Марков Г.А. Савченко С.Н. Напряженное состояние пород и горное давление в структурах гористого рельефа
Подождите немного. Документ загружается.
Поcnе
решения
пonучеиной
системы
уравнений,
в
которой
4n
+2
уравнения
оказываются
линейно
зависимыми,
определяем
неизвест
ные
постоянные
C
k
'
d}(, f k ' g
к
:
С}(=
-т[а,.-
~
i.(a"a
J
• +
biЪ'j)];
"
j-iL}(
d
k
-=
~{
1.4
(aia.
j
-
bibj)T.E
(~aj1'
~bJ)
+
1.+.7"'К
J-i-1<
, +
Qk
f1
i
(a;+b:))
;
!,.=-2
Т
[-*
~
(a.b.+a.b.)+~
(а.Ъ.-а.Ь
.
)1'
" • <:. L
...
j.J<
1.
J J
~
:i-i-k
L J J
1.
.
+Ь
К
~
i(al~b:)J;
9')(
=
Т
[Ь
н
-
~
1.
(ai
b
j
-
aj
b
i
)
J .
.
;1-'1.-К
Расчет
ПОЛНЫХ
напряжений
производится
по
формулам:
(70)
3.
Исcnедование
закономерностей
распределения
напряжений
в
~cnовиях
гористого
рельефа
3
.1.
Напряженное
состояние
пород
в
окрестности
одиночной
впадины
Полагаем
в
(46)
п
=4
,
А
1
=
а,
81
=
0,
А2,
=0
, .
82
=
-3
а
,
Аз
=-
3(
В
3 =
0,
А
't
=
О,
В
4 =
а.
При
э
том
отобра
жаюшая
функция
может
быть
представпена
в
весьма
простом
виде
,
[В7]:
<..>(') =
t:
Т
..р
а.
.
",
-
1.
Эта
функция
осушествnя
ет
отображение
нижней
полупnоскости
с
вы
емкой
при
-1<а:<
О
на
нижнюю
полупnоскость.
Очевидно, что
глу
бина
выемки
Н
=:
I
а
1,
относительный
радиус
кривизны
дна
выемки
(73)
Аналитические
фун~ции
ФСt:.)
и
pc~)
в
данном
cnучае
при
действии
гр
ави
тационных
сил
получаются
cnедуюшие:
70
а
[1(a+4-)Ct'..-i) ajC1+f.)
а1(1-Е)
.]
ф(~)=
[(f,
_i)2_0:]
8i
+ 8 +
4t((.-i)
+Ф(-L~;
Ч'(,)=
а
[_1(a+4)((,,-i)
+
at(1-E,)
+
0:1(1
+~)
_
[('-ii-a1
8i 8
4-i-(t:-i)
(74)
_
(с,-i)'2.
фс
с,)_
t:,Ct:,-i)2
ф'сt:,)
+
C(;._i)'J.
~(с,)-Ф(-i)-
сt:+i)Ф'(с,)l.
а
а
,
(~
+iY·
J '
Ф(-t)
= - [o:jC2a
+4)
+
a21~
J/8
Са
+
2.
').
На
рис.
18
приведены
распределения
относительных
напряжений
6х/IН
и
6y/J'H,
рассчитанные
по
формулам
(51),
(74)
для
слу
чая
о:
=-0.9
при
боковых
отпорах
~
=0,
е
=
»/(1-"),
~
"1.
Здесь
» -
коэффициент
поперечных
деформаций,
принятый
равным
0.25.
из
рис.
18
видно,
что
изолинии
fi
y
/1Н
параллельны
(или
почти
параллельны
)
границе
выемки.
На
участке,
располагаемом
ниже
уровня дна
выемки,
градиент
верт!lкальных
относительных
напря
жений
6у
/t
H
больше,
чем
на
возвышаюшихся
участках.
Характер
распределения'
напряжений
б
у
и
их
величина
с
изменением
боково
го
отпора
изменяются
незначительно.
Распределение
напряжений
б~
в
рассматриваемой
области
сушественным
образом
зависит
от
ве
личины
бокового
отпора.
Величину
бокового
отпора,
при
которой
происходит
изменение
знака
напряжений
б~,
будем
называть
кри
тическим
боковым
отпором
~KP'
При
~
<Е;кр
напряжения
6':х::
в
окрестности
выемки
растягиваюшие
(штриховые
nИНИjf
на
рис.
18).
Величина
l;KP
зависит
от
относительного
раднуса
кривизны
в
д~e
выемки
r /
Н.
Зона
распространения
рв.стягиваюl1ЖХ
напряжений
и
их
величина
уменьшаются
с
увеличением
Е;
,
и
при
l:;
>~KP
напря
жения
6~
становятся
сжимаюшими
всюду.
При
фиксированном
со
отношении
r /
Н
зависимость
б
х
(е)
линейна,
что
следует
из
вы
ражений
(74)
для
Ф
(t;)
и
р'(
~).
Определим
зависимость
S;
кр
от
r /
Н.
Для
этого
из
(з
9
),
(51)
и
(74)
находим
6':х:
'
2а
2
+
4а
+
a2~
l
Н
::;- (1-E;)-t"
2.(1","а
')(2.+а)
(75)
Расчет
напряжений
по
формуле
(75)
приведен
в
табл.
2.
l:Ia
осно
,
вании
этих
данных
получаем
следуюшую
зависимость:
~
:1"'"
VZ:;:;Н-1
КР
2(1-2r/H)
'
(76)
Ддя
r!H.-,..0.5
находим
Е
кр
=0.75.
При
действии
тектонических
сил
после
интегрирования
граничных
условий
(45)
с
учетом
(72)
функции
напряжений
представятся
следуюшим
образом:
71
_----1.8
0.2
_____
Н
_____
1.8
0.2
О.б
-1.0
-Н
1.8
---2
YL
о
'.,
1
ж
o.г~
-_-
O.ft.=------
_____
~----------О.б---------
1.ft.
1.8
-1
рис.
18.
РаспреАеl1ение
горизонтальных
и
вертикальныХ
напряЖений
в
окрестности
ОАИНОЧНОЙ
выемки
при
АейсТВИИ
гравитаUИОННblХ
сил
в
зависИМОСТИ
от бокоВОГО
OTnopa~
3Аесь
и
Ааl1ее:
1 -
сжатие,
2 -
растяжение.
Таблица
2
Зависим
о
сть
концентрации
горизонтапьныx
напря
ж
ений
в
ане
п
олины
при
аействии
гравитаЦIIОННЫХ
сип
о т
ее
рааиуса
криви~
н~ы
и
боково
го
отпо
ра
а
-0.9
-0.
8
-0.7
-0.
6
-0.5
-0.4
-0.
3
r / H
0.006
0.031
0.092
0.
222
0.5
1.125
2.722
Е:
.
=
О
10
5
3.З3
2
.5
2
1.67
1.43
6'~
~=0.33
4
2 .
23
1.63
1.31
1.12
0.98
0.87
{Н
Е.
= 1
-8.18
-3.33
-1.8
-1.07
-0.
67
-0.4
2
-0.
25
ФСt;)
-
(t:.
-
~2
-
a[-
~
+ф(
- i)];
ф
С
-
-i)
=:
4~a~2)
lJf(t:.)-
а
{I
_c
e.
-i
)2[Ф(4)+t:ф(с,)]+(t:
-
i)2
х
(t,
_i)2_
a
2 Q
(t,+t):?
Х
[Ф(4)-фС-i)-(t;+i)Ф'~)J}.
-0.2
8
1.
25
0.79
-0.14
(77)
На
рис.
19
npeдcTaвneHЫ
изолинии
относительн
ых
напряжений
ОХ!.!
т
и
6
9
/Т
для
Q
=
-O.~,
откуда
видно,
что
в
массиве,
распо
ложенном
ниже
уровня
дна
выемки,
наблюдается
высокая
концентра
ция
напряжений
t):l!'
зависящая
.?Т
О'J:Носительного
радиуса
кривизны
в
дне
выемки,
При
этом
област
ь
повышенных
нanряжений
6~~l,2T
имее
т
в
ели
чину
порядка
Н,
Для
опр
еделения
зависимости
6"~
(Т'
/
Н)
в
дне
вы
е
мки
из
(43), (54),
(77)
находим
6'
=Т-
аТ(а+4)
х
(а
...
1
)(а+2)
(78)
Ре
зультаты
расчета
напряж
е
ний
по
этой
формуле
приведены
в
табл.
3.
На
участках
массива
,
расположенных
выше
уровня дна
выемки
и
достаточно
удаленны
х
от
нее
напряжения
Ох
<"
Т
и
Оу
пр
и
обр ет
а
ю
т
знак,
обр
атный
знаку
действующих
на
бесконечности
усилий
(
штриховая
линия
на
рис.
19).
Очевидно,'
что
на
практике
при од
н
овр
еменн
ом
действии
гравитационных
и
тектонических
сил
возник
новение
растягива
ющих
вертикальных
напряжений
в
возвышающих
с
я
над
уровнем
дна
долин
участках
массива
исключено
.
действие
тек
тонич
еских
сил
совм
е
стно с
гравитационными
приводит
к
еще
б
ольшему
ум
еньше
нию
градиента
вертикanьных
напряжений
на
эти
х
участ
ка
х
по
сравнению
с
деЙствием
.
одних
только
гравитационных
с
ил.
Всл
едствие
это
го
на
глубине
h
от
дневн
ой
поверхности
напря
же
ния
б
у
<:.l
h
.
73
Рис.
19.
Распределение
горизонтальных
и
вертикальных
напряжений
в
окрестности
од
'
иночной
выемки
при
действии
равномерно
распре
деленных
на
бесконечности
сжимающих
тектонических
сил.
а
т
а б
л
и
ц
а
3
Зависимость
концентраuии
горизонтальных
напряжений
в
дне
долины
при
действии
тектонических
сил
от
ее
радиуса
кривизны
-0.9
-0.8
-0.7 -0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
r/H
0.006
0.031
0.092
0.222
0.5
1.125
2 .
722
8
6
ж
26.96
11.67
6.92
4.64
3.33
2.5
1.93
1.53
3 .2 .
Одиночный
выступ,
расположенный
между
несимметрv.чными
впадинами
Пусть
в
(46),
как
и
прежде,
п
=4
,
а
коэффициенты
A
k
,
81<
при
нимают
следующие
значения:
А
1
=а;,8
1
=0
,
А2,=О,
82,=-2(1.,
А
з
=
:а
-а,
8з,
=
0,
А
4
=0
,
84
=0.
В
данном
случае
отображающую
функцию
можно
переписать
в
более
простом
виде:
-2<0;.::..0.
(79)
При
действии
гравитационных
сил
из
(42)
и
(79)
получаем:
Ф(е,)
=
~
и;)
.
V'(l,)
=-
'2(()
.
(80)
C'4-i)3_
a
({,+i)
'
С~-i.)а_а:Сt:+i,)'
а1
а:
2
1(1+Е.)р(')
a21i(1-E.)((,,-i)2.
!.C{,)=-i,Сt,-i)+
? + - +
1 2 32.
({,-i.)
32-
+
а(l.+i)Фо+а('-i)Ф~;
74
=
---
~=1
0.1
/
/
/
..
0.1f-
---
....
,
,
I
/
/
Рис
.
20
.
Распределение
напряжений
в
окрестности
одиночного
вы
ступа
при
действии
гравитационны~
сил
в
зависимости
от
бокового
отпора.
::L. .
a'l.1(1-E)),,({.)
(i1i(1"1-E,)(~
-i
)'l.
+'2([.):
2.
t
t:(~-t)+
З2.С~-i)?
+
~2.
"1-
(80)
-+
7
~:~)i1З
{(~
-
i)[
Ф(()
-
ФJ-(t.+i)[t.Ф'(~)+ФоJ}
-
-
(t.
-
i)З[Ф(t:)+
~Ф'(t)];
75
На
рис.
?
о
приведены
картины
полей
относительн
ых
напряженнА
6
х
/;{Н
и
(fJy/IH
при а=--l.
Так
же
как
и
в
случае
одиночной
выемки,
изолинии
,
б
у
располагаются
почти
параллельно
граниuе
поверхности,
сгущаясь
несколько
в
массиве
под
выемками
и
разре
живаясь
на
участках
выше
дна
выемки.
Постепенно
с
увеличением
глубины
изолинии
fЗ
у
становятся
более
пологими,
а
на
глубине
по
рядка
(2+3)
Н
от
дна
выемок,
влияние рельефа
становится
практи
чески
несущественным.
Характер
распределения
величин
напряжений
б
у
с
изменением
бокового
отпора
изменяется
незначительно.
На
глубине
Н
от
уровня
дна
выемок
6'y=(1.4~1.6)tH
под
выемками
и
'Qy=(1.6+1.8)lH
под
выступами.
Напряжение
(Jy
под
выступом
на
уровне дна
выемок
близко
к
величине
0.9;t
Н
.
Распределение
напряжений
6'х
существенно
зависит
от
величи-
ны
бокового
отпора.
При
е;
=0
величины
6'х
растягивающие
во
всей
области,
примыкающей
к
выступу,
и
в
выступе
(ниже
его
основания).
На
больших
глубинах
(порядка
3
Н)
от
уровня
дна
выемки
напря
жения
6
х
стремятся
к
О.
в
верхней
части
выступа
6'
х
сж"имаюшие.
Величина
их
порядка
0.25;{Н.
В
дне
выемки
6х
=
1.8ТН.
При
€:
='
=0.33
величина
напряжения
6'х
в
дне
выемки
равна
0.95;{Н,
а
зо
на
растягивающих
напряженнй
значительно
уменьшается.
С
углубле
нием
в
массив
~x
стремится
к
величине
Е.lу,
дальнейшее
увеличе
ние
бокового
отпора
приводит
к
исчезновению
растягивающих
напря-
.
жений
6:;с
в
окрестности
выемок
с
переходом
к
сжимающим.
В
случае
действия
равномерно
распределенных
на
бесконечности
тектонических
сил
общий
вид
выражений
для
Ф
(
')
и
Чf
(
t;)
оста
ется
таким
же,
как
в
(80),
а
функuии
(
1
и:;)
и
f
z
((,)
представ
ляются
следующим
образом:
f
Ct.)=
-
аТ
[
Са
2
+12,а
-З2.
)"С
+(а
2
-+4а-З2)i
]
1
4(а2+4а-16)
'2
ct.)=
~T
Ct:.+
i)
-
(i,-i)З
[Фсt;)+
t.ф'с(,)]
+
'3
(81)
a(t;-i)
{с
[ ]
['
"'J}
+
(t:.+i)~
t:,-i)
ФСt:.)
-Ф
о
-C-l.+i)
'(,.ф(t:,.)+Фо
;
ф
=
___
а_
2
_Т
__
_
о
'+(<;:t2+4a:-16)
--
есТ
Ф
О
=-
-a~'2.=-+-4-a---1-6-
Из
рис.
21,
где
лриведены
изолинии
'f5
x
JT
и
Оу
/Т
следует,
чтО
напряжение
6',r
на
участках,
возвышающихся
над
уровнем
дна
выемок
,
меньше
Т
и
практически
стремится
к
нулю
в
вершине
вы
ступа.
В
центре
выступа
(на
уровне
дна
выемок)
Qx
=-(0.7
+0.8)Т
,
а
напряжение
6
у
имеет
знак,
обратный
знаку
действующих
на
бес
конечности
усилий.
Аналогично
предыдущему
можно
найти
зависимость
КОЭффИUИЕ!нта
.
конuентраuии
'
ГОРИЗОНТальных
напряжений
'
ОХ
от
величины
а:
r
6'
=-Т-
a;T(a
2
+Ba-з2.)
х
(а;+2)(а;2+4а-16)
(
82
)
-
н
76
--;
/
у
Р
ис
.
21
.
Распределение
налряжений
в
окр
е
стности
одиночного
вы
с
тупа
при
действии
тектонических
с
ил
.
Q;
Таблица
4
Зависимость
концентрации
горизонтальных
напряжений
в
дне
двух
выемок
при
действии
тектонических
сил
от
их
радиуса
кривизны
-1.8
-1.
6
-1.4
-1.2
-1.0
-o.~
-0.6
-0.4
r/H
0.006
0.031
0.092
0.2
2~
0.5
1.125
2.722
8
6'~
,
2
0,4
6
9
.5
2
5.9
4.1
,1
3.05
2.35
1.86
1.5
Напряжения"
рассчитанные
по
э
той
формуле,
приведены
в
табл.
4.
Сопоставляя
данные
табл
.
3
и
4,
не
трудно
уб
е
диться
в
том,
что
с
увеличением
числа
выемок
при
неизменном
относительном
радиусе
их
кривизны
конц
ентрац
и я
напряжения
6
ж
в
случае
дейст
вия
горизонтальн
ых
тектонических
сил
в
дНе
каждой
выемки умень
шается.
3.3.
Напряженное
состояние
пород
в
окрестности
'
асимметрич
ного
выступа
Выше
рассмотрено
влияние
симметричных
неровностей
поверх
ности
на
налряженное
с
осто яние полуллqскости.
ОдНако
с
практи
ческой
точки
зрения
определенный
интерес
пр ед
ставляет
распреде
ление
напряжений
в
окрестности
несимметричных
выступов
[88,
91Т.
Так,
например
,
при
определении
н~пряжений
в
верхних
сл
оях
земн
ой
коры
на
Душанбинском
г
е
офизическом
полигоне
в
качестве
одного
из
характерных
объ
ектов
исследований
было
выбрано
Бегарское
ме
с
торождение.
Для
описания
заданного
конкретного
рельефа
(линия
2
на
рис.
22
,
а)
полагаем
в
(4
6)
:
11.
=4
,
А
1
=
-1.36
62,
В
1
=
-0.5
675
,
А
2.
=0
.
635
0,
82=1.2425
,
Аз
=
0.8625,
вз=0.061
2i
А
ч
=8,+=
0.
77
=
б
--1
г------::::::-I""-....---~
0.06
-
-2
0.33
,
'о.
.....
1.1
О
0.,
·2-
__
_
.....
'...д6
о.
____
------
~
...........
:::'OJ.::=.O:"~O.'t
о
01---------
:-
~----.
-
- _ _0.2---_-::::::::::::==
-
___
0.3--
___________
-----
0..----------------------------
____
----
___
-----_
0.5--_-::::::::::::::::::::::::::
----------
М-
------
а
7-----------------------
Рис.
22.
ИЗOJ1инии
относительных
напряжений
для
Бегарского
мес
торождения
при
действии
гравитационных
сил.
а
-
69/
1Н
(i
-
сжатие,
2 -
граница
заданного
рельефа);
б
-
бж/1Н
(1
-
сжатие,
2 -
растяжение).
ИСПOJ1ьэуя
формулы
(48)
-(
51
),
рассчитаем
напряженное
состо
яние
пород
в
условиях
действия
гравитационных
сил.
из
рис.
22,
где
приведены
изолинии
относительных
напряжений
f3
x
./;'H
и
f3
y
/1}-
при
Е
=
1~Y
(у
=0.25),
видно,
что
распределение
напряжений
6
у
,
так
же
как
и
в
случае
симметричных
выступов,
близко
к
распреде
лению,
отвечающему
зависимости
6
у
=
;{у.
Здесь
у
-
текущая
коор
дината
по
вертикали
от
дневной
поверхности.
Расчеты
показывают,
что
в
массивах,
расположениых
ниже
уров
ня
дна
долин,
возникают
растягивающие
горизонтальные
напряжения
б
х
(линии
2
на
рис.
22,
б),
величина
которых
зависит
от
относи
тельного
радиуса
кривизны
долины.
В
массиве
выступа
f;$~o.l3'H.
С
углублением
в
массив
распределение
напряжений
~x
стремится
к
распределению,
описываемому
соотнощением
~ж
-
Е.а'У.
На
рис.
23
показаны
изолинии
ОЖ/Т
и
5
9
/Т,
рассчитанные
по
формулам
(52)-(54).
из
рис.
23
,
а
следует,
что
распреаеление
напряжеliИЙ
не
симметрично,
хотя
общие
закономерности
остаются
теми
же,
что
и в
случае
симметричных
выступов.
В
дне
левой,
60-
лее
глубокой,
долины
ОХ
=4
.34
Т,
в
дне
правой
-
Ох"3
Т.
В
час
тях
массива,
возвыщающихся
наа
уровнем
дна
долин,
6:х;<Т.
Высо-
78
а
1.2
1.1_
./
~
б
--1
--2
Рис
.
23
.
Изолинии
относительныx
напряжений.
а
-
6'~
/Т;
б
-
б
у
/
Т
Ш1я
6егарского
месторождения
при
действии
тектонических
сил;
1 -
сжатие;
2 -
растяжение.
кий
градиент
напряжений
6"ж
наблюдается
у
подножий
гор,
в
местах
изменения
знака
кривизны
поверхности.
Напр~ення
5
у
(рис.
23,
б)
в
массивах,
примыкающих
к
долинам,
также
имеют
концентрацию,
зависящую
от
то
/
Н,
а
в
массивах
выступов
6
у
растягивающие
,
и
д
остигают
величин
порядка
0.2
Т.
Другой
при
м
ер
асимметричного
выступа
получим,
используя
отоб
ражающую
функцию
(83)
отличающуюся
от
'
(46)
тем,
что
если
(83)
записать
в
о
бщем
виде
так
же
,
как
и
(46),
то
индекс
суммирования
будет
изменяться
от
нуля
до
n.
Рассмотрим
решение
этого
частного
случая.
Аналогично
пр
е
ды
дущему
после
интегрирования
граничныx
условий
(42)
получа
е
м
:
79