Марков Г.А. Савченко С.Н. Напряженное состояние пород и горное давление в структурах гористого рельефа
Подождите немного. Документ загружается.
Здесь
1(f+E)
3
1(1-Е-)
~
(4)::'-
4
t(t;-i)
I/f,)
- 4 i
(t.-i)3
1
2
С{,)
+
+
[Ai
(~-i)+
8C4+
i
)]
(a1-iа:!.)+Вi(~
-i
)(b
1
-i
Ь
2
)
;
f2J(")~_1C:,,,E.)
ice,-i)312се.)_1(1~f.\(t:.-i)З
I/t:,)
-
-
Ct:.,-i)ЗФ(с.)
-
t,(e,-i
)'3ф'Сt:.)-
-
~~:~;:
{[
Ai
C4"'i)-
B('-i)JФС')+[Ае,('+i):!.+В'(t;+i~Ф'(~)
-
-
[Ai
сс.
+
i)-
8('-i)J
Ca
1
+i(
2
)-
BiCt:.+i)(
Ь
1
+ib
2
)}
;
Ai
Bt;
А
2
11Ct:,):-
4-!
- Ct:.,-i)2. +
4("(-i)3
[-
('+i.)2+6i(~"'i)+4J
+
АВ
[(
. 2 . ]
82.
[ 4 3
+
4(t:,-t)4
-
(+1,)
+16'Lt:
+
6(G-i)5
-Ct,+i)
+10i(t"'i)
+
+40C(+i)2.-4fНСl.+i)-16]
;
1
[.
В'С.
АВ
2А
2
+В
2
]
12
(t:.)
=-
t.-i
At,+
t;-i
+
4Ct:.-O
+ 8 .
.
Величины
а
1
•
а
2
•
Ъ
1
•
Ь2,
действительные.
зависящие
от
1.
~.
А
•
В.
преДСТ8ВЛЯЮТСЯ
следующим
образом:
а
1
=-
[1(0.584
+2В
З
-ВВ2.-
з2в
-
5А
2
в
_А2.
в
2._
16А2.-А
4
)
-
3'1;,
(O.5A
2
b2.-А2.В
-
83
- 0.2.5 8
4
)]
/
С;
а
2
=
[1(о.5А
5
+
4А
3
-
64А
+4I1B"i"11AB2"'O.'2.5AB
3
-
-О.1'2.5Ав
4
-
ЗА
3
В)-
jE.
(A
3
B"'12AB-ЗАв
2
-О.5АВ
3
)]
/С;
Ь
1
=
[1
(9А
3-З2.А
..
4А В
+
9АВ
2+0.75
А
83-
0.5113
В)-
- teCA'3+
О.5А
З
В
-
2AB
2
-0.25AB?I+
12
A8)J/C;
Ь
2
=
[1(12А
2
+
8в
2
+6А
2
в
+483+0.584-
2.А4)-
-
jёo
(4А
2
+
482
-
2А
2
В
+
вЗ)J/С;
с==
16А
2
-t-8А
2
В-4В
З
-З2в2.+256.
80
а
:
--
б
Рис.
24.
РаспределеJiие
напряжений
(а
-
вертикальных.
б
-
го~и
зонтальных)
в
окрестности
асимметричного
выступа
при
действии
гравитационных
сил.
На
рис.
24
приведены
распределения
относительных
напряжений
fS
y
/3'
н
и
ох
/
ТН
для
асимметричного
выступа.
заданного
отобра
жением
(83)
при
А
=0
.5,
В
=-1.2.
При
этом
имеем
Н=
Н
rrш
-r.=0.8
5
.
из
рис.
24.
а
видно,
что
линии
равных
значений
относительных
на
пряжений
б"~
/3'
н
располагаются
(аналогично
предыдущим
случаям)
параллельн
о
или
почти
параллельно
границе
поверхности,
за
исклю
чением
участков.
примыкающих
к
более
крутой
стороне
выступа
и
более
глубокой
выемке.
Здесь
наблюдается
значительный
градиент
напряжений
6
у
как
по
горизонтали, так
и
по
вертикали.
В
центре
выступа,
на
уровне дна
глубокой
выемки,
напряжение
6
у
имеет
величину
порядка
0.85'1
Н
•
Такое
снижение
вертикальных
напряжений
(на
15%)
по
сравнению
с
tH
вызвано
в
некоторой
ме
ре
действием
бокового
распора,
который
приводит
к
возникновению
растягивающих
вертикальных
напряжений
в
массиве
на
уровне
под
ножия
выступа.
Если
характер
распределения
напряжений
Оу
при
действии
гра
витацио~ых
сил
не
существенно
зависит
от
рельефа
поверхности,
то
на
распределение
напряжений
6':z:(рис.
24,
б)
рельеф
сказывает
ся
сущ
ест
венно.
А
именно, на
участках
массивов,
примыкающих
6
Г
.А.
Марк
ов,
С.Н.
Савченко.
81
к
выемкам,
напряжения
~a:
растягивающие
(щтриховые
линии).
При
этом
с
уменьшением
радиуса
кривизны
поверхности
величина
растягивающих
напряжений
увеличивается.
В
окрестности
глубокой
выемки
наблюдается
высокий
градиент
горизонтальных
напряжений.
от
1.25tH
до
о
на
расстоянии
0.2Н
по
глубине
от
"на
выемки.
В
выступе
действуют
сжимающие
гориэонтальиЬJе
напряжения, ве
личина
которых
находится
в
пределе
дО
0.21Н.
Тот
факт,
что
на
поверхности
выступа
сжимающие
напряжения
6'ж
больше,
чем
в
центре,
можно
объяснить
внецентренным
растяжением
выступа
на
пряжениями,
возникающими
в
окрестности
выемок.
С
углублением
в
массив
от
границы
поверхности
горизонтальные
напряжения
ста
новятся
всюду
сжимающими
и
их
величина
стремится
к
Е,1у.
в
случае
действия
равномерно
распред.enенных
на
бес
'
конечности
горизонтальных
сжимающих
сип
'
интенсивности
Т
ПОC1lе
интегриро
вания
(45)
находим:
f.
(,)
f2,(G)
~
Ф(е.):
Ри:.);
lPce.)
= pCt,).
~(t;)=
Ce.-i)
-Ai(4-i)
-
B('+i);
~(e.)=-
O.5T[Ai
C'4-i)+
В
(e.+-OJ+
Bi
((,;Ч)(Ь
1
-iЬ
2
)+
+
[Ai(t;-i)
+
в
(,
+i)]
(а
1
-
ia2,);
f
2
((,.):.
о.5Т[
Ai
(t;-i)
+
в
(t:.+i)]-(~
-
i)З[Ф(t.)+~Ф(')]-
(85)
-
~~-+~»)~
{[Ai('.t)-
в
('-i)][ф(()
-
(a1+ia~)]
+
...
[A'(t;+i)2+
В4('(.+i)]Ф'(()
-
Bi
("t;+i)(b
1
+ib
2
)}
;
a1--0.25вт(в'J.+ltВ-2А'l.)/С;
а
2
=Т(8А
-2AB+O.
25AB
'J.
+О.5А?')/С;
Ь
1
-Т(ВА-АВ)/С;
Ь
2
2
т(в
2
+4-В-2А
2
)/с;
.
С
::
4-А
2 + 2
А
28 -
В
3 - 8
В
2.
+
64.
На
рис.
25
представnены
пинии
равных
значений
относитеЛЬНЫх
,
нanряже~ий
«!Уж
/ Т
и
6'у
/
Т.
Как
C1lедует
из
рис.
25,
а,
в
масси
ве
выступа
горизонтальные
напряжения
6"а::
<
Т,
а
в
участках
мас
сива,
примыкающих
к
выемкам,
наблюдается
высокая
концентрация
напряжений.
На
поверхности
певой
выемки,
в
дне
ее, 6'ж
=14.2
Т.
В
дне
правой
выемки
при
этом
имеем
6'~=1.8T.
Зона
повышенной
концентрации
напряжений
(до
6~
;'1.2
Т)
распространяется
в
глу
бину
массива
на
величину
порядка
Н.
в
центре
выступа,
на
уров
не
дна
глубокой
выемки,
напряжение
б
х
близко
к
Т.
Напряжения
Оу
/Т
(рис.
25,
б)
в
иентре
выступа
имеют
знак,
обратный
знаку
действующих
на
бесконечности
усипий
(штриховые
пинии),
а
величина
6'у
достигает
значений
порядка
0.13
Т.
В
участ
ках,
располагаемых
ниже
уровня
дна
выемок,
и
в
небольшой
части
выступа,
напряжения
б
у
сжимающие
и
по
величин
е
не пр
е
восхо
д ят
Т.
82
а
у
1.0
~
Рис.
25.
Распределение
напряжений
(а
-
горизонтальных,
б
-
вер
тикальных)
в
окрестности
асимметричного
выступа
при
действии
тектонических
сил.
3.4.
Вертикальная
трещина
или
впадина
с
кру'I'ыми
'
склонами
Выш
е
нами
исcnедовано
напряжеНное
состояние
пород
в
окрест
ности
одиночной
выемки
с
раднусом
кривизны
конечной
величины,
а
также
двух
несимметричных
выемок
как
одинаковой,
так
и
раз
личной
глубины.
Особый
интерес
предста
~
яет
предельный
случай
с
нулевым
радиусом
кривизны,
т.е.
тот
случай,
когда
берега
выем
ки
плавно
смыкаются
подобно
концевым
областям
трещин.
из
(72)
и
(73)
cnедует,
что
предельный
случай
наступает
при
а.
=-1.
Рассмо:грим
наиболее
общий
случай
действия
тектонических
сил
сжимающих
и
касательных,
действующих
на
бесконечности
и
изменяющихся
с
глубиной.
Допустим,
т
т
(у):.
А
+
Ву
•
(86)
гд
е
Т
•
А
• В -
действительные
постоянные.
83
Использование
(86)
позволяет
рассмотреть
различные
варианты
действия
нагруз
ок
оnpед
еленн
о
й
величины
,
приложенных
на
различ
ной
глу
бине
от
дневной
поверхности
и
убывающих
различным
обра
зом
с
глубиной,
т.е
•
..,глубинноЙ"
постоянно
действующей
нагрузки
• .
В
частном
случае
npи
А
1=0
и
В
=0
имеем
Т
=
COhst
по
всей
глу
бине
массива.
Граничное
условие
в
комплексной
форме
имеет
вид
:
Ф(t)ы'(
t)
+
Ф(
t ,
bl'(
t)
+
bl(t
)ф'(
t)
+ (..)'(tPP
Ct)
=
_
-Тi[
<J'(t)
-Zl(t
)]
-
2.Ai.+B[<J(b)-blСi,)]
Интегрируя
соотношение
(87)
и
ему
сопряженное,
находим:
Фсе.)
=
a(~
-
i)
[
Т
+
Ф(
-i)
] .
('
-
1-
)2
-
а
А
С
с
-+
1)
(t,
- i
с)
t;
- i •
'РС!:)
(
с,
-i )
'2.
f
а
т
'" .
Ct,-t)2_
a
С
А
(c+1)(!.-iС)Сt,-i)
-
ф(~)
-
-
~Ф'(')+
(e.~i)2
[ф(t,)-
({,+
i)Ф'(t:,)
-
Ф
С-i)]
J
Ф(
-i
)
=-
ACc+~)~(a+2.);
c=,j1+
~a
'.
(87)
(88)
Расчет
напряжений
о
существляется
п о
формулам
(54),
где
в
первом
соотнош
е
нии
вместо
первог.о
слагаемого
необходимо
взять
Т{у).
На
рис.
26
npиведены
картины
относ
ительных
полей
напряжений
б"х
/Т
'
и
б"Jl
IТ
для
частног
о
случая
В=о,
А
=
-1
в о
бласти
-З(,:r:~
~
3,
- 2
s;,
У
~
о
(рис.
26
,
а).
в
неп оср
едственн
ой
близости
от
кон
цевой
области
(на
рис.
26
,
а
эта
об
ласть
выделена
прямоугольн
и
ком)
распределение
напряжений
в
увеличенн
о
м
масштабе
представ
лено
на
рис.
26
,
б
.
Распределение
касательных
напряжений
'C:r:y/T
в
с
оо
тветствующих
областях
приведено
на
рис.
27.
Из
рис.
26
,
27
видно,
что
в
концевой зоне
"Fрещинообразной
выемки
возникают
большие
концентрации
наnpяжений
б:r:'
стремя
щиеся
к
00
в
точке
возврата
на
границ
е
.
Напряжения
.
О
у
в
конце
вой
зоне
также
велики,
хотя
в
ТO'lKe
возврата
О
у
=0
.
Касательные
напряжения
'С'х!:}
в
непосредственной
близости
к
точке
возврата
имеют
противоположные
знаки слева
и
сnpава
от
оси
симметрии.
При
этом
на
оси
симметрии
и
на
лучах
углов,
равных
npимерно
±З
00
от оси
симметрии,
касательные
напряжения
равны
нулю.
84
6
!J
-0.75
а
0.05
0.1
Рис
.
26
.
Распределение
горизонтальных
и
вертикальных
напряжений
в
окр
естн
ости
щеле
о
бразн
ой
выемки
при
действии
равномерно
рас
пределенных
на
бесконечности
тектонических
сил.
а
-
во
всей
области;
б
-
в
непосредственной
близости
к
граниuе
выемки
(в
увеличенн
о
м
масщТ
аб
е)
.
85
а
6\
YI'
'.
I
I
1х
0.05
0.1
:r:
!J
-0.75
н
-0.1-0.80
Рис.
27.
Распределение
касательных
напряжений
в
окрестности
щелеобраз
ной
выемки
при
действии
равномерно
распределенных
на
бесконечности
тек
тонических
сил.
а
-
во
всей
облаСТИi
б
-
в
непосред
ственной близости
к
гранкце
выемки
(в
увеличенном
масщтабе).
в
ПРоцессе поднятия
или
опускания
тектонических
блоков
по
контактам
-0.85
-0.90
'С"жу
т
·
геологиче
·
ских
нарущений
и ВКl1ючений
возможно
возникновение
ка
сательных
усилий
постоянных
или
изменяющихся
определенным
об
разом
с
глубиной.
В
связи
с
этим
представnяет
научный
интерес
решение
задачи
в
условиях действия
касательных
сил.
действующих
на
достаточном
удалении
от
рассматриваемых
выступов
или
выемок.
Рассмотрим
случай
действия
касательных
сил.
изменяющихся
с
глубиной
в
соответствии
с
зависимостью
к
К(у)=
А+Ву
(89)
При
В
=0
и
А
+0
имеем
К
=
const
по всей
глубине.
Правая
часть
граничного
условия
(87)
принимает
вид
(90)
Пoonе
интегрирования
граничного
условия
(87)
с
правой
частью
(
90)
и
ему
сопряженного
получаем:
8G
ф(~)_
C~-O~
{ .
аф(-i)}
~
-,..
Ct:,-i)~-a
..[1(')+
lG-i)2.
;
YJCe,)&-
(~~~~~2.a
{I
2
«()
+ф(()+
t:.фtt:)-
(G~i)'1
[~(t;)+(l.+i)ф(С:!)-ф(-i)JJ
:
1
(G)=_1
-f+-
2.
K(Y(t)d
t
'"
1
2.1ri
__
2Ai+B[wCi,)-<..>(f;)]Сt-,)
::
_
к
[(2.Н:.
+
с)(с2.
+с)
+
(с
+ 1
)-~
(С-1)]
2.
А
с
(с
'
+1
)(С
-
ic)
+-
1
(,);
__
1_!
2.Kbl'(t)dt
=
2
2.'JC'i
2Ai.
+B[w(t)-blСt)]Сt-t:,)
--
:s
-
К
[2.i,2(C~+C)+
(,
(с
3
+
3с2.+
Зс
-
ас
+
а+
1)-
(91
)
-
i.
(СЗ
,
+С~+
с
+
Зае
+а
.
+
1)]
/
2.Ас(с+
1
)(t,-i
)(t,-iС)
; .
Ф
.)_
Ki[C2.TC)(C2.+
c
)+(c+1)-а(с-1)]
(-1. -
2АС(с+1)2
.
Расчет
напряжений
в
этом
cnyчае
производится
по
формулам:
Е):с
-
Re
[2Ф(t.)-Q(,)];
6
у
-
Re
[2.Ф(!,)+QСG)];
'С
ху
•
К(у)
+ImQCG),
где
Q
«)
имеет
тот
же
вид,
что
и
прежде.
На
рис.
28,
а
изображены
линии
равных
значений
относительных
величии
tr:c
/
К,
6'9 /
К,
t"':ry / К
во
всей
исследуемой
oбnaсти
,
для
cnyчая
постоянных
действуЮщих
на
бесконечности
касательных
уси
лий
'
интенсивности
К,
т.е.
для cnyчая
В
-о,
А
--1.
Напряжения
в
концевой
области
трещинообраэной
выемки
представnены
на
рис.
28,
б.
В
рассматриваемом
нами
cnyчае
вертикальные
напряжения
б
у
во
всей
области
равны
по
величине
горизонтальным
напряжениям
tr
ж
и
обратны
по
знаку,
т.е.
бу~-trж.
На
оси
симметрии
6'~-tr~
~
О.
Высокая
концентрация
напряжений
6:r
и
оу
oxвa'JЪJ88eT
неэиачи
тельную
область
массива,
примыкающую
к
берегам
трещииообраэноl
выемки.
При
удалении
от
концевой
области
'
эти
напряжении
по
вели-
чине
быстро
убывают,
стремись
к
нулю.
'
Касательные
напряжения
~.xy
в
окрестности
~н~евой
области
имеют
знак,
противоположный
знаку
действующ,,-х
на
бесконечности
касательных
усиnий
(штриховые
линии
на
рис.
28).
На
расстоянии
около
0.1
Н
от
дна
выемки
"жу
..
о
и
далее
возрастают
к
1,
сов
.
падая
по
знаку
с
действующими
усилиями.
В
приnоверхиостиой
зо
не,
'
на
гра~ице
выемки,
't"жу"(1.1-1.25)К.
Этот,
на
первый
взгляд
87
у
-0.75
-0.80
6
0.05
0.1
:с
Рис.
28.
Распрецеление
горизонтальных,
вертикальных
и
касатель
ных
напряжений
в
окрестности
щелеобразной
выемки
при
цействии
равномерно
распрецеленных
на
бесконечности
касательных
усилий.
а
-
во
всей
области;
б
-
в
непосрецственной
блиэрсти
к
границе
выемки
(в
увеличеНном
масщтабе)
•
88
Рис.
29.
Схема
дnя
объяснения
причины
возникновения
касательных
.
напряжений
в
окрестности
концевой
области
щелеобразноЙ
.
выемки
противоположных
по
знаку
действующим
усилиям.
'
противоречивый,
факт,
что
в
концевой
окрестности
касательные
на
пряжения
имеют
знак,
обратный
знаку
действующих
на
бесконечно
сти
усилий,
можно
объяснить,
рассматривая
элементарные
объемы,
расположенные
справа
и
слева
от
оси
симметрии
(рис.
29).
Действительно,
в
сипу
больщого
градиента
нормальныx
напряже
ний
O:z:
и
5;у
по
верхней
грани
элементарн
ого
объема
слева
от
оСи
симметрии
возникает
приращение
сжимающих
напряжений
A~y,
возрастающих
по
мере
удаления
от
оси
симметрии.
Вместе
с
этим
на
вертикальной
грани,
отстоящей
на
расстоянии
А.х
от оси
сим
метрии,
действуют
растягивающие
напряжения
А6'зз,
убывающие
сверху
вниз.
Вследствие
действия
этих
напряжений
элементарный
объем
приобретает
пере
кос,
как
показано
на
рис.
29
штриховой
ли
нией.
Но
так как
элементарный
объем
находится
в
равновесии,
то
на
гранях
его
должны
возникать
касательные
напряжения,
уравно
вешивающие
перекос.
Эти
напряжения
должны
иметь
направление
в
сторону
диагонали,
проходящей
через
вторую
и
четвертую
четверти.
Аналогично
рассуждая
при
рассмотрении
элементарног
о
объема,
расположенного
справа
от
oq
,\
симметрии,
приход~м
к
заключению,
что
на его
гранях
также
вознИхает
касатеЛьное
напряжение,
но
на
правлению
противоположное
действующим
на
бесконечности
касатель
ным
усилиям
•.
89