Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов
Подождите немного. Документ загружается.
В
этих методах отклонение г
к
= и—u
k
от точного
решения и проектирует-
ся [, ]л!-ортогонально на вектор z
k
, и эта проекция прибавляется к u
k
.
Следовательно, новое отклонение
&
k+1
будет [, ]м-ортогонально к z
k
.
Переходя к разбору метода типа (10.7.7), когда за H
h
берется одно-
мерное пространство, образованное элементами вида az
0i
видим, что,
приравнивая нулю частные производные от
G
M
(au
k
+ az
0
) по а и а,
получаем систему двух линейных уравнений для определения а и а.
Находя а
0
, а
0
(решение этой системы), берем за новое приближение
элемент a
0
u
k
+ a
0
z
0
.
§ 10.9. ПОСТРОЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАЦИЙ Р В ЯР-МЕТОДЕ
Построим уравнения для поправки (10.6.8), ускоряющие сходи-
мость итераций для решения уравнения (10.6.1). В отношении опера-
торов уравнения будем считать, что для них выполняются предположе-
ния § 10.8 в случае, когда X = Н — вещественное гильбертово про-
странство. Дополнительно потребуем, чтобы
(Sx, *)>0 при х 6 Н\ (10.9.1)
(Lx, х)^т (х, х); (Lx, у) — (х, Ly) при х, у £ D (L); (10.9.2)
&
х
(Lx, х) < ((L —
XS)
х
9
х) < d
2
(Lx, х) при 0 < Ж Х
0
,
где т, К
0
, d
t
— некоторые положительные постоянные. Пусть Н° —
гильбертово пространство со скалярным произведением [х, у] =?=
= (Lx, у), состоящее из элементов Н, являющихся замыканием в нор-
ме [х] = [х, х]
1/2
множества D (L) s Н. Пусть L"
1
S является само-
сопряженным положительным оператором из #° в Н° и Y = Я
0
. Пусть
GM(X) = Шт), т)] — [Ми, и] + с\ QM (Х) = Шт), т|],
где
ч\
= и — х и и — решение задачи (10.6.1), а GM,
QM
— квадра-
тичные функционалы (см. § 10.8), минимум которых достигается на
элементе и. Сходимость метода будем рассматривать в пространстве
Нм.
Достаточно описать переход в /СР-методе от и
0
к и
1
. Здесь и да-
лее для всех х, у £ Нм используются обозначения [х, у\м = Шх, у]
и [х]м = lx, х]м.
Пусть операция К
у
задается формулой
w
i/2
==
(i_
Y
)
w
o
+ YL
-i(j
t
Sao +
/),
(10.9.3)
где у — числовой параметр, и пусть далее (только в этом параграфе)
r
k
= L^f —
Bu*,
(10.9.4)
где В =
1
— А
г
; А
г
=
XL"
1
S. Тогда и
1
'
2
= и
0
+ уг°.
Предположим, что существует такое 8 > 0, что итерации типа
(10.9.3) сходятся в Нм для у £ (0, б), и существует последовательность
00
величин 0
ft
= ехр (— p
k
), такая, что 2 p
h
= оо и
£ = 0
«и(и»
+,/
Кв^л(й»), &=0, 1,... (10.9.5)
270
Для функционала ошибок &в (х) это справедливо. Ё самом Деле,
пусть у = qx, где величина х определена
ч
формулой
х = [г°, г
0
]/ [Вг\ г°] = 1 + Я (Sr°, r°)>([r°]
2
—
К
(Sr°, г
0
)).
Учитывая свойства операторов L и S, определенные соотношениями
(10.9.2),
получаем, что х > 1, а тогда для Q
B
(и
1
/
2
) в процессе (10.9.3)
имеет место равенство
QB
(и
1/2
) =
QB
(и
0
) -q(2-q)x
[г
0
]
2
.
(10.9.6)
Следовательно, при 0 < q < 2, [г°] > 0 выполняется неравенство
(10.9.5).
Для сокращения изложения воспользуемся в качестве
иллюстрации только функционалами
GB
(Х)
И Q
B
(Х).
Пусть
Н'м
— подпространство Нм\ И
г
— оператор проектирования
на Нш П
2
= / — П
х
и Л
7
= (1 — у) I + уА
19
у б (0, 6). Если
определить в (10.6.5) элемент ш
1/2
€ #м по формуле
w^
2
= {w:m'm
G
M
(u
l
^
+
w)}
9
(10.9.7)
то получим сходящийся КР, определяемый (10.9.3), (10.6.5) и (10.9.7),
ибо
[u
k
+i-u]
M
<[u
k
+
l
f
2
-u]
M
<Q
h
[u
k
-u]M. (10.9.8)
Так как
QM
(и
1
'
2
+ w) = Q
M
{и
1
'
2
) + Ф
0
И, (Ю.9.9)
где
Ф
0
И = IMw, w] + 2 [М (а
1
/
2
— и), w]
9
то
ш
1/2 = /оу: min Ф (w) = min Ф
0
(П
1
У)\
\
W£HM
V
^
H
M ] •
Кроме того, Ф
0
(n
x
t;) = [П^,
V]M
+ 2 [Пх (и
1/2
— и),
V\M,
И поэтому
ш
1/
2
= Hl
t; = — П
х
(а
1
/
2
— н), (10.9.10)
т. е. объявляется [, ]м-проекцией на Н'м ошибки е
1
/
2
. В формулу
(10.9.10) входит и, поэтому она полезна лишь для доказательства схо-
димости КР и для выяснения характера сходимости.
Пусть ф
ь
%i
(i = 1, 2, ...) — ортонормированная в (S, ) система
собственных элементов и характеристических чисел уравнения
/,ф = Л5ф, (10.9.11)
причем
1<Я
Х
< Я
2
< ... и Я< A,
lf
тогда ^ =
XiSL~H
h
где ^ = Яф*.
Пусть v
t
= Пхф^ и Ш| = SII^. Разберем два случая: а) система
{ф^}
полна в Я
0
; б) система {/J полна в области значений оператора S.
271
а. Пусть.L-
1
/ = 2/,ф
г
, ы°
=*=
2а
г
ф
г
и е° = 2й
г
ф
г
.
Тогда точное решение ы уравнения (10.6.1) выражается формулой
и = 2 (*i - b)-%ft<Pi,
а ««/» = S ((1-V+vW
1
) flf +
T/i)
ФЬ
е
'
/2
= 2^ (l-Y + Y^f
ЧФ*.
Из (10.9.10) следует, что
i
+ S((l-Y + Y^r
l
)fl* + Y/i)(9i-»i);
e
i =
8
i/2_
П
1
е
1
/^
= П
2
е
1
/
2
-2&е(1—
7
+ ?^Г
1
)(ф
г
—v
t
). (10.9.12)
А из (10.9.12) вытекает
т. е. [8
1
ll
f
<[8l/2
]
2
<0
2
[e
o
]
2
f
.
(10.9.13)
Соотношение (10.9.13) показывает, что при удачном выборе Нм
сходимость КРг не замедляется при
X
->-
Х
г
— 0.
Пусть Нм =
Н'мп,
где /г = dim
Н'мп
— размерность подпростран-
ства Нт
(Н'мп
могут быть и пространствами функций, получаемых
продолжениями сеточных функций). Пусть начальное приближение и
0
определено формулой
u°={w: min GM(W)}.
«>ен'
Мп
Тогда е° = П
2
и. Пусть известно, что 8*£ W, k = 0, 1, ..., где W —
некоторое множество в Нм» Рассмотрим следующие множества эле-
ментов: W
x
= U
2
W; W
2
= {х : х =
г//[*/]ль
у € ^i}; ^ = П
2
Л*№
2
.
Видим, что множество W
x
есть проекция множества W на ортогональ-
ное к
Н'мп
пространство;
W^
— центральная проекция на единичную
сферу
в Нм
множества W
u
a W — проекция на подпространство, орто-
гональное к Нмпу образа множества W
2
, получаемого применением
к каждому элементу W
2
оператора сжатия А
у
. Пусть E
n
(W)
= sup E
n
(х)< 1, где Е
п
(х)—наилучшее
в метрике [ Ы приближение
элемента х элементами из Нт. Тогда из (10.9.12), (10.9.13) получаем, что
8^(П
2
Л
у
П
2
)Зво
;
|
[е*Ы <(E
n
{W)f [80
]Af
<
||П
2
А,П
2
1|*
[80
]Af
.
J * * ' '
Для уменьшения E
n
(W) можно применить метод «регуляризации»
итерационного процесса [99], улучшающий конструктивные харак-
теристики множества W.
272
Если предполагать, что операции /С и Р
г
реализуются прямыми
(неитерационными) алгоритмами, то асимптотически при е -> 0, где
е > 0 — точность решения задачи, имеем
Ц (/С/У < До = (Ц (/С) + Ц (Рг)) (1 +
Ч
/1п £» W), (10.9.15)
где т| = In е. Пусть W — компакт, тогда Е
п
{W)-+ 0 при п-> оо.
Обычно и Ц
(/>!)->
оо
при AI->OO. Следовательно, если в излагаемом
методе величины е и /г связать такой зависимостью, чтобы Ц
0
(/г, е) до-
стигала при этом минимума хотя бы асимптотически при е
->■
0, то по-
лучим одну из разумных стратегий решения задачи в выборе п = п (е).
Рассмотрим одну из типичных ситуаций при решении задач переноса.
Пусть асимптотически при е -> 0, п -> оо справедливы следующие
предположения.
1.
Ц (Р
г
) ~ 6 (е) ф (я), где функция
JC
=
ср
(п) >0 и монотонно
стремится к + оо.
2.
Функция а = а (е) = 6 (е)/Ц (/С) > 0 монотонно стремится к 0.
3.
W — компакт.
Пусть к (х) = | In Е[у-ц
х)
] (W) | ~\ где п = ф"
1
(х) — обратная
к ф функция. Ясно, что и
(А:)
-*•
0 при х-+ оо.
Тогда Ц
0
= Ц (/С) */ (*, е), где при 0 < е < 1
# (*, е) = [1 + а (е) х) [1 — х (*) In е]. (10.9.16)
Предполагая функцию х (л:) достаточно гладкой по х и считая,
что функция у (х, г) как функция от х имеет единственный минимум в
точке
л:
д
(е) при
достаточно малых е, получаем, дифференцируя (10.9.16)
шо
х, уравнение для *
д
(в):
^- [1 — х(х)1п
8
] - [1 + а (в)*] и' (х) = 0. (10.9.17)
Для определенного класса компактов удается в явном виде найти
асимптотическое значение лг
д
(е)
[127].
б. В этом случае
/ / /
Su'^^SlO-Y+T^r^ei + V/il'i; [ (Ю.9.18)
Se
1
= 5^8»/
2
=
2(1—
y+y^K
1
) bi(ti—w
t
).
Вводя новую метрику в пространстве элементов вида Sx, можно по-
лучить для нормы Se
1
оценки типа (10.9.13), (10.9.14).
Для получения явного вида уравнения для w
l/2
только через из-
вестные величины надо найти первую
вариацию
функционала GM(U
1/2
+
273
4-
П^)
и
получить уравнение Эйлера
для
до
1
/
2
,
в
виде
C
M
w
x
'
2
=
ф,
(10.9.19)
где-ф — известный элемент,
а
См—линейный оператор, определенный
на
Нм
п
.
Получим уравнение (10.9.19)
для
М =
В.
Учитывая,
что
L"
1
/
=
В и
0
+
у"
1
(и
1/2
—
а
0
), получаем
G
B
(И
1
/
2
+
w)
=
С
г
(и
1
'
2
)
+
G
2
(w),
где
d("
1/2
)
=
["
1/2
,^
1/2
]-2[w
1
/
2
,Y-
1
(^
1/2
-w
0
)
+
^
0
];j
(10920)
C
1
(o;)
=
[w
f
n
1
Bn
1
t;]
+
2[w
t
n
1
(B-Y"
1
/)(tt
1/2
-tt
0
)],
J
а
ш
=
П!1;.
Следовательно,
для
w
x
l
2
£ #Ь
получаем уравнение (10.9.19):
П^до
1
/
2
=
П
х
(у"
1
/
—
В) (а
1
/
2
-
и
0
),
(10.9.21)
заданное
в #я.
Пусть
Б =
П
х
5,
а
В~
г
—
оператор, обратный вЯвК оператору
В.
Тогда
до
1
/
2
£ Нв
находится
по
формуле
^i/2
=
g-
1
(
r
in
1
-5)(
w
i/2_
w
o)
=
(
r
ig-
1
_/)n
1
(«i/2_^o)_
—B^BIkiuVt—u*).
(10.9.22)
Операторы
£
1э
C
lf
т
г
в
(10.6.5)
в
этом случае легко определяются
че-
рез операторы уравнения (10.9.22).
Замечая,
что
ошибка
е
1
/
2
=
и — и
х/2
удовлетворяет уравнению
Вв
\/2
=
(
?
-i
/ _
В
)
(
а
1/2
_
u
o)
t
(10.9.23)
видим,
что
до
1
/
2
есть приближенное решение уравнения (10.6.8), полу-
ченное
по
обобщенному методу Галеркина
для
случая, когда замкну-
тая линейная оболочка базисных функций этого метода совпадает
с
Нк.
Очевидно,
что
условие (10.9.5), являющееся достаточным
для
схо-
димости
в Нм
построенного KP
lf
можно ослабить, требуя выполнения
неравенства
QM
(u
k+1
)
<
б|
QM
(u
k
).
Рассмотрим теперь задачу
о
выборе
у =
у
0
согласно формуле
Yo
=
j
••(у:
min
GM(U
{
/
2
-\-W)).
Очевидно,
что при
таком выборе
у
получим максимальное уменьшение
функционала
QM
(и
1
).
Пусть
М
=
В.
Поскольку
приравнивая
CIGB
{u
x
)ldy нулю, получаем
Yo
=
— \Bz\
г
0
]"
1
!*
0
,
(I +
ЯЗ-ЧУ r°].
274
Пусть далее
у = 1, М = В и
метод простой итерации
для
(10.6.1)
сходится. Тогда, учитывая (10.9.3)
и
(10.9.22), получаем
и
1
=
n
2
A
lU
0
+ (П
2
+ В-ЩД
/Г
1
/. (10.9.24)
Вспоминая, что точное решение
и
является решением уравнения
и
=
П
2
А
г
и
+
(Щ
+
В-Ш!)
L-i/,
(10.9.25)
и вычитая (10.9.24)
из
(10.9.25), приходим
к
уравнению
для в
1
:
б
1
= П^е
1
+
П
2
А
г
(и
1
—
и
0
). (10.9.26)
Уравнение (10.9.26) является уравнением типа (10.6.1).
§ 10.10. ДВА СПОСОБА ПОСТРОЕНИЯ ОПЕРАЦИИ Р
2
В ЯР ^-МЕТОДЕ
Для определености
в
качестве операций
К и Р
г
возьмем операции,
построенные
в § 10.9 при 7=1 и М = В. Они при
соответствующей
переиндексации имеют
вид
Тогда согласно (10.9.26)
е
2/з
==
П
2
Л
1
е
2
/
3
+
П
2
Л
1
(и
2
/
3
—и*).
1. Построим один
из
классов операций Р
2
, релаксирующих некото-
рую систему квадратичных функционалов. Пусть
Н"
— подпростран-
ство
в Нв,
не совпадающее
с Нв. Для
нахождения приближенного
ре-
шения (10.10.2) применим тот же метод Галеркина или минимизации
на
Н"
квадратичного функционала G* (v), связанного
с
задачей (10.10.2).
За
w
2/3
возьмем элемент
из #",
определяемый формулой
w
2
'
z
=
lw: min G*(w)\, (10.10.3)
I
w£H" I
И ПОЛОЖИМ U
1
=s И
2/3
+ Ш
2/3
.
Задача (10.10.3) сведется
к
решению уравнения типа (10.9.21)
для
^+2/З
Ф
Выбор пространств ЯЬ,
#"
может зависеть
от
номера прибли-
жения.
2.
Можно по-другому построить операцию
Р
2
.
Пусть операция
Р
г
выполнена; тогда
для
u
k+2/s
будет -справедливо соотношение
и
Ц-т
= Т
г
и
к
+ Sj/,
где
Т
г
— оператор перехода операции
КРц
определяемый формулой
(10.6.6). Пусть известно,
что
оператор
Т
г
является самосопряженным
оператором,
a M
t
X М
2
>0
являются верхней
и
нижней гра-
ницей спектра оператора
/ — 7\.
Тогда положим
a>*+*/3"=a
ft
(a"*+
2
/
8
—и*);
u
k
+
{
=
u
k
+
2
t*
+
w
k
+
2
t
3
. (10.10.4)
275
-^);
(10.10.1)
(10.10.2)
Здесь a
h
— меняющийся с периодом N числовой параметр. Легко ви-
деть,
что после N итераций
8*+"=
n(/-(l+a/)(/-7i))e*.
Если положить о/ = б/"
1
— 1, где б; = (1/2) (М
х
+ М
2
— (М
г
—
-
M
2
)$j),
р, = cos (2/ - 1) я/(2 N), то
||
е*+" | < | T
N
[(М
г
+
М
2
)11
(М
г
- М
2
)]
|
-*1 е* ||.
Здесь
TN
(0 — многочлен Чебышева N-и степени (см. § 10.18).
Очевидны модификации /(Т^Ра-метода, заключающиеся или в дру-
гом выборе скалярного произведения [,
]м,
или в преобразовании урав-
нения (10.6.1). Например, в задачах переноса нейтронов с вырожден-
ной индикатрисой рассеяния задачу (10.6.1) целесообразно (см. § 5.1)
преобразовать к виду
Su = KSL-
1
Su + SL^f (10.10.5)
и в процессе итераций находить не u
k
, а элемент Su
k
, по которому u
k
легко восстанавливается. В этом случае гильбертовы пространства и
квадратичные функционалы могут быть построены уже для уравнения
(10.10.5); функционалы будут определены на более узком пространст-
ве функций и требуют для вычисления их меньшего числа арифметиче-
ских действий. Целесообразно для построения квадратичных функцио-
налов использовать следующее свойство приближений, полученных
простой итерацией. Пусть и
а
(а = k + 1/2 или k + 2/3) — резуль-
тат операции К при у = 1, тогда
£<*
= (L—XS)u« — f = —XS (w
a
- и%
и, следовательно, £
а
принадлежит пространству
функций
Sw, где
до
£ Я.
§
10.11.
МЕТОД СОПРЯЖЕННЫХ ГРАДИЕНТОВ
Отойдем от операторного вида изучаемых в настоящей главе итера-
ционных методов, хотя большинство приводимых здесь утверждений
легко распространяется на более общий случай. Рассмотрим один из
эффективных методов решения системы линейных алгебраических
уравнений
Au = f (10.11.1)
с матрицей А порядка п и вектором f£E
n
— пространству /г-мерных
вещественных векторов с обычным скалярным произведением ( ,)
и нормой || • || =
(,)
1/2
>
называемый обобщенным методом сопряжен-
ных градиентов.
Предположим, что матрица А системы (10.11.1) симметрична и поло-
жительно определена. Тогда метод сопряженных градиентов, предло-
женный для решения таких систем в работе [285] (см. также [164]),
имеет вид
27S
«°
€ Е
п
,
/6».
ft=I;
Ы*
=
и*-1.
\\Ph-t\l\
'
p
h
pk,
fa=a*-
•,
p
ft
)/ii
p
ft
нд,
A=i,
2,.
(10.11.2)
Здесь I* = Au
k
—
/,
A
= 0, 1, ..., а ( , )
A
обозначено скалярное про-
изведение, порождаемое матрицей Л, т. е. (g, г\)
А
= (Л£, я) для всех
I, л 6 Е
п
(соответственно || |д = ( , )V
2
)-
Основные свойства метода (10.11.2), доказательство которых осу-
ществляется по индукции, следующие:
(Pi,Pj)A
= 6ij\\pi\\\:
(£'>
Pj)
=
0
для
всех
/< t;
(6',60 = e
w
||6'|P,
i, /=1,2,....
(10.11.3)
где 8^-
—
символ Кронекера. Из этих свойств сразу вытекает, что
система векторов р
и
..., p
ft
образует Л-ортогональный базис в под-
пространстве Е
п
, натянутом на систему векторов |°, Л|°, .... Л*
-1
|° и
k
соответственно вектор 2 Pjpj является Л-ортогональной проекцией
вектора начальной ошибки г|)° = и
0
— Л"
1
/ на это подпространство.
Здесь Рь >0 для всех ненулевых векторов p
k
и p
ft
= 0 означает, что
точное решение и* = Л"
1
/ системы (10.11.1) вычисляется по формуле
/5-1
и = и
0
= 2 Pi^.
Из теории ортогональных многочленов следует (см., например,
§ 10.18), что для Л-нормы вектора ошибки на k-й итерации будет спра-
ведлива оценка
||t|)JU<|l^|U/r
A
(6), (10.11.4)
где
г|э*
= u
k
—
Л"
1
/; Тц
(х)
— многочлен Чебышева порядка k и
б = (М + т)/(М
—
т), (10.11.5)
а М и т
—
соответственно максимальное и минимальное собственные
числа матрицы Л. Заметим, что при фиксированном значении k ^
1
на
классе всех матриц, собственные числа которых принадлежат отрезку
[т, М]
9
и на множестве произвольных начальных приближений
|а°|<С оценка (10.11.4) неулучшаема (см. § 10.18).
Часто на практике используются и другие, так называемые трех-
членные формулы метода сопряженных градиентов. Выведем эти фор-
мулы, преобразовав предварительно выражения для коэффициентов a
h
и p
ft
в (10.11.3). Так как
Лр*-!^-
2
-!*-')/?*,
277
то
(б*-
1
.
P
ft
-ib =
(S*-
1
.
ЛР*-1)
= ||£*-'
||
2
/p
ft
_
i;
(p
h
-i,Pk-!)A = (Pk-i, 6*—
e
—S*—
f
>/P*-a=
II
€*—
a
ll*/p*_x-
Отсюда имеем
«
ft
= -lli*-4IW-
2
ll
2
;
6 __ (S*~'.Pft)
ft*-',E*-'-«»P*-I)
. Ill*-'II
2
Pft
llpftlll
II
pft
ПД
llPftlft
-"*-')/pVi
(10.11.6)
(10.11.7)
(10.11.8)
Теперь, подставляя выражения
/
Jft
= («*-i-«*)/p
ft
;/?
ft
_
1
= («*-2
в формулу
Ph
= l
k
—
OtftPft-l.
получаем
u
^„ft-i_p
[
|*-i_(
aft
/p
ft
_
1
)(„*-2_
M
ft-
1)]
.
Введем обозначения
Як
— 1/Рй» e
h
-i = — aft/Pft-i-
Тогда после несложных преобразований получим
Л
=
II
Ри \W\\
t
k
-
!
II
2
=
II6*-' IIVII £*-' II
2
-
*
ft
-i;
e
ft
=
-a
A+
i/Pft= —^*«*+i
=
^l|?*IIVI|6*-
1
II
2
-
Таким образом, окончательно имеем
0, k = l;
qk=\\l
k
-
l
W\\t
k
-
i
r-e
h
-i,
*=l
f
2
f
.
Перейдем к рассмотрению обобщенного метода сопряженных гра-
диентов в подпространстве, предложенного и развитого в работах
[106,
108]. Пусть Л и Я — некоторые неособенные матрицы. Введем
подпространства
(/ = (/_ ЯЛ) £
n
= im (/ - ЯЛ); U
A
= AU = im (/ - ЛЯ)
(10.11.10)
и предположим, что матрица D — самосопряженная и положительно
определена в пространстве UA, Т. е. фф, <р) = («ф, Dcp) для любых я|),
Ф
£ f/л и (£Hf>, i|;) > 0 для любого ненулевого я|) £ UA- Далее предпо-
ложим, что матрица НА является Л
7
D Л-самосопряженным и
A
T
DA-
положительно определенным оператором в пространстве U. Отсюда
следует^ что пространство U (UA) является линейной оболочкой неко-
торой Л
T
D А -ортогональной (D -ортогональной) системы собственных
векторов матрицы НА (матрица АН), соответствующих ее веществен-
278
<?ft-i
=
(10.11.9)
(10.11.11)
ным собственным числам т
=
Я,
2
<
...
<
Х
Т
—
М, где
г =
rg (/
—
—
НА).
При сделанных предположениях формулы обобщенного метода со-
пряженных градиентов применительно
к
решению системы (10.11.1)
имеют вид
и
о
= Ф-Я(Л
Ф
-/);
Ph
\Hl
k
-
i
-a
hPk
_
1
,k>l;
h
WApk-rib
;
U
k
=
u
k-
l
_^
pk
.
p
h
=(lk-i,Ap
h
)
D
/\\A
Ph
\\h, k = l,2,...
где
ф —
некоторый произвольно выбранный элемент пространства Е
п
.
Аналогично методу сопряженных градиентов (10.11.2) легко устанав-
ливается, что
(Pi
PJ)
A
T
DA
= (
А
Р»
A
Pi)» =
6
"
I
A
Pi
I*'»
(V,Apj)
D
=
0
для всех
/<t; I
(10 11.12)
(V,AHli)
D
=
6
u
a
i
,AHl%,
i, }=l,2,...
Из этих свойств вытекает, что система векторов
p
t
(Api),
i =
1,
k
образует Л
г
£>Л-ортогональный (D -ортогональный) базис
в
прост-
ранстве U (пространстве U
A
), натянутом на систему векторов Я£°, ...,
Я
(ЛЯ)*"
1
!
0
{АН1°,
....
(АН)
к
I
й
).
При этом р„ >0 для всех ненулевых
векторов p
h
и p
h
=
0 означает, что точное решение системы (10.11.1)
вычисляется по формуле
ы
= и
в
-*2М«- (10.11.13)
Аналог оценки (10.11.4) для обобщенного метода сопряженных гради-
ентов (10.11.11) имеет вид
|5*Ь<|*>Ь/7\(в), (10.11.14)
где величина б определяется
по формуле
(10.11.5) с
новыми
значениями
пгиМ.
Формулы (10.11.11), так же как и формулы (10.11.2), могут быть
преобразованы
к
трехчленным:
"°
= ф-Я(Лф-/);
M*
= «*-»-(l/fc)[#i*-
,
-e»_i(«*-
,
-u»-
2
)];
(0,
k=l;
Is*-
1
!»
e*_i
=
<7ft-i
k>l;
Ян-
\
AH%
k-u\l
Is*-
1
«5
D
ek-i, k=l,
2,...,
(10.11.15)
Где
C
=
DAH —
самосопряженная
и
положительно определенная
в
пространстве U
A
матрица.
279