Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Глава

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ

УРАВНЕНИИ

§ 10.1. ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

С. Банахом [255]

и Р.

Каччополи [264] был сформулирован принцип

сжатых отображений, нашедший широчайшее применение

самых

разнообразных разделах математики. Этот принцип лежит

основе

построения сходящихся итерационных методов. Принцип сжатых

отображений мы сформулируем

для

метрических пространств

[92],

предполагая известными основные определения

свойства прост-

ранств такого рода; этому принципу можно придать более общую

формулировку, используя теорию псевдометрических пространств

196].

Пусть

— полное метрическое пространство;

(х,

у) —

расстоя-

ние между элементами лс,

у £ X, a

Q — замкнутое множество

в X.

Пусть

на

Q задан, вообще говоря, нелинейный оператор

Р,

переводя-

щий Q

себя. Элемент

и £

Q назовем неподвижной точкой оператора

Р,

если

и = Р(и).

(10.1.1)

Таким образом, неподвижные точки оператора

являются решениями

уравнения (10.1.1).

Оператор

называется сжатием

на й,

если

для

любых

х, у £ Q

выполнено условие

р(Р(*),

(*/))<

ар

(*,

*/), (Ю.1.2)

где

0 < а <

1 не зависит от

х, у.

Пусть последовательность

£ Q,

= 0, 1, ...,

такая,

что

k+i

(

ky (10.1.3)

Тогда говорят, что на Q задан оператором

итерационный метод, или

метод последовательных приближений,

рекуррентную последова-

тельность

}

называют итерационной. Справедлива

Теорема

10.1.1.

Если

есть сжатие

пай,

то в Q

существует

един*

ственное

решение

уравнения (10.1.1),

которое может

быть получено

как предел последовательности (10.1.3),

где и

£Й

— произвольный

элемент. Быстрота сходимости

последовательности

} к

решению

оценивается неравенством

pf^aXa^l-a^pfttU

), 6=1,2,... (10.1.4)

Доказательство. Поскольку для k ^ 1

240

согласно (10.1.2) имеем

p(u

)<ар(к

, и*-*)<...<а*р(и

, u

Поэтому для р > 0 в силу неравенства треугольника

p(u

+P, и^^р^+Р, u

+p~

)+... + p(u

, w*)<

^(a

+P + ...+a

)p(u\ u»)^a

(l—

a)-^^

ifi). (10.1.5)

Оценка (10.1.5) показывает, что последовательность {u

} сходит-

ся в себе (ведь а*->0), а в силу полноты пространства X она сходит-

ся к некоторому элементу и £ X. Но и

£ Й, следовательно, в силу

замкнутости Й, и £ йиР (а) имеет смысл. Пользуясь (10.1.2), имеем

0 < р (и*+

, Р

(£/))

= р (Р

(и*),

Р (и)) < ap

и),

но р (и

, и) -^0, следовательно, м

—>

Р (и), т. е. выполнено

(10.1.1).

Единственность решения вытекает из (10.1.2). В самом деле, если

бы х было вторым решением (10.1.1), то

р (х, и) = р (Р (*), Р (и) )< ар (*, и),

а это могло быть лишь в случае, когда р (*, и) = 0, т. е. х = и. Оцен-

ка (10.1.4) получается из (10.1.5) переходом к пределу при р ->оо.

Эта оценка задает область расположения решения уравнения (10.1.1).

Например, для k = 1 получаем

р (и, и

) < a (1 —

a)""

р (и\ и

Условие (10.1.2) нельзя, вообще говоря, заменить более слабым

р (Р (*), Р (у)) < р (х, у), х

у б Й, (10.1.6)

о чем свидетельствует пример, когда X = Q = R

— множество ве-

щественных чисел Р (х) = |*| + (1 +

|*|)~\

а р (*, у) = \х — у\.

Однако имеет место теорема Шаудера

[329]:

Теорема 10.1.2. Если оператор Р

отображает

замкнутое множе-

ство Q на компактное

множество

AcQ« если для любых х, у 6 О

удовлетворено

условие (10.1.6), то Р на

множестве

А есть сжатие и

существует единственная в Q неподвижная точка оператора Р.

Доказательство. Очевидно, что Р (А) с: Д = р (Q). Если

бы оператор Р не был сжатием на А, то нашлись бы такие x

, y

£ А,

/5=1,2,

..., что

Р(Р(х% P(y

))>*kP(x

); 0<a

<l,

->1;

Л=1, 2,...

При этом вследствие компактности А и замкнутости Q можно было,

не уменьшая общности рассуждений, считать, что x

-+х £ О;

->у € О. Переходя к пределу в (10.1.7), получаем неравенство

р (Р, (*), Р (у))^р(х

у), которое противоречит (10.1.6). Таким

образом, Р на А (а следовательно, и на Q) есть сжатие, и по теореме

10.1.1 существует единственная неподвижная точка и£А. Если

бы х £ Q была другой такой точкой, то из соотношения х = Р(х)

241

мы имели бы: х £ А и, следовательно, х — и. Таким образом, в Q

неподвижная точка единственна. Теорема доказана.

В итерационных методах часто оператор Р зависит от числовых

параметров, которые меняются от итерации к

итерации.

этом случае

имеют дело с итерационными методами вида

k+i =

(

£ = 0, 1, ..., (10.1.8)

где каждому k соответствует оператор P

отображающий Q а X

в себя.

Если для сходящихся стационарных итерационных методов

(10.1.3),

в которых оператор Р не зависит от k, достаточным условием

сходимости является выполнение условия (10.1.2),то достаточные ус-

ловия сходимости нестационарных итерационных методов (10.1.8)

более слабые.

§ 10.2. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ БАНАХОВЫХ АЛГЕБР

ОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

В основе последующего изложения лежат определения и понятия

банаховых и гильбертовых пространств. Мы предполагаем знаком-

ство читателя с элементами функционального анализа, для более де-

тального ознакомления с затронутыми вопросами отсылаем его к моно-

графиям Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова [92], Н. Данфорда и

Дж. Т. Шварца [73], К. Иосиды [85], К. Морена [185] и др. Из теорем

этой области математики мы отобрали те, знание которых особенно

полезно при изучении прикладных задач.

Линейные (ограниченные) операторы в комплексном банаховом

пространстве X (в ^-пространстве), действующие в то же пространство,

сами образуют банахово пространство

(X), которое является не

только векторным пространством, но и банаховой алгеброй с еди-

ницей или нормированным кольцом. Это означает, что определено

сложение и умножение элементов

(X), причем выполняются сле-

дующие условия.

53 (X) является векторным пространством над полем комплекс-

ных чисел С

Для любых Л, В, С 6 $ (X) и любых Я, \i £ С

АВ £ $?(Х),

(АВ)С = А (ВС),

(ХА)

В = А

(ХВ)

= X (АВ), А

(ХВ

+ ^С) =

= ХАВ + \лАС.

Существует единица / £ 53 (X) : IA = AI = А,

Норма в

(X)

||А||= sup \\Аи\\

и£Х (10.2.1)

кроме обычных свойств обладает еще следующими:

|| ЛВ

||<

|| Л

у В

||, ||

/1=1.

(10.2.2)

В случае, когда для всех Л, В£53(Х) выполнено равенство

АВ = В

А,

алгебра

(X) называется коммутативной алгеброй с еди-

ницей.

242

Мы скажем, что оператор Л принадлежит коммутативной С*-ал-

гебреЗЗ(Х) с единицей, если в ЩХ) определена операция (*) перехода

к сопряженному оператору, называемая инволюцией и удовлетворяю-

щая условиям

(Л*) = Л;

(ЯЛ)*

ЯЛ*;

(Л +

В)*

Л*

Я*;

(ЛВ)*

= В*Л*;

«Л*Л|| = И||

для Л, В б

(X).

Мы скажем, что оператор Л имеет обратный Л"

, если существует

такой оператор Л"

G Я (X), что

Л-М = /, АА-

= I.

Очевидно, что (Л"

= Л и что обратный оператор, если он су-

ществует, может быть только один. Оператор Л называется самосо-

пряженным, если А* = А, и нормальным, если А*А = АА*, где

Л*

— сопряженный оператор. Два оператора Л, В £ 53(X) назовем

подобными, если существует такой оператор 5 £ S3 (X), что

Л =

SBS-

Оператор Л называется оператором скалярного типа,

если у него существует базис в X, составленный из собственных век-

торов (собственный базис). Самосопряженные и нормальные опе-

раторы являются операторами скалярного типа. Для того чтобы опе-

ратор был оператором скалярного типа, необходимо и достаточно,

чтобы он был подобен нормальному оператору. Если

Л —

нормальный

оператор, то существует такой самосопряженный оператор В и такая

функция ф, что Л = ф (В).

Рассмотрим оператор 7\ 6 $ (X) вида 7\ = Т — XI. Резольвент-

ным множеством оператора Т £ 33(Х) называется множество р (Т)

всех комплексных чисел X, для которых оператор R

(X,

Т) = (Т—XI)"

существует и является ограниченным оператором, заданным во всем

пространстве X. Дополнение множества р (Т) (в С

) называется спект-

ром оператора Т, его обозначим Sp (Г). Оператор R (X, Т), где к £

£ р (Т), называется резольвентой оператора 7. Справедливы сле-

дующие теоремы.

Теорема

10.2.1.

Если пространство X содержит более одного

элемента, то

Sp (Т) — непустое

множество;

Sp (Т) —

ограниченное

замкнутое

множество,

лежащее

в замк-

нутом круге с центром в точке нуль и радиусом, равным \\ Т \\;

р (Г) —

открытое

множество;

R (X, Т) —

голоморфна

по X в каждой из компонент области

9(Т).

Теорема 10.2.2. Если w (f) многочлен, то

Sp (

(Л)) = w (Sp (Л)). (10.2.3)

Спектр Sp (Т) можно разбить на три попарно непересекающихся

множества. Р (Т) — множество комплексных чисел X, для которых

оператор 7\ не имеет обратного; это множество называется точечным

спектром оператора Т. С (Т) — множество комплексных чисел X,

при которых оператор

Т%

обладает обратным с плотной в X областью

определения, но оператор Т^

не является непрерывным; С (Т) на-

243

зывается непрерывным спектром оператора Т; R (7) — множество

комплексных чисел Я, таких, что 7\ имеет обратный оператор, об-

ласть определения которого не является плотной в X; R (7) называется

остаточным спектром оператора 7.

Теорема 10.2.3. Для

того чтобы

£ Р (Т),

необходимо

доста-

точно,

чтобы уравнение

Тх = К

имело ненулевое решение

хфО.

В этом случае число Я

называется собственным значением опе-

ратора 7, а решение х

—

собственным вектором (элементом) опера-

тора 7, соответствующим собственному значению Я

. Нуль-подпро-

странство N (к

I — Т) оператора Т%

называется собственным

подпространством оператора 7, соответствующим собственному зна-

чению Я

. Оно состоит помимо нулевого вектора из всех собственных

векторов, соответствующих

Теорема 10.2.4. Для

всякого

оператора Т £

(X)

существует

предел

11(Т)

\\т\\Тп\\

(10.2.4)

П-+00

Доказательство. При п^т (п = km + /)

силу неравен-

ства (10.2.2)

|| = ||

|f < || T

|| Г'

(0 < / < m),

откуда 0 < || V

|| */" < || T

W-i/nk

|| Ti

\/n

Теперь, фиксируя

k и устремляя п к бесконечности имеем

0<ПпГ||Г

<||Т*||

<||Г1<оо. (10.2.5)

«-*СХ>

Затем, устремляя в (10.2.5) k к бесконечности, получаем

lim || Т

< lim II Т

/« <^

г || < с».

Я=0О /2-Х»

Таким образом, предел fx (Г) существует и конечен.

Величину \i (7) назовем спектральным радиусом оператора Т.

Теорема 10.2.5. Если \

| > [х (7), то резольвента R (Я, 7)

существует

представляется рядом вида

(Я,

Т)

= (Г-Я7)-

= - |j A,-(«+i) 7", (10.2.6)

который сходится

по

норме

операторов.

Доказательство. В самом деле, если | Я | > jx (Т) +

+ е, где 8 > 0, то согласно (10.2.4) ||

Х-

|| < (\i (Т) +

-\-г)'

(fx (Т) + е/2)

для достаточно больших п. Следовательно, ряд

(10.2.6) сходится. Умножая его на (Т—XI) слева или справа, получаем

оператор /, поэтому R

(Х

Т) действительно существует и представ-

ляется рядом (10.2.6)

Теорема 10.2.6. При Т £

(X)

имеет место формула

jx(7) = sup |Н (10.2.7)

Доказательство. Из теоремы 10.2.5 следует, что [х (7) ^

> sup |

|. С другой стороны, функция R (Я, Т) при

ь е sp (Т)

244

> sup |

| по теореме 10.2.1 голоморфна и поэтому рас-

k'6Sp)T)

кладьщается в ряд Лорана (10.2.6). Следовательно, lim ||

%г

=0 при I к | > sup I К I.

-*°°

xesprr;

Значит, || Т

|| < (е + sup | к \)

для любого е > 0 и достаточно

b6Sp(T)

больших значений /г, т. е. и (Т) < sup |

Я,

^espro

Из теоремы 10.2.4 следует, что спектральный радиус обладает

следующими свойствами:

|1(Г*)

|1*(Г);

|i(a70 = |a||i(T)

(10.2.8)

и, кроме того, из (10.2.5) следует, что

0<|1(Г)<||Г|. (10.2.9)

Справедлива

Теорема 10.2.7. Если Т

— самосопряженный оператор

гильбер-

товом

пространстве,

то

V(T)= || Г ||. (10.2.10)

Доказательство. Сначала докажем, что || Т

1| = || ГЦ

Действительно, || Т

^ || Т ||

, а в случае гильбертова пространства

||Г||

= sup lTxf= sup (Тх, Тх)= sup (Г

х,*)<

<sup||T

x||-|r

||. (10.2.11)

Из (10.2.11) следует, что ||

= \\Т ||

"\ m = 1, 2, ..., и что

\i (Т) = lim ||

2ГП

= || Г || .

т->оо

Замечание. Теорема 10.2.7 останется справедливой, если

оператор Т нормален.

Пусть Ф(Я)= 2

ос

(К—Ко)

(10.2.12)

в некотором круге |

—

< р, где a

— комплексные числа, а

р > 0

—

радиус сходимости: р = lim | а

\ "

. Особый интерес

представляют исследования операторных функций, задаваемых рядами

Ф(Т)= %а

(Т-ХоО

, (Ю.2.13)

л = 0

ибо любым методам суммирования таких рядов соответствуют опре-

деленные реализации итерационных методов. Выясним, когда можно

гарантировать сходимость по норме операторного ряда (10.2.13).

Справедлива

Теорема 10.2.8. Если ряд (10.2.12) на

окружности \ X —

= р

всюду

расходится,

то для

сходимости

по

норме

ряда (10.2.13) необ-

ходимо

достаточно,

чтобы

р (Т) < р, где Т = Т

—

245

Доказательство. Если

\х

(Т) = р — 8, где е > 0, то

II fn || < (р _

/2)я при достаточно большом п и ряд

(Р

—

)

следовательно, и ряд (10.2.13) сходятся. Пусть

и = 0

оо

теперь ряд (10.2.13) сходится по норме, т. е. 2 \

п\

|| < оо.

Учитывая условия теоремы, заключаем, что_по признаку Коши это

имеет место, если r

= lim ( | а

| || Т

)

1//г

1, но г

Л->оо

= lim | а

| '/« ii

i/« =

-i ^ (Г), т. е. ц (Г) < р.

/2-Х» Л->00

Примером операторной функции и разобранной в теореме 10.2.8

ситуации служит ряд Неймана (операторная геометрическая прогрес-

сия [317])

/ + Т + Т

+ ... + Т

+ (10.2.14)

Из теоремы 10.2.8 вытекает

Следствие

10.2.1.

При \i (Т) < 1 ряд (10.2.14)

сходится,

а при

[х (Т) > 1 расходится.

Следствие

10.2.2.

Для

того чтобы ряд

(10.2.14)

сходился,

необходимо

достаточно,

чтобы

при

некотором

было

|| Г* || < 1. (10.2.15)

Действительно, если ряд (10.2.14) сходится, то || Т

\\ -> 0, и по-

1/-ЮО

этому (10.2.15) выполнено при достаточно большом k. Наоборот, если

(10.2.15) имеет место, то \л (Т) <

[см. формулы (10.2.8), (10.2.9)],

и, следовательно, ряд (10.2.14) сходится.

Из доказательства теоремы 10.2.8 следует, что условие \i (Т) < р

является достаточным для сходимости ряда (10.2.13) при любой функ-

ции ф

(X)

вида (10.2.12). Если ряд (10.2.12) абсолютно сходится при

\ ^ — К \ = Р, то ряд (10.2.13) сходится при \\Т

^ р, а если

р = оо, то ряд (10.2.13) сходится для всех

Т£33

(X),

Пусть в X задано уравнение

Au = f. (10.2.16)

Ясно,

что если существует Л"

, то уравнение (10.2.16) имеет единствен-

ное решение при любом / £ X, причем это решение есть

= Л~

Теорема 10.2.9.

Пусть уравнение

(10.2.16)

имеет решение

при лю-

бом

f £ X и

пусть существует

т>0,

такое,

что

при

каждом

х £ X

\\Ах\\^т\\х\\. (10.2.17)

Тогда оператор

имеет линейный обратный оператор

А"

, причем

И-

Km-

. (10.2,18)

Доказательство. Очевидно, что отображение, осуществ-

ляемое оператором А, взаимно однозначно, так как если х

Ф х

то ||

Ах

—Ах

> т || х

— х

> 0. Кроме того, из разрешимости

уравнения (Г0.2.16) при

любом*

/ £ X следует, что АХ = X. Таким

246

образом, существует аддитивный и однородный оператор В = Л

-1

А поскольку и = Bf означает, что / = Аи

то из (10.2.17) получаем

|/|>т|Я/|, или

||Л-1/||

15/||<—1/||.

(10.2.19)

Другими словами, Л

-1

—

ограниченный и, следовательно, линейный

оператор. Оценка (10.2.18) следует из (10.2.19).

Теорема 10.2.10. Пусть X —

^-пространство

и А £ Зд(Х).

Тогда если

|| Л || < q < 1, то

оператор

I — А

имеет линейный

об-

ратный, причем

||(/-Л)-

||<(1-

)-Ч (10.2.20)

Доказательство. Ранее было показано (следствие 10.2.2),

что ряд

/ + Л + Л

+ ... + Л" + .... (10.2.21)

при условии теоремы сходится. Обозначим В сумму этого ряда.

Имеем

В (I — А) = (7 + Л + ... + Л" ...) (/

—

Л) = /. (10.2.22)

Аналогично

—

Л) В = /. (10.2.23)

Следовательно, В = (I

—

Л)"

. Далее имеем

||В|<||/|НЧ|Л1+...+||Л"||+...<1+

+... + ^ + ... = (1-9)Л

что и дает оценку (10.2.20).

Замечание. Поскольку соотношения (10.2.22), (10.2.23) выпол-

нены всегда, когда ряд (10.2.21) сходится, что по следствиям

10.2.1,

10.2.2 линейный оператор (/

—

Л)"

будет существовать и то-

гда, когда \i (Л) <

или если || A

||<

для некоторого k > 1.

Пусть А, А'

£ ЩХ). Назовем

й(Л) = ||Л||||Л'

1 (10.2.24)

числом обусловленности оператора Л. Очевидно, что k (Л) > 1. Для

самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве

k (Л) - [х (Л) \л (Л-

). (10.2.25)

Если

л:

—

приближенное решение уравнения (10.2.16), е — и — х,

а г = /

—

Ах, то

ЦвКИ'ЧИ.

(Ю.2.26)

Относительную погрешность || е

и || можно оценить следующим

образом через величины k (Л), || г

, || / || :

Ь-ЧтгУ\П<Ш*\<ЧА)\г\1[11

(10.2.27)

В самом деле, оценка сверху следует из неравенств (10.2.26) и

|| / || < || Л || || и || ,

оценка снизу—из неравенств || г || < || Л || || е ||

А'

1| || / || .

247

Следующая теорема теории Возмущений характеризует множество

элементов G банаховой алгебры

(X), для которых существуют об-

ратные элементы, близкие

заданному.

Теорема 10.2.11. Если

А, А"

(X), то

множество

G эле-

ментов 33

(X),

имеющих

(X)

обратные,

содержит вместе

опе-

ратором

сферу

[B:\A-BKlA-4r*]'

(Ю-2.28)

Если

оператор

лежит

этой

сфере, то

его обратный представим

рядами

В-^А-

[(А—В)

А"

(10.2.29)

л = 0

или

5-1=

.fj

[А-

(А—В)]»

А-

п^о (10.2.30)

Если B

£G

||В

—Л||->0 при е-*0, то

\\А'

—Дг

|->0.

£-►0

Доказательство. Пусть сначала

|| /

—

|| <

1. Тогда

ряд

2(/

—

В)

(10.2.31)

л = 0

сходится. Поскольку

SB=BS

= [/-(/-в)]5== 23 (/-в)

—

(/-£)"=/,

л = 0 /1

по теореме 10.2.10 множество {В

: || /

—

В ||

g С.

Пусть теперь

Л £

—

А"

Тогда, поскольку

I—BA"

|| (Л—5)

Л"

и || /

—

А~

В ||

|| Л-

(Л

—

|| <

1, операторы ВЛ"

А^В

имеют об-

ратные, представимые соответственно рядами

(/-вл-

)^ fj

[(л-в)л-

/1 = 0

л=0

2 (/_л-1В)»== |j [Л-^л-Б)]",

л = 0 /1 = 0

а следовательно,

и В

имеет обратный, представимый формулами

(10.2.29),

(10.2.30).

Из (10.2.29) вытекает, что при ||

(Л —В)

Л"

выполняются

соотношения

M-ifM-ni

(102

1-1Л-ВЦЛ-Ц

||В-1_Л-1||= Л"

[(Л-Б)

Л-

Отсюда следует, что если

—

|| ->0, то ||

Be"

—

Л"

е-»0

->•

0, Теорема доказана.

248

Теорема о возмущениях является фундаментальной при обосно-

вании и исследовании многих вопросов как теории операторов, так

и вычислительной математики. Справедлива

Теорема 10.2.12. Если операторы А и В £

(X) скалярного

типа и коммутируют,

то

они обладают общим

собственным

базисом.

Эта теорема лежит в основе операторного исчисления. В самом

деле, пусть

(X) — коммутативная С*-алгебра, тогда справедлива

доказанная И. М. Гельфандом и М. А. Наймарком [185]

Теорема 10.2.13. Каждая коммутативная

С*-алгебра

(X) изо-

метрически изоморфна алгебре

(К) всех непрерывных (комплексно-

значных) функций на компактном множестве Л [Л —

множество

максимальных

идеалов

алгебры

(X)].

При таком изоморфизме операции (*) в

(X) соответствует переход

к комплексно сопряженной функции в С (Л). Если

(X) — мини-

мальная коммутативная С*-алгебра, содержащая Л, то множество Л

гомеоморфно спектру оператора А. А если

(X) — максимальная

коммутативная С*-алгебра операторов в сепарабельном гильбер-

товом пространстве X, то существует

такая

положительная мера

о*

на

и такое унитарное преобразование F пространства X на пространство

(o), которое диагонализирует алгебру

(X). Проиллюстрируем это

на примере самосопряженных операторов. Пусть

= Л*£$?(Х), а

функция

%-+■

А (Я),

£ Л отображает множество Л на спектр оператора

А : А (Л) = Sp (А). Пусть

ср

(Я), X £ Л — ортонормированная си-

стема собственных векторов оператора Л, отвечающих собственным

значениям А

(X).

Эта система полна в X. Имеем

Лф

(X)

= А

(X)

ф (Я); (ф (Л),

(Г)) = 6

', К *'€Л. (10.2.33)

Ортонормированный базис {ф

(Х)}^

*л

определяет унитарное отобра-

жение F пространства X на пространство Я числовых функций,

заданных на множестве Л:

33 (X)

б и -*

= и

(X)

£ я,

где и

(X)

= (и, ф (Я)), X £ Л, причем скалярное произведение в Я

определяется формулой

(«,»)//= 2 и

(*)*(*)=

S (и, Ф(М)(^ГФ(Л)) = (И, *)* (Ю.2.34)

Таким образом, отображение F является изометрией. Назовем его

преобразованием Фурье, индуцированным оператором Л. Это преоб-

разование приводит Л к диагональному виду

(FAF-

и)

(X)

= (FA и)

(X)

= (Ли, ф

(X))

= (и, Л* ф (X)) = А

(X)

(и, ф (X)) = Л

(X)

и(Х), X6Л. (10.2.35)

Это означает, что оператор FAF"

является в пространстве Я опе-

ратором умножения на функцию Л (Я), значение которой принадлежит

спектру оператора Л,

249