Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

где

*i(0 = *

(Qn,/

c«>=

Свойства функции ty

(£) аналогичны соответствующим свойствам

функции aj) (?) (11.9.8).

Рассмотрим балансную схему K

Pi 0), для которой дифферен-

циальное уравнение в (11.12.1) имеет вид

—<7п/

Дш*-Ь

+ (1—с

) ^+2/

(^+

—и% (11.12.2)

где

<7п —

подлежащий выбору параметр. Легко убедиться в том,что

при q

= 2/3 функция ф

1, 1) для уравнения (11.12.2) равна

нулю вместе с производной при t = 0. Численные расчеты показали,

что при 0 < с

значения функции % (Q

1, с

) при q

= 2/3 за-

ключены в пределах 0 <'ф

1, с

) < 0,049, а при ^

= 0,643 до-

стигается mln max 1% (Q

, 1, с

)|, равный

0,038.

Для сравнения ука-

жем, что в КРх (11.9.3) ошибка уменьшается за две итерации не ме-

нее чем на множитель 0,051 с

, если за операцию Р

(1) взять Pi-

приближение, и на множитель 0,035 с

в оптимальном случае.

Незначительно увеличивая цену одной итерации, можно предпо-

ложить более быстро сходящийся метод К?Р

(п) Р

(0):

^+i/4

sLo

(^+

); ^

+1/2

=SL

-4^S

+1/4

+f);

J+3/4

+ l/2

l/2;

| (11.12.3)

ю*+з/4

(i _a

(и*+

—

ttj);

где Q

(t), P

-i (0 —многочлены, определенные выше. Если т =

= mina^

(t);

М = max <f

(/) < с"

, то, взяв величины

из множества

(11.11,3), получим

= П №(/|п|)-а

]/(с-

-а

;

)б^.

Тогда

*i+

| < 0

|е£|; в = (2 с'

- М —

т)/(М

- т).

Например, если п = 1 и за операцию Р

(1) взять уравнение

(11.12.2) при q

= 2/3, то т = 0; |б| >

с"

— 1, т. е. для N = 1

/(41

—

) < 0,025 А

Очевидными обобщениями предложенных методов являются

g(K)Pi (

)

и s

g(*0 Pi(n)P

(0), где S

(А:)

—

многочлен q-и степени.

Эффективность этих методов зависит от порядка аппроксимации

функции S

\г (/)] дробно-рациональными функциями P

370

§ 11.13. (/РЛ(/))

КЯ2(п)-МЕТ0Д

Спектральная функция операции

—

функция

(f) —

убы-

вает

при t ->оо как

Ат

/4. Следовательно, если

операции

(1)

(см.

§ 10.6)

положить

= Qi (X) = - 4 л ~

Д + /; С

= Р

(55) с

= с

/, т

= /,

то спектральная функция операции

(1)

имеет

ту же

асимптотику

убывания

на

бесконечности,

что и

функция

(t), а

спектральная

функция

(t)

операции

Р\ (1)

выражается

виде

(t) = (1 - с

+ 4

[г

(0 (1+4

я~

)

- 1] с

Она убывает

при t ->оо как

—яГ

. Легко видеть,

что

-ф

(0 < 0

•ф

(0) = 1 — я

/6 при с = U

Можно показать,

что при с 6 [0, 1]

функция

удовлетворяет неравенству

|^|<С1С

(Р

"КГ+Т

, (11.13.1)

где

р = Г

, а с

> 0 —

некоторая

не

зависящая

от с

постоянная.

В операции

(п) положим

= Q

(X); С

= Р

(X) с, х

= /,

где

за

многочлены

_i (0>

(t)

возьмем числитель

знаменатель

дроби

*=1

представляющей собой квадратурную формулу интерполяционно-

го типа

для

интеграла

j J

d\i\ в ней \х

—

положительные

корни многочлена

2п

(х). Для

спектральной функции операции

КР

(

)> выражаемой формулой (11.9.8), справедливо неравенство

ИЧ0^|<^ср(р

/НТ

)

^ (11.13.2)

где

> 0 — не

зависящая

от п и с

постоянная.

Мы

не

будем выписывать подробную итерационную схему

(l))

КР

(л)-метода.

Она

очевидна

из

самого обозначения этого

метода. Сопоставляя формулы (11.13.1), (11.13.2), видим,

что

после

выполнения операции (K

(l))

КР

(я)

величины

[е*!

уменьша-

ются

не

менее

чем на

множитель cfc

2m+1

3m+1

(Р + Vl +

)2-«-зт

Поскольку операцию

проделали

при

этом

2 /п+1 раз, то на

одну

операцию

К за

один цикл итераций происходит уменьшение величины

\вп\

среднем

не

менее

чем на

множитель с

сф

где с

> 0 —

неко-

торая постоянная,

не

зависящая

от т, я, с, а

a|)

(P)=^(

^+0/(2m+l)(p

Xq7p2)(2-«-3m)/(2m+l)

Пусть

N = я — 3; а = (3 т+1) N"

Найдем

max

-ф

(Р):

(a)

max^

(P)

3a/v

2aN

)(l

2a)-

)/(

(

2aiV

)).

(11.13.3)

371

Для вычисления min *ф

(а) дифференцируем функцию tf

по а;

получаем, что в точке минимума должно быть справедливо урав-

нение

(1 +2

ее)""

а= 1. (11.13.4)

Таким образом, если взять т ж (aN

—

1)/3, где а

—

решение

уравнения (11.13.4), то получится максимальная скорость сходимости

итераций. Найдем асимптотические при N ->

оо

значения а. Из

(11.13.4) получаем, что а ->0 и 2 Na ~ — In а при N ->оо, т. е.

а ~ (lnN)/(2

ЛО

и, следовательно, т ~ (1пЛ/)/6. Подставляя эти

значения в (11.13.3), получаем, что

яр

[(/г"

Inn)

] при

m ~ (ln#)/6.

Итак, каждой выполняемой операции К в (K

Pi (l))

/(Pi (п)

соответствует уменьшение ошибки в среднем не менее чем на множи-

тель О [(/г"

lmz)

c],

т. е. этот метод при больших значениях п схо-

дится быстрее KPi (я)-метода.

В рассмотренных методах ДЦ =

(mN).

§ 11.14. ЦИКЛИЧЕСКИЙ КРКО-МЕТОД

Пусть операция Р

(1) выполняется при Q

(t) = 1 + g

/3,

(0 = 1, где g

(k = 1, 2, ..., N)

—

меняющийся с периодом N

числовой параметр

[126].

Тогда после N итераций

E^"

= 0

(/|j|)c"e?, (11.14.1)

где

Ф„(0 = Ф*(/, с)= П [(l+^mjr^-lK^m+l-c)-

/=*i

Для выбора g = (g

..., g

), где gk>g

+i> применим мини-

максный критерий; поскольку |Фдг(/,

с)

| <

|Ф^

(/, 1)) при с<1,

оптимальные значения g получим из условия минимальности неко-

торой нормы Флг (t, 1).

Имеем

(t,

1) = r

(t)

(/)], (11.14.2)

где

(x) = П

-x/gi);

x(t) = 3[l -r(t)] t-Vr(t)

и x (0) = 1; x (oo) = 0; x

(t)

= x

{—t)\

x' (t) < 0 при /.> 0.

Решим две задачи оптимизации.

Выберем g такими, чтобы за N итераций циклический KPi (1)

в максимальное число раз уменьшал ошибки е/ при

| j

| < п

по

сравнению с методом простой итерации.

Поскольку при j = 0, k >

имеем ej = 0, достаточно рассмот-

реть убывание ошибок е^ при 1 <

| j |

< п

372

Обозначим

М = х

(/),

т = х

(1п

Для

решения первой задачи

необходимо найти

{g:max\SNlx{t)]\

), (11.14.3)

где

= min max

\SN

(X)\.

(11.14.4)

Решение задачи (11.14.3), (11.14.4) известно [см.

10.18

(11.10.19)]:

—

т)

pj/2; a

= 6

(11.14.5)

где

б =

(М

т)/(М

—

/л),

i = 1, 2, ..., ДО.

Уменьшение ошибок

Ло

увеличивается более чем

Эй

раз.

Рассмотрим класс периодических функций

Я(Ф)

= {/:

|/,|<<p(/|J|)>,

где ф (f)

> 0

—

ограниченная

на [0, оо]

функция

и ф

(f)

->0 при

£->оо. Введем новые переменные:

= (1 +

*/)/2;

(у)

((1

у)/2).

Перед формулировкой второй задачи оптимизации заметим,

что

вследствие неравенства

(tf)<х

(t)

(12/я

—1)(1

—

х(О))""

имеем

|Ф*(*,

1)|<U

(/)5NU(*)]|.

Пусть функция

(Л:)

—

обратная

к х

(/),

ф (у)

[т

((1

г/)/2)1,

(#)

^ 0

—

суммируемая функция

на

отрезке [—1,

1].

Пусть теперь

£ Н

(ф). Вторую задачу оптимизации поставим

на классе

(Ф)

найти такие значения g",

при

которых реализуется

= JN№,

у J

(

^-)

2iV

Sh(y)$№(y)dy. (U.14.6)

Пусть

(у)}

—

система многочленов, ортогональных

на

[—1,1]

весом

Р(У)

(-^)

"Ф

(</Ж</)-

Тогда решение задачи (11.14.6) известно (см. леммы

10.21.1,

10.21.2):

за

следует взять величины,

при

которых имеет место равенство

SN (у)

= PN

(#)/PJV(—

1).

Следовательно,

= {-

:^(|/) =

0}.

(11.14.7)

Взяв

согласно (11.14.7), получим наилучшую сходимость

нулю

за

ДО

итераций величины t

метрике, порожденной функционалом

(11.14.6).

373

Если вес

(у) —монотонно возрастающая функция на [—1,

1],

то (см. [210])

max \p

(y)S

(y)\

\pi/m)P

(l)/PN(-l)\. (11.14.8)

Пусть

_(JbLy(J±t)"»+». (П.14.9)

где

а >

— 1; р

— (N

1/2). Тогда

Р*<0

/><•■»«"+

»><0,

где

(у)

—

многочлен Якоби

[210]:

Pjv

0/H2-»

2 Г

+ а

) P

)(i/-l)

^(y+l)

. (П.14.10)

m=oV

m / \N—m)

Используя формулы

для

многочленов Якоби, запишем выраже-

ние для JN*.

(N+

1) Г

(N+a+

1) Г»

(2УУ+2Р+

П114 11)

(a +

(iV

p)) Г

(3iV+a + 2p+

1) Г

(ЗЛ^+2р+

' ' '

Далее в этом параграфе будем предполагать, что а = 0,

ф (t)

= afi (f), где а и Р — некоторые положительные числа. Класс функ-

ции

(ф) для выбранной таким образом функции ф обозначим

Н (a, Р). Тогда из (11.14.8) следует, что

|(1±^р

„

(

(АГ,Р)-

= Г(#+1)Г(2ЛГ + 2р+1)/Г(ЗЛГ

2р+1).

(11.14.12)

Значит, если ошибка е*

€

Н (c

, p

), то

Л {N, р

, g)

max

/f+P*

до

[x(t)]\

< в

(ЛГ,

Величины У^,

(Л/,

Р)

при

->-оо можно оценить, пользуясь

формулой Стерлинга

@(N,

p)-2K^73(2/3)

/PiV

[4^(^

/(3iV +

2p)

]

(П.14.13)

т.

е.

(N, р)

In (4/27) при

-*оо,

(1/2) (iV

Р)-

[в (N, р)]

Поскольку

Ф*С

с)

{

(

[Т-г(0]

{t)5jv[

(01

+ 3(1-с)^Г

П-

то при еЧЯ (a

, Р*)

|Ф,(^)еЛ<а

0(^р^{

^1_}%

374

X n[l + 3(l~c)gr4-

ri<a

e(yv, p

). (11.14.14)

Учитывая (11.14.1), (11.14.14),

\в1+

\^а

в(М

)с».

Можно показать, что значения g, реализующие min A

(N>

Р&,

g), лучше

приближаются по формуле (11.14.7) через корни РдГ

1/2,2 (

Р)

> (у)

После того как найдено

процесс итераций можно продолжить,

считая, что s

£H (a

0). Осталось выяснить, что взять за

Если источник F £ Н (а, р) и за начальное приближение

и°

берем Pi-приближение метода сферических гармоник, то можно по-

казать, что е° = и

—

и°

£ Н (a

р + 1), т. е. р

= р + 1. Приме-

нение циклического К Pi (1) для задач с переменными коэффициен-

тами показало существенное ускорение сходимости итераций (см.

пример в § 11.20).

§ 11.15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ

В ЦИКЛИЧЕСКОМ К/М1)-МЕТОДЕ

Пусть вес р (у) определен формулой (11.14.9), а коэффициенты

i = 1, ...., N,— формулой (11.14.7). При

< N < 4 значения^

вычисляются в явном виде через корни многочленов Якоби (11.14.10):

N=\:

(2p

+ 3)/(2p + a +

4);

л/

2- е

Р+

Л , i/ *+2 У

«1.2

р + а+8 ^ У (

р+6)(2р+а+7)Г

=(2p

+ a+12)^(2p +

+ 2(-iy |/%

Д^

,1=1,2,3.

Ф+2я(/~2)

X COS^- - -

со

= arccos \

Р+

/ 2Р+«+"

* L 2р+10+а J/

(а

+3)(2р+9) J'

Для N = 4| получаются громоздкие выражения, мы не будем их вы-

писывать.

В работе [126] найдены асимптотические формулы для корней

многочленов Якоби

pg» •«(«))

(у) при п ->-оо, где

со

(п)

—

не убываю-

щая по п функция. Воспользуемся этими результатами.

Введем некоторые обозначения. Пусть

— первый положительный

корень функции Бесселя /

(г); у = 2 (ЛГ+ Р); М

= (N + у +

+ (а + 1)/2)

(ЛГ

+ (а + 1)/2)

—

/12+1/12; N = N + (а +

+1)/2;

#IN>#2N>...

>уыы—нули многочлена Ры'

у)

(у), записанные в

убывающем порядке. Положим

— cos

/z,

cos

и (0)

(sin

(0/2))

a+1

(cos

(0/2))

v+1

/#•

(cos

0).

375

Можно показать,

что

функция

и (в)

удовлетворяет уравнению

и"

(0) и = 0,

(11.15.1)

* * <

> = ( 4

1ц%2) + 4^8/2) +"*)•

аб0Те

[126]

П0Ка3аН0

что

для в\N

справедлива асимптотическая формула

= ]\/М,

(11.15.2)

а следовательно,

cos

(/V(2M)). (11.15.3)

Для нахождения

значит, и

поступим следующим образом.

В уравнении (11.15.1) используем подстановку

р (в) sin Ф (в) =

Ьи

р (в) cos ft (в) = и!.

Тогда

для

функции

(в)

получим урав-

нение

ft'

b +

(fr'/2

6) sin

2*. (11.15.4)

Нули функции и соответствуют значениям

ft = in,

где

— целое число.

Из (11.15.4) получаем

^ = \ь(в) + ^Ж

т2$\~\

(11.15.5)

Таким образом, задача

по

нахождению корней функции

и (в)

свелась

определению значений

(Ф) при

= in как

решения урав-

нения (11.15.5), удовлетворяющего начальному условию

0(0) =

©IN,

где

за 0ш

можно взять значение

из

асимптотической формулы

(11.15.2). Численно интегрируя каким-нибудь методом уравнение

(11.15.5), найдем приближенные значения

Применяя, например,

улучшенную формулу Эйлера

шагом я/2, получаем

0/N

e,_

n/b[e

), (11.15.6)

где

0/N-0^IN

(K/2)/6(0^IN)»

A/A1,

t =

2,...,n.

Тогда значения

g в

формуле (11.14.7) можно взять равными

cos

(0/^/2),

i = 1, ..., N,

(11.15.7)

где

0,w

рассчитываются

по

формулам (11.15.2), (11.15.6). Применяя

для интегрирования (11.15.5) более точные формулы, например фор-

мулы Рунге — Кутта или формулы интегрирования

меньшим шагом,

можно получить более точные значения

0#/.

Если

— корень уравнения b (0)

= 0, то

cos

(0N/2)

< g

< 1,

Легко видеть,

что lim

= 2 я/3, а^-> 1—0 для

каждого фикси-

N-*oo

рованного значения

i и N

->-оо.

Сравним точные значения

асимптотическими (11.15.7)

при

= 5, а ='0, р = 2:

376

i 1

&ТОЧН

0,99

0,93

0,82

0,68

0,50

Яасимп

0,99

0,93

0,83

0,69

0,52

Значения

приведены

двумя значащими цифрами. Видно,

что

точность асимптотических формул достаточна

для

практических рас-

четов.

11.16. ЦИКЛИЧЕСКИЕ

Pi(\)-

А:Я

(2)-МЕТОДЫ

Пусть операция Р

(1)

выполняется при

(t)

+2g

tV3, Р

(t)

= 1, где g

> 0 — меняющийся с периодом N числовой параметр.

Тогда после N итераций по К?Р

(1)-методу

где

е^ = Ф*(/|/|)с

"е/*,

Ф^(0-Ф^(/,с) = П{[1+2^^/3)г

(/)-Ц(2^/3+1-с

)-1}.

/=i

Очевидно,

что

|ФАГ

(t,

с)

|Фдг

1)|;

Ф*

(/,

= г

(0 S

[Х(01,

где

х (оо)

= 6/я

; х' (t) < 0 при t > 0.

Выберем

такими, чтобы

за N

итераций циклический К

(1)

в максимальное число

раз

уменьшал все ошибки

е/ по

сравнению

с ме-

тодом простой итерации. Тогда, повторяя рассуждения

11.15,

заклю-

чаем,

что для

решения этой задачи необходимо найти (11.14.3),

где

аы =min

max

|SN(*)|. (11.16.1)

6/я

<*<1

Задача (11.14.3), (11.16.1) решается

при g

= (1/2) (1 + 6/я

(1—

6/я

)&)

и a

6N,

где б = (1 + 6/я

)

(1—6/я

4,1.

Задача оптимизации

на

классе

Н (ф)

решается аналогично

за-

даче

2 в

11.15.

Для

класса

Н (а, Р)

ищутся значения

реализующие

минимум функционала:

6/я

377

Мы

не

будем проводить дальнейшие выкладки, ибо они очевидны.

Заметим лишь, что оптимальные значения

будут связаны

этом

случае

корнями многочлена Р<°»

0)(#).

Представляет интерес рассмотреть циклический К Pi (2)-метод,

в котором используются уравнения, близкие

уравнениям Р

-при-

ближения. Этот метод исследован В. И. Лебедевым

Ю. А. Власовым

для плоской периодической задачи.

нем

за

операцию Р

(2) взято

решение дифференциальных уравнений

{

dx4+

l/2

dwk+i/2

dwW/2

■(1—c)<H/2

= c

(

*+i/2_

;

dwk+\/2

-2/—2-

+ За£И/

=0;

21-

4hl-

dw^\/2

3Z-

dwk+\/2

-5<H/2 =0;

+ 7w\+4

=0,

(11.16.3)

в которые входит циклически меняющийся параметр

При

= 1

эти уравнения переходят в Р

-уравнения. Показано, что за значения g

на классе

Н (а, Р)

следует взять значения, реализующие минимум

функционала (11.14.6)

весом (11.14.9)

при а =

AN. Оптимальные

значения

будут равны (1

#&)/2,

где y

— корни многочлена

p(4N, 2(N+0))

^ д

ля них

Именяя

етод, изложенный

в §

11.15,

можно найти асимптотические формулы. В этом случае

■

(N+

1) Г

(5N+

П (2W+2P+1)

2 (P +

3JV) Г

(7W+2P+

(37V+2P+

или при

->оо

„

(±Y*

KW«(Af+P)

°\

(7N+2W

(3N+

2р)з]

вычисляемая константа. Отсюда

А'-Чп]/^

0,041.

где с

> 0

(11Л6.4)

§ 11.17. СХОДИМОСТЬ /(Р

(м)-МЕТОДА ДЛЯ ВСЕГО ПРОСТРАНСТВА

Пусть

(v) — преобразование Фурье

от

функции

(х)

= щ

—

— и%в

(х). Сходимость итераций будем рассматривать

простран-

стве

S3р,

[237],

котором норма вводится следующим образом: если

функция w£33

к,

то

\\Щр,к

J|^(v)/C(v)

Pdv]

/p,

где 1

< р<

оо,

/С (v) — медленно растущая весовая функция.

378

За

(t)j

(t) возьмем многочлены вида (11.9.1), (11.9.2) для

всех с £ [0, 1]. За операцию Pi(n) примем решение уравнения

(X)

w-P

(X) cw

= Р

(X)

(11.17.1)

где

«И /2_nJ).

Пусть сначала с = const, / = const. Применяя к операции К

и к (11.17,1) преобразование Фурье, получаем

(v)

яр [Qn

|v|);

|v|),

с)] с

e^(v),

(П.17.2)

где функция ip(Q

, P

, с) определена формулой (11.9.8). Если суще-

ствует такое целое число N >

О,

что после N итераций

, к < °°>

то из (11.17.2) следует, что

||е*+1р.к<(|№||с)*т|р.к. (11Л7.3)

Нами попутно оценена сходимость

КР± (п)

для задач, в которых

функция Su инвариантна относительно вращения в R

(х), в част-

ности, для задач со сферической и цилиндрической симметриями.

Пусть теперь

= с

при

> 0

и с

при

< 0,

где 0

< c

^ 1,

> с

, c

— постоянные. Пусть далее

Mi (t) = Q

(t) - a P

d) = П {f + *h),

где aik > 0, и

(у) = (2я)-

f ф(х)ехр(—ixv)dx;

Ф_(у) = (2я)-

ф (x)

ехр (—

xv)

*i<0

Тогда

Ф = Ф+ + ф_; (счр) = с

+ с

ф_. (11.17.4)

Умножим уравнение (11.1.4) на ехр (—ixv) и проинтегрируем по

(х). Применяя затем к результату оператор S, получаем

= г

(t) (си

)

+ F

где Z

= Su, t =

т. е. в операции К имеем

>И/2 =

(

)

[от*].

(11.17.5)

За операцию Р

(я) возьмем нахождение решения w уравнения

(11.17.1), в котором w удовлетворяет условиям сопряжения при

= 0. Не будем выписывать условия сопряжения явно, так как для

наших целей достаточно заметить, что при выполнении их [ш]^=о =

= 0, где

[w]

— скачок функции w и

Шп(0^K(t)c] w\ =Af

(0^+(v)+A*i(/)»-(v). (11.17.6)

379