Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

по нахождению и

(А,),

в котором А (к), /

(к)

(Л). Будем всегда

предполагать, что А

(к)

Ф 0 на Л. Обозначим

(А) множество значе-

ний функции А (к), к£А. Чрезвычайно прозрачна для уравнения

типа (10.13.3) задача на собственные значения: найти такие значения у,

при которых уравнение

А (к)х = ух (10.13.4)

имеет нетривиальное решение. Эта задача решается просто: для каждо-

го к

£ Л собственное значение дается формулой у = A

(ко),

а собст-

венная функция

—

формулой xi

= б (к

—

), где б (к)

—

дельта-

функция, определяемая равенством

ц) = 1х

(X)

8(t

— k)

dk (10.13.5)

для любой функции х (t) £ С (Л) при / ^ Л. Итак, спектр задачи

(10.13.4) совпадает с R (А).

Решение уравнения (10.13.3) дается формулой

(к)

= A'

(X)f(X)

(10.13.6)

Равенство (10.13.6) точнее следовало бы записать в обобщенных функ-

циях и (t) б (к — t) = Л"

(t) f (t) б (к — t), но в дальнейшем изложе-

нии будем придерживаться несколько формализованной записи типа

(10.13.6).

Казалось бы, все просто: решение уравнения (10.13.3) дается фор-

мулой (10.13.6) и никаких проблем не должно возникать. Чтобы уж

не очень выхолостить теорию итерационных методов и придерживаться

требований реальной ситуации, возникающей при выборе операторов

Н и 7\ наложим на этот выбор следующие ограничения. Пусть

3D? —

некоторое априори заданное подмножество функций из С (Л) и

А~

(к)

3D?.

Назовем

3D?

множеством допустимых функций.

Требуется для решения уравнения (10.13.3) построить сходящийся

итерационный метод вида

k+l

= [I-H(k)A(k)]u

+H(k)f(k) (10.13.7)

при условии, что Н

(к)

3D?

—

единица в

(Л)].

Пусть Т

(к)

= I

—

НА, а е* = и — u

, r

= /

—

где и

—

решение (10.13.6). Тогда легко видеть, что

*+1(Я) = Т(к)г

(к) (10.13.8)

|e*

4 = M<|71i|e

|, (10.13.9)

где | |

—

любая из норм | |л#, || ||ль a \i (Т) = \ Т \

Наряду с уравнением первого рода (10.13.3) рассмотрим уравнение

второго рода вида

и(к) =

Ь (к)

(к)

я|)

(Я), (10.13.10)

в котором предполагаем, что |

| <

\х (Ь)

< 1. Случай, когда m <

Ь (к)

< М < 1, где m, М

—

вещественные числа, может быть све-

ден к рассматриваемому путем применения следующего преобразования

290

уравнения (10.13.10): из обеих частей уравнения (10.13.10) вычитают

величину и (М +

т)12

и затем делят результат почленно на 1 — (М +

т)12.

Получают новое уравнение типа (10.13.10):

2Ь(Х) —

М—т

2\р

U =

2—М—т 2—М—т

в котором

26 (Я) —

М—т

<1.

2_М—т

2—М—т

Метод простой итерации для уравнения (10.13.10) запишется в виде

k+l

= Tu

$(K)

(10.13.11)

где Т = b (X).

Итерационные методы разделим на два класса: к первому классу

отнесем те из них, сходимость которых исследуется в норме | \м, ко

второму — методы, сходимость которых исследуется в норме || ||м.

Эти два класса имеют свою специфику как в построении итерационных

формул, так и в исследовании сходимости. Неравенство (10.13.9)

показывает, что результаты, полученные по исследованию сходимо-

сти методов первого класса, могут быть применены для исследования

сходимости итерационных методов второго класса. Поэтому сначала

исследуем сходимости итераций в пространстве С (Л) с нормой | |

полагая для простоты М

(X)

= 1.

Согласно следствию 10.2.2, для сходимости итераций (10.13.7).

необходимо и достаточно, чтобы

sup|l-tf(Jt)/l(JL)|< 1, (10.13.12)

т. е. при действительных Н (Я), А (X)

— 1< ш

= inf [1 — Н

(X)

(X)]

< sup [1-Я

(X)

(X)]

= пг

< 1.

Л Л

А это значит, что

(l-m

)/\A{X)\^H(X)signA(X)^(l-m

)/\A{X)\. (10.13.13)

Таким образом, если множество

5Я?

содержит функции, удовлетво-

ряющие неравенству (10.13.13), то будем считать, что можно построить

сходящиеся итерационные методы.

§ 10.14. СТАЦИОНАРНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ

Начнем с методов, для которых множество

9)?

состоит из достаточно

простых классов функций. Очевидно, что по мере расширения

50?

пред-

ставляется возможность получать все более быстро сходящиеся итера-

ционные методы.

Метод простой итерации для уравнения второго рода.

Пусть А (X) = I — уК

(X),

59?

='{/},

где у — числовой параметр.

Тогда

и*+

/((^+/(Я). (10.14.1)

291

В этом случае имеем метод простой итерации, приводящей

обра-

зованию ряда Неймана

и*+1

= 2 (т*)7 +

k+l

который сходится

при |у||я (К) < 1.

Пусть требуется решить уравнение (10.13.3) методом (10.13.7),

если $0?

{а/}, где

а — не

зависящий

от к

скаляр. Тогда

и*+1 =[/—аЛ(Л)]и*

+ а/.

(10.14.2)

Согласно (10.13.12) метод сходится

при

sup

—

аЛ(А,)|<1.

Для нахождения оптимального

а, при

котором сходимость одного

итерационного шага является наилучшей

необходимо иметь

информацию

о R (А) на

плоскости комплексного переменного

z =

х + \у = г exp

(icp).

этом случае

onT

{a:inf

sup

|1—cxvli

•

(Ю.14.3)

I a

VZER(A)

Однако нахождение

опт

из

формулы (10.14.3) — довольно сложная

задача. Обычно задача огрубляется следующим образом: пусть извест-

но лишь,

что R (А) = Q, где

множество

таково,

что для

него можно

решить задачу (10.14.3). Тогда оптимальное значение

находится

уже

для класса задач (10.14.2),

для

которых

R (А) г Q.

Решим одну

из

таких задач. Пусть известно,

что R (А)

принадлежит кругу

Q с

цент-

ром

точке

exp

(icp

)

радиусом

р < г

Тогда, учитывая,

что ли-

ния уровня

константой С

для

функции 11

— ay

есть окруж-

ность радиусом

1а""

центром

точке

а"

заключаем,

что

min

max

11 —

ау|

достигается

при

y£Q

пт

1ех

Р(—

Po)

|i(/—а

0ПТ

Л)

р/7

<1.

(10.14.4)

Если известно,

что R (А)

принадлежит кругу

диаметром кото-

рого является отрезок действительной

оси [т, М]

где 0<т =

inf \А

(А,)|,

М = sup \А (Я)|, то

согласно (10.14.4) имеем

XQA

яел

«опт

= 2/ (М + т); \i (I

—

0ПТ

А) = (М

—

т)1

(М + т).

(10.14.5)

Эти формулы

для

случая, когда

R (А) £ [m, М],

указаны

работе

И.

П.

Натансона

[188].

Заметим,

что

если

R (А)

состоит всего

из

двух

точек

(т, 0), (М

0), то значения

опт

и \i (I

—

опт

А)

выразятся теми

же формулами. Этот факт указывает

на

целесообразность рассмотрения

для стационарных методов задач такого типа: пусть

для

итерацион-

ного метода

по

множеству

найдено значение

опт

и fx

sup

|1 — а

опт

Y|. Требуется указать такие множества

5 Й, для ко-

Y6Q

торых

sup |J

—

опт

у\ = (i

K£Q

292

Итерационные методы типа (10.14.2) были предложены и исследо-

ваны многими авторами.

Пусть А Ф \А |; А означает сопряженную к А величину, а

3)? = {аА (X)}. Положим

и*+1 = [1 — аА(к) А

(X)]

+ аА (X)f. (10.14.6)

Множество R (АА) лежит на положительной полуоси плоскости г.

Из неравенства (10.13.12) следует, что метод (10.14.6) сходится, если

0 < а < 2/JJ,

(Л). Если известно только, что 0 < т < R (АА) < М,

то за а целесообразно взять значение, рассчитанное по формуле

(10.14.

5). Заметим, что итерационный метод (10.14.6) есть метод

(10.14.2), применяемый к уравнению А Ах = Л/.

Рассмотрим метод, предложенный У. Бюхнером

[262]:

50? =

= {(-1)' «/>,

иА+1 =[/—(— 1)*аЛ(Х)]и* + (—1)*а/, (10.14.7)

который не является уже стационарным. Из (10.14.7) следует, что

и*+1 = (/—а

(Х)) u

a?A(X)f.

(10.14.8)

Таким образом, итерационный метод (10.14.7) есть метод (10.14.2)

для подпоследовательностей

2k+1

} при решении уравне-

ния

(Х)и

= А (Я)/. (10.14.9)

Следовательно, при Л

(X)

> 0 метод (10.14.7) будет сходиться при

0< а< l/2/ц (Л). Значения о^пт в этом случае определяются по

формулам типа (10.14.4), (10.14.5).

§ 10.15. ОБОБЩЕННЫЕ МЕТОДЫ ЯКОБИ

Пусть А = D — S — Q, a

SSR

= {(£) —

aS)"

©/},

где а, со —

числа. В линейной алгебре функциям D, S, Q соответствуют диаго-

нальная, нижняя и верхняя треугольные матрицы. Обобщенные ите-

рационные методы Якоби имеют вид

(D — aS) u

k+1

= (D — aS) u

— со (Au

— f). (10.15.1)

В этих методах

T = (D— aS)-4(l — co)D + (со — a) S + coQ], (10.15.2)

а оптимальные a, со задаются формулой

Кпт,

*>опт)

= ((a,co):infsup|(D-aS)-4(l-co)D + (co-a)S +

coQ]|}.

Рассмотрим несколько частных случаев метода (10.15.1).

293

При а = 0, со = 1 получаем метод Якоби

[291],

называемый

также методом одновременных смещений

+t =-(S +

Q)w*

(10.15.3)

для которого |л (7

) = sup | D~

(S + Q) I- Необходимое и достаточ-

Я,бЛ

ное условие сходимости итерации (10.15.3) состоит в том, что

supll—D-M|<1,

(10.15.4)

а это неравенство при D (к) > 0 и действительной функции А (к) эк-

вивалентно неравенству — D <D — А < D. Итак, справедлива

Лемма 10.15.1. Для того чтобы метод (10.15.3) сходился для дей-

ствительной функции А (X) и D (к) > 0, необходимо и достаточно,

чтобы

А >0 и 2D — А >0.

При со = а = 1 получаем методы Гаусса — Зейделя [281,

333],

А. П. Некрасова [189] и другие родственные методы, называемые

методами последовательных смещений:

(D—S)u

{

=Qu

+ f; (10.15.5)

для них

|х

(Т) =

sup

j(Z>—S)-

Q|. (10.15.6)

Методы типа (10.15.5) можно трактовать и следующим образом.

Пусть #, Q — два произвольных оператора, такие, что

А = R — Q, Я»=

{Я-*}.

(10.15.7)

Тогда

Я^

= Qa* +Д (10.15.8)

при этом

|i(7

)=sup|/?-

Q|. (10.15.9)

Поскольку условие \i (Т) = q < I эквивалентно условию 0 ^

-1

1 Q

< 1

или

условию | R

1 — | Q |

> 0, то справедлива

Лемма 10.15.2. Для

сходимости

итераций (10.15.8)

необходимо

достаточно,

чтобы

\ R |

— | Q |

> 0.

Представление (10.15.7) назовем расщеплением оператора А. Раз-

личные стационарные итерационные методы соответствуют различным

расщеплениям оператора А. Регулярным расщеплением оператора

А >0 назовем представление (10.15.7), в котором R > 0, Q ^ 0.

Для решения задач математической физики весьма эффективными ока-

зались методы расщепления, в которых операторы R, Q зависят от k.

Справедлива

Лемма 10.15.3. Если (10.15.7) — регулярное

расщепление

и А >0,

то

iHR-*Q)= *

lQ)

< MQ)v(A-t)

<М10Л5

л0)

l+^(A-

+ ii(Q)

i(A-

{

)

294

Доказательство. В самом деле,

R-*Q

= (Л + Q)-*Q = (I + G)"

G, (10.15.11)

где G = A'

Q. Неравенство (10.15.10) следует из представления

(10.15.11) и формулы sup (1 + G)"

G = (1 + sup G)"

sup G.

xeA я,ел ябл

Теорема

10.15.1.

Пусть A = R

— Q

i = 1,2, — два регулярных

расщепления, A >0. Тогда если Q

^ Q

^ 0, mo 0 ^ \i (R^Qi) ^

<M0

)<1.

Доказательство. Утверждение теоремы следует из того,

что

A~*Q

^ /l^Qi и что ц (R^Q) монотонно возрастает с ростом

Пусть А = /—В, 5 =

+ 5, Л > 0,

> 0 и оператор Л расщеплен

по формуле А =

R(o

— Q©, где

R» = (I — со5)/со; Q

= [coQ + (1 — co)/]/co. (10.15.12)

Пусть, кроме того, 59? =

{Яй

тогда

Q<o

— Q

= (со^

— со"

) /,

поэтому из теоремы 10.15.1 вытекает

Следствие

10.15.1.

Метод (10.15.8) с операторами (10.15.12)

сходится

при 0 < со < 1, и если 0 < со

< со

< 1, то

\л

(Т?©,^©,) <

<\i(R^Qco

)< 1.

Рассмотрим методы типа экстраполяции по Либману [303] и

релаксационные методы. Многие важнейшие особенности метода после-

довательной верхней релаксации, разработанного А. Островским

[319],

Д. Янгом, С. Франкелом, Б. Фридманом [348, 277, 278], к сожалению,

нельзя проинтерпретировать на одном итерационном методе для выб-

ранной нами модели уравнений, ибо выбор оптимальных параметров

в этом методе существенно определяется таким свойством матриц, как

их цикличность. Поэтому некоторые характерные свойства этого мето-

да проинтерпретируем на нескольких различных итерационных схе-

мах, каждая из которых схватывает лишь некоторую характерную осо-

бенность метода последовательной верхней релаксации.

а. Пусть а =

со.

тогда

(D — coS) u

k+1

= [(l — (o)D + coQ] u

+ со/. (10.15.13)

Здесь

|i (Г) = ?

(со)

= sup \(D—coS)-

[(1 — со)

D +

coQ]|.

Оптимальное значение

со

определяется условием

со

опт

= {со: inf?(co) }. (10.15.14)

(О

б. Приближение

к+1

получаемое методом последовательной верх-

ней релаксации, можно трактовать как результат линейной комбина-

ции предыдущего приближения и приближения, полученного по мето-

ду (10.15.5):

(D —

S)u

=(1—

со^

+ соыН-

Здесь

r(co)-(D-S)-4(l-co)(D-5) + coQ];^(r)-

(co) = sup|r(o))|.

А,еЛ

295

Этот метод соответствует значениям а = 1 в методе (10.15.1). Опти-

мальные значения

со

определяются условием (10.15.14).

в. Еще одну трактовку метода последовательной верхней релак-

сации покажем на примере решения уравнения (10.13.10). Вместо од-

ной неизвестной функции и рассмотрим две неизвестные функции х (А,),

(Х)

удовлетворяющие уже системе двух уравнений:

х = by + Ф, у = Ьх + Ц. (10.15.15)

Очевидно, что решения х, у системы (10.15.15) совпадают с решением

и уравнения (10.15.10).

Систему (10.15.15) запишем в матричном виде

z = Bz + h,

где

■-ом

;>'-(;)•

Матрица В является циклической матрицей индекса 2

[341],

а посколь-

ку В

= diag {b\

то (i (В) = р. (&).

Итерационный метод последовательной верхней релаксации можно

трактовать как следующий метод:

я*+1 =(d(by

+ ty—x

) + x

^a(bx

+\p—y

)

+ y

. (10.15.16)

Если формально положить l

= x

, g

2+1

то формулы

(10.15.16) можно записать в виде:

;

s==1/

o.gfcfi=©(65* + ,|

)

_g*-i) + 6fc-i . (10.15.17)

Формулы (10.15.17) при со = o)

идентичны по форме записи трех-

членным итерационным методам и чебышевским методам, рассматрива-

емым ниже.

Разберем вопрос об определении оптимальных значений со в методе

(10.15.16).

Пусть

J 1 0

/1-со со. у

[-ah 1 )

\ 0 1-со/

Тогда схема (10.15.16) запишется в виде

н-1 =

+ ah.

Быстрота сходимости его обусловливается наибольшим по модулю соб-

ственным значением матрицы R~

которое определяется из уравне-

ния

\tI-R-

Q\ = \R-4\Rt-Q\ = 0

или

(/ + со — I)

— t со

= 0. (10.15.18)

Из (10.15.18) получаем, что t = f

(со, 6), где

(со,

Ь)

= (бсо± V

со

—4со

+ 4

)/4.

296

Так как /+/- = (со — I)

, то при |

—

со

| > 1 метод расходится.

При

0<ш<2/(1 + ]ЛГ=^) = г|)(6)

эти корни вещественны, положительны и наибольший из корней есть

f((o

(\b\«)

—4(0

)

/4.

При

г|э

(ft) <

со

< 2 корни становятся комплексными и их модули рав-

ны

со

— 1.

Рассмотрим на плоскости (со, t) кривую

= Ф(М) = (

Ь)

РИ 0<tt

<*<

;

(10.15.19)

I со—1 при г|)(6)<со<2.

Оптимальное значение

со

определим согласно формуле

со

опт

fco:

sup inf

(со,

Ь)\.

(10.15.20)

Исследуем поведение функции

(со,

Ь)

как функции от

со:

(со,

Ь)

при

со

^г|)

(Ь)

является убывающей функцией, / (0,

Ь)

= 1, а функ-

ция

со

—

1 —

возрастающая функция при я|)

(b)

со

< 2. Следова-

тельно, минимум функции ф(со, Ь) по со достигается при со =

г|?

(Ь).

Легко убедиться в том, что при возрастании |

| функция /

(со,

Ь)

возрастает, а значит, точка минимума сдвигается вправо, и минимум

возрастает. Следовательно.

<»оп, =

2/(1

1/Т=|Щ).

(10.15.21)

При таком выборе со

опт

собственные значения матрицы R~*Q

становятся равными по модулю величине со

опт

— 1

= \i

(1 +

+ Vl — \i

(b))"

. В самом деле, значениям b = 0, b = ± \i

(b)

со-

ответствуют корни со

опт

—

1, а значениям | b | < \i

(Ь)

соответствуют

пары сопряженных комплексных корней, равных

по модулю |

со

опт

— 1|.

Функция t = ф (со,

[х (Ь))

имеет, как легко проверить, в точке со

опт

резкий минимум

вертикальной касательной слева и касательной спра-

ва, образующей угол я/4 с осью со. Поэтому при неправильном опре-

делении со

опт

(особенно в сторону уменьшения) может наблюдаться

резкое замедление сходимости этого метода.

Если значение \i

(b)

функцией b

(X)

достигается на множестве

s Л,

то

легко проверить, что матрица

при со = со

опт

и К

£ Л

имеет лишь один собственный вектор, т. е. в каноническом представ-

лении она имеет клетку Жордана второго порядка. А это означает

(см.

§ 10.4), что норма ошибки убывает по закону

1И|<а(со

опт

-1)^||80||, (10.15.22)

гдев*

— **;

е* = */-*/*; ||e

|= max(|e{|

|е*|

а С>0-

постоянная.

К еще одной интерпретации метода верхней релаксации (объясня-

ющей отчасти название этого метода) вернемся в

10.30.

Методы, изложенные в

10.14,10.15, предполагали наличие некото-

рой априорной грубой информации о расположении спектра оператора

297

А . Теперь рассмотрим два метода, которые сами учитывают получае-

мую в процессе итераций информацию о расположении спектра.

§ 10.16. МЕТОД Л. А. ЛЮСТЕРНИКА

Этот метод [156] явился одним из первых методов, ускоряющих схо-

димость итераций. Рассмотрим его для уравнения (10.13.10), в кото-

ром b (к) ^ 0. Применяя метод простой итерации (10.13.11), получаем

и*+1 — u

= b

(к)

(и

— и*'

) = b

(к) (и

— и

)

и, следовательно,

^ b

k+l

(и

—

иО)

U-UW =Z (w*+™+2_

*+m+l)

Ш- '-.

m=0 ^ '

Таким образом,

и =

и*+

+l—-V±(u

-u<>) = u

+i + '

b(l)

-u

). (10.16.1)

—

(К)

' l-b(K)

/ \ /

Пусть значение \i

(b)

достигается функцией b (к) на некотором мно-

жестве А

и пусть \к

(b) < \i

(Ь)>

где ^ (b) = sup | b (к) |. Тогда,

сделав достаточно большое количество итераций, можем считать

что sup | u

k+1

— u

\ = 0 (sup | u

k+1

— u

|). Следовательно, можно

яел\л, ьел

ожидать, что функция

7/+

(k) = u

k+l

(к) + V(b) (

A+I (к)-и*(к)) (10.16.2)

(О)

будет ближе к точному решению и, чем и

к+1

. Оценим порядок величи-

ны и — и

. Вычитая (10.16.2) из (10.16.1), получаем

\\-ь(%) i—i*<&> ;

v ;

H*)-i*W

&*(*,)(«»—

о).

Таким образом, e

ft+1

= 0 при X £ A

а при Я, £ A\A

получаем

1ё*+ч<——

sup

(fe)

ft(X)

sup ^(Я)Цы

—и°|

^TZ^io"

(10,16

Следовательно, метод Люстерника ускоряет сходимость итераций по

сравнению с методом простой итерации, для которого | е^

1 =

= | и — u

k+1

1 <

[\л

к+1

(b)/(l—\i

(b))]

| и

— u°I. Ускорение сходимости

итераций будет тем больше, чем меньше отношение [х

(b)l\i (b).

Ускорение особенно заметно при \i (b), близких к единице.

298

Пусть I (и) — линейный функционал, определенный на С (Л), для

которого / ((и

— и

) <рл,) Ф 0, где ф

Л1

(К)

= 1 при X £ Л

(А,)

== 0 при Х£ A\A

. Тогда ji (b) вычисляется приближенно в процес-

се итераций по формуле

(Ь)

« / (a

fe+1

— и*)//

(<г><

— и*"

), (10.16.4)

откуда

Для приближенного вычисления \х

(Ь)

могут быть использованы и од-

нородные квадратичные функционалы, например вида

Q (и) = f и

рсй,

где р

(К)

> а > 0 на Л

. Тогда

(&) « Q (u

k+1

- u

)/Q (u

—

и*-

(10.16.6)

Формулы (10.16.4), (10.16.6) дают возможность вычислять числитель

и знаменатель дроби по мере получения соответствующих величин.

Таким образом, в методе Люстерника процесс «простых» итераций,

которые могут, в свою очередь, представлять результат применения

некоторого стационарного метода итераций, прерывается время от

времени уточнением приближенного решения по формуле (10.16.2).

Сигналом к применению этого приема может служить достаточно ста-

ционарное поведение на предыдущих итерациях значения ц

(Ь)

< 1,

полученного по одной из формул (10.16.4), (10.16.6). Этот процесс мож-

но повторять в дальнейших итерациях, начинающихся уже с u

k+1

как

с начального приближения. При этом может измениться скорость схо-

димости последующих итераций. В самом деле, если на k-u шаге аб-

солютно точно по формуле (10.16.4) вычислено значение |ы (6), то по-

следующие итерации будут сходиться как геометрическая прогрессия

со знаменателем ^(Ь), а формулы (10.16.4), (10.16.6) при достаточно

большом k будут уже давать, вообще говоря, приближенные значения

для \i

(b). Поэтому после вторичного применения приема (10.16.2)

скорость сходимости метода Люстерника может снова возрасти. Одна-

ко следует заметить, что при вычислениях на ЭВМ, когда возникают

ошибки округления, такой картины сходимости не будет наблюдаться

при достаточно большой требуемой точности решения задачи.

§ 10.17. 8

-ПРОЦЕСС ЭЙТКИНА

Излагаемый метод [251] основан на следующем соображении: если

некоторая последовательность u

\ k = 0, 1, ..., сходится к пределу и

как геометрическая прогрессия со знаменателем Ь, | b | < 1, то для лю-

бого k ^ 1 имеем

u=--(u

-* u

—{u

)

)/(u

—2u

-i).

(10.17.1)

2S9