Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

{юп}з"+1 ; {©л}2.з

-г Переставим для каждого п между собой по-

следние две части и полученную таким образом последовательность

обозначим Т. Тогда в итерационном методе (10.32.13), (10.32.14) за

Oft' и со

ft"

возьмем соответственно Т- и ^-последовательности. Итера-

ционный метод (10.32.13), (10.32.14) удобнее вести с нормировкой:

пусть / (и), I* (и) — линейные функционалы, такие, что I (ф

) Ф 0

и /* (ifo) Ф 0, тогда после каждой итерации нормируем полученные

приближения x

k+1

, у

, деля их на /

k+1

/* (y

k+1

) соответственно.

При этом несколько изменятся расчетные формулы для Л

1э

Сделаем заключения по итерационным методам с чебышевскими па-

раметрами:

1) расчетные формулы не изменятся, если предположить, что спектр

рассматриваемых операторов принадлежит эллипсу Э (М, 0) с фокуса-

ми в точках М, 0;

2) нетрудно видоизменить формулы итерационных процессов так,

чтобы они были приспособлены для нахождения минимального изоли-

рованного собственного значения.

Глава

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПЕРЕНОСА

§ 11.1. СПЕЦИФИКА ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ЗАДАЧ

ПЕРЕНОСА. МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ

Краевые задачи для кинетического уравнения являются типичными

многомерными задачами. Как правило, число неизвестных значений

функций в системе разностных уравнений, аппроксимирующих кине-

тическое уравнение, столь велико, что при решении этих систем урав-

нений итерационными методами не представляется возможным из-за

ограниченности памяти ЭВМ одновременно запомнить все неизвестные,

полученные на одном итерационном шаге. Положение улучшится, ес-

ли сузить класс кинетических уравнений, рассмотрев только кинети-

ческие уравнения с вырожденной индикатрисой рассеяния. Проиллю-

стрируем это на примере уравнения (5.1.4) с изотропным рассеянием

(S = S). Для такого уравнения простая итерация или метод итераций

столкновений по источникам строится так. По функции

следующее

приближение

k+1

находим по формуле

W/2

29*

+1/2

(11.1.1)

Предполагаем, что функция ф*+

удовлетворяет краевым условиям

(pft+i = ф*-Н/2

Поскольку мы часто будем пользоваться итерацией

(11.1.1),

то для удобства дальнейших рассуждений назовем операцию

340

нахождения ф**

5ф

й+1

из решения уравнения (11.1.1) опера-

цией К и результат ее обозначим

Ф*+1/з

= K(S<p\f);

£+1

=5ф*+

(11.1.2)

(здесь и далее под

будем понимать функцию

Sq>).

Из формулы (11.1.1)

видно, что для нахождения ф*+*/

вовсе не обязательно знать ф* и

запоминать в процессе итерации ф*+

, а достаточно знать только

Sq)

и образовывать по мере счета для запоминания лишь величины

5ф^+1/2

функция Sy

уже не зависит от Й и для запоминания ее тре-

буется гораздо меньше, чем для ф*, ячеек памяти ЭВМ. То же самое

справедливо для невязки г*+

, ибо

r*+i/2

=/_!_ ^Яф**

—й\7ф*-Н/

— 2фН1/2 =

= 2sS(q>*

+1/2

-cp*),

а ошибка г)*+

1/2

= ф — ф*+*/

удовлетворяет уравнению

av^

+1/2

=Ss

H1/2

+2s

(q>

H1/2

—Ф*) (ПЛ.З)

и, следовательно, невязка г*

и источник в (11.1.3) не зависят от Я.

Не случайно поэтому операция К входит как составная часть во мно*

гие итерационные процессы, ускоряющие сходимость итераций для

кинетического уравнения. Ввиду многомерности задач могут стать

неприемлемыми многие хорошо разработанные и эффективные итера-

ционные методы только потому, что они требуют запоминания полной

информации о предыдущем приближении. Таким образом, специфика

задач переноса с вырожденной индикатрисой рассеяния требует раз-

работки таких быстросходящихся итерационных методов, которые

требовали бы запоминания не всей информации о проводимом итера-

ционном шаге в пространстве D X Я, а только части ее существенно

меньшей размерности. Независимость

k+x

от Я после операции К от-

крывает возможность эффективно использовать вариационные методы

решения, ибо в этом случае существенно облегчается задача подсчета

скалярных произведений, заданных вО X Я.

В работе В. С. Владимирова [41] найдены условия, при которых ме-

тод простой итерации (11.1.2) сходится. Однако мы, как правило, не

будем доказывать сходимость его и других методов в самом общем слу-

чае.

Сходимость описываемых нами методов будем исследовать на мо-

дельной периодической задаче, описанной в § 5.8. Ее мы избрали по

двум соображениям: во-первых, для этой задачи метод Фурье дает яв-

ное представление операторов задачи в виде алгебры функций, и по-

этому довольно просто удается не только показать сходимость, но и оце-

нить скорость сходимости через явным образом получаемые функции;

во-вторых, периодическая задача — это задача, для которой медлен-

нее всего сходятся итерационные методы и, следовательно, мы имеем

возможность сравнивать различные итерационные методы при доволь-

но неблагоприятной ситуации.

341

Каждой функции /, участвующей в наших рассуждениях, поста-

вим в соответствие ее ряд Фурье:

/ = 2/

exp (inx),

где /_

= Jn, а суммирование осуществляется по целочисленным ин-

дексам п = (п

, п

) от

—

оо до оо. Норму функции определим ра-

венством ||

/1|

= max |/п| и сходимость, как правило, будем рассмат-

ривать в этой норме в пространстве последовательностей {/„}, которое

обозначим tn.

Итак, рассмотрим 2 я-периодическую задачу для уравнения

- I

(QV)

и + и = cSu + F (х, О), (11.1.4)

где 0 ^ с ^ 1; с, / = const. Решение задачи (11.1.4) дается формулами

(5.8.8) —(5.8.10):

= 2((1 +

(пО)»)-

{с(1-сг(1\п\Г

+ F

(Q))exp(inx); }

F^S[{l + l

(nQY)~

(Q)};

Uo^^{l-cr{(l\n\))'

exp(inx).

(11.1.5)

Операция К для уравнения (11.1.4) имеет вид

—

/»(QV)

a*+i/2 + u

cSu

(11.1.6)

*+i/2

=SuW

. (11.1.7)

Очевидно, результат ее совпадает с соответствующей операцией

(11.1.2),

примененной к 2я-периодической задаче для уравнения в не-

самосопряженной форме (11.1.1) при /(х, Й) = / (х, — й), если поло-

жить 2""

= /; с = 2

/2; F = //2. Наименьшим собственным числом

однородной задачи (11.1.4) является величина с"

> 1.

Введем следующие обозначения. Пусть и

—

решение (11.1.4), и

— приближенное решение (11.1.4):

««=S

«;r

=r(/|n|);X

=/|n|;2

= 2-S

;

(х, Q)

«—и«=

2Л? (Q)exp(inx); (11.1.8)

е« (х)

= s

(х,

Й)=2

ех

Р 0

пх

);

(11.1.9)

"о

2"?„

ех

РОп*)- (11.1.10)

Исследуем сходимость простой итерации. Применяя формулы

(11.1.5),

видим, что

«*n/»

= (l+P(nQ)«)-i «, +F„(Q)); (11.1.11)

«*+'/2

= cr

+^. (Ц.1.12)

Это значит, что для е

справедливы соотношения

е*+'=8*+1/2 =

г„

е* (11.1.13)

342

или

lie*

|l< ? И, (П.1.14)

где q = с.

Следовательно, метод простой итерации сходится при 0^с< 1.

Из равенства (11.1.13) видно, что сходимость простой итерации замед-

ляется при с-> 1 — 0. Заметим, что формула для ошибок (11.1.13)

формально получается из формулы (11.1.12) для итераций, если в по-

следней

иоп

заменить е„ и положить неоднородный член равным нулю.

Это свойство всех линейных итерационных процессов, которым будем

часто пользоваться, не делая каждый раз специальных оговорок.

Пусть Ц

— цена (количество действий) в численной реализации

операции /С; Ц — цена полной итерации; АЦ = Ц — Ц

. Для оцен-

ки итерационного метода приведем две величины: АЦ и q

0 < q < 1,

характеризующую скорость убывания нормы ошибки в неравенстве

(11.1.14). Так, для метода простой итерации АЦ = 0, q = с. Условно

полезно считать, что при дискретизации задачи имеем N пространст-

венных точек, в каждой из которых имеется в среднем М угловых на-

правлений. Тогда Ц

= О (NM). Если АЦ не зависит от N, М, то услов-

но будем писать, что АЦ = о (N).

Из формул (11.1.5), (11.1.11) следует, что при изотропном источни-

ке F (х) решение и, u

l/2

принадлежат классу V функций

вида

i>(x,Q) = 2(l + />G)

)-4 exp(inx). (11.1.15)

где v

— скаляры.

Поэтому можно проверить, пользуясь формулой (5.1.36), что функ-

ционал

GB(v)

= %b

(\v

\*{l-cr

)-2F

), (11.1.16)

где В = {Ь

} (Ь

>0) — квадратичный функционал, минимум кото-

рого на классе V достигается на решении задачи (11.1.4). Соответст-

вующий функционал ошибок имеет вид

*B{v) = 2b

{l-cr

)\v

-(l-cr

)-*F

\: (П.1.17)

Функционал Q

(V)

на элементах вида и — v определяет для v квадрат

некоторой унитарной нормы ||г|| в- При b

= 4я

функционал

(V)

превращается в функционал типа (5.1.25) для периодической задачи.

Сравним значения Q

) и Q

Если

^ = (l + l

(nti)

Un,

то согласно (11.1.11)

l/2

=[l + l*(nQ)*)-i{crnZl + FnY'

(иИ-1/2) =

2 К

-cr

)\l

-(1

~cr

т. е.

)<^Q

) (11.1.18)

или

\\г\

»\\в<с\\1\%.

(11.1.19)

343

§ 11.2. МЕТОД

Л. А.

ЛЮСТЕРНИКА

Этот метод является одним из немногих классических методов ус-

корения сходимости итераций, которые можно эффективно применять

для решения задач переноса. Метод для задач переноса был исследо-

ван и обоснован в работах В. С. Владимирова [40,41] и применен для

расчетов В. Н. Морозовым

[186].

Метод Л. А. Люстерника изложим, следуя работе [41]. Пусть тре-

буется решить неоднородное уравнение переноса (5.1.18) в условиях,

когда метод простой итерации сходится. Пусть Х

—

первое собствен-

ное значение задачи (5.1.27). Последовательные приближения строим

по схеме

<p°

9< = S

q>'~\'-1,2,..., (Н.2.1)

и за приближенное решение берем функцию

и*

= 2

+ (V-1^4\*=«l,2

... (П.2.2)

/=i

Для случая изотропного рассеяния последовательные приближения

можно переписать в эквивалентной форме:

ЬоФ^Ч^Фо^Яф*. (П.2.3)

Тогда приближения для и

примут вид

^=2

Po+(bi-i)-

(

-2.4)

Для периодической задачи

изотропным источником уравнения (11.2.1)

для функции и\ [см. (11.1.10)] переходят в следующие соотношения:

*р8„ =

Fni Ф'оп

сг

ф<

-1

<?-*

(11.2.5)

Учитывая, что

= <г\ г

=1, из уравнения (11.2.4) получаем

< = 'Л

((1

-("n)*)/(l -cr

) + cV*~V(l -с)). (11.2.6)

Сравнивая (11.2.6) с (11.1.5), видим, что

^c^

-l)(l-cr

)-^ (1-с)-К (11.2.7)

Замечая, что когда п = (0, 0, 0), то г

= 1, а из (11.2.7) получаем:

е* = 0 при k = 1,2, ..., и, следовательно,

1И|<((сг(/))^||(1-с)-1.

(11.2.8)

Учитывая, что 0 < г (t) <

при t >

из формул (11.2.7), (11.2.8) сле-

дует, что хотя скорость сходимости метода Люстерника больше скоро-

сти сходимости простой итерации, но сходимость замедляется при

_ о, 1-+ 0. Здесь ДЦ =

О (N);

q = сг

{I).

Другой вариант метода состоит в том, что до некоторого k мы про-

изводим простые итерации, затем определяем

k+\i2

=zK(jLl

yF)

. a{+i/2=:S«*+i/2

(11.2.9)

344

и полагаем

"*o

+1/2

(^i-l)-4^

+1/2

-"?)- (П.2.10)

Если

неизвестно,

то при

достаточно большом

(см.

10.16)

принимаем

^i«J("o^

,/2

-"J-

)^/j(^+

-w5)dx, (11.2.11)

где интегрирование ведется по пространственной области D, в которой

рассматривается процесс переноса нейтронов.

Исследуем этот процесс

для

периодической задачи. Поскольку

(

сг

°) *

область

— куб периодичности, вследствие ортого-

нальности функций exp (inx) формула (11.2.11) при

е° Ф 0

принимает

вид

eJ-VeJ

= с"

, т. е.

в этом случае определяется формулой

(11.2.11) точно. Тогда

=с(1—с)-Ч^п—1)е^

с(1—с)~Ч^п—l)(cr

)^eS. (11.2.12)

Таким

образом, видим, что е**

= 0,

а при итерациях с

номером

ш,

где

т >

+ 1,

скорость сходимости определяется величиной

сг

(/) < 1,

которая стремится

единице

при с->

1 —

0, /-* 0.

Поскольку е^

= 0,

повторное применение формул (11.2.10) при т

уже не имеет смысла. Здесь АЦ

{N)\

q =

(I).

Заманчиво рассмотреть схему (11.2.9), (11.2.10), в которой на каж-

дом шаге используется прием ускорения сходимости. Для периодичес-

кой задачи получаем

=с-ь e*+i=c(l-c)-4rn-l)e*. (11.2.13)

Из формул (11.2.13) видим, что хотя е*

0 при &>1, однако, посколь-

ку

—

с)"

при с >

1/2, при достаточно больших значениях

/1 п

имеет место неравенство

(1 —

сУ

(г

— 1)

—

1, и

тогда

этот метод расходится.

В §

11.8 покажем, что если

считать %

изменяю-

щимся по

параметрам,

то

можно получить сходящиеся схемы.

§ 11.3. МЕТОД ОЦЕНКИ ИТЕРАЦИОННЫХ ОТКЛОНЕНИЙ

В.

Н.

Морозовым [186] был разработан метод улучшения сходимо-

сти итераций для решения уравнения переноса, учитывающий специ-

фику таких задач.

методе итерационных отклонений

по

значению

Ф*

= Sy

делаем сначала операцию

(11.1.2). Тогда ошибка

удовлетворяет уравнению (11.1.3). Задача (11.1.3) упрощается сле-

дующим образом. Интегральный член

уравнении (11.1.3) заменим

приближенно квадратурной формулой

одним узлом,

именно поло-

жим

Sri*+W2 « т,*+1/2 (х, Q). (11.3.1)

Очевидно, что если решение задачи изотропно, то последнее соотноше-

ние является точным.

345

Учитывая (11.3.1), уравнение (11.1.3) для ц

заменим уравне-

нием для w

l/2

I/2

^+I/2

(T^

-TJ);)

(11 32

^+1/2^0 на Г приАп<0. J

Задача (11.3.2) легко решается. Найдя w

l/2

, положим

ф*+1 =

)k + U2J

k+l/2

(11.3.3)

Такой метод является балансным. Это значит, что он сохраняет для

любых k общий баланс нейтронов. Докажем это. Уравнение (11.1.1)

для нахождения ф^

проинтегрируем по Q X D. Тогда получим

—

f dQ Г|Йп|ф*+

^Г+ ^ly

= fs

<P^x + f/odx.

Г D D D

(11.3.4)

Аналогичную операцию проделаем с уравнением (11.3.2):

-i-fdQ ^\Qn\w

dT + fSo<+

dx= Г 2

(ф§

+1/2

—Ф^)^х.

Г D D

(11.3.5)

Сложив (11.3.4) и (11.3.5), получим

—

ГЛЯГ|ОП|Ф*

ЛГ+ Г2

ф^+Мх = Г/

^х, (11.3.6)

Г D Ъ

а это и есть уравнение баланса.

В данном методе процесс нахождения функции w%+

l/2

требует поч-

ти стольких же действий, сколько затрачивается в операции /С- Дока-

зательство сходимости метода оценки итерационных отклонений в об-

щем случае не получено.

Исследуем сходимость этого метода на периодической задаче

[125].

Поправку w

{/2

находим, решая уравнение (11.3.2), где г

=сг

с = 2

/2. Оно примет вид

(i/n Q+l-c)

+l/2

= с (cr

- 1) 4

откуда

= с (cr

— 1)е*/(1 — с + i/nQ), и значит, для

o£fi/2 = Sw

имеем w

= с

— с)-

(сг

— 1) г (К (1

—с)-

Следовательно,

H-i =

*+W2

«;*+»/« = у„

се*,

(11.3.7)

где у

= у (Я

, с), а

у (*, c) = r(t)-r (t (1 - с)-

) -с (I- с)-

[1 - г (/)] г (t (1-е)-

Оценим функцию у (/, с). Для этого заметим, что г (/') < г (/) при *' >

3 (3 + <

< г (?)< min H-V2,l). (11.3.8)

Левое неравенство в (11.3.8) следует из разложения функций г (t)

в цепную дро,бь (см. § 11. 10), а правое очевидно.

346

Легко видеть, что

y(t,c)^r(f)\

(О,

с) = 0 при 0 < с < 1. (11.3.9)

Оценим теперь у (t, с) снизу, для этого найдем такое

< а < 1,

для которого при 0 <; с < 1 можно гарантировать выполнение нера-

венства

y(t, с)^ — ас. (11.3.10)

Учитывая (11.3.8), такое а находим из цепочки неравенств

У (t, с)^ — с(1— с)'

[1 - г (*)] г (< (1 -

с)"

)

> — en *(3 + Рут > — л УЪ с/12.

Следовательно,

— п J/3 с712 КупС^ГпС, п ф 0. (11.3.11)

Это значит, что при с ->

— 0 метод оценки итерационных отклоне-

ний сходится быстрее метода простой итерации. Рассмотрим, как ведет

себя этот метод при с

->-1.

— 0. Пусть у (t) = lim */ (£, с). Вычисляя

с->1—

предел, находим

»(0 = г (0 - я/-

[1 — г (01/2. (11.3.12)

Из (11.3.12) следует, что для любого 0 < е < 1 найдется такое б>0,

что у (t) > 1 — е при 0 < t ^ б. Следовательно, при достаточно ма-

лых значениях / и значениях с, достаточно близких к единице, метод

оценки итерационных отклонений будет сходиться сколь угодно мед-

ленно. Итак, А Ц = О (N М)\ q = max (cr (/), я ]/3 с

/12).

Поскольку в методе итерационных отклонений за один шаг от

k к k + 1 производится такое количество арифметических действий,

которое сравнимо с числом арифметических действий в двух простых

итерациях, то интересно сравнить убывание ошибки за одну итера-

цию в методе итерационных отклонений с убыванием ошибки за две

итерации в методе простых итераций. Для этого сравним для периоди-

ческой задачи две предельные (при с->1—0) функции перехода

этих методов: г

(t) для двух простых итераций и у (t) для метода ите-

рационных отклонений. Можно показать, что при достаточно малых t,

т. е. при всех значениях

п |, для которых оба метода сходятся мед-

ленно, справедливо неравенство г

(t) > у (t) > 0, т. е. при с, дос-

таточно близких к единице, и достаточно малых / метод итерационных

отклонений за одну итерацию сходится быстрее двух простых итераций.

Теперь рассмотрим этот метод применительно к самосопряженному

уравнению (11.1.4)

[120].

Уравнение для поправки w

получается

из уравнения (11.1.4), если в нем Su заменить и:

—

{Q\)

+{l—c)w

c(u

—

(11.3.13)

или для коэффициентов Фурье в периодической задаче

(пЙ)

+ (1-с)^+

= с(сг

-1)е^,

347

т. е.

где К = /1 п | (1 - с)-'/2 ^ Х

Следовательно,

где

= c[r„-(l-c)-41-cr„)r(/|n l(l-c)-'/

)]. (11.3.14)

Из формулы (11.3.14) легко увидеть, что sfsO при k ^ 1, а при каж-

[

тг

— 2/1

Х(1

—

) (1

—

с)-

1/2

] стремится к — оо. Следовательно, метод для

самосопряженного уравнения расходится при значениях с, достаточно

близких к единице.

К такому же результату придем

для несамосопряженного уравне-

ния, если для нахождения поправки оператор

Scp

заменим

(1/2) X

Х[ф (х, Q) + ф (х,

—

0)1,

ибо в этом случае результат итераций сов-

падает с итерациями, проведенными для уравнения в самосопряженной

форме.

§ 11.4. ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ С БАЛАНСНЫМИ МНОЖИТЕЛЯМИ

И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ ПОПРАВКАМИ

Мы ознакомились со схемами такого рода в

10.26. Изложим этот

метод для решения кинетического уравнения. Интегрируя по Q X D

уравнение (5.1.4), где S = S, получаем уравнение баланса

j Фт dr+ j S

dx = j /

dx,

T D D

где ф!

=--

S (Йф), а

ф1

•—

нормальная составляющая ф

к поверхно-

сти Г.

Определим величину Д (ф) отношением

A(9) = J/orfx/^

indr + JSeVedxy (11.4.1)

В работе В. Н. Морозова [186] предлагается для ускорения сходи-

мости метод итераций с балансными множителями, состоящий в том,

что для каждого k а) выполняется операция К

[см.

(11.1.2)];

б)

получен-

ное значение ф^-

нормируется так, чтобы было выполнено уравне-

ние баланса нейтронов

ф*+1=Д(ф* + 1/2)ф*+1/2

(11.4.2)

Эта функция берется в качестве нового приближения. Доказательство

сходимости описанного нелинейного процесса в общем случае не полу-

чено.

Исследуем его на периодической задаче (11.1.4) с изотропным ис-

точником

[120].

348

Операция К имеет вид (11.1.6), (11.1.7), а уравнение баланса —

(l-c)u

~ F

. (11.4.3)

Следовательно

Д(^+1/2) = ,Р

(1_с)-1/^+1/2. (Ц.4.4)

Легко видеть, что если за

и°

взята такая функция, что у нее

и°

о(1

— с)"

, то из (1.1.4.4) для всех k ^ 0 следует

Д(и*+1/2)=1.

(11.4.5)

При другом выборе

и°

равенство (11.4.5) имеет место при fe^ 1 и

тогда

и%

= F

(1 — с)"

. Значит, этот метод сводится в данном слу-

чае к простой итерации для компонент «

0п

, п^О и е„

Яп^п,

где

<7о

°»

Яп

= сг(1\п\), причем max #

= сг (/).

Таким образом, видно, что метод сходится для нашего модельного

примера при всех 0<с< 1, что нулевая гармоника определяется

точно уже при первой итерации, а быстрота сходимости его характе-

ризуется величиной второго собственного значения задачи (она может

быть медленной при малых значениях / и значениях с, близких к еди-

нице).

Для этого метода А Ц = О (,/V); q = сг (/).

При комбинировании метода Люстерника и метода балансных мно-

жителей видим, что результатом как одной, так и другой операции яв-

ляется точное восстановление лишь нулевой гармоники. Следователь-

но,

при последовательном их применении одна из операций сработает

впустую.

Т. А. Гермогеновой [59, 60] развит метод с мультипликативными

поправками, выбираемыми из некоторого задаваемого множества функ-

ций. Изложим этот метод для самосопряженного уравнения (5.1.23).

Пусть u

l/2

(х, Q) получена в результате операции /С. Положим

(х, Q)^b

(х) u

{

(х,Я), где функция b

(х) выбирается так, чтобы

минимизировать функционал (5.1.25), Простые итерации сходятся в

норме [ ], порожденной функционалом (5.1.25), а поправки Ь

могут

только уменьшить значение этого функционала. Следовательно, после-

довательность и

сходится к точному решению. Уравнение Эйлера

для b

будет уравнением в частных производных с коэффициентами,

зависящими от u

\ на границе области задается косая производная.

Этот нелинейный метод близок к методу Л. В. Канторовича [89], но

отличается от последнего тем, что единственная базисная функция, по

которой идет разложение, сама образуется в процессе итераций.

На примере плоской задачи в слое 0 < х < Я для уравнения

-^/jL/^

+ a^cfudii+F^ii) (11.4.6)

дх дх J

изложим предложенную В. И. Лебедевым модификацию метода, в ко-

торой определяется функция v

(х) = Ь

(х) — 1. Поскольку b

->•1

и и

— и

-^0 при k ~^оо, то, по-видимому, целесообразнее ис-

кать аддитивную поправку v

к единице, стремящуюся к нулю при

k -^оо. Тогда ошибки, возникающие от округлений и от погрешности

349