Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

Для анализа ошибок положим в (11.17.1) f

= с

]

— e

Применяя к (11.17.1) преобразование Фурье и учитывая (11.17.4)—

(11.17.6), получаем

w++ M

w„—P

(t) [Ttf^] = -Р

(t) (се*). (11.17.7)

Складываем (11.17.7) с уравнением (11.17.5), умноженным на Q

(t):

^(Q

r-P

){c^).

(П.17.8)

Пусть найдено такое т > 0, что функция

— Р

)

(с&

)

регулярна

в полосе | Im v

| < т при всех действительных vj (/ Ф 1) и пусть

(t)

= N

(v) N

(v), где

iV,(v)

= li (v

IJk

);

Nt (*) = П <w

—IP**);

3 __

Pift = (a& + 2i>/)

1/2

> 0. Разделим (11.17.8) на N

(v)

(v). Тогда

[^(^/^(у^е^Ч^^/ЛГх (v)] ei

(v),

(

1U7

)

где

y4vvV2,v

)~yHv)= (Q

r-P

)TlT

ffi). (11.17.10)

Пусть Ima,- = 0 при / = 2, 3. Тогда y

(v) регулярна в полосе

| Im

Vi\

< т

где

= min (т, a

), a

= min | a

|, а функции

i, k

NJN2 и NJNx регулярны и не имеют нулей соответственно в полу-

плоскостях Im v

>—х

\ Imi>

. Применяя метод Винера —

Хопфа

[191],

получаем

= [N

f$Nj)[i>(v) + &№ ei

= (ЛДО

) [v*(v)-e*(v)l

где

в*М=в*(ад,|д=Л я

*<*■»*>* (ii.i7.il)

J # — Vi

—00

(символ Р означает главное значение интеграла). Следовательно,

(с^н)=^(0(^) + *ь(/)Л (11.17.12)

где

Ы0=42

* * С

Q».

^».

<?f);

b(t)=-ir(ci-c,) (ад,)-'*?,,.

ffl

Оценим v*; для этого умножим (11.17.12) на

r —

) (Л^Г

Y*+i

=ihY*

*i*o«*.

(11.17.13)

где

*.-(l/2)(<?i-cO(l-c,Q7

;*e = iK^Q

Ill

). (".17.14)

380

Пусть [Л

= 1 |Ы Жу, |/li=max

\f(t)\.

Из (11.17.11) для

—00 t

действительных v, пользуясь неравенством Гильберта — Рисса [73],

получаем

te*l<[Y*K|f>|i

[(«*)],

(11.17.15)

а из (11.17.13) имеем

[Y*

]<№i|i[Y

l + WiNi[^]<v[

], (11.17.16)

где v = | у

\у + Uhli №oli- Из (11.17.14) следует, что

| ф, | < (1/2) (q - с

) (1 - с

)

< 1/2, a |t|>

|i и №|t

легко оцениваются, если воспользоваться результатами § 11. 9, 11.10.

Учитывая это, получаем v < (1/2) (с

+ с

+ fo — c<s)/(l — с

)) lifod,

где (cj + с

(Ci —

) (1

—

)

< 3, а при Q

= <7п*

+ 1; Р

= 1;

< с

< 1 имеем |

а]>

< 0,225 для <7

= 1/3 и |^

|i<

< 0,186 для q

= 0,286. _

Из (11.17.15) МП. 17.16) получаем [v*]<v*

[f>]

< v* №о|

[(Ге

)];

[g*]<v* ItfodlMl. Очевидно, что jl>

= (1/4) fo — c

)

(1—

- CiQ^PJ"

(1 - c^'PJ-S т. e.

thli < (»/2)(ci - c

) X

X [(1 — c

) (1 —

Ca)]"

Пусть a = 1^ v"

< 1.

Тогда из (11.17.12) находим

[(«*

)]<

Шх

[(«*)]

№ali1**1

< №li

[(«*)]

= <№+' + 1ФА/Ых(1 -«*+') v»+') [(£»)]<

-n

[(«•)],

(11.17.17)

где v*

= |4>i|i

4 К (1-C)/(1-Ci) (l-a*+0v*

Если решение зависит только от x

то (11.17.17) дает оценку схо-

димости в норме [ ]. В самом деле, пользуясь равенством Парсе-

валя,

получаем [се*] < v

[с&°].

Для многомерного случая рассмотрим норму

\\f\\

,K=mFK(v

,v^dvy

где К (v

, ^з) — медленно растущая весовая функция, 1 < р < оо.

Тогда из (11.17.17) следует, что

||K+%,

<v,

2|K

(11.17.18)

а из (11.17.18) вытекает сходимость в || ||2,я KPi

(п)-метода.

Нетрудно оценить сходимость КР

(п) и в норме || \\

PtK

. Модифи-

кация оценок в этом случае состоит только в том, что неравенство

(11.17.15) будет иметь вид [g

]

< А

]

|t|>

|i [ce

]

где А

— некоторая постоянная, а [/]

= (J \f\P dv

)

—оо

381

§ 11.18. ИССЛЕДОВАНИЕ /^-МЕТОДА ДЛЯ ЗАДАЧ С ЛИНЕЙНОЙ

ИНДИКАТРИСОЙ РАССЕЯНИЯ

Использовав самосопряженное уравнение с изотропной индикат-

рисой рассеяния, мы оценили сходимость /СР-методов для периоди-

ческих задач; в этом случае полученные оценки сходимости справед-

ливы и для периодических решений несамосопряженного уравнения.

Положение меняется, если рассмотреть несамосопряженное урав-

нение с линейной индикатрисой рассеяния. Поэтому представляет

интерес особо рассмотреть этот случай.

Проведем исследование на примере 2я-периодической задачи,

когда индикатриса рассеяния является линейной функцией от QQ\

Итак, рассмотрим уравнение

/QV

с(ф

+ 3|г2 0>фу]+/(х,0),

(11.18,1)

где \i — заданная величина, а ср

= Scp, фу = S(£typ), / = 1, 2, 3.

Операцию К определим формулой

/ЙУф*

+Ф^

1/ЗС

С(Ф5+3?2

0;Ф/

]

JH-1/2

п*-И/

+/(х,Д). (11.18.2)

Это значит, что если ф

= 2gnQ) exp (inx), то

+1/2

сой)""

^ ^

gSo

3]1

^ °^ ^) + /п)

(И.18.3)

где t = l |п|, а> =

(<D

(о

, со

= щ/\п\. Если через

Gn обозначить вектор-столбец (g„o, gn ь gn2, g%z), состоящий из

нулевого и первых моментов функций g„, то, используя формулу

(5.1.36), из (11.18.3) получим

G„

+1/2

= cR(t)MG

+ %, (11.18.4)

где R (t) = (Rj

) — матрица, у которой R

= г;

±J

= - 3 I (1 - г) t

(о

j±

= - i (1 - г) Г

©;.!;

RJJ = 3 (1 — г)

tf~

— а

— ю/

в1

) при / = 2, З

4 и

Rjk = аю^ю^при \ф k и /, k > 1; а = (3/2) [3 (1 — г) t

— г];

М = diag {1, fjt, fi,

JJI};

% — вектор, полученный] из /„.

В качестве операции Р

возьмем решение 2я-периодической за-

дачи для системы уравнений

/У -4 + (1-С)И^^ = С(Ф*+»/

-Ф*);

+('-«^"

-f^

-??~ ! <

1U8

дх

dxjdxi

d*w

dxjdxi

ft+l/2

fmH

= Ф (ф/

Ф/

*),

382

где

/, т = 1, 2, 3; i Ф т Ф /.

Система уравнений (11.18.5) занимает промежуточное положение

по отношению

к Р

- и

-уравнениям метода сферических гармоник.

Она совпадает

/^-уравнениями

при g = 1, s = 0.

Коэффициенты

решения этой

си-

lf2

)

от

Фурье

l/2

(t^"

стемы имеют

вид

l,2

c(Q

I-M)-

(G*

+1/

где матрица

Q =

Jft

) имеет элементы:

= 0;

= —

ico,-

QJI

i©^/3;

(s*

/5) (1

- ©/) при / = 2, 3, 4 и Q

—

o)y(o

stf

/5 при

j Ф k и

k> I.

Следовательно, ошибки

e„

удовлетворяют соотношению

=.c(Q +/-CA!)-

{(Q

I)R-l)Me

. (11.18.6)

Найдем собственные-значения матрицы перехода

(11.18.6),

де-

ленной на с\ они являются корнями уравнения D (X)

= 0,

где

(X)

((Q

+ I) R — I) М

—

+ I

— сМ)

Определитель

D (X)

имеет

вид

—

—(u

t —co

Рсо

+ а рсо^з

PcOiCOg

^(о

(о

Pool

+ а

Рсо

со

Р^сод

Ро)

(о

рсо!

+ а

D(X)

1-е

6со

где

6= (^2

_(1_

)^1)_я^/3;

((1

_r) fe-

3s/5)

+ а

/5))

/5;

(I (3

—г) ^-

—

(3s/5)

—г)—ос

+s^

/5)) —

—X{l

—

c\i

Ib).

Вычисляя определитель, получаем уравнение для X:

Ха

((1—

с) (Р + а) + Ы) = 0.

(11.18.7)

Из (11.18.7) имеем

= 0;

^_,

(g^

/3+i) г—i

(i—0 71(3(1—г) ^~

—i+g (1—г))

. j

(\-c){l-cv)+gt*/b '

(11.18.8)

ЗА

[г г|)

(*, с

у,, s),

гдеф

(f, ф, s) = [3 г —

2—3 (1—r) t'

—(3s/5)

—

— г/

)]

—

— с|л

stVS)]*'

. Следовательно,

за

одну итерацию ошибки убывают

не менее

чем на

множитель

max

Можно проверить,

что для

t, i

одномерной периодической задачи собственными значениями будут

только числа 0 и Л

, а для двумерной

—

0, Я

, Я

Оценим теперь |А,

|, |Я

3>4

|. Очевидно,

\Ч<Ъ

= (3/-

/g) ((g№+ 1) г-

+ (1 -

+ 8(1-г))).

что

■

c)jl(3(l-r) Г

-1 +

383

Если параметр g выразить через q по формуле

g = (i_4 т/(9т + 5) + q)~\ где т = (1 -

с)

jl, (11.18.9)

то <h (/) = г - 3 (1 - г) Г

+ [9т

+ т)/(9т + 5)] у (t) -

(f),

где у (t) = 3 (1 -

г) 11*

- (5/3) (t

- 3 (1 - r))l

<*;

2 (0 = 3 (1

—

г)//

+ Зт (t

—

3 (1

—

г))/*

Можно убедиться,

что

у (0) = 0; г (0) = 1 + 9т/5 и, следовательно,

tyi (0) = 0

9 = 0. Функция

(/) убывает как Г

, а у

(t)

— как *~

при

->оо. Известно, что 0 < г

—

3 Г

— г)

0,225

(см. § 11.10),

а расчеты показали, что 0 < у

(t)

< 0,06. Следовательно, при доста-

точно малых q

т, далеких от —5/9, величина

/Пх

= max |% (f)

до-

статочно мала. Например, при т= 1/2 получено

< 0,26 при

(/ = 0 и т

< 0,217 при

= 0,114, а при г = 1 найдено, что

0,299

при q = 0 и т

< 0,241 при # = 0,086. Для исследования

поведения Х

И т

—

5/9 целесообразно сделать другую замену

параметра g, учитывая, что величина (1

— с)

— c\i)

не становится

малой при т = — 5/9.

Оценим функцию

(/, cfx, s). При s = 0 имеем

ф=(1/2)(Зг-2-3(1-г)Г

)(1-ф)~

, т. е.

с\Ш[*,ср,0)\^с$\{1^ср)-

Следовательно, КРг (1)-метод с применением уравнений (11.18.5)

при s = 0 сходится для многомерных задач при

с\л

< 1/2.

Поскольку функция ф (t, с |и, 0) мала при малых t, для 1/2 <

< Ф <

сходимость итераций обеспечивается методом, состоящим

в чередовании серии операций К с одной описанной операцией

КРг (1). При s = 1 функция -ф обращается в нуль вместе с первой

производной в точке t = 0 для любых \c\i\ < I; подсчитано, что

0 <

<р

(t, ф,

0,265

при \с

ix\

< 1. Для т

(d)

= min max |ф (t, ф,

s)\

t;\

cji

| <

получены оценки:

(1)

0,22

при s =

0,49;

(0,99)=0,2

при

0,45

и m

(0,9)=0,16 при

s =

0,36.

§ 11.19. /(Р,(м)-МЕТОД ДЛЯ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ

АНАЛОГОВ ПЛОСКОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Рассмотрим сетку D

= D

X D

, построенную в § 9.10 и систему

разностных уравнений (9.10.6), аппроксимирующую периодическую

задачу для самопряженного кинетического уравнения (9.10.1). В этом

параграфе

мы

воспользуемся обозначениями

9.10—9.13. Операцию К

запишем в виде

-l

\i4

+*'* + m

+4* =(o(cS^ + F),^

/2 =s,a*+i/*.

(11.19.1)

384

Разлагая ^

+1/2

и%,

F = F (х) в

ряды Фурье, получаем

l/2

=7{Xj)

{cu'oi

+ Fjl

(11.19.2)

где

— коэффициенты Фурье функции

F (л;), а

величины X/,

г,-, (Х

)

определены формулами (9.11.10), (9.11.12). Пусть

(t), Р

(t) —

многочлены, заданные формулами (11.9.1), (11.9.2),

со"

— оператор,

обратный

оператору со, определенному

на

множестве периодических

сеточных функций.

За Р-уравнения возьмем систему разностных уравнений, опре-

деленных

на

сетке

Qn(Y

(©"' 6*)

1/2

co«P

(il(co-i 6«)1

)(са>+Л) (11.19.3)

с периодическими краевыми условиями

и f

= с (^

+1/2

—

и*). Легко

убедиться

в том, что при w £

271+

р,

[—я, я], где а £ [0, 1], 0 <

^ Р < 3,

система (11.19.3)

точностью О

(/i^

)

локально аппрок-

симирует дифференциальное уравнение

{

fx)

{cw+fi)

(11Л9

Систему уравнений (11.19.3) перепишем

удобной

для

счета форме

w«»*«-*

^=2 (-w

^w^

11Л9

Найдем периодическое решение (11.19.5), взяв

= 2wj exp (i jx).

(11.19.6)

Подставляя (11.19.6)

(11.19.5), получаем уравнения

[Qn{h)-P

{h)c]wj

= P

т.

е.

где

—

коэффициенты Фурье функции

которые согласно (11.19.2)

равны

. = с

{[cr (kj)

—

u*j

(Xj)

Fj}.

Положим

Повторяя стандартные рассуждения, видим,

что

ошибки

= S

—

удовлетворяют соотношениям

«Р

-?*^.*,-*&),

(

11Л9

)

где

^(f)

[l-Qn

(i)P

(Ос]"

[7(0—Q^

(t)}.

(П-19.9)

Следовательно,

вт

справедлива оценка |je*||<[c||ijJj|(Q

с)]

X || ев

||, где

11*|1(«»,Я

,с)

1№||

тах|*(0|. (11.19.10)

385

Таким образом, мы убедились в том, что способ выбора многочле-

нов Q

ту

при котором величина? (/) — Qn

(t) Р

(t) была бы до-

статочно мала [а это гарантирует быструю сходимость КР

(^-ме-

тода],

оказался связанным с задачей о выборе квадратуры S

[от S

квадратуры зависит вид функции г (*)], а от выбора S

зависит по-

грешность метода сеток. Очевидна

Лемма 11.19.1. При

= n—l,7(t) = Р

(t)/Q

(t) и f

(х) =

= F (х) для

периодической

задачи имеет место равенство w = S

и>

где

сеточные

функции

и>

w являются

соответственно

периодическими

решениями систем разностных уравнений (11.19.1), (11.19.5).

Лемма 11.19.1 следует из того, что в указанных условиях

7 (t) [1 - cr (t)]'

= [Q

(t) - Р

(t) с]'

_г (/), т. е. формулы

(9.11.15) для S

uYL (11.19.7) для w совпадают при f

= F.

Из леммы 11.19.1 вытекает [119]

Следствие 11.19.1. Существует прямой алгоритм 51 решения пе-

риодической задачи, для которого Ц (51) —

общее

число приведенных

арифметических

действий

—есть величина порядка

(MN)

а Э(51) —

двоичный логарифм числа ячеек памяти ЭВМ, необходимых для pea-

лизации алгоритма

51,

есть

величина log

N + О (/).

В самом деле, решение периодической задачи сведется в условиях

леммы 11.19.1 к решению периодической задачи для сильноэллип-

тического обыкновенного дифференциального уравнения 2Af-ro

порядка с постоянными коэффициентами, а последняя задача сводится

к последовательному М-кратному интегрированию периодических

задач для уравнений 2-го порядка, правые части которых, заданные в N

точках, зависят только от результата предыдущего интегрирования

[см.

формулы (11.10.17), (11.10.18)]. А так как каждая из периодиче-

ских задач для уравнения 2-го порядка решается методом прогонки

с затратой О (N) действий и запоминанием О (N) чисел, всего потре-

буется О (MN) действий с запоминанием только О (N) чисел.

В условиях леммы 11.19.1 имеет место равенство М = п. Это

накладывает ограничения на вид операции Р. Поэтому рассмотрим

другой способ выбора Р

и Q

. Пусть P

_i, Q

выбраны согласно

лемме

11.10.1;

они являются соответственно числителем и знамег

нателем подходящей для г (t) дроби порядка 2п. Пусть п < М, а

многочлены См-\ (f)

Вм (t), определяющие квадратуру S

(см. § 9.11),

являются также соответственно числителем и знаменателем подхо-

дящей для г (t) дроби порядка 2М. Тогда, учитывая неравенства

(11.10.6), получаем 0<^"(/, Q

, Р

с) = {С

-\1В

— P

-i/Qn)X

X (1 - cPnJQnT

< (г (t)-P

) (l-cP

)~\ т. е. по лемме

11.10.1 имеем

||-ф||

, Р

с) = О

(я"

Таким образом, скорость

сходимости KPi(n) -метода оказалась асимптотически равна

— In сп'

. На каждую операцию К затрачивается О (NM) действий

и требуется

(N) ячеек памяти ЭВМ, а на операцию Р

(п) затрачи-

вается 0 (nN) Действий и требуется О (N) ячеек памяти. Пусть при

N, М ->оо цена операции /С, которая обозначена Ц (К), с точностью

до членов О (N), О (М) равна aMN, а Ц (Р (п)) — цена операции

Pi (п) — с точностью до членов о (N), О (п) равна dn N, где a, d —

386

некоторые постоянные. Тогда

за

одну итерацию совершается асимп-

тотически N, (аМ

dn) арифметических действий. Следовательно,

общее число действий, необходимых для решения разностной перио-

дической задачи

точностью

КР

(п)-методом, которое обозначим

U[/CPi (п),

е],

можно

при

Ф 0

асимптотически считать равным

Ц 1КРг (я),

е] ~ N

(аМ

dn) (1

rj/ln

л),

(11.19.11)

где TJ

= | In

Пусть

мы

хотим решить

л-периодическую задачу (9.10.1)

с точностью

е в

норме

| |

[см.

(9.13.4)]

предположении,

что

£ Н

(d, а), где

а >

4. Тогда согласно формулам (9.13.9), (9.13.10)

следует взять

N =

(е-

М =

(e~

где

у = 1/а.

Подставляя

эти значения

формуле (11.19.11), получаем

Ц[/(/

)

1И,е]-Л8-

(Бе^

)(1_1пе/1пп), (11.19.12)

где

Л,

В— некоторые положительные постоянные. Найдем такие

значения п

= п

при которых правая часть (11.19.12) асимптотически

минимальна при

->0

[123].

Для этого необходимо найти минимум

функции

у(х)

(х

Be-v) (1 — In e/ln

х).

Продифференцировав функцию

у(х),

получим уравнение

1 — 1пе/1п

х +

Ber*/x) In

e/ln

х = 0.

(11.19.13)

Сделаем замену переменных

t =

х~

. Тогда уравнение (11.19.13)

от-

носительно нового неизвестного

запишется следующим образом:

—В-

г*(1

+ In

Inline). (11.19.14)

Можно показать, что решение уравнения (11.19.14) имеет вид

= _

B-i

у)

v in е

+ р

(е)], (11.19.15)

где |3(е) ->-0

при е

->0. Тогда дешевый алгоритм /СР

(я)-метода

определяется значениями

п =

, удовлетворяющими соотношению

— Be-v (1

+ а

(8))/у (1

у) In е), (11.19.16)

где

(г) ->0 при

->-0.

При этих значениях формула (11.19.12) принимает вид

Ц(№W.

е)

-ЛВе-./.-v

[,_I±2fiL_](

_L)

(11

17)

или более грубо

ЩКРЛп^]~ АВ(1+а)г-М+*-

(11.19.18)

Цена операции /С для этого случая есть

Ц(/0

О(е-О/*+*/«>). (11.19.19)

Сравнивая формулы (11.19.18)

(11.19.19), видим, что при

->0

Ц E/CPi (Лд),

е] =

О [Ц (/С)]. (11.19.20)

Таким образом, общее число действий

оптимальном (дешевом)

КР

(я)-методе асимптотически

при е -+0

равно

по

порядку числу

387

действий в операции /С, т. е. задача решается с затратой числа дей-

ствий, равной по порядку затрате числа действий в одной итерации.

Алгоритмы КРг (я)-метода, обладающие свойством (11.19.20),

существуют не только для п, заданных формулой (11.19.16); но и для

всех п вида

= 8-v/(

), (11.19.21)

где положительная функция /(e) имеет следующие свойства: /(e) ->-0

и 0 < р (е) = In/ (е)/1пе < О (1) при е -> 0. В этом легко убедиться,

подставив (11.19.21) в (11.19.12) и получив (11.19.20) [может быть,

с большими по сравнению с (11.19.18) константными множителями].

В качестве функций / (е) могут быть взяты, например, функции

/ (е) =

СвР

для 0< р < у. Тогда Ц (КР

(л), е) ~ АВ (l+(

-p)-i)

8~^/

Х)

, что больше при Р>0, величины, заданной выражением

(11.19.18). Для функций /(e) = С (In е)Р при любом Р > 0 асимпто-

тическое равенство (11.19.18) не изменится. Таким образом, оценка

(11.19.16) носит качественный асимптотический характер.

§ 11.20. /(Р

(1)-МЕТОД ДЛЯ ЗАДАЧ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

СИММЕТРИЕЙ (БЕСКОНЕЧНЫЙ ЦИЛИНДР)

В § 9.7, 9.8 были получены разностные уравнения, аппроксими-

рующие кинетическое уравнение с линейной индикатрисой рассея-

ния для цилиндрически-симметричной геометрии. Рассмотрим случай,

когда в операции Р для функции w (г) взяты уравнения

и+(1

с)ш

о(г);

(11.20.1)

переходящие при g = 1 в Pi-уравнения метода сферических гар-

моник. Здесь c=2

/2, кусочно-постоянные функции F

(г),

-ф

(г)

являются соответственно нулевым и первым угловым моментами от

источника, a w(r), v (г) представляют собой приближенные значения

соответственно нулевого и первого угловых моментов функции ф.

Для системы (11.20.1) ставится на отрезке [0, R] следующая краевая

задача. Пусть v (0) = 0. При г = R возьмем краевое условие, ко-

торое аппроксимирует условие (5.3.6). Применяя к обеим частям

(5.3.6) оператор /_ [см. (9.8.18)] и учитывая, что /_7\р = — У+ф и

/_ (cos i|>7\p) = (я/4)/

ф, получаем

= _ х/

ф + J_V. (11.20.2)

Предртавляя приближенно функцию ф в виде

Ф (Д, ц, у) « w (R) + 3Q n v

(R)>

(1К20.3)

388

где n — внешняя нормаль к поверхности цилиндра, и учитывая,

что в этом случае /

ср = ± до/4 +1>/2, получаем краевое условие для

системы (11.20.1):

v (0) = 0; v (R) = [(1 - х)/(2 (1 + к))] w (R) + [2/(1 + к)} J_V.

(11.20.4)

Опишем первый шаг /CPj-метода, предполагая, что

V = V

+ ЗУ

sin ft cos ф (тогда /_К - — V

/4 + VV2).

Пусть заданы начальные значения ф° (г), ф° (г), Г ф°, У

ф°. Поль-

зуясь уравнением (5.3.6), находим при г = R, \i < 0 значение ф

1/2

на каждой характеристике у = yf.

1 /2

= х [а —4

—а) ц/я]

7\ро

У.

(11.20.5)

Выполняя операцию /С, находим на каждой характеристике ф

решая дифференциальные уравнения сразу для всех у с начальным

условием (11.20.5). Найденные значения.ф

тут же используем для

образования ф)/

при 0 <! г < #, а при r = R получаем S+ф

Тф

1/2

У+ф

. Учитывая краевые условия (5.3.6) при г = R, полагаем

ф!/2(^)

5ф

= 5

+ 5^ф

Пользуясь уравнением баланса (9.7.7) и зная, что ф}/

(0) = 0

и ф^/

(г) задано, находим ф[/

(г) при 0 < г < R. Вычитая (11.20.5)

из (5.3.6), видим, что ошибка г)

1/2

= ф — ф

1/2

удовлетворяет краево-

му условию

V/2 = х [а — 4(1 —а) [х/я][7у/

+ Т (ф

—

<р

)].

(11.20.6)

Представляя функцию rj

в виде

г]

» до

+ ЗЙпа

условие (11.20.6) заменяем приближенным (11.20.4), которое в этом

случае будет иметь вид

о(0) = 0,

(Д) = -^

(Я)__^у

(ф1/2_<ро) (11.20.7)

^(1

И) 1

+ х

при

= У

, до = w

l/2

Теперь выполняем операцию Р

: решая краевую задачу (П.20.г),

(11.20.7) при F

(r) = ^ [ФУ

(г) -

(г)], ф (г) =

ф[

(г)-Ф? ('Я,

находим до

(г), и

(/•).

Для 0 < г < R полагаем

Ф;

(Г)

<pj/

(г) + до

(г), (11.20.8)

389