Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

Подставляя (9.11.2) в (9.11.1), получаем

(1 -

-у) Ф

(ix)

= cS

([г). (9.11.4)

Поскольку достаточно найти решение (9.11.1), с точностью до посто-

янного множителя, можно потребовать, чтобы

= 1. (9.11.5)

Тогда из (9.11.4) получаем

(ц) =

2 (

2 _ ^-1^

.11.6)

Учитывая (9.11.5), видим, что величина ср (Р) должца быть выбрана

так, чтобы для нее выполнялось соотношение

(ф

— [X

- 1. (9.11.7)

Рассмотрим функцию

w(z)=rcz 2 Auiz-ixty

Мы видим, что w (0) = 0 и w (±оо) = с, а в точках z = (i| функция

w(z) имеет полюсы первого порядка. Следовательно, учитывая общее

число перемен знака функции w

(z)

и порядок, в котором меняется знак

функции w (г), заключаем, что уравнение (9.11.7) имеет М корней

ф/, / = 1,2, ..., М, причем

|А!<Ф?<|*К...<Ф&-1<!*Ь, (9.11.8)

Ц>м

№м

при 0 < с < 1 и фл( < 0 при с > 1.

По найденным значениям ф/ из (9.11.3) определяем 2М значений у:

yj =

Ш = ±Ш~

arcsh (4/

Я"

ф/ —

1/3)-

/ = 1, 2, ..., М.

Можно показать, что значения ±yj, / = 1, 2, ..., Л1 — 1, соответст-

вуют точкам непрерывного спектра дифференциального оператора,

а ум -^v"

при М, N ->оо, где v

— точка дискретного спектра точ-

ного оператора; при с > 1 значение ум будет чисто мнимым. Спра-

ведлива

Теорема

9.11.1.

[Л-

(V)

(V)]

= 0 при i ф /.

Доказательство теоремы совпадает с доказательством теоремы

5.5.3.

В самом деле, так как для у = у

у = yj справедливы равен-

ства

(1-ФГ

|Х

)ФТ>) = ^Ф

(|Х); (l-9/-

)©v

;

(|i) = cS

O^Qi),

то,

умножая первое уравнение на Ф

. (|ы), а второе на Ф

((A),

вычи-

тая друг из друга полученные уравнения и применяя к результату

вычитания операцию S

находим

(ФГ

-ФГ

) S

№ Ф

. (|i) Ф

, (|i)) - 0.

Теорема 9.11.1 показывает, что система функций Ф

. (fx), / =

= 1, 2, ..., М, — полная система в пространстве функций, опре-

230

деленных

на

множестве D

. Общее решение системы уравнений (9.11.1)

может быть записано

виде

М*> Н»)=

G>v

(\t>)[aj*xp(—yjX/l)

exp(y

x/l)]

/=i

где

О/,

— произвольные постоянные.

Найдем частное решение

неоднородной системы уравнений

(9.10.6)

при / =

const. Будем искать 2я-периодическое решение

(х,

\i) системы.

Для

этого предположим, что функция

F (х, \i)

пред-

ставима рядом Фурье

(х,

\i)=%

(V)

ех

Р (М> (

-9)

— оо

а величины

ЛД, F„, г

(Х

) определены формулами

ЯД

12/

sin

(«/г/2) (3 — sin

(nh/2) )-»; (9.11.10)

?i=s,[F

0i)(i-i-^i*

];

(9.11.П)

r(X„)

[(l+Uji

l. (9.11.12)

Решение

(x,

|LI)

ищем

виде ряда

(х, |х) = S g

(|г) exp

(i/u). (9.11.13)

Подставляя (9.11.9), (9.11.13)

(9.10.6)

приравнивая коэффициенты

при

exp

(inx),

получаем

для g

(|i)

уравнения

$fo

+l)gn(U = cS

(y).

Следовательно, повторяя рассуждения § 5.8, получаем

М*,ц) = 2 (1+Я^

ехр(т^)(

-^-

)

/='

(^));

(9Л1.14)

— оо

*" = 2 (l—cr(I

))

^exp(inx). (9.11.15)

— оо

В работах

[119, 121]

найдено частное решение

при с = с

(х).

Об-

щее решение

(х>

\i)

системы (9.10.6) можно теперь записать

виде

(х, ii) = щ (х, \i) +

О(ЛГ,

и).

Точно такими

же

способами находят общее решение системы

(9.10.5),

также решения разностных аналогов кинетического урав-

нения

для

плоского слоя, записанного

несамосопряженной форме.

Заметим,

что и

(х,

[i)

= 0 для

периодической задачи

при с < 1.

§ 9.12. ИССЛЕДОВАНИЕ САМОСОПРЯЖЕННЫХ СИСТЕМ

РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Построим класс дробно-рациональных функций, имеющий

не-

посредственное отношение

построению квадратур,

для

оператора

коэффициентов итерационного /(Р-метода, который разобран

231

гл.

11. Как будет показано в § 11.9, 11.19, /СР-метод при Р = Р

для

решения 2я-периодической задачи определяется парой четных мно-

гочленов Q

(z), Р

(z) степени 2я, а скорость сходимости его харак-

теризуется величиной

^(г) = (1 -

(z)/Q

(z)

У*

(z)

- P

(z)/Q

(г)), (9.12.1)

где функция r (z) дается равенством (9.11.12), а 0 < 8 < 1. Способ

выбора Q

, Р

, при которых величина |tjT(z)| была бы достаточно

малой, оказался связанным с задачей выбора квадратуры S

а от

выбора S

зависит, в свою очередь, погрешность метода сеток. По-

скольку нам придется исследовать погрешность метода сеток, обсудим

одновременно способы выбора S

и Q

, Р

, с тем чтобы сразу же за-

браковать некоторые из них. Формула (9.11.15) для решения перио-

дических задач показывает, что сначала необходимо оценить ошибку

г),

(z)

квадратуры S

Ъ (z) = Sg fa, z) - S

g (|i, z) (9.12.2)

на классе функций S

(—1,

1), определенных на отрезке [—1 <: \i ^ 1]

и имеющих вид g

(\i,

z) = (1 + z

при 0 ^ z < oo. Известно,

что [см. (9.10.4), (9.11.12)]

Sg (fi, z) = z"

arctg z = r (z), (9.12.3)

g(li,z)=r(z)= ^A

(l + z^l)-K (9.12.4)

Допустим на время, что в формуле (9.12.4) величины \i

могут при-

нимать любые несовпадающие положительные значения, при которых

Ш-1< Н^» Нетрудно видеть, что функция г (z) есть отношение двух

четных полиномов См-i (z) и Bj (z) соответственно степени 2 (М — 1)

и 2/, где j = М при \х

ф0 и j = М — I при

= 0. Тогда

lK(z)НИ2-

arctgz-7(z)

z-i ardgz-См-! (z)/Bj(z)\\.

Итак, вопрос о построении на классе S

(—1,

1) «хороших» квад-

ратур

{Л

(Lift} оказался эквивалентным вопросу о «хорошем» при-

ближении в норме || || функции г (z) дробно-рациональными функци-

ями. Очевидно, что выбор {A

) зависит от выбора нормы || ||,

а вид последней, в свою очередь, определяется пространством, ко-

торому принадлежит функция F (л:, \к) [правая часть уравнения

(9.10.1)].

Квадратуры с^^Оис^^О соответствуют разным видам

приближения функции г (z). Для первых квадратур r(z)-^0 при

|z|

->оо. Следовательно, если мы хотим наложить естественное тре-

бование, чтобы ошибка квадратуры стремилась к нулю с ростом но-

мера гармоники, порождающей эту ошибку, то необходимо ограни-

читься случаями, где

\к

Ф 0.

Заранее не известно, будут ли приемлемые для нас квадратуры яв-

ляться квадратурами интерполяционного типа 1101]. Дифферен-

232

цирбванием выражения (9.12.2) по £ можно показать, чТо они будут

таковыми, если функции г (z) и г (z) имеют в точке 2 = 0 касание

(2М — 1)-го порядка. В самом деле, вычисляя v)

(0) и -^-р- x\

(z)

te0

— 1, 2, ..., М — 1, и требуя, чтобы эти величины были равны нулю,

получаем систему М уравнений относительно коэффициентов A

ко-

торая, как нетрудно показать, совпадает с соответствующей системой

уравнений для определения весов квадратурных формул интерполя-

ционного типа.

Далее, если необходимо, чтобы скорость стремления к нулю оши-

бок /(Р-метода, соответствующих гармоникам с большими номерами,

возрастала вместе с номером гармоники, надо потребовать, чтобы сте-

пень полинома Р

(z) была равна 2

(п—_1).

Отметим, что функция

ф (9.12.1) тождественно равна нулю при г = Р

(z)/Q

(z)\ однако от-

сюда вовсе не следует, что М должно обязательно равняться п.

Но поскольку должны выполняться предельные соотношения

См-1 (г)/В

(г) -*г (z), Р

(z)/Q

(z) -+r (z) при N

n, M -*oo, вста-

ет задача о построении хороших дробно-рациональных приближений

для функции z"

arctg z. Наиболее разумно так выбрать функции

См-\

(Z)/BM (z); Рп

(z)IQn

(z)> чтобы они давали в соответствующих

нормах наилучшее приближение для г (г), но это сложные задачи.

Остановимся лишь на двух методах построения дробно-рациональных

приближений, достаточно хорошо решающих задачу о выборе коэф-

фициентов многочленов CAI-I, ВМ И Р

П9

. Поскольку обе задачи

однотипные, всюду дальше будем вести речь лишь о выборе многочле-

нов Р

(z) Q

(z), считая Р

(г) многочленом степени 2 (п — 1).

Один из методов [119] основан на классических результатах

А. А. Маркова [158] по теории цепных дробей и моментов: функцию

г (z) раскладывают в цепную дробь (это будет цепная дробь Ламбер-

та);

ее подходящие дроби 2л-го порядка будут определять многочле-

ны P

, Q

. Известна связь этих многочленов с многочленами Лежанд-

ра первого и второго рода. Квадратуры S

будут в этом случае квадра-

турами гауссова типа (см. § 11.10). В работе В. И. Лебедева и

О. В. Бабурина [146] изложен метод расчета и содержатся гауссовы

квадратуры для 2п = 60, 100.

Существуют более гибкие алгоритмы приближения г

(z)

дробно-

рациональными функциями. Одним из них является так называемый

<с-метод, предложенный Ланцошем

[117].

Мы изложим видоизменение

этого метода, в котором нет необходимости ограничиваться много-

членами Чебышева, Пусть S

(£), W

(I) — многочлены вида

и п п

где 0 <

< 1. Следуя рассуждениям, содержащимся в § 15 гл. VII

работы

[117],

получим целый набор функций

УпЮ-ОМ-*-

))-

2 (-V

s»i-i(*

(

9Л2

т«1

233

из которых можно выбрать хорошие приближения для функции

(z).

Для этого сначала оценим ошибку r\

(z)

= г

(z)

—

(г). Если

v (g)

= v

(£, z)

Лп (К?

)» можно проверить, что

(£) как функция

I является решением

на

отрезке [0, 1] дифференциального уравнения

гЧ) (2Ev'

= W

(l)/W

(-г-

удовлетворяющим условию

(0)

= 0.

Решая это дифференциальное

уравнение, находим

4n(2)

v(l

= I

2-*—^—.

(9.12.6)

,П

W V

' ' 21F

(-2-2) J 1+22*2

Наложим ограничение

на

выбор многочленов

(г

): пусть всюду

дальше

(х

)

(

# (*),

где Р^

(Л:)

— ультрасферический много-

член 2я-й степени, нормированный условием

(

(0)

< у < 1.

С многочленами Якоби многочлены Р^п

(х)

связаны соотношением

PiV (х)

СпРУпГ

112

1/2)

(Х)

[210],

где С

—некоторая постоянная.

Тогда, обозначая

Р = z~\

получаем

П\

гР®М±

(9127)

Р/

2РЙ>(1р)

Видно, что (9.12.6) является

на

классе

(—1,

формулой остат-

ка квадратуры интерполяционного типа, порожденной многочленом

Нам понадобятся некоторые асимптотические формулы для Р^п

{х)

в комплексной плоскости.

целях сокращения дальнейших выкладок

остановимся

при

доказательствах

на

разборе только многочленов

Чебышева первого рода: Р^? (х)

(—1)

2п

(х). Тогда справедлива

Лемма 9.12.1.

Существует

такая постоянная

(&), что при фик-

сированном

п->оо

и Р^О

справедливо неравенство

max|p*-

(p-i)Kc

(/5)M*. (9.12.8)

Лемма 9.12.1 дает возможность судить

характере дробно-рацио-

нальных приближений функции

(z), построенных т-методом.

Так,

при

k =

она

показывает,

что

сп"

для

разбираемой раз-

ностной задачи.

Получим зависимость между

N к М,

вытекающую из ограничения

(9.10.7).

Используя оценку снизу Стилтьеса

оценку сверху Сегё

[210]

для

наименьшего

по

модулю корня многочлена

Рш

(*)» имеем

при

М > 1

Sil1

о/»»"

^1*1

Sin

2(2M

Y)' 2(2M+v)

2(2M+1)

2(2Af

+1)

234

Поскольку h = nN'

, для выполнения неравенства (9.10.7) необхо-

димо,

чтобы

N^(2M + Т)/(У

30, (9.12.9)

для

этого достаточно, чтобы

> я (2М +

1)/

(31/3/).

(9.12.10)

Итак, густота пространственной и угловой сеток должна быть

связана для уравнений (9.10.6) соотношениями (9.12.9), (9.12.10).

§ 9.13. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДА СЕТОК ДЛЯ ПЛОСКОЙ

ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

Исследуем вопрос о погрешности, возникающей в методе сеток

при решении 2я-периодической задачи для уравнения (9.10.1) при

F = F (х), с = const. Полученная оценка погрешности будет зависеть

только от коэффициентов уравнения и метрических свойств класса

функций, к которому принадлежит функция F. В работах В. С. Вла-

димирова [40]

и В.

И. Агошкова [6] также получены оценки погрешно-

сти метода сеток.

Предположим, что F (х) £ Я (d, а) = {F :

< d

п |"

п Ф 0, а >

0},

где d > 0

—

постоянная; F

— коэффициенты Фурье

функции F

(х).

Для упрощения записи обозначим в оценках все по-

ложительные постоянные, не зависящие от М, N, F, с, /, одной бук-

вой С и не будем их оценивать, хотя в ряде случаев это нетрудно сде-

лать;

положительные, встречающиеся в оценках постоянные, завися-

щие только от /, a, k, с, обозначим одной буквой

Ь\

их можно или вы-

числить, или оценить сверху.

Итак, согласно результатам § 5.8, точное решение плоской 2я-пе-

риодической задачи для уравнения (9.10.1) выразится формулой

(5.8.9).

Следовательно,

= 2 г (К) (1-сг

(К))"

Fn exp

(inx),

(9.13.1)

где Х

= I \п\.

Пусть

—

точное решение 2л-периодической задачи для уравне-

ния (9.10.1) при F = F

, где F

exp

(inx).

Тогда разность

(и —

UN)

равна

= S(w-M= 2 г (К) (I-сг

(К))-

Fn**P

(inx).

(9.13.2)

\n\>N

Приближенное решение v по методу сеток найдем как 2я-перио-

дическое решение уравнения (9.10.6) при F =

FN.

Тогда согласно

(9.11.15) S

v выразится формулой

S«o= 2 r(X

)(l--c7(K))-

exp(inx\ (9.13.3)

|n|<N

где Я

, 7(Я

) определены формулами (9.11.10), (9.11.12).

235

Наша задача заключается в нахождении оценки для величины

т) = Su — S

v. Используя формулы (9.13.1)—(9.13.3), получаем,

что

т}

= В

+ В

, где

= S а

[г (А*)—г

fo)]

exp

(inx);

0<|

л |<N

= S «/г

[г

(U—'

Фи)]

^n exp (inx);

0<|

п |<N

fln^tO-Cr^Xl-C?^))]"

Выберем пространство Л, в котором оценим погрешность

х\.

За В возьмем пространство C

, являющееся пространством перио-

дических на [—я, я] функций w

(х)

вида

до

(х) = 2 ^п

ех

Р Ол*)» огра-

ничейных в полунорме

|aiU =

max|4f-|.

(9-13.4)

х \ dx« \

где

& —

некоторое фиксированное целое число. Нам удобно опреде-

лить полунорму в пространстве C

формулой (9.13.4), так как у Su

и S

v, представимых суммами (9.13.1), (9.13.3), совпадают члены

ряда при п = 0.

Замечая, что функция г

(г)

удовлетворяет неравенствам

0 < г

(z)

< min

(1,

я/2г), (1

—

г (г))

-1

cz~

+ г

), оценим свер-

ху величину В

|Bil*

2 (И*

г (Л„) (1

-сг

(К))"

exp (inx)

n\>N

<d& V n

-«-

^-^—N

-« (9.13.5)

ЛГ+1

при a > k.

Оценим

\k'

ля

этого рассмотрим функцию у

(z)

[

sin

zV-l/2

1 —

-1

sin zll —•—£~"l . Разлагая функцию у в ряд по

степеням z, можно показать, что

0<т(г)<СЛ (9.13.6)

Оценивая сверху величину |r'(z)|, получаем

|г'

(z)|<Cz(l + 2

3/2

. (9.13.7)

С учетом (9.13.5)—(9.13.7) имеем при

\п\

< N

к-^1 = /|/»1т(-^)<С|я|^-*

РСп*

|Г(Л

)-Г(Я

)|<Г'

^Я^(Я

-0 <

(1+Л

)

3/2

236

а также

<"»к[

-'(-т^)

Оценивая |B

|ft. получаем

|Я.1*

— 2

<С(1 + ^)

Я„-

«п ("О* [г

(^п) —

(К)] F

ехр

(\пх)

0<|

|<N I

N N

где 5

= И

bl~

a+k

(1 + Яп)

1/2

- Но В, < b 2 п

-«+*, следо-

вательно,

6 при а—&>4;

^4^|

Мп# при а—& = 4;

~-*+

при 0<а—&<4.

Учитывая оценки для В

, получаем при а

—

k > 0:

[ МЛГ

при а—£>4;

<] bdN-4r\N при а—А =

bdN-i*-

при 0<а—£<4.

(9.13.8)

Величины В

характеризуют степень точности пространст-

венной аппроксимации уравнения (9.10.1) разностной системой урав-

нений (9.10.6). Из оценок (9.13.5), (9.13.8) следует, что если мы хо-

тим получить решение (9.10.6) при F = F

(1,

а), отличающееся

на величину О (е) в пространстве C

от решения задачи (9.10.1), то

для этого достаточно, чтобы

( бе""

при а—&>4;

#~ for^O+ |1пв|) при а-& =

(9.13.9)

[ бе"

-*) при 0<а—£<4.

Нам осталось оценить |Б

| &. В соответствии с анализом связи

между многочленами Сл*-ь Вм и Р

-ь Qn, сделанным в § 9.12, мож-

но сказать, что оценка для |£

к даст одновременно оценку для умень-

шения ошибки /СР-метода в норме C

за одну итерацию.

Используя неравенство

\г(К)-ПК)\<с£

(1+кг*

при

\n\<N,

которое следует из того факта, что для аппроксимации оператора Su

оператором S

u применены формулы интерполяционного типа [см.

(9.12.7) при п = М], получаем

IВ

2 а

{\n)

[г

(К) -7

(А*)]

ехр (i л*)

0<| n|<N

л-1

237

где

m-4+k-a,

dz г(а

_^)

(2М

—

3—a+k)

Ы^) = |

+z)

2M-3 Г(2М-3)

0 vi/

Таким образом, \В

ЬМ

при а

—

ft > 0. Следовательно, для

выполнения оценки |В

|ь ~ в достаточно, чтобы

Af~ бе

/<*-«> при а—& >0. (9.13.10)

Сравнивая (9.12.12), (9.13.9), (9.13.10), видим, что возможен такой

выбор М

А/, при котором асимптотически выполняются равенства

(9.13.9),

(9.13.10) и неравенства (9.12.12).

Если ошибку

г\

оценивать в пространстве достаточно гладких 2я-

периодических функций с полунормой

[ИЗ

"П|W**> ='

I—?-l

<**

'»'

V эх"

— я

то,

проводя оценки для B

i = 1,2, 3, с применением изложенных

методов, получаем

i#ilU)<

гттто

ct-ft + -i->0; (9.13.11)

f 6ЛГ

при a —

> 3,5;

11^2Цл)< bN~*\nN при a—£ =

3,5;

(9.13.12)

1 bN-«*~

+W при 0<a—ft<3,5;

1|5

Цл)<6А!*-«-

при a-ft+-i->0. (9.13.13)

Из (9.13.11)—(9.13.13) нетрудно получить оценки для М и N

при

которых задача (9.10.1) решается с точностью О(е) в пространстве

. Для этого достаточно, чтобы

[ бе"

при

a—ft

> 3,5;

W~ for^U + llnel) при

a—ft

3,5;

(9.13.14)

( 6e-i/<a-*+i/2)

0<а—ft<3,5

Af^fce

/**-!/*-*) при a-ft+l/2>0. (9.13.15)

Аналогично получаются оценки перечисленных величин, если за

пространство В взять пространство С*,

, U7<

*+P>,

р£[0,11,

т.е. если

учитывать еще и принадлежность ft-* производных к классу Lip р.

Оценки величин 5, (*= 1, 2, 3), Af, # в пространствах C

ft э

, ЩЛ+Р)

совпадут соответственно с оценками

(9.13.11) —(9.13.13)

и'(9.13.14),

(9.13.15), если в них всюду величину ft заменить ft + р.

Интересно рассмотреть случай, когда по самой сути дела необхо-

димо для разумного решения задачи потребовать от величин Миг

связи, отличной от (9.13.10), (9.13.15). Пусть функция F

(х)

является

238

аналитической. Тогда для нее найдутся такие постоянные с

> О,

> О, что |F

| < с

ехр (—с

\п\)

для всех п. В этом случае в урав-

нении (9.10.6) можно не заменять F на FN, ибо из (9.13.5) и (9.13.8)

следует, что \В

+ \В

bN~*.

Следовательно, для решения

задачи (9.10.1) с точностью О (г) достаточно, чтобы N ~ fee""

, Оце-

ним |B

U« Если обозначить с

= с

/1, то

|Д»и<

„.Л,—«ът

где п

= 2М — 3; г|)

(М) = 5

+ 5

, а Б

, В

выражаются через

функцию г|)

(z) = е"^

»+

Л<

/ (1 + z)

* интегралами

J J J г*(1 +

г)»>

Величина В

удовлетворяет неравенству В

< Ь2~

к Поскольку

подынтегральная функция в интеграле В

достигает в точке z

= О (М

-1

) максимума (точка z

вычисляется в явном виде), рав-

ного О ( ехр (—с

У~М) )>

Де

ъ > 0 — некоторая не зависящая от Л1

постоянная, то_Б

< b ехр (—с^М). Это значит, что |5

1ь<

<ft ехр (—с

У~М).

Следовательно, чтобы величина \B

была О (е), достаточно, что-

бы

М~Ь(1п е)

(9.13.16)