Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

При этом u^F^u^ 2 (",

ф (Я))

(Я)

= 2 и(Я)ф(Я).

А,еЛ ЯеЛ

Аналогично

(Ff (A) F-

!*) (Я) = / (А (Я)) и (Я). (10.2.36)

Происхождение термина «диагонализация» объясняется тем, что

в конечно-мерном пространстве X оператору А соответствует диаго-

нальная матрица diag (A (Я

), ...,Л (k

)) и всем коммутирующим с А

операторам также соответствуют диагональные матрицы.

Существование положительной меры сг проиллюстрируем на при-

мере положительного самосопряженного оператора Л, собственные

значения которого X

различны и Я* £ [m, М

где 0 < т < М.

Пусть h — циклический элемент из X:

т. е. такой, что все h

Ф 0. В силу показанного ранее изоморфизма

оператору А соответствует функция А (Я) £ С (Л). Пусть

L (А) = (Ah, h).

Это положительный, непрерывный функционал. В силу теоремы Рис-

са [185] существует такая неотрицательная мера о (Я), что

L{A) = yA{K)do{%).

Тогда если и = 5А, v = Ch, где В, С £ S3 (X), то

м —

(и,

v) = (Bh, Ch) = JB (Я) С (Я) da (Я),

т. е. получили отображение F множества Uh (U £

(X)) на множе-

ство всех функций L

(а), сохраняющее скалярное произведение

Fu — и (Я), где £/

<—►

и (Я), и = Uh,

Это отображение взаимно однозначно. Поскольку

{Аи, v) =

(ЛЯА,

Cft) = f Л

(Я)

(Я) С (Я)

(Я)

для всех В, С £ 53 (X), то

F (Ли) (Я) - Л (Я) и (Я) = А (Я) (fa) (Я). (10.2.37)

Таким образом, при изоморфизме F операторы из

(X) переходят

в непрерывные функции на множестве Л, действие этих операторов

в L

(а) является просто умножением, а оператору аА

+ рЛ

а, Р £ С

соответствует функция

(Я) + рЛ

(Я). Читателя,

желающего подробнее изучить этот вопрос,

мы

отсылаем к монографиям

Н. Данфорда,' Дж. Т. Шварца [73], К. Морена

[185].

250

§ 10.3. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО РОДА

Уравнениями второго рода называются уравнения вида

и=

Ти+У,

(10.3.1)

где

Т —

линейный оператор

33-пространстве X;

ip—

заданный,

а и—

искомый элементы пространства

Одним

из

распространенных методов нахождения решения урав-

нения (10.3.1) является метод последовательных приближений

или

метод простых итераций, который состоит

том, что, задавшись произ-

вольным элементом

£ X,

называемым начальным приближением,

строят, исходя

из

него, последовательность

}

приближенных

ре-

шений

+ $.

(10.3.2)

Если последовательность (10.3.2) получается сходящейся,

то

говорят,

что процесс последовательных приближений

для

уравнения (10.3.1),

начатый

элемента

сходится. Поскольку

— линейный оператор,

то

из

одного факта сходимости последовательности

}

вытекает,

что

и = lim u

есть решение уравнения (10.3.1). Чтобы

этом убедить-

£-*оо

ся,

достаточно перейти

пределу

при

4->оо

соотношении (10.3.2).

Описанный способ решения уравнений (10.3.1) восходит

работам

С. Гаусса

[281],

Дж.

Лиувилля

[304],

С.

Неймана

[317],

Дж.

Якоби

[291],

Л.

Зейделя

[333],

П. А.

Некрасова

[189],

Е.

Пикара

[324],

Дж. Пеано [322]

многих других математиков.

Сходимость метода последовательных приближений

для

уравнения

(10.3.1) связана

принципом сжатых отображений,

выполнение это-

го принципа связывается

со

сходимостью

по

норме ряда

u°,

«°GX, (10.3.3)

fc=0

сумма которого

(в

случае сходимости) есть

—

Т)"

Теорема

10.3.1.

Метод последовательных приближений (10.3.2)

для уравнения (10.3.1) сходится

при

любом начальном приближении

£ X и при

любой фиксированной

ур

£ X к

единственному реше-

нию

уравнения (10.3.1) тогда

только тогда, когда

для

любого

сходится ряд (10.3.3).

случае

сходимости

имеют

место

оценки

для

= и — u

||е*||

= ||Те*-

|<1

*""

II;

(10,3.4)

||е*||

||Г*е0||<||Т*||||е0||; (10.3.5)

||е*Ц

|(/

—Т)-

—м

)1<|(/

—Л"

^!!"

—иоЦ. (10.3.6)

Доказательство. Пусть

ряд

(10.3.3) сходится; применяя

последовательно формулу (10.3.2), получаем

и*

7\|) +...

+ T

^ +

(10.3.7)

251

По следствию 10.2.2 lim||7*|< 1, т. е. T

->0 при k -><*>, су*

ществует (1 — Г)"

w= lima*= у 7*i|) = (/—Т)"Ч. (10.3.8)

т. е. и

—

решение уравнения (10.3.1). Покажем единственность най-

денного решения. Предположим, что уравнение (10.3.1) имеет дру-

гое решение хФ и. Тогда v = х — ифО и v = Tv\ следовательно,

х)

= Tv = ... = T

v = ... Из существования предела при п -^сх>

следует, что a =s 0. Противоречие доказывает единственность и.

Обратное утверждение очевидно, ибо если метод последователь-

ных приближений (10.3.2) сходится для любого и

£ X к решению,

определяемому формулой (10.3.8), то T

->0 при k ->оо и из

(10.3.7) и (10.3.8) следует, что ряд (10.3.3) сходится при любом фик-

сированном г|) £ X.

Оценка (10.3.4) получается вычитанием из уравнения (10.3.1) ра-

венства (10.3.2), в результате которого будем иметь

gH-i^Te*. (10.3.9)

Из (10.3.9) получаем

е*

Г*е°.

(10.3.10)

Из (10.3.10) следует оценка (10.3.5). Наконец, поскольку

(/ — 7>° = и

—

Ти

—

Ти«

- i|) +

Ти° —

—

и\

то 8° = (/ — Г)"

(и

— и

). Подставляя это выражение для е°

(10.3.10), получаем

е*

= Г*(/

—

ТуЦи

—иР). (10.3.11)

Отсюда сразу следует неравенство (10.3.6). Теорема доказана.

Заметим, что если выполнено условие теоремы 10.2.10, то оценка

(10.3.6) может быть заменена оценкой

\\и—u

\\^q

(l — яУЦи

—ио\\. (10.3.12)

Следует также указать, что метод последовательных приближений

сходится, если вместо сходимости ряда (10.3.3) потребовать выпол-

нения одного из следующих условий:

П757||7»/|р/*<1 для {/: /бХ,||/|| = 1); (10.3.13)

П-*оо

|*(Т)<1;

(10.3.14)

||71<1.

(10.3.15)

Степень этих ограничений возрастает в порядке следования

формул (10.3.13)—(10.3.15).

252

Пусть {tpj — полная в X линейно-незаьисим&я система собствен-

ных элементов оператора Т, а ^ — соответствующие собственные

значения:

T(ft = Я|<р«, i = 1,2, ... (10.3.16)

Тогда при выполнении условия (10.3.14)

< 1 для всех i ^ 1. Ес-

ли теперь положить

оо оо оо

=^uUi\ *=2+|ф|; е*=2е?ф!, (10.3.17)

/=1 /=1 i=\

где и\, г|)

е?

—

числовые коэффициенты, то легко видеть, что

а*

= Я|«|Ч^ =

Л|

...

+ ^)ф

+ Х

^; (10.3.18)

ef+^^eNxf+^^^+^l—X!)-i(irf—«tf). (10.3.19)

§ 10.4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ

УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА

В любом итерационном методе решения линейного уравнения пер-

вого рода (10.2.16) Аи = Д где гг £ X, / £ 7, X, У — некоторые

^-пространства, а Л — линейный оператор из X в К, определяется

последовательность приближенных решений и

£ X, которая пред-

полагается сходящейся к A"

f при k ->-оо. При итерации порядка

г функция u

считается зависящей от Л, /, u

, ..., w*~

. Из-

за требований, обусловленных памятью ЭВМ, обычно берут г = 1,

так что

w*+i = F

(A,f,u

). (10.4.1)

Это так называемый одношаговый итерационный метод. Сходимость

его,

если она имеется, основана, как правило, на выполнении принци-

па сжатых отображений. Если F

не зависит от &, итерацию (10.4.1)

называют стационарной. Если вид функции F

циклически по k ме-

няется с периодом N, то итерации называют циклическими с перио-

дом N. Очевидно, что такая итерация эквивалентна некоторой ста-

ционарной итерации относительно приближенных значений и

, u

, ... Если F

— линейная функция от и

итерацию называют ли-

нейной. Линейные итерации наиболее просты для исследований.

Наиболее общей линейной функцией F

является функция вида

+ ^

, где T

= T

(A, f) — некоторый линейный оператор,

a ty

— элемент из X. Если потребовать, чтобы такая операция

оставляла стационарной точкой точное решение задачи (10.2.16),

т. е. чтобы

A-if^TbA-tf + V* (Ю.4.2)

то получим, что

г|)*,

/ и T

должны быть связаны соотношением

i|>*

= H

f, где H

= (1 - T

)A~\

Таким образом, можно сделать заключение, что общий принцип

построения линейных итерационных методов, использующих инфор-

мацию лишь о предыдущем приближении и оставляющих точное ре-

253

шение

стационарной точкой,

конечном итоге состоит

том, что

по

некоторому элементу

строится последовательность элементов

согласно формулам

+ $

(10.4.3)

где

= I — Н

А\ ty

= H

f, Н

—

некоторая последовательность

операторов, характеризующая

тип

итерационного метода.

Различные методы ускорения сходимости итераций отличаются

друг

от

друга

или а)

принципом построения операторов

к1

или

б) конкретным выбором операторов

для

конкретных уравнений

(10.2.16),

или в)

вычислительной схемой по численной реализации

операций

(ведь способ

порядок реализации этих опера-

ций иногда существенно влияют из-за ошибок округления

на

оконча-

тельный результат; кроме того,

от

способа

порядка реализации

за-

висит необходимый

для

этой цели объем памяти

ЭВМ).

Таким обра-

зом, можно сказать,

что

сущность каждого сходящегося итерацион-

ного метода состоит в

том,

что в

нем, руководствуясь некоторым прин-

ципом, операторы

выбирают

из

некоторого строго определенного

класса операторов

3D?

так,

чтобы

на

этом классе операции

были

нетрудоемкими,

спектральные радиусы операторов

были доста-

точно малы. Очевидно,

что

ошибка

= и

—

, где и

—

точное

решение уравнения (10.2.16), удовлетворяет соотношению

=Т

. (ЮЛА)

Это основное свойство линейных итераций.

Из

(10.4.4) следует,

что

e*+i=Af

;

= T

..To.

(Ю.4.5)

Значит, сходимость итераций

для

данной начальной ошибки

8° зависит

от

поведения М

г°

при k

->оо.

Очевидно,

что

итерация

(10.4.3) будет сходиться

для

данной начальной ошибки тогда

толь-

ко тогда, когда

рассматриваемом пространстве М

&°

->-0 при

->оо.

Подставляя

(10.4.5)

— и

—

, получаем

и*+1 =M

(I—М

) Л"

/. (10.4.6)

Значение

е°

бывает,

как

правило, неизвестным, поэтому легче иссле-

довать поведение невязки

= f

—

(10.4.7)

так

как ее

можно вычислить,

не

зная точного решения

и = Л"

/. В

самом деле, поскольку

= Аи

—

= Ае

, из

(10.4.4) следует,

что r*+

АТ

А~

или

r*+i =(AM

)r°.

Из

(10.4.6) получаем

Au*+

АМ

и°

+ (/

—

АМьА'

)?.

Для стационарных линейных итераций имеем

= Г, и,

следо-

вательно, сходимость

их

зависит

от

поведения

х при

произвольном

xuk

->оо.

Для

таких методов согласно (10.2.4), (10.2.8) имеет мес-

то асимптотическое

при k ->оо

соотношение

|в*|<|Г*||*>|~|**(Г)*>*(*)|в

|, (Ю.4.8)

254

где b

(k)

> 0

—

числовая функция, такая, что b

(k)

->■

при k ->оо.

Таким образом, для уменьшения нормы ошибки в 1/е раз требует-

ся при достаточно малом е и |i (7) Ф 0 провести по порядку

= In е/ [ In |i (Г) + In 6 (*)] ~ In е/ In \i (Г) (10.4.9)

итераций.

Формула (10.4.8) асимптотическая. На примере матриц п-го поряд-

ка исследуем подробнее поведение операторов T

и сравним их нормы

с величиной (л (Г). Итак, пусть Т

—

матрица

п-то

порядка, К

, ...

• .., А,

—

ее собственные значения. Из теории канонических жорда-

новых форм известно, что существует невырожденная матрица S, та-

кая,

что J = S"

TS является блочно-диагональной матрицей, в ко-

торой диагональные блоки J

имеют вид

1 о\

Jr\ \\ (Ю.4.10)

Пусть порядок матрицы (10.4.10) равен Nu где i = 1, 2, ..., m, а

2 Nt = п. Тогда

= S""

TS = diag {J

..., У

}. Очевидно, что

Т* =

S~\

У*

= diag {У?, ..., У^}.

Изучим структуру матриц У*\

< i < m. Имеем J

= X

I + С,

где матрица

имеет порядок N

и состоит из единиц на первой наддиа-

гонали и нулей на остальных местах. Легко видеть, что матрица С,

г = 1,2, ..., А^-!, имеет единицы на r-й наддиагонали и нули на

остальных местах, а С

= 0 при r^N

Отсюда следует, что при k > Nt — 1

Таким образом, при

->-

оо

Я^

| -<

в матрице У/ будет домини-

ровать последний член, т. е.

jf-c^-^^+'c"'-

-^-

(tfj —1)!Х *

Учитывая последнее, приходим к выводу, что при k ->-оо и [г (7) =

= max

|Я^|

=т^=

0 имеют место соотношения

\ = \S$

S-4~*v.

(T)№-\ (10.4.11)

где а > 0

—

некоторая постоянная; N — максимальное значение из

величин Ni

соответствующих X

= [х (Г).

Всюду будем предполагать, что

\х

(Т) > 0. Однако существуют

операторы Г, называемые нильпотентными, для которых

|ы

(Т)—

(например, матрица С в рассмотренном примере); для них ||

\\q~

->0 при любом q>0 и &->оо,

255

§ 10.5. О СУЩЕСТВОВАНИИ ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ

ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА

10.4 было выяснено, когда итерационный метод (10.4.3) схо-

дится.

Но

пока

не

ясно, существуют

ли

вообще такие операторы

которые обеспечат сходимость итераций (10.4.3)

для

решения уравне-

ния (10.2.16),

какие условия должны быть выполнены, чтобы такие

операторы

существовали. Оказывается,

что

существование

связано

разрешимостью уравнения (10.2.16),

часть того множества

операторов

которые могут давать сходящиеся итерационные

ме-

тоды, определяется теоремой 10.2.11

возмущениях.

Прежде

чем

исследовать этот вопрос подробнее, остановимся

на

возможных типах преобразований, переводящих уравнение первого

рода (10.2.16)

уравнение второго рода (10.3.1). Такой переход чаще

всего осуществляется применением комбинаций следующих преоб-

разований:

а) добавлением одного

того

же

элемента

обеим частям (10.2.16)

или

уже

частично преобразованного уравнения;

б) применением

обеим частям (10.2.16) или уже частично преобра-

зованного уравнения одного

того

же

оператора (умножение

на

опе-

ратор

или

скаляр);

в) заменой неизвестного

и по

формуле

и = Qy

где

Q — некоторый

оператор

(это

преобразование осуществляется реже остальных).

При первом преобразовании уравнение переходит

эквивалент-

ное.

При

втором, если

при

этом применяется линейный ограниченный

оператор

Я,

всякое решение исходного уравнения будет решением

нового уравнения. Если существует Я"

то

будет справедливо

и об-

ратное. А если оператор

переводит некоторые ненулевые элементы

в нулевые,

то

преобразование б) может добавить лишние решения.

При

замене неизвестного

и = Qy

необходимо, чтобы, решение нового урав-

нения

принадлежало области определения оператора

Q. В

случае

в) непредставимые

виде

решения

будут потеряны. Оператор

в некоторых преобразованиях может быть оператором вложения.

Покажем простейший типичный

вид

преобразования. Умножим

уравнение (10.2.16)

на

оператор

затем прибавим

обеим частям

по

элементу

—Си, где С

— некоторый оператор. Тогда уравнение

(10.2.16) перейдет

уравнение

Cu = Cu—D(Au—f).

(10.5.1)

Следовательно, итерационный метод можно записать

виде

Си

Си*

- D (Au

- f).

(10.5.2)

Этот метод, если оператор

имеет обратный, соответствует методу

(10.4.3)

с H

= C-

Аналогично

для

решения итерационным методом уравнения

= Bu + f

(10.5.3)

умножим

его на

оператор

К:

Ки

= КВи + Kf

(Ю.5.4)

256

и добавим к обеим частям (10.5.4) член —Lu. Предполагая, что су-

ществует оператор (К

—

L)"

, в результате получаем уравнение

и = (К — L)-

(KB -L)u + (K — L)-

Kf. (Ю.5.5)

Это уравнение в случае удачного выбора операторов К, L можно

принять за уравнение для проведения итерационного метода (10.4.3).

К уравнениям (10.5.1), (10.5.5) можно, в свою очередь, применить

(если это целесообразно) группу описанных преобразований. В урав-

нениях (10-J5.1), (10.5.5) операторы С, D, К, L могут зависеть от k.

В работе В. В. Петришина [323] показано, что многие известные

эффективные итерационные методы могут быть реализованы по схеме

(10.5.2),

в которой класс операторов Я = C~

D определяется тем,

что для каждого итерационного метода бывает возможным в весьма

широком круге задач достаточно просто конструктивно построить

классы операторов С, £), для которых сходимость итераций (10.5.2)

будет достаточно быстрой при сравнительно малой затрате числа дей-

ствий на одну итерацию. Кроме того, запись итерационного метода в

виде (10.5.2) предопределяет в некоторой мере и последовательность

действий при реализации итерации. Следует

отметить,

что уже в работе

Л.

Чезари [268] итерационные методы предлагалось строить по схеме

(10.5.2) при D = /, Я = С-

. В работе Е. Шмидта [330] для решения

интегральных уравнений второго рода предлагалась группа преобра-

зований (10.5.5) при К = / и вырожденном интегральном операторе L,

близком к В.

Уравнения типа (10.5.1)

могут служить

не

только

для использования

их в итерационных методах, но и для доказательства существования

и единственности решения уравнения типа (10.2.16). Докажем, сле-

дуя работе [323] и предполагая, что X = У, следующую теорему.

Теорема

10.5.1.

Уравнение (10.2.16)

имеет

единственное решение

и для

каждого

f£X

тогда

только

тогда,

когда существует

опе-

ратор Я,

имеющий обратный

Я"

обладающий

таким

свойством,

что

ряд

s> 0°-

)

где Т = /

—

ЯЛ,

сходится

для

любого

g£X.

Решение

и в этом

случае дается формулой

=^T

(10.5.7)

Доказательство. Пусть существует оператор Я, обла-

дающий перечисленными в теореме свойствами. Положим g = Hf,

тогда ввиду полноты пространства X и нашего предположения ряд

(10.5.6) сходится к некоторому элементу и 6 X и и = 2 T

g. Тогда

Tu = ^T

g= u—g или и

—

НАи = и — g, т. е.

НАи = Я/. (10.5.8)

257

Умножая (10.5.8) на Я"

, убеждаемся, что и есть решение уравнения

(10.2.16). Единственность его доказывается от противного. Пусть

и_дру

ГО

е решение (10.2.16), v = и—и ф 0. Тогда Av = 0, HAv = 0,

т# е#

(/ _ т) v = 0, где оператор Т обладает свойствами, описанными

в теореме

10.3.1,

а так как v = Tv = T

v, то из доказательства тео-

ремы 10.3.1 следует, что v = 0. Противоречие доказывает единствен-

ность. Для доказательства обратного утверждения теоремы заметим,

что если уравнение (10.2.16) имеет единственное решение и £ X для

каждого / 6 Я» то оператор А обладает обратным. Тогда можно вы-

брать Я =

У\

Л"

, где г\ — комплексное число, такое, что |1 —

TJ|

< 1.

При этом Я""

существует и равен 1/т]Л иГ = / — НА — (1 — ц) I.

Поскольку

= 11 — г) |< 1 и ||Г

||< |7Т,

по

следствию 10.2.2

00 оо

ряд 2 T

g = 2 0 —

T])

g сходится к некоторому элементу для лю-

бого g. Обозначим и сумму этого ряда при g = Я/. Так как

оо

2 (1 — y\)

g = Л"

^ то и = ^g =

т]"

Щ = А"

! = и.

Теорема полностью доказана.

Таким образом, для того чтобы существовали операторы Я, даю-

щие сходящиеся итерационные методы для решения уравнения

(10.2.16), необходимо и достаточно, чтобы это уравнение имело един-

ственное решение при любом f 6 X. Из доказательства теоремы

10.5.1 видно, что оператор А"

играет исключительную роль в по-

строении итерационных процессов, а именно, если Я = Л"

, то за

одну итерацию по формуле (10.4.3) получаем сразу точное решение,

какое бы начальное приближение и

мы ни взяли. Но это не единствен-

ный оператор, дающий сходящийся итерационный процесс. Если

потребовать, чтобы Я и Л принадлежали банаховой алгебре S (X), то

теорема 10.2.11 о возмущениях также определяет некоторое множе-

ство операторов, из которого можно выбирать операторы Я, а именно:

{Я: \\Н-А-Ц<

||ЛИ},

(10.5.9)

ибо при таком выборе Я ряд (10.5.6) сходится. Условия сходимости

итераций определяются также теоремой 10.3.1 или условиями

(10.3.13)—(10.3.15).

Но как выбрать Я «оптимальным» образом? Мы видели, что если

Н = А"

то уже за одну итерацию получается точное решение. Оче-

видно, что, вообще говоря, это не оптимальный способ решения, ибо

для нахождения оператора Л"

может потребоваться затрата огромного

количества арифметических действий. Если взять за Я оператор

более простой структуры, то можно получить итерационный процесс,

требующий меньшего числа действий, производимых в одной итера-

ции. Если он сходится,

то, решая им задачу (10.2.16) с точностью

е [делая для этого k (г) итераций, где k (е) определяется формулой

(10.4.9)],

получаем приближенное с точностью г решение, затрачивая,

может быть, меньшее число действий по сравнение со случаем

258

Таким образом, с одной сторбны, все одйошаговые итерационные

методы, оставляющие решение стационарной точкой, попадают под

одну формулу (10.4.3), которая в какой-то мере гасит энтузиазм в ис-

следовании новых итерационных методов.

другой стороны, для каж-

дого конкретного типа уравнения (10.2.16) известна масса соперни-

чающих друг с другом методов, часть которых «лучше», а другие

«хуже» решают задачу (10.2.16). Смысл, вкладываемый в «лучше»

и в «хуже», интуитивно вырабатывается под влиянием практики расче-

тов большого количества задач. На наш взгляд, искусство исследо-

вателя новых итерационных методов для решения достаточно конкрет-

ного типа уравнений (10.2.16) как раз и состоит в том, чтобы миновать

Сциллу субъективности и Харибду всеобщности.

Задачу по созданию эффективных итерационных методов следует

реально поставить в такой формулировке: задан некоторый класс 2R

операторов Н (назовем его классом допустимых операторов), и на

этом классе требуется найти эффективные итерационные методы. Воз-

можны и другие постановки задачи, включающие

формулировку тре-

бование, чтобы для заданной точности е не был превышен определенный

объем памяти ЭВМ

[123].

Сравнивать два «хороших» метода — тонкая и нелегкая задача,

ибо всегда в такую оценку подспудно входит богатая интуиция оце-

нивающей стороны, как правило, не передающаяся собеседнику (на-

пример, в выборе класса Щ. Оценка метода зависит от типа имею-

щегося оборудования для решения задачи и от характера решения:

одноразового, серийного и т. д. Мы пойдем на некоторую формали-

зацию и упрощение действительной ситуации и попытаемся, отбрасывая

некоторые факторы, значение которых на самом деле может быть в ряде

случаев весьма существенно, подобрать критерии для сравнения

эффективности итерационных методов для решения одной и той же

задачи.

Очевидно, что скорость сходимости итерационного метода (10.4.3),

характеризуемую величиной — lnjx (7), и число действий, произво-

димых за одну итерацию, нельзя рассматривать как две независимые

характеристики при оценке качества метода. В самом деле, рассмотрим

сходящийся итерационный метод (10.3.2). Пусть v

= u

, тогда метод

k+i

= TTv

(т

/) ^ (10.5.10)

будет также сходящимся. Он сходится со скоростью — lnjjt (Г

т. е., грубо говоря, в два раза быстрее метода (10.3.2). В обоих ме-

тодах подавляющая часть действий тратится на вычисление первых

слагаемых в правых частях. Пусть имеет место следующая ситуация:

мы не можем из-за недостаточного объема памяти ЭВМ вычислять

оператор T

v никаким другим способом, кроме последовательного двой-

ного умножения элемента v на оператор Т (эта ситуация довольно

типична при решении задач математической физики). Пусть Ц (Т) —

цена операции 7\ т. е. число приведенных арифметических и логи-

ческих действий, необходимых для вычисления по элементу v эле-

мента Tv, и 0<fx(7

)< 1. Вычислим асимптотически при &-*-оо

общее число действий, затраченных в методах (10.3.2), (10.5.10) для

259