениями (52), (339), (340), получим уравнения линей-

но-угловой космической триангуляции в топоцентрических горизонтных

координатах

+ 6?з6//

) + /

;

+ /.;

= —Ар—(ЬШ'д + ЬШЬ + ЬЪАНд) + (ЫМ'з + Ы

бУ

+ Ыя6Н&) + /

(341)

Элементы матрицы В = А* А, («'= 1, 2), вычисленные по формулам (52),

имеют вид

Ь\ I

= СОЗ бсоз

В, -+- 51П

651П В,соз

(/.,• —

Ь'\2

— зт бзт (Ц — д); Ь\з = соз бзт В,— зт бсоз Дсоз (/., —Ф);

= —зт В/зт

(/.,• —

Ф); /»22= соз (А, —О);

&2з

= соз В,зт (и

—

0);

6'з| = зт бсоз В,— соз бэт Дсоз (/-, —0); 6'з

= — соз бзт (/.,•

—

Ф);

Ь'

= зт бзт Д + соз бсоз Дсоз (/.,

—

0). (342)

Уравнения (342) полезны как для уравнительных вычислений, так и

для оценки вклада каждого вида измерений. Так например, для небес-

ного объекта В ж б и поэтому коэффициенты Ь\з и з малы по

величине, а коэффициент Ьзз близок к единице. Это означает, что для

надежной оценки высот необходимо иметь линейные измерения.

4.6. УРАВНЕНИЯ НОРМ А ЛЬ-ВЕКТОРА

СИНХРОННОЙ ПЛОСКОСТИ И ХОРДЫ

Синхронная плоскость задается двумя топоцентрическими направ-

лениями на небесный объект, измеренными одновременно с двух назем-

ных пунктов <2| и <3г.

Уравнение плоскости в координатной форме

Измеренные топоцентрические направления представим двумя единич-

ными векторами (< = 1, 2)

Ах + Ву + Сг + 0 = 0. (343)

Р."

= +

ГПг)

+ И/к,

,о

(344)

где составляющие единичного вектора по осям координат:

I; = соз б,соз т,- = СОЗ б,51П Я/ = 31П б.

118

(345)

Уравнение нормаль-вектора плоскости (343) имеет вид

п" = А\ + В) + Ск.

(346)

Нормаль-вектор можно определить как векторное произведение двух

векторов

п" = р IX

р!>.

или в явном виде

I \ к

/1 т | п |

/2 т.2 П2

— (т.Пг —

т2П|)1

(/2Л|

— /1И

)]+ (/,т

—

т\)Ь..

(347)

Сравнивая выражения (346) и (347), получаем уравнения для вычисле-

ния коэффициентов

А = т\П2—т

п\\ В=/г«1 —

/1Я2;

С=/|/Пг — 1

т\,

дифференциальные изменения которых соответственно:

(348)

ЛА = соз б|51П бгсоз 01^01

—

(зт 613т 6

зт 0) +соз 6|Соз бгзт 02)*/6| —

—

зт 61С05 6

соз 02^02+ (зт б|31П бгзт 0

+ соз 61С05

628111

0[)й6г;

ЙВ = СОЗ 6|31П 6

3Т 01^01 +(31П 6| 51П 6

СО30| +СОЗ

61СОЗ

БГСОЗ 0Г)Й6| —

— 51П 6|СОГ6231П02^02—(31П 6181Л 6

СОЗ #2 + СОЗ 6|С05 6

СОЗ ©1)^62;

(1С — —СОЗ 6|СОЗ 6

СОЗ (0

—0|)^01 — 31П 61 СОЗ 6

31П (#2— 00^01 +

+ соз 61СОЗ 6

соз (§2— 0|)^0

—

зт 6

СО5 6:зт (0

—

0|)й6

. (349)

Хорда-вектор, совпадающий с линией пересечения двух плоскостей, оп-

ределяется как векторное произведение нормаль-векторов этих плоскостей

<1° = п^Хп^ =

Л,

в,

С\

или

<1°

= + (350)

где составляющие хорды по осям координат:

/. = В

—

С,; М = Л

С,— Л,С

; N = А,В

—

В,. (351)

Составляющие хорды можно выразить через ее сферические координаты

Ь = соз Фсоз Л; М = соз Фзт \\ N = зт Ф. (352)

Таким образом, отнаблюдав синхронно топоцентрические экваториаль-

ные координаты небесного объекта 5,- из двух наземных пунктов и С)

можно построить синхронную плоскость, коэффициенты которой АВ,-,

С, вычисляют по формулам (345) и (348). Две такие плоскости (1 = 1, 2)

однозначно задают пространственное положение хорды Вычислив

119