Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

решения задачи с точностью е: это будут соответственно величины

Ц (Г) 1пе/1пц (Т) и Ц (Г

) lne/lnji (Г

) ~ Ц (Г) lne/lnjx (Г). Таким

образом, видно, что мы не получим никакого выигрыша во время

счета, если вместо (10.3.2) применим метод (10.5.10). Пример с ме-

тодами (10.3.2), (10.5.10) заведомо был взят столь простой, чтобы на

нем была очевидна суть дела, а она заключается в том, что, создавая

новый метод, мы, наверное, должны позаботиться, чтобы для него ве-

личина

ю(Г) = -Ц(Г)/1п^(Т)

была достаточно мала. Эту величину назовем функционалом потерь.

Любые модификации «старых» итерационных методов, вообще говоря,

тогда

имеют

смысл,

когда

они

(при одном и том же по порядку со «ста-

рым» методом объеме памяти) уменьшают функционал потерь. Так,

если метод простой итерации для уравнения (10.5.3) сходится, а к

этому уравнению мы применяем преобразование (10.5.5), то метод

«простой» итерации для уравнения (10.5.5) стоит, вообще говоря,

предпочесть методу простой итерации для уравнения (10.5.3), если

при прочих равных условиях

-Ц((/С-1)~ЧЯЯ-Ь))/1пИ(Я^

Очевидно, что такое сравнение методов необходимо проводить от-

дельно для каждого типа уравнений.

При сформулированном способе частичного упорядочения алго-

ритмов, безусловно, имеется некоторая идеализация оценки реаль-

ного процесса вычислений на ЭВМ. Например, мы не учитываем не-

однородность памяти ЭВМ, ее разрядность, качество программ, влия-

ние на результаты счета ошибок округлений и т. п. Мы предполагаем

для всех алгоритмов одинаковый уровень априорных сведений о

свойствах решения задачи. Эффективность алгоритма должна оце-

ниваться и количеством запоминаемой и используемой при решении

задачи промежуточной информации

[123].

§ 10.6. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ. /(/ЧИЕТОД

Вернемся еще раз к методам, ускоряющим сходимость итераций.

Они,

как показано в § 10.5, описываются некоторой группой преобра-

зований, переводящих уравнение (10.2.16) или (10.5.3) соответственно

в уравнения типа (10.5.1), (10.5.5). Попытаемся возможно подроб-

нее «расщепить» и классифицировать приемы ускорения сходимости.

В качестве примера выберем уравнение, вид которого инвариантен

относительно преобразований, ускоряющих сходимость итераций.

Предположения относительно операторов этого уравнения выберем

такими, которые характерны для многих задач переноса. Способ, на

основании которого предпринята классификация, заключающийся

в анализе виДа уравнений для поправок, не является единственно воз-

можным, но он, как нам кажется, удобен.

260

Пусть X и Y суть 33-пространства, а

— числовой параметр.

Пусть задано линейное операторное уравнение (10.2.16) с А = L —

XS:

Lu = XSu + f, (10.6.1)

где и 6 Z

= D (L) и D (S) = X, / £ Г, a D (L) и D (S) — области

определения операторов L и S. Пусть L, S — операторы с областью

значений в F, L имеет обратный [тогда D (L""

*S) = X] и

X \\

L^S

< 1.

Назовем операцией

/С

операцию, состоящую в вычислении по элементу

€ X элемента y

= L""

(№>a

+ /). Если хотят ускорить схо-

димость простой итерации для (10.6.1), то для нахождения u

k+1

по u

применяют помимо операции К еще дополнительные операции

i = 1, ..., а, действующие на u

и у

. Каждый метод ускорения

характеризуется набором {P

} и порядком (вычислительной схемой)

реализации {PJ. Рассмотрим линейные итерационные процессы,

использующие лишь и

и оставляющие точное решение и стационар-

ной точкой. Существует соответствие между {P

} и множеством пре-

образований, переводящих уравнение (10.6.1) в эквивалентное ему,

заданное в некотором ^-пространстве Z

в форме

U = T

U + Saf, (Ю.6.2)

при котором выполнение операций /Си {P

} эквивалентно методу про-

стой итерации для (10.6.2):

a*+i=T

a* + S

/. (10.6.3)

Пусть а = a + 1; a — целое; V

и R

— ^-пространства;

г X; Z

= Z

+ V

+ ... + К,; i = 1, 2, ..., a и u

€ Z

приближенное значение и. Переход u

->-

fe+1

делаем в две операции К

Р = (Р

..., Ра).

Операция К такова:

k+\/o =

-i (i

^ (10.6.4)

Операция P

заключается в нахождении

k+i/a

£V

k+{i

l)/a

6 Z

из решения уравнений:

* + (/+1)/а

==и

*+//а

+а

^+//а /=1,2,..., а. )

В (10.6.5) линейные операторы B

-* /?*);

* М -* #0;

СУг^

(Zj_i ->- #*) выбраны так, чтобы уравнения (10.6.5) легко реша-

лись, D (7Vi) ^ Z

, а оператор ^ВГ

С^ приближал бы в некотором

смысле 7Vt на D (Ге^), где Т

= AX^S и

7i = 7i-i + (Bi - С,)"

С,т, (7W - /), i = 1, ..., a. (Ю.6.6)

Пусть

= Lr\ S

= (B

- CO"

IB, - C,

(/-T,)]

Si.x,

i = 1, 2, ..., a.

(10.6.7)

Тогда в Z

справедливо соотношение (10.6.3), и если г

= и — и

где u

£ Z

, то г

к+г

= T

. Нетрудно видеть, что уравнения

261

(10.6.5) представляют собой цепочку преобразований трех типов,

приводящих исходное уравнение к виду, удобному для итераций.

Если функционал потерь w = — Ц (Г

)/1п \i (Т

) будет при этом

достаточно мал, то получим эффективный итерационный метод, ко-

торый назовем /0Р

, ..., Р

-методом, или сокращенно /СР

1э

..., Р

Форма записи КРъ •••> Ра позволяет сконструировать его по

..., Лх-ь так как КР

..., Р

есть /С'Р

-метод для уравнения

и = Т

-\ и + Sa-\ /, если К' есть операция Т

-\ u

-\f-

Мо-

жем считать, что переход от КРъ ..., Р

-1к KP

..., Р

целесообразен,

если он уменьшает функционал потерь.

При а =* 1, Z

Х>

£F преобразование (10.6.6) является

общеизвестным типа (10.5.5) преобразованием уравнения для уско-

рения сходимости итераций, примененным, по-видимому, впервые

в работе Е. Шмидта

[330].

В этих же предположениях итерационные

методы подобного типа с применением проекционных операторов,

но с другими вычислительными схемами были исследованы в работах

Ю.

В. Воробьева [44], Ю. Д. Соколова

[222],

А. Ю. Лучки

[155],

М. А. Красносельского, М. П. Забрейко, Е. И. Пустыльника, П. Е. Со-

болевского [99], А. А. Абрамова [2], Н. С. Курпеля [111] и др.

КР-метод можно рассматривать как комбинацию простой итерации

с решением последовательности модельных задач для поправок. Пос-

ледние же могут быть построены на основании некоторых принципов

(в частности, различных вариационных). Это дает возможность исполь-

зовать в итерационных методах решения задач математической физики

и прикладной математики широко развитые в этих областях модель-

ные (например, вариационные [182]) методы решения тех же задач.

Решения модельных задач могут не принадлежать Z

, однако порядок

вычисления поправок в КР позволяет в ряде случаев исследовать

его сходимость

[127].

Операторы в (10.6.5) можно, например, сконст-

руировать, используя следующий прием.

Зададим последовательности подпространств L

^D (L) и М

^ Y

размерностью п (п = 1, 2,

....).

Пусть Р

— оператор проектирова-

ния из Ув М

. Тогда в (10.6.5) при i = 1 могут быть взяты уравне-

ния вида

'<> =

+V<>

+ %P

S(u

+V<>-u

);

Если фь, /5=1, ..., /г, образуют базис в L

, w = 2 a

ср*

£ L

Q — линейный оператор из X в Y, L

е D (Q), то

= 2 h

)

Ъ = S h №

<Pi)

*J.

гдег|);

— базис в M

, a lj — полная система линейных функционалов

на М

, /= 1, ..., п. Тогда, полагая о^И/* = 2 а*ф

из (10.6.8)

получаем

(10.6.8)

262

2 />((£—АЛ)о?Ф|)=^15(а*+»/^—а*)Ь /=1,2,..., п. (10.6.9)

В такой записи достаточно указать лишь функционалы tj и не

указывать М

. Подпространства L

и М

могут зависеть от k. В опи-

санную схему укладываются методы Бубнова — Галеркина, Канторо-

вича, Петрова, Рэлея — Ритца, ортогональных проекций, моментов,

разделения областей, коллокации, групповой релаксации, наимень-

ших квадратов, вариационные, градиентные и др.

Если (10.6.1) разрешимо и для его решений имеются априорные

оценки, то и задача (10.6.8) при выполнении некоторых условий [92]

будет разрешимой и для ее решений можно дать априорные оценки,

а тогда итерационная схема в КР будет устойчива по отношению к

ошибкам округления.

Представляет интерес рассмотреть модельные задачи либо с полу-

сходными операторами

[180],

либо с факторизованными операторами

[80,

123], либо с операторами с быстроменяющимися коэффициентами,

определенными в более широкой стандартной области

[118],

либо

с операторами теории возмущений и т. п. Нетрудно распространить

принципы построений операций КР и на нелинейные задачи.

Известно, что одним из распространенных научных методов иссле-

дования свойств решений сложной задачи является замена ее более

простой модельной задачей, сохраняющей в основном интересующие

нас свойства исходной задачи. Тогда если упрощенная задача доста-

точно хорошо отражает основные свойства исходной задачи, то, вы-

бирая за малую цену на каждом итерационном шаге главную часть

ошибки из решения упрощенной задачи, получаем быстросходящийся

КР- В работах Р. П. Федоренко

[234],

Н. С. Бахвалова[22], К. В. Емель-

янова и А. М. Ильина [82], а также в [120, 123,127] достаточно полно

исследована эффективность таких методов для решения эллиптических,

интегральных и кинетических задач.

§ 10.7. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Во всяком вариационном методе задача по нахождению решения

уравнения сводится к задаче отыскания минимума некоторого не-

линейного функционала. В процессе нахождения минимума появ-

ляется последовательность элементов, связанная, между собой неко-

торой нелинейной рекуррентной зависимостью (10.4.1), которую

можно рассматривать как результат некоторого, вообще говоря, не-

линейного итерационного процесса. Идея вариационных методов вос-

ходит еще к Коши

[267],

применившему вариационный принцип для

решения алгебраических уравнений. Серьезным обобщением и обос-

нованием этого метода являются работы Л. В. Канторовича [87, 91],

Г. Темпля

[337],

Р. Куранта

[265].

Пусть Ф (и) — вещественный нелинейный функционал, заданный

на X, значения которого ограничены снизу. В вариационных методах

263

решения уравнений строится последовательность u

, минимизирую-

щая функционал Ф, т. е. такая, что

ИгаФ(й*)= inf Ф(и).

В таких методах приходится дополнительно доказывать, сходится

ли последовательность u

в каком-либо смысле к некоторому элемен-

ту и*, о котором мы можем сказать, что он является решением (мо-

жет быть, обобщенным) уравнения (10.2.16). Пример с функционалом

Ф (и) = ехр [—(и, и)] показывает, что это не всегда имеет место.

Предположим дополнительно, что Ф (и) — непрерывный функционал,

имеющий на X единственный минимум, а и* составляет наименьшее

значение Ф:

Ф(и)^т

= Ф(и*) (10.7.1)

при всех и £ X. Доказательство сходимости по норме u

к и* прово-

дится стандартным способом, если Ф (и) удовлетворяет условию

Ф (и) - Ф (и*) >а(\и — и*\)

(Ю.7.2)

где а (р) — некоторая монотонно возрастающая непрерывная поло-

жительная при р > 0 функция и а (0) = 0. Ибо в этом случае из

(10.7.2) следует, что \\u

— w*||< р (Ф (и

)— т)->- 0 при k-> оо;

здесь р (а) — обратная к а (р) функция.

Как правило, построение и

к+1

по u

в вариационных методах осу-

ществляется с помощью следующего приема. Пусть В (а) — неко-

торый линейный оператор [D (В (a)) S X], зависящий от численных

параметров а = (a

..., a

); Н — некоторое сравнительно маломер-

ное пространство в X и z £ Н. Тогда элемент u

k+1

ищем в виде

«i*+i =

ЬВ

(a) r

+ сг, (10.7.3)

где а, 6, с — скаляры, а r

= / — Au

. В формуле (10.7.3) выбираем

параметры

элемент

такими,

чтобы при

г*

4*=

0 выполнялось неравен-

ство

Ф(а*+

)<Ф(и*). (10.7.4)

Оператор В (а), скаляры а,Ь,си пространство Н могут зависеть от k.

Описанная конструкция и составляет принципиальную схему ва-

риационных методов. Различные вариационные методы решения

задачи (10.2.16) различаются между собой или выбором вида функ-

ционала Ф, или выбором вида оператора В (а), или пространства Я,

или,

наконец, способом минимизации (10.7.4), при котором скаляр с

может считаться равным нулю или единице, а скаляры а и b могут

считаться или закрепленными (например, a, b = 1 или 0), или удов-

летворяющими некоторой наложенной на них связи, или подлежа-

щими определению вместе со всеми, или частью параметров а из ус-

ловия, чтобы величина Ф (и

) принимала возможно наименьшее

значение. В последнем случае формула (10.7.3) определяет некоторый

нелинейный итерационный метод (10.4.1).

Вариационные методы удобно разделить на четыре группы.

264

К первой группе отнесем методы, в которых u

k+1

находится из

условия

= {u

+w: min

<b(u

+ w)}, (10.7.5)

wt=H

где H

— некоторое подпространство. Очевидно, подпространство Н

должно меняться вместе с k

иначе будет получаться одно и то же

приближение. H

можно задавать как независимо от результатов пре-

дыдущих шагов, так и с учетом предыдущих приближений. Например,

имея некоторый оператор В (а), зависящий от параметра а =

= (a

..., a

), о котором известно, что с его помощью можно доста-

точно успешно решить частичную задачу минимизации, за Н

можно

взять подпространство, образованное элементами вида

= {w: w = pfi (a) r*}, (10.7.6)

где p — скаляр.

Или,

имея некоторый набор функций {cp

lft

, ф

*...,

q>n

k}>

за H

можно взять подпространство, натянутое на эти функции.

Ко второй группе методов отнесем методы типа

{au

+ w: min <b(au

+ w)), '(10.7.7)

а, a>e#

в которых помимо минимизации по Н

происходит дополнительная

минимизация еще и по параметру а. Это целесообразно делать, если

минимизацию по а удается выполнить, затрачивая дополнительно

небольшое число действий.

В третьей группе методов по значению и

сначала вычисляется

промежуточное значение

а*

+1/2

Оно может быть вычислено или

как результат одного или нескольких шагов сходящегося итерацион-

ного процесса, начинающегося с u

, или как результат минимизаций

некоторого другого функционала (или цепочки функционалов), для

которого решение задачи также является абсолютным минимумом.

Тогда полагают

= {u*+4* + w:min

<b(u

+ w)}. (10.7.8)

w<=H

Имеется определенный смысл в рассмотрении такого типа методов.

Это объясняется тем, что весьма часто при решении задач математи-

ческой физики с применением вариационных методов типа (10.7.5),

(10.7.7) наблюдается замедление убывания

||е*||

или ||г*| для доста-

точно больших значений к. Последнее связано с существованием у

функционала Ф сравнительно «плоского дна с узкими оврагами». Не

всегда целесообразно следовать мелким оврагам этого дна, а лучше

перепрыгивать их, проявляя определенную гибкость путем исполь-

зования других принципов «спуска». Методы этого типа могут совме-

щать преимущества и итерационных методов, основанных на идее

подавления компонент ошибки, и вариационных методов.

К четвертой группе методов отнесем методы типа

u*+i = {aa*+i/»+

min

<D(au*+4*

+ w)). (10.7.9)

265

В некоторых случаях, например для (10.7.8), когда выбор под-

пространства H

и функционалов не зависит от u

а Ф — квадра-

тичный функционал, определяющий некоторую унитарную норму,

формулы вариационного метода дают линейный стационарный метод.

Этот новый подход к известным линейным итерационным методам удо-

бен тем, что «проклятие некоммутативности» входящих в итерацион-

ные методы операторов, мешающее в исследовании сходимости, здесь

не проявляется так сильно. В этом случае проще определить значения

параметров, входящих в итерационный метод, при которых дости-

гается оптимальная сходимость в унитарйой норме.

Наметим в общих чертах несколько направлений в развитии ва-

риационных методов и кратко остановимся на возникающих проб-

лемах, намечающих возможные эффективные пути минимизации.

Всюду будем предполагать, что функционал Ф (и) имеет единственный

минимум на решении уравнения (10.2.16).

Естественно начать со случая (10.7.5), в котором подпространство

задано формулой (10.7.6). Если В = аЛ"

£ 59?, то очевидно, что

минимум функционала

Ф(и

+ аА^г

) (10.7.10)

достигается с одного шага, и он равен Ф (Л"

/)- Но обычно оператор

аЛ""

не принадлежит допустимому множеству операторов 59?. В этом

случае естественно попытаться хорошо приблизить А"

допустимыми

операторами, надеясь при таком способе получить за один шаг хо-

рошие приближения к минимальному значению Ф. В качестве 59?

часто берут многочлены от Л. В самом деле, допустим, что существует

такая постоянная а, для которой || / — а A

< 1. Тогда из формулы

(10.2.29) имеем Л

-1

« а 2 (/ — аЛ)

, где N >0 — некоторое до-

статочно большое целое число. Очевидно, что мы только улучшим

процесс минимизации функционала, если расширим произвол в вы-

боре u

k+1

тем, что u

k+1

будем искать в виде

= u

+ P

(A)r

, (10.7.11)

где

PN(0

= 2 ait

—многочлен N-й степени, коэффициенты а

, ..., a

которого подлежат определению согласно формуле

+ P

(A)r

:min<S>(u

+ P

(A)r

)}. (10.7.12)

Если процесс нахождения u

k+1

по формуле (10.7.12) не слишком

трудоемкий, можно воспользоваться этим плодотворным направ-

лением вариционных методов. Одними из первых в этом направле-

нии являются работы Л. В. Канторовича [87, 91]. Особенно подроб-

ным исследованиям подверглись методы типа (10.7.12) при N = 0.

Остановимся на специфике проблем, возникающих при численной

реализации этих методов.

Рассмотрим луч, исходящий из точки до, т. е. совокупность элемен-

тов вида w + az

где а — вещественное число, a z, до £ X. Построим

266

вещественную функцию параметра

а:

ср

(а, w, z) = Ф (w + az).

Назовем производной

точке

функционала

Ф по

направлению

выражение

\\z\\ да la-о \\г\\

»о Л

Пусть производная существует

и не

равна нулю

точке

и для

опре-

деленности функция

ф (а, и

, z)

убывает

по

крайней мере

для

доста-

точно малых положительных значений

а.

Пусть

—

наименьший

положительный корень уравнения

ф' (a, w°, z) = 0.

Тогда

проме-

жутке

[0, ej

функция

убывает, следовательно,

по

направлению

функционал убывает

по

крайней мере

до

точки

— и

+ z

Пусть производная dfb/dz

точке

существует

для

каждого

направления

z и

имеется направление

z°,

по

которому

эта

производная

наименьшая.

Это

направление назовем направлением антиградиента

функционала

Ф в

точке

. В

вариационном методе, называемом

ме-

тодом наискорейшего спуска

или

градиентным методом

[87, 91],

для определения минимума функционала используется процесс

по-

следовательных приближений,

при

котором переход

следующему

приближению осуществляется

по

направлению наискорейшего убы-

вания функционала. Существуют методы типа (10.7.5)

B(a)r

:min(b(u

B(a)r

)},

в которых оператор

В (а) для

некоторых значений

является близким

А"

оператором.

В качестве методов третьего

четвертого типов можно предложить

комбинированный способ итераций типа (10.4.3)

вариационным

ме-

тодом (10.7.8)

или

(10.7.9): пусть

мы

знаем хороший итерационный

метод типа (10.4.3)

оператором

Н = В (а);

тогда положим

+U*

—B(a)(Au*~f).

Теперь если известно,

что при г* Ф 0

имеет место неравенство

Ф(а

1/2

)<Ф

(

f а

Ф (и)

определяет некоторую норму

в X,

то сходимость итерационных методов типа (10.7.8)

(10.7.9)

этой

норме очевидна,

можно сосредоточить свое внимание

на

вопросах

выбора подпространств

кУ

параметров

, на

оценках скорости схо-

димости. Примером методов упомянутого типа являются градиент-

ные методы

неполной релаксацией, методы групповой релаксации

[233]

и др.

10.8.

ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

КВАДРАТИЧНЫМ

ФУНКЦИОНАЛОМ

Наиболее существенной разработке подверглись вариационные

методы

квадратичным функционалом, заданным

на

элементах гиль-

бертова пространства.

Пусть

Н —

вещественное гильбертово пространство

со

скалярным

произведением

(, ); М (х, у)

(х>

у £ Н) —

билинейный функционал,

область определения

D (М)

которого есть линейное множество, плот-

267

ное в Н

и М (х, х) > 0 при х Ф 0. Пусть, кроме того, / (х) является

линейным функционалом, таким, что D (l)2D (М). Рассмотрим

квадратичный функционал

GM (Х) =

М(Х,Х)

— 21 (Х) + с, (10.8.1)

где с — константа.

Известно

[180],

что билинейный функционал М (х, у) на D (М)

представим в виде М (х, у) = (Мх, у), где М — симметричный опе-

ратор и М >0. На D (М) введем новое скалярное произведение

[*, у]м = (Мх, у) и норму [х\м = 1х, х]Ц

Замыкая D (М) в норме [ Ьь получаем новое гильбертово про-

странство, которое обозначим Нм. Пусть известно, что функцио-

нал I (х) ограничен в норме [ ]м; расширим его по непрерывности на

все

Нм-

Тогда

[180]:

а) Ьм (х) может быть расширен на

все

Ям;

б) су-

ществует единственный элемент и € Нм, такой, что функционал

I (х) представим в виде / (х) = [*,

и\м,

а функционал

(Х)

— в виде

(Х)

= 1Х-

UYM

WXk

+ с. (10.8.2)

Из этой формулы видно, что

(Х) достигает минимума при х = и,

который равен с — Мл*. Квадратичный функционал

&м (х) = ОДА = (Af

г)), (10.8.3)

где т) = и — х

назовем функционалом ошибок. Минимум его, рав-

ный нулю, достигается при х = и.

Сделаем теперь следующее предположение: пусть элемент и,

реализующий минимум функционала (10.8.1), является решением

(может быть, обобщенным) уравнения (10.2.16).

В качестве функционалов

(Х)>

если наложить соответствующие

ограничения на оператор Л, можно взять функционалы вида

(Х) = (Ах, х)-2

(х,

/),

функционал метода наименьших квадратов

GA*A (Х) = (Ах — f, Ах — /),

функционалы метода ортогональных проекций и другие функционалы

типа

ВА

(Х)

= (В (Ах - /), Ах - /). (10.8.4)

Вычислим значение антиградиента от

(Х) В пространствах Нм

и Н = Н

(при М = /). Пусть w = х +

OLZ.

Тогда, пользуясь фор-

мулой (10.8.2) и х — и обозначая t, получаем

GM(w)

= a*lz]lt+2*lz,t]M +

lt]

M-lu)

+ c.

Согласно (10.7.13) в пространстве Нм имеем

дбм „ dG

=№*

=2[z,/]Ai[z]i5

а—0

дг да

Это значит, что направление антиградиента задается элементом

= и — х. (10.8.6)

268

Таким образом, в Нм антиградиент в любой точке и

направлен

прямо на решение и. Если бы мы знали z

, то за один шаг решили бы

задачу (10.2.16), полагая и

= и

+ z

. Рельеф функционала GM (Х)

в пространстве Нм предельно прост. Но вся беда в том, что мы, как

правило, не можем конструктивно вычислять скалярные произведения

[х, у]м. Если бы мы могли это делать всегда, тогда и решить урав-

нение (10.2.16) было бы нетрудно.

Вычислим значение антиградиента

(Х) в Н = Н

д0

м 1 Юм |

—— = Г77"~^— =2[г, Г]м(г, г)

= 2(z,Af(x—a))(z,z)-'/

, (10.8.6)

т. е.

= М(и — х). (10.8.7)

В этом случае антиградиент, вообще говоря, «направлен» не на и, и,

минимизируя функционал по этому направлению, мы проскакиваем

мимо и.

В формулы (10.8.5), (10.8.7) входит неизвестное значение м. Чтобы

их можно было использовать при вычислениях, требуется наложить

определенные дополнительные ограничения на вид оператора М. Если

и является решением уравнения (10.2.16), т. е. и = А~

f, то

= МА'

(/ — Ах) = МА"

г. (10.8.8)

Следовательно, если М = В

А,

где оператор В выбран таким, чтобы

оператор М был самосопряженным и положительно определенным, то

из (10.8.8) получим, что при х = u

= Br* (10.8.9)

является известной величиной.

Теперь вычислим то значение а

, при котором QM (Х + az

) до-

стигает минимума по направлению z

, заданному формулой (10.8.7).

Поскольку

(Х

+ az

) =

(Х)

— 2 a (z

, z

) + a

, г

]м, (10.8.10)

дифференцируя (10.8.10) no a, находим

= (z

, z

)/[z

, Z

]M = [MA-^VI/WA-WM,

и, следовательно, элемент х

= x +

минимизирует функционал

на множестве элементов вида {х + az

Мы выяснили, что методы типа (10.7.5), в которых H

задается

одномерными пространствами, можно описать следующей общей схе-

мой.

Имеется начальное приближение и

и некоторая последователь-

ность z*, k = 0, 1,..., которая или априори задана, или каждый член

ее определяется после вычисления u

например, по формуле (10.8.9)*

Тогда полагаем

и*+*=и*

(10.8.11)

где скаляр a

выбираем таким, чтобы u

k+1

был

ортогонален

неко-

тором скалярном произведении [ , \м (тогда a

= — [z

, и

]м \z

Z^M

269