Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

и, следовательно, формула (10.28.9) верна.

а. Пусть оператор

обладает свойством (10.28.8). Положим

М =

А.

Тогда легко убедиться,

что

значение функционала

QA (Х)

ЛИШЬ

постоянным слагаемым отличается

от

значения функционала

(Х)

= (Ах, х) - (х, /) - (/, *).

(10.28.10)

Формулы (10.28.5), (10.28.6) примут простой

вид:

, r

)/(Ar

);

(10.28.11)

б. Пусть

(X)

Ф 0.

Положим

М = АА.

Тогда получим функцио-

нал

(х)

метода наименьших квадратов

°лл W = (

Ах

-UAx-f) = (г, г),

(10.28.12)

значение которого можно вычислить. Формулы (10.28.5)

—

(10.28.6)

принимают

вид

a*+i

;

(Лг*, Ar

[AAr\

AAr

). (10.28.13)

в.

Очевидным обобщением случаев

«а»,

«б» является способ выбо-

ра оператора

согласно формуле

М = ABA, где В >0

— некото-

рый оператор. Тогда

®АВА

(*) = (В

(Ах

/),

Ax-f) = (Вг, г),

(10.28.14)

и формулы (10.28.5), (10.28.6) принимают вид

и*

+ a

АВ&,

(ABr\

ABr*)

/ {BAABr\ ААВг*). (10.28.15)

Таким образом, одношаговые методы градиентного спуска оптималь-

ным образом уменьшают функционал ошибок,

но они

требуют допол-

нительной затраты арифметических действий

для

вычисления коэффи-

циентов

этого метода. Нам желательно было

бы

получить наиболее

глубокий спуск

при

затрате заданного числа действий. Неизвестно,

решают

ли

градиентные методы

эту

задачу.

§ 10.29. НЕГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ СПУСКА

1. Рассмотрим семейство функционалов

QM(X) при

разных

М,

имеющих один

и тот же

минимум, значения градиента

у них,

вообще

говоря, различные. Можно предложить итерационные методы,

кото-

рых производится спуск

по

отношению

одному функционалу

в на-

правлении антиградиента другого функционала. Примером такого

метода является метод, предложенный

М. А.

Красносельским

и С. Г.

Крейном [97] для положительно определенных матриц,

котором мини-

мизация функционала

QAA

(Х)

= (г, г)

осуществляется

направлении

антиградиента функционала

Q^ (х).

Свое дальнейшее развитие этот

метод

для

положительно определенных

несимметрических опера-

торов получил

работе Ю.

А.

Кузнецова

[105].

Найдем расчетные фор-

мулы метода,

котором минимизируется функционал

(х)

в направлении антиградиента функционала

QBA

(я).

330

Пусть

В > 0, а

k+i

= u

(10.29.1)

Тогда

г**

—p

ABr\ т. e.

fij

Bi4

(w*+i

)

-(Br^

,r*-M

= (Br

, /*)—2р

(Д/*

ABr*)

p| (ЯЛВг*, Л5г*).

Следовательно,

Re (Вг*, ABr

)/(BABr

ABr*);

Bil

)—[Re(Br

, ЛВг*)]»/(ВЛ5г*, ЛВг*).

следует думать,

что

никогда невозможно использовать

вариационных методах самый естественный

вид

функционала QM(X)

при

М = 1.

Это можно сделать

за

счет специального выбора подпрост-

ранств

на

которых минимизируется функционал

й/ (х).

Такой

метод был предложен В. М. Фридманом

[235];

изложим его

на

примере

вариационных методов третьей группы

[см.

(10.7.8)].

Пусть

(10.7.8)

—

подпространство элементов w

, предста-

вимых

виде

k ь

—

k+\/2

a>i A<Qi

где cp*,

i = 1,2, ...., n

,—

некоторый набор элементов. Найдем мини-

мум

(a*+i/2 -\-w

)

—u,u

+шН1/2 —и).

Легко видеть,

что

да?

V '«1 /

= -2Re["(q)*

r*+>/2)_^M2S А?Ф?)

,/=1,2,...,п.

Следовательно,

для

коэффициентов а?,

при

которых реализуется иско-

мый минимум, получаем систему уравнений

2 <tf Re (Лф/*, Лф?)

Refaf,

г*+

1/2

), /=

1,2,..,

п,

решив которую, найдем щ*+

затем положим

ы*+1

+а^

+,/2

§ Ю.30. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ С НЕПОЛНОЙ РЕЛАКСАЦИЕЙ

Рассмотрим методы типа

k+x

^Ч-со^Ш-

г*, (10.30.1)

331

где

соответствует коэффициенту

методе наискорейшего спуска,

[233].

Из

формул (10.28.4), (10.28.5) следует,

что

QM ("*+' )

И-% (2-О)

)

И1/

/№ (10.30.2)

где

МА~

Из формулы (10.30.2) видно,

что для

выполнения неравенства

k+1

)

) при z

Ф 0

необходимо

достаточно, чтобы

0<G)

<2. (10.30.3)

Методы (10.30.1),

которых

< 1,

назовем методами нижней релак-

сации,

если

соь

>1,—методами верхней релаксации.

Обозначим

определим границы

, при

которых мето-

ды типа

a*+i

MA~

rb (10.30.4)

сходятся

в #м.

Если

(и,

а)<(Мн,

И)

< М

(и, и),

тогда

М;

< a

= (2*

Z*)/(M*

) <

mo"

и, следовательно, достаточным условием сходимости является

0<у

<2М;К

(10.30.5)

Зафиксируем постоянным

= у.

Тогда при выполнении неравенст-

ва (10.30.5) метод

и*

МЛ*-

г* (10.30.6)

сходится. Преобразуем формулу (10.30.6):

и*+1 =a*—y(Mu

—MA-* /). (10.30.7)

Следовательно, метод (10.30.7) есть метод типа (10.14.2)

для

решения

эквивалентного уравнения

Ми

МЛ"

§ 10*31. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА ТЕОРИИ

ВОЗМУЩЕНИЙ ОПЕРАТОРА

Итерационные методы, рассмотренные нами ранее, использовали,

как правило, для нахождения решения уравнения (10.2.16) операторы,

которые, вообще говоря, могли быть не близки

оператору Л"

. Одна-

ко существуют определенные идеи

методы, позволяющие

ряде слу-

чаев использовать

строить

итерационном методе операторы, близ-

кие

к Л""

Одно

из

семейств таких итерационных методов изложено

в §10.

10.23.

Начнем

методов, основанных

на

задачах

возмущении оператора

или продолжения по параметру. Такого рода методы были рассмотрены

Л. Чезари

[268].

Существует большое число задач «на возмущение», когда исследуют

вместе

«невозмущенной» задачей

известном смысле близкую

ней задачу

Наиболее естественным является введение числового

параметра

е и

рассмотрение семейства задач

непрерывно

опре-

332

деленном смысле зависящего от е. При е = 0 имеем невозмущенную

задачу ^

- Например, пусть Л

, Л^..., Л

, .... — линейные операто-

ры,

= Л

+ еА

+ ... (10.31.1)

есть оператор, расщепленный на главную часть А

и возмущающие чле-

ны 2е'Л

. Пусть требуется найти решение и

уравнения

= /, (10.31.2)

предполагая, что это уравнение при 8 = 0 сравнительно легко реша-

ется, т. е.

5SR

{Л^

Методы решения задач путем введения в них

малого параметра восходят к работам Лагранжа, Гильберта и Бернш-

тейна. Существуют различные алгоритмы решения задач такого типа.

Мы остановимся на методе представления степенным рядом (см. ра-

боты Л. Чезари

[268],

М. И. Вишика и Л. А. Люстерника [38],

М. К. Гавурина [51], А. А. Дородницына [75]), оставляя в стороне ме-

тод вариации параметра, предложенный Д. Ф. Давиденко [70], кото-

рый также может явиться основой для получения итерационных фор-

мул [71].

Представим решение и

степенным рядом

Иг

= и

+ ги

+ е

+ ... (10.31.3)

Подставляя (10.31.1), (10.31.3) в (10.31.2), получаем

/ =

= (Л„ + еЛх + ...) (и

+ ги

+ ...)•

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем для

последовательного определения и

, и

..., систему уравнений

AQUQ

= /;

—АхЩ\

и%

= —

—Л

2 и

;

(10.31.4)

Система уравнений (10.31.4) задает некоторый итерационный процесс.

Чтобы показать это, ограничимся для простоты рассмотрением случая

Л^эО при I > 2. Умножим 1-е уравнение системы (10.31.4) на е',

i = 0,1,2, .., и сложим результаты:

к*-и ^ — еЛ^+Д (10.31.5)

где

а*

= 2

Таким образом, результат после нахождения и

, ..., u

по формулам

(10.31.4) равен результату, полученному при k итерациях (10.31.5),

если и

= и о = Л^

/- Очевидно, что здесь

Т =

гА;

(10.31.6)

Если оператор Л

хорошо приближает Л

(е мало!), то методы подоб-

ного типа обладают быстрой сходимостью итераций. Полагая A

= 0

333

при />3и повторяя описанный прием, получаем метод, использую-

щий информацию о двух предыдущих приближениях:

ы*+1 = _

вА

—г

и*-*

+ f. (10.317)

§ 10.32. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ НАИБОЛЬШЕГО

ИЛИ НАИМЕНЬШЕГО СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ

И СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ СОБСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ

Рассмотрим несколько методов определения наибольшего или наи-

меньшего собственного значения и соответствующей собственной функ-

ции. Отметим,

что

задачи на нахождение наименьшего собственного зна-

чения, называемого к

9ф

(эффективного коэффициента размножения),

являются одними из основных реакторных задач. Исследуем методы,

основанные на использовании многочленов Чебышева первого, вто-

рого и третьего рода; эти методы одинаково хорошо приспособлены к

задачам нахождения как наибольшего, так и наименьшего собствен-

ного значения. Целесообразно снова вернуться к операторам, задан-

ным в банаховом или гильбертовом пространстве.

Рассмотрим уравнение на собственные значения, записанное в виде

Ах =

Хх,

(10.32.1)

где А — линейный ограниченный оператор, заданный в банаховом

пространстве В и имеющий полную линейно-независимую систему нор-

мированных собственных функций ф

, ..., ф

, ..., соответствующих соб-

ственным значениям к

> Х

> ... ^

^ .., ^ 0, где к

->-

при п

->-

оо (это предположение несущественно) и можно априори ука-

зать величину 0 < а <

В задаче мы найдем наибольшее собствен-

ное значение к

и собственную функцию ф

Первый метод, использующий чебышевские параметры

и значения некоторого линейного функционала

Пусть I

(х) —

линейный функционал из сопряженного пространст-

ва 5*, 1

= / (ф

), причем 1

Ф 0. Применим итерационный метод

с переменными сдвигами, величина которых будет определяться беско-

нечной ^-последовательностью чебышевских параметров, взятых в оп-

ределенном порядке. Для нахождения X

обобщим на случай пере-

менных сдвигов метод Бернулли: это позволит быстрее находить инте-

ресующие нас собственные функции и значения, особенно в случаях,

когда

и Х

близки

[142].

Для нахождения

1э

рассмотрим итерационный

метод.

По началь-

ному приближению

*°=2

сЯ<р

для которого предполагается, что / (л:

) = 1;

с°\

Ф 0, а ошибка при-

надлежит классу

|d|<C

,/1*2,3,..,,

(10.32,2)

334

где здесь и далее C

> 0 — некоторые константы; приближения

>п

(10.32.3)

находим по формулам

где p

= М sin

(ясо

/г

/2), {(o

}? — бесконечная последовательность;

(Oh

6 (0, 1); М — параметр, которым будем распоряжаться на каж-

дом этапе нахождения

1У

Этап 1. Сначала найдем Х

- Д

ля

этого положим М = а, а

{co

—

Т -последовательность. Тогда 0 < $

< а и

**=(*1-РА)

Ф1+ 2**(^)в

1-1

+ f>-i(*„)fi„/„] ';

/1=2 J

Ф1

+ 2 ** (^)

я„

-~ U + 2 **

(М

Д»/

;

jSz

^ J L

«==2

~ Г °° / 1 г °°

= /(**)

=(A

-p

)

+ 2 MWnf-

+ 2>*-i W x

(10.32.4)

где B„ =

cVcV,

Ф* {Ц

= P

(*)//>* (M;

Л< (X)

= П (A.-PJ).

Пусть 8д = 2X

/a — 1, тогда для K

^ а имеем

^ 7> (90 \ Ь-а/2 ) ^ I Хг-а/2 )

где

< k — то максимальное значение &, для которого отрезок Т-по-

следовательности

{со

}£

соответствует всем корням многочлена 7~ (х).

Для Х

£ [0, а], имеем

№,(^)|<а(А)/Г

(10.32.6)

где А = XJa — 1, а а (А) = 1 при

= k или для А,

> 2а —

А*

а (А)

■=

, с

>0 в остальных случаях.

Из (10.32.5), (10.32.6) следует, что коэффициенты в (10.32.4) при

Фл,

для п^ 2 убывают при ^->оо по модулю быстрее, чем в методе

простой итерации (при p

= 0), а при

происходит оптимальное на

335

(10.32.7)

классе (10.32.2) подавление тех коэффициентов

с%,

для которых к

€ [0, а].

Пусть известны значения p

;

fe+1

; p

ft+2

;

\ YA+Ъ YA+2- Тогда,

обозначая c

= cj"

; c

"~H

и ограничиваясь в суммах (10.32.4)

двумя первыми членами [считая тем самым, что члены при п > 2 малы

при достаточно большом &, см. (10.32.5), (10.32.6)], получаем систему

четырех уравнений

ci + Ca^D/,;

2 ^ т т

±с

П (K-fa+i) = D

k+h

m = 0,1,2,

r&eD

— некоторая не равная нулю постоянная.

Это обобщенная моментная система, ее решение удается найти: если

Ук+\

(Y*+2 — Y*+i + Рл+2 — Рн-i )/(Y*+i —

ТЛ

PA+I —РА);

<7А

YA<*A;

РА = YH-i + P*+i —

РА

+ o

;

ti =

+ (p№-q

)

l/2

\t2 =

qk/tb

где f

— корни уравнения *

— p

t + q

= 0, то

*i = 'i + Pi; ^2 = к + P

. (10.32.8)

Этот этап итераций с использованием Т-последовательности и М =

= а продолжаем по формулам (10.32.3), (10.32.8) до тех пор, пока не

получим устойчивые значения К

. Пусть это наступило при k

—

а критерий окончания итераций по точности определения собствен-

ной функции еще не выполнен.

Этап 2. После первого этапа класс ошибок трансформировался

после k

итераций в класс

При Х= А,

функция

|i|)

ftl

(X)

| для больших k

имеет острый пик;

это означает, что в ошибке к этому моменту сравнительно велики ком-

поненты

Сп

фп Для первых п ^ 2. Эту неравномерность в ошибке устра-

няем специальными итерациями. Простейший способ заключается в

том,

чтобы взять PAH-I = Я

. В работе [142] изложены более совершен-

ные стратегии по специальному выбору на следующих четырех итера-

циях параметров p

Этап 3. Полагаем в алгоритме (10.32.3) М = Я

и, начиная с о)

1э

употребляем ^-последовательность. Можно применить и другие после-

довательности {co

}J°, учитывающие специальный выбор параметров

на втором этапе. Если в процессе итераций на третьем этапе величина

%\, высчитываемая по формуле (10.32.8), снова примет устойчивое зна-

чение №

(это будет обозначать, что к этому моменту главная часть

ошибки сосредоточена на собственных функциях с собственными зна-

чениями в окрестности Х\

Л)

), то полагаем

и продолжаем далее итерации с Г-последовательностью.

336

Второй метод определения собственных значений,

использующий чебышевские параметры

значения

двух линейных функционалов

В задачах,

где

операция

на

ЭВМ выполняется не точно,

а на-

ходится методом итераций (внутренним итерационным циклом), фор-

мулы для определения Х

(Ю.32.8) являются достаточно чувстви-

тельными

по

отношению

погрешностям, допускаемым

во

внутрен-

нем цикле итераций,

случае, когда Х

близко

к к

Второй способ не-

сколько улучшает обусловленность систем уравнений

по

определению

1У

на

первом этапе вычислений.

Пусть

/ (х), т

(х) — два линейных функционала, такие,

что

Ы т

(ф

) —

(ф

)

(cpi)

ф 0.

Введем дополнительные обозначения:

= т

(ф

);

= т

(х

);

= I

(х«).

Рассмотрим следующий итерационный процесс,

котором для просто-

ты изложения отсутствует нормировка решения

я*+1/2

—

рл+i

;

Л+

Msin

Kjt/2), (10.32.9)

где {со

}

—

^-последовательность.

процессе итераций вычислим

«ь,

fi/i» Yft+1/2» 6/1+1/2- Тогда справедливы следующие соотношения:

п р

п п

(10.32.10

где

ln\

Используем

эти

соотношения

для

определения Х

. Для

этого

оставим

суммах лишь слагаемые

с п = 1,2.

Решая полученную систе-

му шести уравнений, находим формулы

для т

Рл+1

+(SfcYAH-3/2 — 7лв*+3/2 )/Sb\ Т

= (б^

1/2 7^+3/2 —

—

Ук+Х/2

^+3/2)/S

где s

h+1/2

—

l/2

Тогда

h,2^rj2^Vm~i

(10.32.11)

Эти формулы используем

на

первом этапе итерационного процесса

чебышевскими параметрами.

Исследуем качественно влияние ошибок

на

определение А£, %\

по

формулам (10.32.10). Если величина

становится очень малой

про-

цессе итерацийдо формулы (10.32.10) сильно чувствительны

ошибкам,

Допущенным при вычислении

, у

Если величины

, y

вычислены

точно,

то

при k

-> оо s

« (А\В\ —

)

(Х

— Х

337

Если же вместо этих величин мы вычисляем

т*

= т*0+Б*);в* =

в*(1

);

YH-i/2

Y*+i/2 (l + lh) (l + 6л); Sik+i/2 = вл+1/2

+ е

)(1+е

то вместо s

получаем

==(l +

)(l

+ 6ft)(sfc +

YA+i/2

— Y*6*+I/2 f

Следовательно, для успешного определения K

необходимо по

крайней мере, чтобы | £

|, |

= О (| К

— Л

|). Это соотношение тре-

бует, чтобы внутренние итерации проводились

достаточной точностью.

Аналогичный анализ для формул (10.32.8) показывает, что в первом

методе внутренние итерации необходимо проводить с точностью, не

превышающей 0(1^ — А,

Третий метод, использующий чебышевские параметры

и сопряженное уравнение

В ряде случаев требуется наряду с задачей (10.32.1) решить анало-

гичную задачу для сопряженного уравнения

А*у

= Ху (10.32.12)

для получения функции ценности. Полную систему собственных эле-

ментов задачи (10.32.12) обозначим {ф

}. Пусть системы {ф

{г|)

} биортогональны, т. е. (ср^, я|)

;

) = 8

, где (,) — скалярное про-

изведение.

Итерационные последовательности x

->•

-> г^ при k -+ оо

строим согласно следующему алгоритму, начиная с х°, у

**+i = Л**—р

;y*+

= ЛУ-а

1 y

(10.32.13)

где

i = М sin

(со;

я/2); а

л+

1 = М sin

(со;'

я/2); (10.32.14)

мы выберем позднее, а М на первом этапе равно а, на втором и третьем

-к

Приближения находим в следующей последовательности: х

и т. д. Пусть

п п

Тогда

= P

{A)**;yb =

(A*)if,

где

M0^ri('-Pi);Q*(0-ri ('-«О

338

или

х"

= 2

Ръ

(К) аЖ;

= 2

<2*

(

«)^

В процессе итераций подсчитаем следующие скалярные произведе-

ния:

/г

6*+i

=(JC*

,^+

) = S^(^-a*+i)ri (^n-P*+*);

(10.32.15)

=(**+

, <?*+

) = 2И*П (^,-M (*

-<**+,),

где Л* = P

(К) Q

(К)

a°

Каждое скалярное произведение вычисляем сразу же вслед за по-

лучением каждого нового приближения.

Пусть мы вычислили

k+2

М = а. Тогда, рассматривая первые

четыре скалярных произведения, оставляя в суммах лишь слагаемые

при п = 1,2 и решая систему четырех уравнений, находим прибли-

женные значения Х

1У

ПО

формулам: если d = t?/4—т

;т

= Х

+Х

;

то

1>8

= r

/2± Yd, (10.32.16)

где

= dja\

= d

la\ d

= a

—a

; d

= a

—tf

A'>

flii =

—

Vh,a2i= — 6fc;tfi2=Sfc+pfc-M Ук\^22=Ун\

+a<k+i

5i = Y^+i +

(

*+i

+fa+\)8k + №+\yk\b

8k+\

+ (а

Л+

1 +

+ PH-2)Y*+I +al+i

/t.

(10.32.17)

Аналогичным образом получаем формулы для X

после вычисле-

ния

k+2

Для этого используем в (10.32.15) последние четыре скаляр-

ных произведения. Эти формулы совпадут с (10.32.16), (10.32.17),

если в них величины y

\ 6

\ ул-и! Sfc+iJ h+ъ a*+i; Рь+2 заменить

соответственно 8

; y

k+1

; 6

fc+1

;

YM-2J

fc+b Р&+2',

fc+2- Параметры

)3fe,

в итерационном методе (10.32.13) выбираем так, чтобы выраже-

ния P

h+i

(к

)

k+i

(K)IP

+i (М

Qk+i

(К) были малы при Х

£ [0, ЛП,

где величина М меняется так же, как и в первом методе.^

Есть несколько способов выбора последовательностей со*, (о£:

а) за (o

у со/ возьмем ^-последовательность;

б) за со/, co

" возьмем соответственно Т- и ^/-последовательности

[152];

в) рассмотрим ^-последовательность, разобранную в § 10.18.

каждый ее отрезок длиной З

состоит из трех частей: {co

}? -

;

339