Машимов М.М. Геодезия.Теоретическая геодезия

Подождите немного. Документ загружается.

Для внецентренного уровенного эллипсоида с учетом (503), (507) и

(508) имеем следующее разложение нормального потенциала:

V =

Оо

— у

Н — (у — гш

) (Ахосоз Всоз +

Й4/осо5

Взт Ц — у^говт В,

(509)

где Оо — потенциал на поверхности внецентренного уровенного эллип-

соида.

Формула (509) выведена из предположения, что полярные оси вне-

центренного и общего земного эллипсоидов параллельны, а их размеры

и формы соответственно равны. Если это условие не соблюдается, то

можно ввести поправки по формулам, выведенным в первом разделе

книги.

4.23. ВОЗМУЩАЮЩИЙ ПОТЕНЦИАЛ И АНОМАЛИЯ ВЫСОТЫ.

НОРМАЛЬНАЯ ВЫСОТА

Возмущающий потенциал 7", равный разности реального Г и нор-

мального I! потенциалов, запишем там

7 = Г-У = (

°)

где Го — потенциал в начальной точке отсчета высот; дифференциал

йк

под интегралом есть элементарное превышение, измеренное в

реальном геогравитационном поле.

С учетом (503) и (510) имеем

Т = (^о-Уо)-\ёйк

а1

+у

Н. (511)

Представим геодезическую высоту Н в виде суммы гипсометрической'

высоты /Л и аномалии высоты

Н=/Г +

ь.

(512)

Чтобы гипсометрическая высота Н

не зависела от пути интегрирования,

ее будем определять так

= — \вМш. (513)

Тогда выражение для возмущающего потенциала (511) с учетом

(512) и (513) примет дифференциальную форму относительно аномалии

высоты е

Г = (Г

-Со)+?

С. (514)

Отсюда получим формулу аномалии высоты

= (7- +

Уо-Го)/Тт.

(515)

В частном случае, когда за нормальный потенциал поверхности

уровенного эллипсоида С/о принят потенциал Земли Го в точке отсчети

высот, тогда из формулы (515) следует

170

5 = Т/у

(516)

Если центр уровенного эллипсоида смещен на Аг(йхо,

йу<>, йг<>)

от

центра инерции Земли, то с учетом (514) и (509) получим выражение

Т — (№о— О

о)

+7ше + (7

<»

) (ЛхоСО&

Вс05 /, +

^1/оС05 ЙЗШ

Ь) +

для возмущающего потенциала относительно малых параметров.

По предложению М. С. Молоденского гипсометрическую высоту Н

определяемую по формуле (513), называют нормальной высотой. При

этом аномалия высоты е представляет высоту квазигеоида над отсчет-

ным эллипсоидом.

Формулу (513) представим таким образом

чтобы выделить сумму элементарных превышений (Иг

, полученных из

нивелирования. Очевидно, второй член в формуле (518) представляет

собой поправку к сумме элементарных превышений (Иг^ ДЛЯ перехода к

нормальной высоте.

Примечателен тот факт, что замкнутый нивелирный полигон будет

иметь теоретическую невязку

Из определения нормальной высоты Н

(513) следует, что она вычисля-

ется строго без знания строения земной коры. Нормальные высоты

можно рассматривать как отрезки нормалей к эллипсоиду, отложенные

от поверхности квазигеоида до земной поверхности.

Система нормальных высот имеет один недостаток, а именно, уро-

ненная поверхность

ЧУ

= = сопз! в общем случае будет иметь

разные высоты, так как нормальная сила тяжести у

зависит от широты

места.

4.24. ОРТОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЫСОТА

Ортометрическая высота Н

определяется как отрезок силовой линии

между геоидом и точкой на земной поверхности. Однако отрезок силовой

линии от соответствующего ему отрезка нормали к земному эллипсоиду

гак мало отличается по длине, что Н

можно отсчитывать по нормали к

1емному эллипсоиду.

Для вывода формулы ортометрической высоты запишем основное

уравнение потенциала

+ уйгозт В

(517)

(518)

(519)

(520)

171

и разложим потенциал силы тяжести № по параметру Н

в ряд. При

этом будем удерживать только три первых члена, ибо член

-~г(д

№/дН

)Н

пренебрегаемо мал по величине (см. раздел 4.22). Та-

ким образом,

+ + (521)

Известно, что сила тяжести на средней высоте Н

/2 между точкой

земной поверхности С} и ее проекцией на геоиде будет

§и==

+ (522)

Тогда с учетом (522) разложение (521) запишем так

-ётН

. (523)

Отсюда получим формулу ортометрической высоты

= о-Щ/ёт, (524)

аналогичную формуле (504) для геодезической высоты.

Заменим разность потенциалов Го—№ в выражении (524) через

интеграл элементарных превышений и получим формулу орто-

метрической высоты

(525)

ёт

Ее можно преобразовать так

//«-Л 4Л. + -М (526)

Второй член в этой формуле есть поправка в сумму элементарных пре-

вышений йк

полученных из нивелирования, для перехода к ортометри-

ческой высоте.

Если нивелирный ход представляет замкнутый полигон, то согласно

формуле (526) будем иметь теоретическую невязку

±-]{8-8т)Мш. (527)

8т

Как видно из формулы (525), точность вычисления ортометрической

высоты Н

зависит от знания строения земной коры, т. е. она зависит от

точности вычисления 8т в соответствии с принятой моделью строения

земной коры.

По определению

Н=

Н«

+ е

т. е. высота геоида д

над земным эллипсоидом и ортометрическая высо

та Н

в сумме составляют геодезическую высоту Н точки земной по-

верхности.

172

Записав очевидное равенство ^ цйН^, = &

= у

— (у

— ёт)Н

и разделив обе части на у

, получим формулу для вычисления разности

ортометрической и нормальной высот

Н«-Н^{у

ёт

)Н"/у

. (528)

Полученная разность соответствует отклонению квазигеоида от геоида.

Если положим у

— §

— 0,3 см/с

и № = 8 км, то Н

— Н

= 2,4 м; при

Ут

— §т = 0,05 см/с

и Я

= 1 км разность Н

— Н

— 0,05 м. Отмечаем,

что отклонение в 2—3 м квазигеоида от геоида возможно в высокогор-

ных районах, а в большинстве случаев оно характеризуется величиной

порядка нескольких сантиметров. На морях и океанах квазигеоид совпа-

дает с геоидом и превращается в уровенную поверхность.

4.25. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕГО ПОТЕНЦИАЛА

НА ФИЗИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ

Выразим силу тяжести § через потенциал ИР на физической поверх-

ности Земли

=-дУ/дп=-д(С/ + Т)/дп. (529)

Поскольку угол между касательной к силовой линии в точке ^ и направ-

лением нормали той же точки к уровенному эллипсоиду очень мал,

можно принять

(8-у)=~дТ/дН, (530)

так как д1)/дп — —у.

В левой части этой формулы стоит чистая аномалия силы тяжести в

точке <2 на земной поверхности.

Нормальное ускорение у разложим относительно аномалии высоты

= + +

(531)

ду , 1 д

(а /-г- "

у°(Н

) — нормальное ускорение на высоте Н

Заметим, что ут}М/г

, ду/дН я* ду/дг ——2у/г и д

у/дН

= 6 у/г

Следовательно разложение (531) примет вид

у=у°(/Л)-27-^+Зу(-^)

. (532)

При е = 0,2 км, г = 6000 км и у = 1000 см/с

третий член в разложении

(532) Зуе

==0,3-10^

см/с

и его можно отбросить. Таким образом,

=/(Я") — 2уе/г. (533)

Подставив у (533) в формулу (530), запишем уравнение

дТ/дН + у

) + 2 уч/г = 0. (534)

173

Второй член в скобках представляет собой смешанную аномалию силы

тяжести.

Исключим е (515) в выражении (534) и получим уравнение

дТ/дН + (§-у°) + 2у(Т+ У

- Го)/гу

= 0, (535)

выражающее граничное условие для возмущающего потенциала на

земной поверхности.

Полагая известным счислимое значение аномалии высоты 2°, можно

определить счислимое значение возмущающего потенциала Т° = и

отыскать малую поправку 6Т возмущающего потенциала из уравнения

граничного условия

дТ/дН + (

- у») + 2у(6Т + Уо - Ш

)/гу

, (536)

где 7?- — нормальная сила тяжести, вычисленная для геодезической

высоты Я°= /г + е°-

Уравнение (536) выведено для общего земного эллипсоида, центр

которого совмещен с центром инерции.

Если центр уровенного эллипсоида смещен на Аг(йхо, йуа, йга), то

пользуясь выражениями для поправок ДУ

(507), ДУ

(508) и формулой

(536), запишем граничное условие так

дТ/дН + (§ -

у°

)

+ -О-

[

6Г +

Уо

- Го -

- по

) (Жюсоз бсоз +

Л/0СО5

бзт Ц— 7^2

51П В] = 0, (537)

где Уо — нормальный потенциал на поверхности внецентренного уровен-

ного эллипсоида.

Современные модели Земли аномалию высот оценивают с точностью

1—2 м, с такой же точностью определяется центр земного эллипсоида

относительно центра инерции Земли. Таким образом, все параметры в

уравнении граничного условия будут величинами одного порядка ма-

лости.

Для определения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли

кроме уровенного эллипсоида должны быть известны потенциал силы

тяжести Го в точке отсчета высот и три линейных параметра Ахо, с1уо,

Лго — координаты центра уровенного эллипсоида относительно центра

инерции Земли. Указанные четыре параметра могут быть определены из

совместной обработки наземных и спутниковых астрономо-геодезических

и гравиметрических измерений.

4.26. ИЗМЕНЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ИЗ-ЗА ПЕРЕМЕЩЕНИЯ

ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ ЗЕМЛИ В ЕЕ ТЕЛЕ

На основании (507) и (508) напишем дифференциальную формулу

й8 =

—8(<1хосоз

бсоз /, + ^уосоз бзт /. + Й2озт В)/г-\-

+ м

(^хосоз бсоз Ь + йуосоз бзт Ц.

174

Второй член по величине исчезающе мал по сравнению с первым. Поэто-

му отбросим его и получим

= —^(Ахосоз Всоз + Луосов Ваш Ь + </2

зт В)/г. (538)

Положим в формуле (538) линейная величина (в скобках) равна 3 м.

Тогда дифференциальное изменение силы тяжести равно 0,0005 см/с

Из формулы (538) следует, что

йхосоз Всоз Ь-\-йуосоз Взт Ь -^-йгозт В = —гй^/ё- (539)

Если вариации силы тяжести за эпоху I

—

/о в различных точках земной

поверхности определяются достаточно надежно, то можно выделить си-

стематическую часть в этих изменениях и по методу наименьших квад-

ратов оценить смещение центра инерции Земли на это время. Таким

образом изучение временных вариаций силы тяжести на гравиметри-

ческих пунктах, размещенных равномерно по всему земному шару, мо-

жет дать неоценимый материал для слежения за центром масс Земли

на каждую эпоху.

4.27. УКЛОНЕНИЕ ОТВЕСНОЙ ЛИНИИ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМУЛА АНОМАЛИИ ВЫСОТЫ

Угол между нормалью к уровенному эллипсоиду и отвесной линией

на земной поверхности будем представлять его составляющими в плос-

костях меридиана и первого вертикала

I = бех'/е, л = бег/в- (540)

По определению б

ёх

.= —дТ/дХ'; 8§г = —дТ/дУ'- йХ' = (М +

Н)с1В;

АУ =

(уУ

+ Я)со5 В(И. С учетом этого формулы (540) примут вид

» 1 дТ_ 1 д]_ ,

ё(М +

Н)

дВ '

8(М+Н)со&В дЬ ' ^ '

Согласно (514) возмущающий потенциал Т = (й^о—Со) + е?т, по-

этому частые производные возмущающего потенциала будут

дТ/дВ=у

д$/дВ и дТ/дЬ = у

<??/<Э/..

Подставим найденные значения частных производных в формулу

(541) и получим новые соотношения для составляющих уклонения от-

весной линии

С — У" .

Ут

§(М + Н) дВ '

п(Ы Я)СОБ В д1 "

Используя топоцентрическую горизонтную систему координат X', У,

//, вычислим дифференциальное изменение аномалии высоты. Положим,

аномалия высоты есть функция этих координат, т. е.

— У, Н).

Запишем полный дифференциал аномалии высоты

г/С

= —<**' + — йУ + -%-йН. (543)

дХ' дУ ^ дН

175

Согласно формуле (542) частные производные аномалии высоты по го-

ризонтным координатам X' и У", помноженные на у

/ё, равны состав-

ляющим | и ц уклонения отвесной линии, взятым с обратным знаком.

Остается вычислить частную производную по высоте. Используя форму-

лы (515) и (531), получим

[(Т + и

°-= -<*-т)/*». <

544

)

Таким образом формулы (542) — (544) приводят к новому дифферен-

циальному соотношению относительно составляющих уклонения отвес-

ной линии

Ут у т

Так как йХ' = Й5соз А и ЛУ = йхзш А, то

— Й? = -^-(|с05Л+ (545)

Ут Ут

Последнее выражение представляет дифференциальную формулу ано-

малии высот.

В формуле (545) выражение в скобках есть составляющая уклоне-

ния отвесной линии О в вертикале заданного азимута. Следовательно

дифференциальную формулу (545) можно записать так

—аъ^-В-Ма+З^Х-аН. (546)

Ут Ут

Проинтегрировав это выражение по ходовой линии между точками <?1 и

<2г на земной поверхности, получим превышение квазигеоида между

этими точками

<?2 <32

61—62 (547)

Т"

о, "

В формуле (547) первый интеграл является главным, а второй —

малой поправкой за относительный избыток силы тяжести. Если примем

в среднем (ё — у)/у

= 0,000 05 и Н

— Н\ = 2000 м, то второй интеграл

будет порядка 0,1 м.

Если астрономо-геодезические пункты <Э| и удалены друг от друга

на большое расстояние, то уклонение отвесной линии |, т) между этими

пунктами могут быть интерполированы по материалам гравиметрической

съемки и астрономо-геодезическим данным. Интерполяция уклонения

отвесной линии между удаленными друг от друга астрономо-геодези-

ческими пунктами <?1 и С}

составляет основную задачу астрономо-гра-

виметрического нивелирования, предложенного Ф. Н. Красовским и

1935 г. и разработанного М. С. Молоденским.

Составляющие уклонения отвеса можно с необходимой точностью

определять от тригонометрического нивелирования при правильной его

постановке.

176

4.28. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ НА ПОВЕРХНОСТИ ГЕОИДА

И ИДЕЯ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

ВЫЧИСЛЕНИЯ УКЛОНЕНИЯ ОТВЕСА

Высоты геоида д на морях и океанах определяются методом спутни-

кового нивелирования с высокой точностью. Увеличивается площадь

акваторий, покрытых морской гравиметрической съемкой.

Рассмотрим граничное условие, представляющее дифференциальную

связь аномалии силы тяжести и высот точек на поверхности геоида.

Пользуясь известными соотношениями § — у——дТ/дН и Т — уч,

запишем

Примем §х(М/г

, тогда д§/дН — 2у

/г. Подставим найденное значе-

ние частной производной д§/дН в формулу (548) и получим уравнение

*-* = (—7—Цг)

Ут

(549)

связывающее аномалии силы тяжести §

—

у и высоты 5 на поверхности

геоида.

Формула (549) позволяет вычислить аномалии силы тяжести в аква-

ториях, на которых выполнены спутниковые измерения геоида.

При вычислении дч/дН достаточно иметь разложение геогравита-

ционного потенциала притяжения с учетом членов с коэффициентами

]пт, Кпт, А/4 = /4 + 0,8а

— 0,6а<7

(а,

— параметры уровенного эллип-

соида; п, т— 1, 2, ..., 36).

Пользуясь формулами Венинг — Мейнеса

л 2л

(550)

л 2л

о о

где г|) — сферическое расстояние от исследуемой точки до текущей точ-

ки; А — азимут текущей точки; — функция от сферического рас-

стояния определяемая выражением

<?(,),) = -Е-соз

в [созес в + 12зш 0-32зш

6+ , ,

„ —

2у

1+зтв

— 12зт

в!п(зт0 + зт

в) ] , в = ф/2,

и уравнением (549), можно решить обратную задачу вычисления со-

ставляющих уклонений отвеса т]) по измерениям высот геоида на

акваториях морей и Мирового океана.

177

Аномалии силы тяжести на акваториях, определенные по данным

морской гравиметрической съемки и вычисленные по формуле (549),

можно использовать как двойные измерения.

При учете влияния дальних зон, покрывающих сушу, аномалии

силы тяжести у определяются по наземным гравиметрическим из-

мерениям, а где отсутствует гравиметрическая съемка — вычисляются

по планетарной гравитационной модели Земли, принятой за стандарт-

ную в геодезических работах. В акваториях, где имеется плотная сеть

спутниковых измерений высот геоида, можно использовать уравнение

2(&

—

бОАи = (?1 + Усов А

(т) 1

+ т),)5ш А

„•,

(551)

связывающее высоты геоида и уклонения отвеса в исследуемой и

текущей точках в ближней зоне с радиусом 5и = 10...15 км.

4.29. ВТОРЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ПОТЕНЦИАЛА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

И ИХ ЗНАЧЕНИЕ В ГЕОДЕЗИИ И ГЕОФИЗИКЕ

Потенциал силы тяжести Г имеет шесть вторых производных, кото-

рые в целях сокращения записи обозначим так

\Р/дх

= Н7„; д

Ч//ду

=Ш

уу

-, д

ЧР/дг

= Г

гг

;

о (552)

У/дхду= №

ху

; д

У/дхдг=ХР

г\ дШ/дудг=Ш

уг

Зададим топоцентрическую горизонтальную систему координат: ось г

направлена по вектору силы тяжести а ось х — на север в плоскости

меридиана исследуемой точки.

Вторые производные имеют размерность

/с

. Единицей измерения

является этвеш, равный 1/10

(0,1 мкгал/м).

Для механико-математических исследований таблиц вторых произ-

водных (552) представим в матричной форме

V» Г,

(553)

Ог =

V** ЧГуу

Уя Г

гг

Диагональные элементы матрицы Оу связаны уравнениями Лапласа и

Пуассона

IV/ I т I IV/ I

20)2

лля внешней точки, .....

И' XX + Vуц + Vгг = { о 2 а и - (554)

"" I 2ш —4я/о для внутренней точки.

Таким образом независимых элементов только пять и поэтому выделим

от матрицы Ог первый блок

(555)

Испытаем Оь применяя механико-математический анализ. С этой целью

приведем ее к диагональному виду с помощью ортогональных преобра-

зований

178

Л = /?'0|Д, (556)

где

^ _ Г соз а — зт а"1 —

005

зта~1

—

зт а соз а}' ~ I. —зт а соз а ] '

а(а+л/2) — азимуты главных нормальных сечений поверхности с глав-

ными радиусами кривизны и /?2-

Выполнив умножение матриц согласно (555) и (556), получим выра-

жения для элементов матрицы Л

к,, = й^соз

а + И^зт 2о+ зт

а;

А.12 =

= -у (НР»,— Г„)зт 2а+ И^соз 2а;

А.22

= Г„зт

—

Г,„зт 2а + Г«,„соз

а. (557)

Как следует из свойства квадратичной формы (556), матрица Л явля-

ется симметричной, т.е.

Х12

= Х21. Соблюдается необходимое условие

для собственных чисел Л,ц и Х22 матрицы 01

Яп+*в»= (558)

Положив в формулах (557)

А.12

= ^21 = 0, получим выражение для ази-

мута главных нормальных сечений

1%2а=-2Ф

Х1

,/ХРь (559)

где

Если уравнение поверхности задано в виде г={(х, у), то главные

радиусы кривизны нормальных сечений /?| и Я2 в данной точке поверх-

ности выражаются таким образом, что

/?1

- •

(560)

где согласно обозначениям Монжа

г = д

г/дх

\ з = д

г/дхд1/; I = д

г/ду

. (561)

Образуем производные для уровенной поверхности у, г) =

= сопз!, имея в виду, что г есть неявная функция от х и у. Для первых

двух производных имеем

д У/дх + д №/дг

•

дг/дх = 0;

дШ/ду + дУ/дг-дг/ду = 0.

Дифференцируем еще раз и получаем

. „ дг , д

УГ / дг \

, 31Р д

о /у аг а^Г / дг у дУ д

г_

дхдг дх дг

\ дх )

дг дх

~ ' дх

179