Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

Исследуем и применим этот прием к решению уравнения (10.13.10)

методом (10.13.11). Обозначив a

(X)

= [1 — Ь

(Я)]-

(X)

(и

—

— и

), получим для трех последовательных итераций

u —

^=a

(X)\ u-u

= a

(X)b(X))

u-u

= a

(X)b

(X). (10.17.2)

Определим a

(X)

через и, и

, u

k+1

. Для этого вычтем второе

уравнение (10.17.2) из первого, третье из второго и первое и третье

уравнения из удвоенного второго:

—u

(l—b); u

—u

= a

(l—b)b\

k +

\__2u

+ u

= —a

(l—b)

Из первого и третьего уравнений (10.17.3) имеем a

(X)

= — (u

—

— a

fe_1

)

/(w

fe+1

— 2u

+ a

fe-1

). Следовательно, учитывая первое урав-

нение (10.17.2), получаем формулу (10.17.1). В нашей трактовке 6

процесс позволяет получить точное решение уже при k = 1. Однако

этого не происходит, когда мы имеем дело с решением общего оператор-

ного уравнения. Тогда целесообразно поступать так: в определенный

момент, будучи уверенным в возможности успешного применения 6

процесса, надо получить из и

итерации u

, u

k+1

, затем найти уточ-

ненное значение u

k+1

по формуле (10.17.1) и продолжить итерацион-

ный процесс дальше, прерывая его время от времени описанным при-

емом ускорения сходимости итераций. Формулу (10.17.1) удобнее пере-

писать в виде

=и*

+ 1 —

—u

)*/(u

—

+ u

{

). (10.17.4)

Эта формула записи показывает, что разрядные цифры, совпадаю-

щие у элементов u

k]rl

, u

можно отбросить при вычислении по-

правки. При I (и) = и метод (10.16.5) совпадает с (10.17.4).

§ 10.18. ЧЕБЫШЕВСКИЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Так назовем методы, использующие многочлены, наименее откло-

няющиеся от нуля с весом. В методах такого типа предлагается решить

следующую задачу. Пусть задано некоторое целое N > 0, a 3)? =

{

kCh

(^), k = 1,2, ..., N}

где a

— константы, а С&

(X)

— неко-

торый заданный набор операторов. Требуется выбрать так константы

<х

, чтобы после N итераций по формуле

^и

—а

к+1

(Аи

—/), fc = 0, 1,..., N—

(10.18.1)

получить наилучшую в некотором смысле сходимость итераций. Такой

метод называется циклическим, если при необходимости дальнейшего

продолжения итерационного процесса (10.18.1) выбранные значения

циклически повторяются:

(mod N).

Наиболее подробно подвергались разработке и исследованию цик-

лические методы, в которых C

= Н > 0. Это работы Л. Ричардсона

[326,

327], Д. Фландерса и Г. Шортли

[276],

М. Ш. Бирмана [30],

М. К. Гавурина [50], Д. Янга

[347],

Д. К. Фаддеева [232] и многих

(10.17.3)

300

других.

этом случае,

не

уменьшая общности, можно считать

=в

Тогда

k+1

aft+l

(Au

—f) (10.18.2)

Делая

итераций по формуле (10.18.2), получаем

(A)u

+ lI —

(A)]A-

(10.18.3)

где

PN (t)

— многочлен степени

имеющий

вид

?N(t)=

(1"

(0)=1. (10.18.4)

Легко проверить,

что для

ошибок

= и

—

справедливы

ре-

куррентные соотношения

k+N

(A)e

(10.18.5)

Приближения

и°

> u

полученные по методу (10.18.2), связа-

ны между собой формулой (10.18.3). Если забыть

приближениях

при

k Ф

0 (mod

то формула (10.18.3) дает некоторый уже стацио-

нарный итерационный метод.

Рассмотрим некоторые способы построения итерационных процес-

сов,

основанные

на

различных первоначальных построениях,

но

сво-

дящиеся

конечном счете

построению методов типа (10.18.3).

Пусть

3№

{/1лг-1

(А)}

где

AN-1

(/)

— многочлен степени

—1.

Тогда

b+i=u

—h

-\{A)(Au

—f).

(10.18.6)

Алгоритмы такого вида были названы

в [233]

универсальными.

Легко видеть, что

для них

(t)=

— ЛАГ-I (/). (10.18.7)

Если

, k = 1,2, ..., N

—

корни многочлена 1

—

/Алг—i

(t), то

этот многочлен представим

виде (10.18.4),

следовательно, один

шаг

метода (10.18.6) может быть реализован

за N

шагов метода (10.18.2).

М. Ш. Бирман [30] предложил для построения итерационных ме-

тодов исходное уравнение предварительно преобразовать

виду

и =

и+ 2 b

A*-4Au-n

(l+ 2 Ь

А*)и-%Ь

А*-Ч

и применять метод простой итерации

уже к

этому преобразованному

уравнению. Очевидно,

что

такой метод может быть также сведен

(Ю.18.2)

при P

(t) =1 + 2 b

Итак, пусть

фиксировано.

методе (10.18.1) можно по-разному

выбирать коэффициенты

Рассмотрим сначала

1-й

критерий выбора коэффициентов

Выберем коэффициенты

так,

чтобы многочлен

Р^ (t)

вида (10.18.4)

301

был многочленом, наименее отклоняющимся с весом р (t) от нуля

(МНОН) на множестве R (А) в норме | |

, т. е. потребуем, чтобы

sup \P

(t)p(t)\ =

(Q,p)

(10.18.8)

где

(Q,

p) = inf sup

| (1

-2a

) p

(t)

p (t) >0 — непрерывная на Q функция, a Q = R (Л).

Это не единственно разумная стратегия, и существуют другие

принципы выбора а*. Но при указанном сейчас способе определения

происходит максимальное за N итераций подавление начальных

ошибок в норме |

на классе /^ (р,

с):

е°

(X)

= {е°

(X)

р (Я): | е° |

< С}, поскольку

|e"|

<sup \P

(t)p(t)\

\го\

(10.18.9)

*е=Я (А)

Выбором функции р (/) можно учесть различные классы началь-

ных ошибок, их гладкость, нормы пространств, в которых желатель-

но оценить e

и 6°, влияние на 8° тех вычислительных алгоритмов,

которые предшествуют употреблению метода [140] (например, итера-

ций по нахождению границ спектра).

Построить фактически многочлен (10.18.8), как правило, не пред-

ставляется возможным, ибо или не бывает точно известным располо-

жение R (Л), или R (А) ир (t) таковы, что для них затруднительно по-

строить МНОН. Обычно задача огрубляется следующим образом:

пусть известно, что R (А) ^ Q, где множество Q такое, что на Q можно

построить МНОН. Тогда а

равны обратным значениям корней этого

многочлена.

Широко известны способы построения итерационных методов

(10.18.2) для Q = [т, М], тМ >0, М > т, р = 1. В этом случае

минимизация (10.18.8) была дана П.Л. Чебышевым в 1881 г.

[239]:

Ры (t) = (T

(б))"

l(M + m — 2t)/(M - m)], (10.18.10)

б = (M + m)/(M — m)>l, (10.18.11)

cos (N arccos t) при

—

1 < £< 1,

ch(Warcch/) при />l,f<— 1,

т. e. TN (t) — многочлен Чебышева N-ro порядка первого рода для от-

резка [— 1; 1]

[240].

Многочлены Ты (t) удовлетворяют рекуррентным

соотношениям

п+тп

(0+

(t)]

= T

(t), Го=1,

7-!

= /. (

и, кроме того,

_max

(0|=1,

)

= (-l)

, (10.18.13)

где

(t) =

302

где

4 -~

cos

(kn/N),

k = 0,1

JV.

Корнями Ты

являются числа

со5

1)я

i=l,2,...,N.

(10.18.14)

Нетрудно также видеть,

что

(t) =

+ VW^)

+{t-Vi^T)

(10.18.15)

Из формул (10.18.10), (10.18.14) находим

max

(t)\

(8)\-

= 2[{8 +

V8^-[)

(Ь_у8Г^\)»]-1 =

(т»

+ т-»)-1

(10.18.16)

(М

)/^

— mV2).

Если

= (/i,

,--->

/N)

обозначить целочисленную перестановку

порядка

тогда

методе (10.18.2) положим

= 2 (М + m — (М —

ш)

р^)"

(10.18.17)

В этом случае

при р s=

1 после

итераций ошибка уменьшится

не менее

чем на

множитель \Ты (8)|~\

где

б - (1 + mlM)l

(1 —

mlM)\

\^<\T"$T

°li.

(10.18.18)

При

применении метода (10.18.2)

с a

взятыми

по

формуле

(10.18.17), оператор перехода

—

А) для

некоторых

имеет очень

большую норму

при

достаточно малых

т/М. Это

обстоятельство при-

водит

при

реальных расчетах

на ЭВМ к

возрастанию

как \\и% что

вызывает аварийную остановку

потерю значащих цифр,

так

и ошибок

округления, допущенных

на

предыдущих итерациях. Пусть

/#(0=П0-М; <2"(0= П 0-М;

r?=

max

|Я?(*)|; q?

= max

|0?(/)|.

Существенной потери значащих цифр

не

будет из-за роста

\\и%

если

п <С

(10.18.19)

а счет будет устойчив

по

отношению

допущенным ошибкам округле-

ния, если

q?<C

(10.18.20)

где

— зависящие от

т/М

постоянные. Значения

п , q"

сущест-

венно зависят

от

перестановки

х#.

Проблема упорядочения параметров

чебышевских методах была

решена

работах

В. И.

Лебедева,

С. А.

Финогенова [149—152]

* Работа [149] докладывалась в лекциях, прочитанных одним из авторов на

летней школе по оптимизации вычислений в г. Одессе в 1969 г., а также на се-

минаре по вычислительным методам линейной алгебры в Новосибирске в марте

1970 г.

303

А. А. Самарского и Е. С. Николаева

[205].

Опишем два простейших ал-

горитма упорядочения параметров.

Пусть N = 2Р, р > 0 — целое и x

_i = (Д, /

, ..., /

-i) — пере-

становка искомого алгоритма для N = 2^~

(к

= (1)). Тогда х

2Р

определим по формуле и

2Р

= (/

2^+1 — /

, 2

+ 1 — /

, ...,

2*+l-/

-i). (10.18.21)

Например, х

1в

= (1, 16, 8, 9, 4, 13, 5, 12, 2, 15, 7, 10, 3, 14, 6, 11).

Для этого алгоритма [150]

2^<ехр[(1 +

А)-

+ Д/1п41Д-

1п4

где А = т (М — т)"

, 1 < s < log

Второй алгоритм [151] разработан для N = П р\'\ где

— простые

числа. Ограничимся случаем N = З

. Пусть x

r_i = (/

, ...,

/з r-i) — порядок номеров, установленных для N = 3

r_1

в соответ-

ствии со вторым алгоритмом. Тогда х

зг

определим по формуле

V = (/i,2.y-

2.3^-i+ 1-/

..., 2-3-^+ 1-//-1).(10.18.22)

Например, х

= (1, 7, 6, 3, 9, 4, 2, 8, 5).

При описанных алгоритмах операторы шага T

= I — a

A с боль-

шой нормой достаточно равномерно распределяются среди операторов,

уменьшающих норму ошибки.

Для метода (10.14.2) с фиксированным значением

опт

спра-

ведливы формулы (10.14.5). После Af итераций вида (10.18.2), (10.18.17)

будет выполняться оценка \Ты (б)

^ 8

-N

. Следовательно, меняя

скаляр а, можно существенно ускорить сходимость итераций. При

N = 1 оба метода — (10.14.2) и (10.18.2), (10.18.17) совпадают.

6. Итерационный метод (10.18.2), (10.18.17) был описан как опти-

мальный для заданного N. Новый класс итерационных процессов —

устойчивые бесконечно продолжаемые оптимальные методы типа

(10.18.2) с чебышевскими параметрами — позволяют продолжить пос-

ле N заданных итераций метод (10.18.2) так, чтобы он был устойчив и

для некоторых N = N

-+ оо, N

>N) снова становился опти-

мальным. Такие методы исследованы в работе В. И. Лебедева и С. А.

Финогенова

[152].

Изложим алгоритм построения параметров такого

метода для одного частного случая. Так как cos

Зл:

cos

(2 cos 2х —

1),

то для многочленов TN (t) и Tw(t) справедливо соотношение

(t)

= T

(t)(2T

(t)-l),

которое показывает, что множество корней многочлена Тгы (t) состо-

ит из множества (10.18.14) — корней многочлена Ты (t) и множества

корней многочлена

2Т2Ы

— 1:

ft = cos ^—^ я, 2/ ф

(mod 3).

304

Следовательно, если после итераций, в которых в формулах (10.18.17)

были использованы параметры (10.18.14), продолжим итерационный

процесс. Далее, взяв в (10.18.17) за $

соответствующим образом пере-

менные параметры р

то при N

= 3N снова получим оптимальный

метод. Продолжая процесс образования параметров аналогичным об-

разом, получим бесконечную последовательность р

/о

для которой метод

(10.18.2) становится оптимальным при N

= 3

N. Последовательно-

сти {Р/<}Г=1 (Pi £ [—1. И) поставим в соответствие последователь-

ность {со

}/Г=1 (со

£ [0, 11) по формуле

Рь = cos (o

я. (10.18.23)

Построенную последовательность рациональных чисел {соа}Г=1 на-

зовем ^-последовательностью. Тогда в методе (10.18.2)

= 2 (М + т — (М — т) cos ю

я)-\ k = 0, 1, ... (10.18.24)

Приведем формулы, определяющие порядок использования р

когда N = 2. Полагаем сначала р

= —

-1

= — р

. Пусть по-

рядок последовательности p

(k = 1, ...,

2-З

)

построен. Отрезок

последовательности p

(k = 2-З

+ 1, ..., 2-З

) построим следую-

щим образом: используя перестановку x

r-i (10.18.22), образуем вели-

чины

4-3

Тогда

P2»/""

+4i+l— —h'i P2-3

r_-1

+4i+2 = ^i'>

Затем по перестановке x

r вычисляем

РЙ

(/г = 2-3

+ 1, ...,

2-3

r+1

)

и т. д.

Соответствующая ^-последовательность будет в этом случае иметь

вид:

_L JL JL _Z_ _L JJL _11_ JL _L JL _LL

4 ' 4 ' 12 ' 12 ' 12 ' 12 ' 36 ' 36 ' 36 ' 36 ' 36 * '"

Разберем при р ==

случай, когда спектр А принадлежит множе-

ствам Q, отличных от [т, М\.

Пусть Л (yl) G Э (М, т), где Э (М, т) — замкнутая область,

ограниченная эллипсом с фокусами в точках М, т, причем 0 < т < М

и 0

^ЁЭ

(Л1,

т). В работах [140,143] показано, что в этом случае для оп-

тимальных методов (10.18.2) справедливы формулы (10.18.17), (10.18.23)

для параметров a

. Это означает, что чебышевским методом можно ре-

шать уравнения для несамосопряженных операторов не только с дей-

ствительным, но и с комплексным спектром.

Рассмотрим случай, когда спектр А лежит в областях, состоящих

из нескольких изолированных компонент. Справедлива следующая

Теорема 10.18.1. Пусть Q

(t) —

многочлен

степени т > 1; Q —

множество точек t, удовлетворяющих неравенству | Q

(t) | ^ г,

305

г > 0, 0 ф, Q\ I —

произвольное

натуральное число. Тогда для у N =

= ml

экстремальное

решение задачи для Q реализуется

многочленом

(t) = (Q

(t)/Qm (0)У и EN = (r/Q

(0)y.

Обозначим через t

..., t

корни уравнения Q

(t) == 0. Тогда

для метода (10.18.2) при N = ml оптимальным будет набор параметров

= tf

при k = i (mod m).

При m = 1 спектр А принадлежит некоторому кругу \ t — а | ^ г,

| а | >г и t

= а. Следовательно, если (10.2.16) — уравнение, пре-

образованное из исходного алгоритмом, характерным для оптимальной

последовательной верхней релаксации, то для такого уравнения a

= а"

в оптимальном методе, т. е. чебышевское ускорение совпадает с

самим алгоритмом последовательной верхней релаксации. Обобщение

теоремы 10.18.1 дает

Теорему 10.18.2. [140, 143]. Пусть Q = {t: Q

(t) 6 Ы~

1)},

(0) € dd (—1» О»

де

— многочлен

т-й степени с

действитель-

ными коэффициентами, а

Э<*

(—1> 1) — область, ограниченная эл-

липсом с фокусами в точках ± 1 и отношением осей, равным d<C 1.

Тогда для у N = ml

экстремальное

решение задачи для Q реализуется

многочленом

(t) = Т

(t))/T

(0))

(Q) = T

((1 -

<F)-W)IT

(0)).

Пусть {соt}™ — ^-последовательность, a z

,...

— корни

уравнения

Тогда параметры метода (10.18.2) при k = m (i — 1) + /, / = 1, 2,

..., m; i = 1, 2, ..., определим по формулам

= zn\ (10.18.25)

Предельный случай теоремы — d = 0, когда спектр А лежит на

нескольких отрезках, исследован в

[128].

Эти отрезки могут лежать по

разные стороны от нуля. Для m = 2 длины отрезков должны быть оди-

наковыми.

8. Разберем оптимальные с весом циклические итерационные ме-

тоды. Пусть Q = [m, М], a max р (t) = 1, р (t) >0 — непрерывная

на Q функция, и пусть

* = (М + m — (М —

т)х)12.

(10.18.26)

Далее часто будем переходить от переменной t к переменной х £ [—1,

1],

а соответствующие функции от х обозначать старыми идентифика-

торами. В работе [140] показано, что при 0 < с<.р (х)Ссредняя ско-

306

рость сходимости оптимального

весом метода (10.18.2) асимптоти-

чески оценивается величиной

J-ЛпГ„(8)

+ ^^ Г

lnp(z)dz

(10.18.27)

Второе слагаемое

(10.18.27) дает приращение скорости

по

сравнению

с классическим случаем

р= 1. В [147]

получены асимптотические

формулы

для

параметров

Для случая, когда

P(x)

V6(x)/Q

(x), (10.18.28)

где

б = 6

(х) = 1, б = б

(х) = (1

— Л:

б = б

(х)

= (1 ± х)/2,

(*)

— положительный

на

[ —

1,1]

многочлен степени

т,

для экст-

ремальных многочленов

(Х)

ИХ

корней,

следовательно,

пара-

метров метода (10.18.2) можно дать явные формулы

[140, 143].

Такие

многочлены были исследованы

П. Л.

Чебышевым [240],

А. А.

Марко-

вым [158],

С. Н.

Бернштейном [27],

Г.

Сегё [210]; назовем

их

ЧМБС-

многочленами

(по

первым буквам фамилий).

Не уменьшая общности, можно считать, что

Qm(x)= %(1+а,х),

(10.18.29)

где

а) ф

[

оо],

2/ > т,

0 при

/ >т.

Пусть

N > /,

arccos

х,

Р^

= cos

где p

—

корни такого многочлена.

Рассмотрим функцию

где

ypj

(х) определены

из

условия

К 2(l-faftAt) > 2(l+a

—

n<ReT|)

<n,

k = 1,2, .... 2/.

Тогда

при N ^ I

(Х) = S

(JC)/5N

(б), (10.18.30)

при

б = 6

S* (*)

= f(*,

)

= /CW

cos ((Л^—/)6

(cos

в)),

(10.18.31)

а корни

этого многочлена определяются

из

уравнений: p\=cos

= ((/

—

1/2) л + /9

—г|з

(cos Q,))/N, i = 1,2, .... JV.

(10.18.32)

При

б = б

(*)

(x, Q

)

(x)/(l-x

) sin ((JV-/ +

1) 0

ip(cos0)),

(10.18.33)

307

а корни этого многочлена определяются из уравнений: р

= cos Q

0. = (i

+ lQ

— ц (cos Q

))/(N + 1), I =

1,2,...,

N. (10.18.34)

Значения 9* могут быть успешно найдены из (10.18.32), (10.18.34)

методом последовательных приближений. Заметим, что многочлены

(х) при п > I + 1 ортогональны на [ — 1, 1] с весом б (х) (1 —

1/2

/Qm(*) И

n+1

(х) = 2S

(х) - S

(х). (10.18.35)

Они переходят при Q

s=l в многочлены Чебышева первого и второ-

го

рода—Т

(Л:),

(х). В этом случае в методе (10.18.2) параметрыa

следует выбрать из множества чисел (10.18.17), где $j

есть перемешан-

ные перестановкой x

числа, определяемые равенствами (10.18.23).

М. К. Гавуриным [50] был предложен критерий выбора параметров,

основанный на сравнении невязки с ошибкой e*+

. Поскольку e

= Л"

г*, то

*+N

(A)A-h

Это чебышевский с весом метод, в котором р (t) = F

. Такая страте-

гия 'предъявляет более сильные требования к подавлению ошибки

e*+

(К)

при значениях Л, соответствующих малым значениям А (X).

Руководствоваться им целесообразно на заключительном цикле из

N итераций. Тогда по известной функции невязки r

(Я) можно опти-

мальным образом оценить убывание e

9. В работе В. И. Лебедева, Ю. А. Власова,

С.

А. Финогенова [147]

исследована эффективность метода (10.18.2), в котором параметры a

определяются ^-последовательностью, в задачах, когда А — матрица,

имеющая нелинейные элементарные делители. Е. Штифелем [336]

был предложен метод выбора коэффициентов a

, в котором многочле-

ны

(t)

строились так, чтобы они в среднем с некоторым весом наиме-

нее отклонялись от нуля; подробнее этот метод разобран в §

10.21.

§ 10.19. БЛОЧНЫЙ ЧЕБЫШЕВСКИЙ МЕТОД ДЛЯ РЕШЕНИЯ

УРАВНЕНИЙ С ДВУЦИКЛИЧЕСКИМИ МАТРИЦАМИ

Пусть уравнение (10.2.16) в результате разделения неизвестных и

на две группы и

и и

можно записать в матричном виде

(X)

-С

(Щ /«Л 7/i>

. . , . . . (10.19.1)

где D

>0uDf

(

m, i = 1,2, а С* = C

. Матрицу в (10.19.1) с ука-

занными свойствами назовем обобщенной двуциклической матрицей.

На двуциклическом представлении оператора А основаны методы блоч-

ной последовательной Еерхней релаксации [164, 341].

Рассмотрим следующий класс итерационных методов

[141]:

DiU

i,2

=CiU

+ fi

J +

= u{ +

fc+1

(a{

»/2-tt});

*+f

;

="5 + Pk+i("5

1/2

-«9.

)

£ =

0,1,...,

308

Пусть

VDj

0 )

и ^(В) =

[л

<1,

о)

= 2/(1+КГ^Г

Обозначим L

(а, Р) оператор перехода метода (10.19.2) после т шагов

с параметрами а

.., а

, р

При a

= Рь = о)

метод (10.19.2) превращается в оптимальный

блочный метод последовательной верхней релаксации

[341].

Для него,

так же как в § 10.15, можно показать, что \х (L

(со

, со

)) = со

— 1, а

, (10.19.3)

где С > 0 — некоторая постоянная.

Рассмотрим теперь один из вариантов блочного чебышевского ме-

тода

[141].

Для этого положим в (10.19.2) a

(тогда и\

= и**

= [1 - |i» sin

((Dfcjt/2)]-

. (10.19.4)

где

{со

— ^-последовательность.

Оператор перехода от и\ к и\ будет в этом случае иметь вид V

(Р)

= P

(Я), где

(0 = Q*(0/Q*0); Qk(t)= ПР-i + Pf

а Я = Ds"

CJD\

причем Я > 0, точнее, Sp (Я) б [0, ц,

Для k = N

(в приведенном в § 10.18 примере Г-последователь-

ности N

= 2-3") многочлен P

(t) будет многочленом, наименее от-

клоняющимся от нуля на [0, ц,

] среди всех многочленов, нормирован-

ных условием P

(1) = 1 и

IIVN

(P)||

= 2(0

-l)

n(l + K-l)

N-

. (Ю.19.5)

Оценки (10.19.3) и (10.19.5) показывают, что при k = N

этот вариант

блочного чебышевского метода сходится быстрее оптимального метода

блочной последовательной верхней релаксации. Отметим, что для ре-

ализации этих обоих оптимальных методов требуется одна и та же ап-

риорная информация — знание величин ц

В работе

[141]

рассмотрены другие варианты метода (10.19.2), учи-

тывающие для некоторых задач специфику расположения спектра опе-

ратора Я и позволяющие ускорить сходимость итераций.

§ 10.20. ЧЕБЫШЕВСКИЙ ПОЛУИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД,

ИСПОЛЬЗУЮЩИЙ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ РЯДОВ

Пусть необходимо решить уравнение (10.13.10) методом (10.13.11).

Идея полуитерационного метода основана на суммировании различны-

ми способами получающихся приближений и

. Пусть v

(N) — после-

309