Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

довательность чисел, такая, что v

(N) = 0 при k>> N. По последова-

тельности и

строим последовательность v

по формулам

v"= 2 v

(N)u

> .V=

1,2,...

(10.20.1)

= 0

Например, полагая v

(N) = (N + l)"

, получаем средние, соот-

ветствующие методу суммирования Чезари.

Выясним, каким необходимым условиям должны удовлетворять ко-

эффициенты v

(N). Если положить и

= и, то u

= и. Естественно

потребовать, чтобы и v

= и, т. е.

МЛ0=1.

(10.20.2)

Тогда для e

= i/ — t)

имеем

е" = 2 v

(^)T|*= 2 МЛО^МЧ

. (10.20.3)

где т]

— и*. Пусть

<М0 = S v

(#)**. (10.20.4)

Тогда если выполнено (10.20.2), то Q

(1) = 1 и e

- Q

(b (l))v}°.

Используя в качестве коэффициентов v

(N) весовые множители

разных методов суммирования, имеем довольно обширную группу ите-

рационных методов, из которых можно выделить оптимальные в неко-

тором смысле процессы. Легко убедиться, например, в том, что если

(t) = *

, то получаем метод простой итерации. Если же Q

(t)

есть многочлен Чебышева,то получаем итерационный метод, родствен-

ный с описанным в § 10.18. Однако он отличается от последнего тем,

что если стратегию циклического метода (10.18.2) можно признать оп-

тимальной лишь для заранее заданного фиксированного значения N,

то методы типа (10.20.1) обеспечивают оптимальное в норме | \

подав-

ление компонент ошибки для любого N.

Одной из существенных особенностей итерационных методов типа

(10.20.1) является то, что для вычисления v

необходимо, вообще гово-

ря,

знать значения u

при k =

0,1,...,

N, а это накладывает серьезные

требования на память ЭВМ. Поэтому прежде всего выделим из этих

методов те, которые требовали бы запоминания лишь конечного числа

предыдущих приближений, и на этой группе методов проведем даль-

нейшую оптимизацию. Это можно сделать, например, следующим об-

разом. Потребуем, чтобы коэффициенты v

(N) в (10.20.1) были тако-

вы,

чтобы для многочленов Q

(/), определенных формулой (10.20.4),

имели место рекуррентные соотношения

h+1

(/) = (a

t +l-a

- c

) Q

(t) + c

^ (/), (10.20.5)

* = 0,1,2, ...; Q

(t) = 1; c

= 0,

310

где a

, c

— вещественные скаляры. Можно убедиться в том, что это

общий вид трехчленных соотношений для многочленов Q

(/), таких,

что Q*(l) - 1.

Тогда последовательность v

определенная формулами (10.20.1),

(10.13.11), будет удовлетворять рекуррентным соотношениям

уН-i ~a

[b(k)v

~\-'ty] + (l—a

—

~~\

(10.20.6)

k =--= 0, 1, 2, ..., при v° = и\ с

= 0.

Таким образом, вычисляя v

k+1

(k = 0, 1,

2,...)

по формуле (10.20.6)

можно реализовать итерационный метод (10.20.1), (10.13.11), запоминая

в памяти ЭВМ только два предыдущих приближения: v

и v

Остановимся на одном из самых интересных вариантов, давшем наз-

вание методу: это случай, когда многочлен Q

h+1

(t) является много-

членом Чебышева T

h+1

lt/\i

(b)]/T

h+1

[l/|i (&)], приведенным к отрез-

ку [— \i (ft), \i (b)]. Из формулы (10.18.12) при т = 1 получаем коэф-

фициенты рекуррентного соотношения (10.20.5) для k ^ 1

= 27\ [1/ji (&)]/{[х

(Ь)

h+1

ll/ii(b)]}

= 1 - a

. (10.20.7)

Следовательно, чебышевский полуитерационный метод имеет вид

(bv

y—v

)

+ v

, (10.20.8)

гдеаь определены формулой (10.20.7).

Пользуясь формулами для T

(t), найдем предел a

при k-> оо:

-^^=-.2/[l

yi—^(b)).

(10.20.10)

Из (10.20.9) следует, что a

стремится сверху к оптимальному мно-

жителю верхней релаксации. При а

со

итерационный метод (10.20.8)

совпадает с методом (10.15.17).

В статье Голуба и Варги [284] исследованы связи чебышевских

полуитерационных методов с другими методами. В алгоритме Ланцоша

[298] многочлен в (10.20.5) берется по формуле

(0 = (l-r

fe+1

(/))(l + ft)"»(l-0"

. (10.20.11)

Положив в (10.20.11) t = cos 9, получим

i-costa+oe

3in«

[№

+i)/2]e по.20.12)

(/е+ l)^ (l—cos 9) (£+1)2 sin* (0/2)

Из (10.20.12) следует, что многочлен Q

(t) превращается при замене

t = cos 6 в ядро Фейера, употребляемое при суммировании тригоно-

метрических рядов.

10.21.

ТРЕХЧЛЕННЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Разбирая чебышевский полуитерационный метод, мы убедились в

Том, что трехчленные итерационные методы вида (10.20.6) принадлежат

Классу оптимальных методов среди всех многошаговых методов. Эти

311

методы привлекательны тем, что их теория связана

исследованием не-

ведения многочленов QN

(t),

подчиняющихся рекуррентным соотноше-

ниям (10.20.5),

формулы типа (10.20.5),

как

известно, могут опреде-

лять последовательность многочленов, ортогональных

некоторой

среднеквадратичной

весом метрике

минимизирующих некоторый

положительный квадратичный функционал. Следовательно, если этот

квадратичный функционал принять

за

квадрат нормы,

которой

ис-

следуется сходимость,

то

можно получить оптимальный метод относи-

тельно сходимости

этой норме. Ниже будет показано,

что

теория

ор-

тогональных многочленов составляет общий базис различных трехчлен-

ных методов. Трехчленные итерационные методы, основанные на теории

ортогональных многочленов, исследовались многими авторами, напри-

мер С. Ланцошем

[298],

М. Хестенсом

и Е.

Штифелем

[285],

Д. К. Фад-

деевым [232]

и др.

Общие трехчленные линейные итерационные методы решения урав-

нения (10.2.16), оставляющие точное решение стационарной точкой,

можно записать

виде

u*+

—

{Au

—

—S

—а*-

(10.21.1)

где

#ь,

—некоторые операторы,

= 0.

Пусть

для

простоты

—

/, S

= c

где

, c

—

скаляры, c

0. Тогда

и*+1=и*—a

(Au

—

/) —c

—u

). (10.21.2)

В методах типа (10.21.2) интересны

для

исследования

три

задачи.

Зная некоторую информацию

расположении спектра операто-

ра

А,

определить коэффициенты метода (10.21.2) так, чтобы можно было

достаточно эффективно оценить сходимость метода

некоторой, вооб-

ще говоря, унитарной норме для целого класса задач (10.2.16).

Для

заданного уравнения (10.2.16)

заданного начального при-

ближения и° определить коэффициенты метода (10.21.2)

так,

чтобы

по-

лучить оптимальную сходимость метода

некоторой, вообще говоря,

подлежащей определению унитарной норме.

Обратная задача: задана некоторая последовательность

пар чи-

сел

)

требуется определить,

для

каких задач

и в

какой метрике

этот набор

пар

чисел дает оптимальный метод.

Устойчивость метода (10.21.2) будет иметь место, если корни урав-

нений

—

(1 —

— a

—

= 0

будут

по

модулю меньше едини-

цы.

Необходимым

достаточным условием этого является выполне-

ние неравенств

|<l, \i—

—a

y\<l—c

(10.21.3)

при -у

£ Sp (А).

Напомним основные свойства ортогональных многочленов. Соберем

здесь для дальнейшего использования

итерационных методах некото-

рые результаты, связанные

именами Кристоффеля

Дарбу

[210].

Пусть

(t) —

ортогональная последовательность многочленов,

со-

ответствующих распределению

da (t):

при

пфту

при я = т.

312

JP»(0P™ (0^(0=1

Здесь р

(t) — многочлен n-й степени с единичным коэффициентом

при t

, a (t) — неубывающая функция ограниченной вариации, по-

стоянная вне некоторого конечного отрезка [a, ft], а интегрирование

проводится по всей действительной оси. Как правило, мы будем рас-

сматривать функции d a (t) вида da (t) = р (t) dU где р (t) — непре-

рывная и положительная функция на некотором отрезке [a, ft] и рав-

ная нулю вне этого отрезка, или где функция р (/) представима в виде

р (0 = 2

<7?

«('-/.)•

(10.21.4)

S=l

Здесь а < /

< ft, g

Ф 0 — действительные числа, а б (t) — дельта-

функция. В последнем случае число ортогональных, отличных от ну-

ля в точках t

многочленов р

(t) конечно, причем п = 0, 1, ..., т — 1.

Числа

= J>dor(*), п = 0, 1, ..., (10.21.5)

назовем моментами. Многочлены р

(t) находятся известным процес-

сом ортогонализации Шмидта неотрицательных степеней t

,k = 0, 1,...

Используя свойство ортогональности, получаем

+i(0 = ('-an+i)Pn(0-Pn

iPn-i(0, (Ю.21.6)

где

«и+1 - UPndo(t)/ [p*

do(f)\ Р„

1-|^р„-1<Ч/)/| pjUidcp).

(10.21.7)

Функция

('о,0==У

Pi{to)Pi{t)

(10.21.8)

носит название п-го ядра по отношению к распределению a (t). Она яв-

ляется многочленом n-й степени. Если R

(t) — любой многочлен сте-

пени т ^ п, то

Rm (t) = I Кп (*, |i) /?

да

00 *T (|i), (10.21.9)

в частности, при R

= 1 имеем

{t, \i)da(ix)= 1.

Многочлен K

(^o> t) является ядром для представления /г-й частной

суммы s

(t) ряда Фурье функции / (/):

(0 = 1/ Ы Кп (|i, 0 dcr (jl).

Введем унитарную норму

Mh=tir(t)<to]w.

(io.2i.iO)

Рассмотрим многочлен степени m<nc корнем в точке t

: R

(t) =

= (* — /

) /?

w-1

(<), где R

(t) — многочлен степени т — 1. Из

(10.21.9) получаем

0 = R

(to) = I /Сп (/о. V) Rm-l (V) (|* - 'o) *> ((l).

313

Таким образом, справедлива

Лемма 10.21.1. fldpo К

t) ортогонально любому многочлену

степени т< п

относительно

распределенияdx (t, t

) = (t — t

) da (t).

Если t

(£ [a

b] и da (t) > 0, то распределение dx (t

) не меня-

ет знака.

Подставляя в (10.21.9) R

(t) = К

(to, /), имеем

Kn (t

y t) = j Кп (t, |i) Kn (to, v) da ((я), т. е. при t = t

соглас-

но (10.21.10) получаем

К (to, t

) = \\K(t

t)\\

(10.21.11)

Лемма 10.21.2. Из

всех многочленов

степени

п>

равных единице при

t = t

, многочлен

(to, t) = Kn (t

t)IK

(U, to) (10.21.12).

имеет

наименьшую норму |] ||

Доказательство. Пусть ф

(t) — произвольный много-

член степени п, такой, что <р

) = 0, а R

(t) = cp

(t) + S

, t).

Тогда

(t)

(to, t)

IIS

+1|

Фи

Kni

'\?*"

(t)

da (t)

J An (чъ t

)

(/„, t) gs+II

<P„

j)\\l (Ю.21.13)

Равенство в (10.21.13) достигается тогда и только тогда, когда

(t) = 0. Лемма доказана.

Если u

k+1

, k = 0, 1, 2, ..., находятся из соотношений (10.21.2),

то ошибки г

к+1

удовлетворяют равенствам е*

= г

— a

A е

/г

—

Си

—

)»

так что

е*+1 = р

л+1

(Л)ео, (10.21.14)

где P

(t) — последовательность многочленов, связанных рекуррент-

ными соотношениями

(t) = (l-c

-a

t)P

(t) + c

(t), (10.21.15)

/г

= 0,

1,2,...,

= 1, с

= 0.

Легко убедиться в том, что многочлены, найденные по формулам

(10.21.15), такие, что

fe+1

(0) = 1.

Пусть da (t) — некоторое распределение, равное нулю вне отрез-

ка В = [т, М], 0< т < М и А (к) £ [т, М]. Предположим для

простоты, что функция t = А (к) имеет обратную X =

\р

(/), опреде-

ленную на множестве В с областью значений в Л. Пусть ц

(t) =

= e

Ь|) (/)], тогда равенство (10.21.14) примет вид

+ ,

(0 = ^+i(0n°(0 (10.21.16)

при t £ В. Не нарушая общности, можно считать, что г}° (t) = 0 при

/ £ В. Вычислим

Цг]^

li\

k+l

Vo=$Pi

i(f)W(t)]

do(t). (10.21.17)

314

формулу (10.21.17) можно переписать как квадрат некоторой нормы

многочлена Р

к+1

(t):

\\Pk

i\\l=§P

i(t)dp(t), (10.21.18)

где

dp(t) =

lr\°

(t)]

da (t). (10.21.19)

Теперь посмотрим, как могут быть решены первые две задачи, сфор-

мулированные в начале параграфа.

Для исследования первой задачи удобнее исходить из системы

ортогональных на отрезке [—1, 1J многочленов. Для этого перейдем

от переменной t к х по формуле

t = (M + m — (M — m) х)/2. (10.21.20)

Пусть р

(х) — системы многочленов вида р

(х) = х

+ a

+ ...,

ортогональная с некоторым весом t (х) на [— 1, 1] и удовлетворяющая

рекуррентным соотношениям

п+1

(х)

(х

— б

п+1

)

Рп (х) —

п+1

(х),

=1;

р_

= 0;

0,1,...

(10.21.21)

Для нормированных многочленов Чебышева первого и второго

рода 8

= 0, Х

= 1/4 при k > 1, а для ЧМБС-многочленов 8

= 0,

= 1/4 при k > / + 1. Для широкого класса весов t (х) имеем 8

->*

0, A,

->- 1/4 при k-+ оо. Последовательности многочленов p

(х)

сопоставим метод (10.21.2) с

2/7fe

(6) _ . Рк-\Ф)

(M-m)p

k+1

{6) Pft+i(S)

который удобнее реализовать по формуле

^-^L(^_/)_l

(^-^-i), (10.21.22)

М —т

где

fc+1

= ((6-6

fc+1

)-X

ft+1

(0|

;

соо

= 0; 8 = (M + m)/(M-m).

Тогда многочлен Рдг (0 примет вид

PN(0-PN(

°)/pN(6). (10.21.23)

При 6

= 0; Я

= 1/4; и > 1; 8

= 0, A,

= 0 получаем чебышевский

метод, оптимальный в норме | \

для* каждого N. Для уравнений

второго рода он был рассмотрен в § 10.20. Аналогично строится метод,

оптимальный с весом вида (10.18.28), использующий ЧМБС-многочле-

ны.

Можно показать

[143],

что для этих методов

Hma

= [

) ; lime,, .

/ УМ-Ут

условия устойчивости (10.21.3) при k > / +

выполнены.

315

Употребляя в (10.21.2) многочлены, наименее отклоняющиеся от

нуля в среднем с некоторым весом, получаем метод с соответствующими

этому экстремальными характеристиками.

Трехчленные методы исследовались С. Франкелом

[277],

В. С. Ря-

беньким и А. Ф. Филипповым

[201],

Р. Хохштрассером

[286],

А. А. Абрамовым [1], Д. К. Фаддеевым

[232],

Л. Ричардсоном [327]

и многими другими авторами.

Проведем дальнейшие исследования их на уравнении второго рода

(10.13.10). Рассмотрим подкласс методов (10.21.2) вида

u*+*=(\

+ a

)lb(k)u

W—a

ub-\

= 0, 1,2

получающийся из общего случая при с

= — a

; а

+ с

= 1. В методе

простой итерации a

= 0. В методах, получивших название ВТ-про-

цессов (см. Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева [233]) и обобщающих метод

А. А. Абрамова [1], предлагается выбирать а

из некоторой последо-

вательности, состоящей из нулей и единиц. Пусть после /г-го итера-

ционного шага выбрана такая последовательность о?, что a

= ... =

hJti

= 0;

k+i+1

= ... =

ft+

N-i

=1, где i > 0, a

k+N

= 0.

Тогда, воспользовавшись формулой (10.18.12) при т = 1 для много-

членов Чебышева, получаем

= b*(X)T

-i(b(X))e

. (10.21.24)

Следовательно, получаем сходящийся при

\х (Ь)

< 1 итерационный

метод. Он оригинален тем, что ускорение сходимости в нем достигается

без использования значения

{х

(6).

Очень интересно решение второй задача. Оказывается, можно

решить задачу об оптимальном выборе коэффициентов для каждого

конкретного начального приближения, не зная явного вида начальной

ошибки. Методы такого типа были разработаны С. Ланцошем

[298],

М. Хестенсом, Е. Штифелем [285, 336] и другими математиками; они

получили названия методов минимальных итераций, или сопряжен-

ных градиентов. Для решения этой задачи обратимся к равенству

(10.21.18). Из него следует, что коэффициенты рекуррентных со-

отношений для P

k+1

(t) должны быть выбраны так, чтобы минимизи-

ровать ||P

ft+1

||p. Согласно лемме 10.21.2, минимум ||P

fc+1

||p дости-

гается, если взять

Ръп (t) = Къ

(0,

t)/K

k+1

(0, 0), (10.21.25)

где,

согласно (10.21.17) и лемме

10.21.1,

(0,

t) —

система многочле-

нов,

ортогональных относительно распределения

dx = t[r\°(t)]

do(t). (10.21.26)

Тогда, учитывая (10.21.11), (10.21.17), (10.21.18), получаем, что

10 = 1^+^ = 1^+1 (0,0)]->/2. (10.21.27)

Таким образом, оценка (10.21.27) является оценкой снизу для оши-

бок на k + 1-м шаге в норме || ||

для всех итерационных методов

типа (10.21.2), начинающихся с одного и того же начального приближе-

ния.

316

Интересно рассмотреть случай, когда множество

состоит из ко-

нечного числа различных точек /

>0, s

1, 2, ..., М. Тогда, полагая

(f)

pdt, где функция р определена в (10.21.4), получаем

dx =

W(t

)]

gl8(t-t

)dt. (10.21.28)

s=l

Следовательно, в этом случае существует только М первых много-

членов К

(Of t)

— 0, 1, ..., М — 1, отличных от нуля во всех точ-

ках

t =

, и поэтому

И* +

Ч1§=

s[Pk

i(t

)]

W(ts)]

ts-0 при

k^M-1.

(10.21.29)

Если множители

сохраняют знак, то из (10.21.29) следует, что

)

0 при k

М. Таким образом, на М-и итерации метод дает

точное решение при любом начальном приближении. В этом случае

итерационный метод (10.21.2) перестает быть таковым и превращается

в прямой метод. А поскольку результат каждой итерации по этому ме-

тоду минимизирует функционал ||т]*

||а,

то

этот метод является

вариационным.

Пусть А (X)

0. Получим формулы, дающие решение второй зада-

чи.

Для этого следует найти коэффициенты в (10.21.15) для многочле-

нов P

k+1

(t) вида (10.21.25). Заметим, что эти многочлены ортогональ-

ны относительно распределения (10.21.26)

k+1

(0)

1. Следуя

работе

Е.

Штифеля

[336],

введем новые неизвестные

— Уи

и-

Тогда соотношения (10.21.15) запишутся в виде

i(t)^Pk(t)+a

(t)-P

^(t)]-tP

(t)}. (10.21.30)

Пусть у

0, Р

(t)

1, тогда Р

(t)

1 — a

t. Величину а

оп-

ределим из условия ортогональности Р

(t) к Р

(/):

JdT/J/dt. (10.21.31)

Умножая (10.21.30) на Ph-idx и интегрируя, получаем

-y

[Pl_

dx-^tP

dT = 0. (10.21.32)

Из соотношения (10.21.30), в котором k заменено k — 1, получаем

— lPk-i = P

—(l/a

-iPh-2-

Подставляя это соотношение

(10.21.32), находим

yh =

(Va

^)^Pldx^Pl^dx.

(10.21.33)

Умножим теперь (10.21.30) на P

dx и результат проинтегрируем, тогда

uk =

((I

tPl

)-^Y

X ;

(10.21.34)

-y

. (10.21.35)

Формулы (10.21.31), (10.21.33) —(10.21.35) дают возможность по

известным величинам а

(t), P

(t) вычислить

, c

, а сле-

довательно, и многочлен

(t) по формуле (10.21.30).

317

Формулы (10.21.31), (10.21.33), (10.21.34) с учетом (10.21.16),

(10.21.26) и равенств t = А (к), Ы

= r

имеют вид

= j>e°da/

|r°|

da;

Yft

= (l/flfc_i) f r

da I (V-^e*-

da;

^^((Jl^pda/J^e^daJ-Tfc)"

(10.21.36)

где

a (к) = а (А (к)), a r

означает невязку

решении

на k-м

итера-

ционном шаге, которую можно вычислить, зная

Формулы (10.21.36) могут быть расчетными

в том

случае, когда

уравнение (10.13.3) само есть результат преобразования уравнения

=г|>

(10.21.37)

путем умножения

его на

сопряженный оператор

Тогда

уравнении

(10.13.3)

А = LL, а / = Ьр.

Пусть

L —

действительная функция.

Если обозначить

невязку уравнения (10.21.37)

при

формулы (10.21.36) примут

вид

= ]' |

q«

da/11

г° 1

da;

= u

, то q

= Ls

; r

Уи=--

(VI

dk-i\\q

• 1

fi<

,£ 12

i-i

JVI

-VJ (10.21.38)

Подберем теперь распределение

da (X) так,

чтобы

формулы

(10.21.36) входили только невязки

. Для

этого положим

da (к) =

А (к) dl (к) и

учтем,

что r

= A

(k)&

. Тогда формулы (10.21.36)

перепишутся

виде

$\r°\*dt/^A\ro\*dl;

(1/а

)

|г*|"#/

j |r*-' |

d£;

[(J Л |

г* |» dS

/ J

г* P d6) —

Yfc]"

(10.21.39)

Это

есть формулы различных вариантов метода Ланцоша, или мето-

да сопряженных градиентов. Варианты отличаются друг

от

друга удоб-

ными

для

реализации способами выбора распределений

da (t) или, что

одно

и то же, d£ (к),

которые учитывают спектральную функцию

А.

Формулы (10.21.39) удобнее взять

виде

[г°,

гЦ

1[Аг\

г°]

Уп

—^—[г

, r

]

l[r

г*-

]*;

([Ar

, r

]

/[r

]м-упУ\

£=1,2,...,

(10.21.40)

где оператором М >0 определяется метрика; в простейшем случае

М = /.

318

Может сложиться впечатление, что метод сопряженных градиентов

предпочтительнее чебышевских методов. Однако это не очевидно, так

как:

1) в формулах (10.21.40) приходится подсчитывать скалярные про-

изведения; это увеличивает цену одной итерации;

2) метод может быть неустойчив по отношению к ошибкам округ-

ления, а порождаемые им ошибки могут заметно изменить величины в

формулах (10.21.40). Неустойчивость метода возникает, если || P

(А) || >

^ 1 при некоторых 1 < £ < ЛЛ В методе (10.21.2), (10.21.40) ма-

лость величины || P

(А) || не является необходимым условием его схо-

димости.

Пусть решаем серию самосопряженных задач (10.2.16) методом

(10.21.2), (10.21.40) с разными/, и

, Л, но такими, что Sp (А) £ [т, М].

Каждую задачу назовем вариантом (/, и

, А). Справедлива [144]

Теорема 10.21.1. Пусть

все вычисления

методе

(10.21.2), (10.21.40)

выполняются точно. Тогда для любых N

R > 1 существует такое

е>0,

что как только т1М<г, то найдется такой вариант (/,

, Л), что || P

(A) \\>R

при 1 < s < N.

Доказательство. Не уменьшая общности, можно считать

М = 1. Пусть Д = [1/(4 (R + 1)), 1/(2 (R + 1))], тогда возьмем

8 = 1/(4 (R + 1)). В качестве варианта (/, и

, А) возьмем вариант, ха-

рактеризуемый следующими свойствами: 1) спектр оператора состоит

не менее чем из

точек; одна точка спектра, пусть это будет Х

1у

совпа-

дает с единицей, т. е. К

= 1, а остальные точки спектра принадлежат

отрезку А; 2) за начальное приближение и

возьмем такую функцию,

чтобы для ошибки е° было справедливо следующее представление:

е°= 2 еЯ

Фп

, (10.21.41)

п > 1

где ф

/г

— собственные функции оператора Л, и не менее N — 1 чисел

е° в (10.21.41) было отлично от нуля. Тогда в£е корни P

(/), 1 ^ s ^

^ N — 1, будут принадлежать отрезку А, и поэтому

II МЛ) II =|М1)|>(1 + 2RY>R*.

При численной реализации методом (10.21.2), (10.21.40) варианта

(/, и°, А) типа, описанного в теореме

10.21.1,

сначала происходит силь-

ный рост и накопление ошибок округления. В разложении по собствен-

ным функциям эти ошибки имеют большие по модулю коэффициенты

Фурье при тех ф„, которые соответствуют собственным значениям, близ-

ким к М. Вследствие этого изменяются значения коэффициентов a

Си

в (10.21.40), т. е. метод перестает быть оптимальным; он начинает

«бороться» с порожденными им же самим ошибками, распределенными

Уже по всему спектру.

В работе [144] показано также, что на определенном классе началь-

ных ошибок чебышевский метод с соответствующим весом является оп-

тимальным методом типа (10.21.2) с точки зрения теории игр.

Интересно решение обратной задачи: по набору a

воссоздать

Распределение dr, а по нему — класс начальных ошибок и операторов

319