Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

Следовательно, можно принять

Ф?(г) = (1/А)[1—(Уо, i—Jfe. «)/(&. I—У»,

«) —

—(*о,

I—

*i,

»)/(*«,»—*i. *)]

—

(У—02,

i)/(0t, г—02, i)—

—

(* — *!.

|)/(*2.|—

*1,*)1 (8.1.10)

на IL, где 7j = (х

i, t/

Л. Вид функции

<р*

(г) показан на рис. 8.2.

Множество функций вида v

(г) — 2 ядо (г) образует подпространство

ГЬ"(П)с:(С(П) n WUm-

Рис.

8.2. Кусочно-линейная базисная Г/^ Г/$-

функция '

;

Для всех рассмотренных здесь подпространств W\>

справедли-

во следующее свойство аппроксимации (Г. Стренг, Дж. Фикс

[223],

Л.

А. Оганесян, В. Я. Ривкинд, Л. А. Руховец

[192],

Р. Варга [35]):

если v (г) £

(П), р = 1, 2, то существует такая функция v

(г) £

€ ^'МП), что

\\v-v

<0(hP-^)\\v\\

{uy

р = 1,2;

А=-0,1.

(8.1.11)

Пусть теперь область задания функций v

(?)

является m-мерной об-

ластью П

с криволинейной границей. Построение пространств ап-

проксимирующих функций можно провести следующим образом. За-

ключим П

в прямоугольную или многоугольную область П: П

с П

и уже известным образом построим пространство

W\*

(П) с базисом

{фг}/=

Обозначим et пересечение области П

с i-м элементарным

треугольником (квадратом и т. д.) и потребуем помимо введенных ра-

нее ограничений на шаги сетки выполнения также предположения,

что max mes

(е%)1

min mes (e

) ^ const. Определим теперь подпрост-

i i

ранство W\

(П

) как множество функций, каждая из которых яв-

ляется сужением некоторой функции из

W\>

(П). Базисом в

W\*

)

160

будет последовательность {<p?}£L°i, в которую включены все функции

из {<p?}£Li, носители которых имеют ненулевое пересечение с П

Каждую функцию из W\

(П

) можно представить в виде

/ =

при этом справедлив следующий результат аппроксимации [35,_192,

223]:

если граница П

удовлетворяет условию продолжения v (г) £

£ Щ (П

) на П с сохранением класса гладкости, то в W\

(П

) суще-

ствует функция v

(г), такая, что

11^-^1Ц

(По

)<о(^-")^Ц

(

по)>

°.

*•

(

8ЛЛ2

)

Обратимся к нашей задаче (5.1.23). Чтобы определить пространства

пробных функций #{} для приближенного решения вариационной за-

дачи, достаточно в рассмотренных выше примерах построения

ф?

при-

нять:

либо г = (х

, х

), и в этом случае проекционно-сеточный

метод приводит к системе интегральных уравнений (8.1.5), либо

= (х

#2» *з> ф, #)> здесь приходим к системе алгебраических уравнений

(8.1.3).

В качестве П

берутся соответственно либо область D, либо

= D X Q. Получаемые при этом пространства W\'

(DxQ) =

Ез

являются подпространствами из W\ (П

), в силу чего и с уче-

том аппроксимирующих свойств (8.1.12) можно гарантировать, что

последовательность {#{}} будет предельно плотной в #

. Следова-

тельно, проекционно-сеточный алгоритм позволяет строить для на-

шей задачи последовательность приближенных решений u

заведомо

сходящихся к точному в метрике пространства Н

Отметим, что в ряде случаев по угловым переменным вводятся и

разрывные базисные функции (например, кусочно-постоянные), ком-

бинируя которые с рассмотренными выше для пространственных пе-

ременных, можно получить новую модификацию базисных функций.

§ 8.2. ПРОЕКЦИОННО-СЕТОЧНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ

Плоская геометрия

Пусть задача рассматривается в плоскопараллельном слое 0 ^

^ г ^ Я. Тогда, как известно из § 5.2, решение и уравнения (5.2.12)

будет зависеть от пространственной переменной z и угловой |х£[0,1].

Функционал (5.1.25) соответственно принимает вид при F (г, ц,) =

= F (г, -|i) в / (г, |г)/2 (г) [см. (5.2.14)]:

н 1

G(v) = jdz^dii[Н(г)о»(г,

И)

+ И

'(?)(■%■)*] +

о о

Я 1 1

■s

jj dz J dp J dp' S

(г)

(г,

ц) v

(г,

р') g (\i' -> ji)—

-2 J dzjd^(z, |i)/(*, |i). (8.2.1)

Построим приближенное решение задачи, используя кусочно-ли-

нейные базисные функции по переменной г. Для этого введем по пе-

ременной z сетку 0 = z

< z

< ... <

= Я, h

= z

— г

и по-

ставим в соответствие каждому узлу z

базисную функцию ф/ (г), оп-

ределенную согласно (8.1.8). Приближенное решение ищется в виде

а*(2г, |х)= 2а|0А)Ф?(г), (8.2.2)

где неизвестные функции а* (|я) найдем, минимизируя функционал

(8.2.1).

В результате приходим к системе (8.1.5), которая в данном

случае имеет вид

Ла = J d|i' g

QA'

-> |i) Ва +

F»

(8.2.3)

где

а = (а

((*)>•••>

«N(|A)); F =

(M'),...,

([*));

= {ЛДМ<))"/==О;

В={В

}=0

) -F

СИ-)

= J dzttf

{г)

(г,

JA);

(|г) = <ф

, Ф/^;

Ви = |Л2

(г)ф?(г)

Ф/

(2).

В § 6.9 фактически проведено исследование некоторых свойств

системы (8.2.3): однозначной разрешимости, устойчивости алгоритма

и т. п. Отметим, что в силу финитности ср? (z) матрицы А и В будут

трехдиагональными.

Рассмотрим вопрос сходимости u

(г, |i) к и (г, \i). Сам факт схо-

димости u

-+и доказан в §8.1. Однако получение оценок скоростей

сходимости вызывает затруднения. Если бы точное решение рассмат-

риваемой задачи обладало вторыми производными по г, суммируемы-

ми с квадратом, то из (8.1.4) и (8.1.11) немедленно следовало бы, что

[и — u

] ^

(Я). Однако предположение о такой гладкости и (г, \i)

не выполняется даже в случае постоянных коэффициентов. Поэтому

оценка скорости сходимости вариационно-сеточных алгоритмов в за-

дачах теории переноса требует, как правило, дополнительных иссле-

дований.

Поставленная здесь задача достаточно просто решается, если ба-

зисные функции несколько модифицировать и рассмотреть использо-

ванный алгоритм как метод интегральных тождеств, широко приме-

162

няемый для диффузионных уравнений [160] и записанный для иссле-

дуемой задачи в его вариационной формулировке [5, 6]. Пусть функ-

ции {ф? (г)} заданы в виде

4(г)-

Ул

l-$2($)dg / j Z(£)dS, ге{г

);

h+\

l-jS(E)rf6 / J Z(6)dS. z6fe,z,

);

(8.2.4)

(

А-1>

^ft+i)-

Очевидно, что «искривленные домики» (8.2.4) тождественно совпадают

с введенными выше при предположении, что 2 (г) кусочно-постоянна

с возможными разрывами первого рода в некоторых узлах сетки. В

этом случае умножим (5.2.12) на 2 (z)q>? (z), проинтегрируем по

г £ [0, Н] с учетом граничных условий. В результате получим систе-

му интегральных тождеств:

^(*о>

ц) , .,2

Ц(*о,

\i)—u(z,

\i)

1/h J 2

(г) dz

+ <«, Ф^)о = <S

и,

Ф^>о

+ <Л ф£>

;

УЛ J 2 (г)

УЛ J 2(г)^г

<u,

<p?

<Sn,

а, Ф?>о+<Л Ф?>о,

= !,..., tf-1;

(*N, I*)

УК

Г "(

лт, HQ-"(*N-I, И) л

У Л J 2

(г) dz

N-1

(8.2.5)

+ <И,Ф&>О = <5

Ы,ФАГ>О+<Л Ф^>о.

Если ввести Интерпол янт точного решения и/ (г, (х), для которого

\i) = и (z

\i) и имеет смысл выражение ^-у-, то систему

(8.2.5) можно записать в виде

аг ' ^ <Эг /

(И/

ф/

=о + "/ ф/ |*=я) +

<«,

ф<

>о

= <S

«,

Ф?>О

+ <ЛФ/">О i =

0,l,...,N.

(8.2.6)

Ради определенности далее в качестве щ (г, ц) выберем функцию ви-

да и, (z, |i) = 2 и (г

ц) К/ир« (z).

163

Приближенное решение будем искать в виде и

(z, \i) = 2 a^)<P?(z)>

где неизвестные функции a* (|i) определим из системы интеграль-

ных уравнений

<V *£, jt/-^> + |i(«*<P?l.-o+«*<P?U«) + <«\

Ф?>о

= <So^,

Ф?>

+ <Л Ф?>о, * = 0,..., Л/,

(8.2.7)

совпадающей с системой (8.2.3). Таким образом, методы Ритца, Га-

леркина и интегральных тождеств в данной задаче совпадают, в силу

чего они дают одно и то же приближенное решение.

Для оценки погрешности рассмотрим тождество

+ \\u—u

—(S

(u—u

u—u

)

= {u—u

U—Ui)

—

—{S

{u—u

)> u—ui). (8.2.8)

Откуда с учетом (8.1.1), (5.1.26) получаем

И'-^

("/-"*)

+ |и-и*Р+ JdRi[(a/-tt*)

Uo+

{и,

-u

f |,-я] < С

u-uj |IV (8.2.9)

где постоянная С не зависит от

и>

щ и h

В работе В. И. Агошкова [6] доказано, что если / (г, \\) — ограни-

ченная функция, то

и —

< 0

(h)

I/I2^. Следовательно, полу-

чаем оценку вида

ji/—

(tit—u

)

дг

+ («/-^)

lz^ + lk-^|l

1/2

<C/ii/2||/||

Loo

, (8.2Л0)

которая является оценкой погрешности приближенного решения, по-

лученного с помощью проекционно-сеточного метода.

Отметим, что в силу сделанных предположений о коэффициентах

задачи и введенной сетки матрица

А{\л)

будет диагонально преобладаю-

щей при любом (г £ [0, 1]. Отсюда и из предположения C(z) < 1 сле-

дует, что собственные числа матрицы A (|i) при произвольном фикси-

рованном значении р £ [0, 1] и собственные числа системы (8.2.3)

будут отделены от нуля положительной постоянной, не зависящей от

Эти обстоятельства гарантируют нам устойчивость рассмотренных

алгоритмов, а также метода прогонки, если его применить для обра-

щения матрицы А при фиксированном значении \i при решении

(8.2.3) каким-либо итерационным методом и методом квадратур.

164

Сферически-симметричная геометрия

Пусть теперь D есть шар радиусом R. Минимизируемый функционал

G (v) имеет вид [см. (5.2.20)]

к 1

G(v)= j"

r*dr

jd^

(')*('.

|i)

+ /(r)(|i -£- +

+^^]+*|и*»<*.|1)-

1 1

0 0

я 1

—2 J r

rfr$d\xv(r, ji)/(r, fi). (8.2.11)

При решении данной задачи можно воспользоваться кусочно-линей-

ными функциями (8.1.10) при г = (г, fx). Введем на области [0, R] X

X [0,11 сетку (рис. 8.3): 0 = г

< г

< ... < гл^ = #; 0 = щ <

< [ix< ... <

[AN

= 1 и выполним ее триангуляцию. Каждому узлу

\ij) поставим в соответствие финитную функцию Ф?/(г, р,) с носите-

лем П^ = (J Tl\f\ определяемую в каждом треугольнике по формуле

(8.1.10).

Приближенное решение ищется в виде u

(г, |х)= 2 Б a

*=о /=о

Хф//(г, ц,), где неизвестные постоянные а^ находятся из системы

dG (u

)

*—*-

=0, i = 0,..., Мя, / = 0, ..., Л/, которую можно записать

да

в матричной форме:

где

(А — В)а= F, (8.2.12)

а = (а

о>...» Ялгдо» #oi>««-> ^N^I,..., «ON,...,

Q>N

N)\

F =

[^00>--->

^N^0» ^01»-.м ^N^1, ^02»—>

N,...

N)\

Л=И

(

//)}/,

Л-0 N^, /> = lO(//)U,

N^,

4$ЧФ».«А];

(

)

(ЗОФ?/,ФЬ).

Система (8.2.12) обладает симметричной положительно определен-

ной матрицей, собственные числа которой отделены от нуля положи-

тельной постоянной, не зависящей от шагов сетки. Матрица А семи-

диагональна, симметрична и положительно определена.

165

"ij

Рис.

8.3. Сетка в геометрии (г, |Л

В силу плотности последо-

вательности линейных оболочек

(ф'/

{г,

|х)} в энергетическом про-

странстве здесь гарантирована

сходимость и

-+ипри h-+0 в

метрике Я

. В целях ускорения

данной сходимости можно про-

вести триангуляцию области [О,

R] X [0, 1] специальным образом!

В данной задаче решение, буду-

чи непрерывной функцией, обла-

дает частными производными по

%-1

г своим переменным, которые могут

терпеть разрыв по характерис-

тикам, уравнения которых в пе-

ременных (г, р) имеют вид:

разрывов 2 (г) [43]. Поэтому в цел™ у^еньшен^я ^шиб^аппрГ

симации можно ввести криволинейные треугольники, одна иСторон

которых может совпадать с частью характеристики, и определить на

них некоторые базисные функции. Естественно, скорость сходимости

в данном случае увеличивается. ходимости

Многомерный случай

Пусть D — параллелепипед: D = {а, < х- <

i = 1 2 ч\

Построим проекционно-сеточную схему для задэти '(5

23) ' исполь!

ПеР

едГв

(

Га^

з)

1) ^"ткГ ~

У—.

^=x

h<1

{...{x

kiNh

;

k>i

Xht

—x

hti

£=1,2,3,

i = l ^

;

--тах/г

;

оЛ<Л

,г<с

Л; с

= const.

Предположим, что по пространственным переменным введены функ-

■""ME-i?

Г_Ф°Г

уле (8

9) при 7s

<*.

*«•

*з).

ини

нпй,^;

(й1

''''

,(,>/)

екоторое

азб

иение поверхности Q

единичной сферы на открытые области со

i = 1, 2 / Пусть оаз

биение В, удовлетворяет следующим требованиям: '/п

'= mes щ >

- 1, г, ..., /

;

2т

= 4я и co

Щ = 0 при i ^ £; каждая область

пя IZTJ о

цент

альной

симметричной областью относительно цент-

ра сферы U, т. е. щ = со, у ^

где

о/ = {Q

€ а

;у

области

to/,

со,- предположим односвязными. Пусть ооласти

166

Xrn(^) = {1,Q € <о

; 0,

Й^со

(8.2.13)

Обозначим Н* подпространство из #

, состоящее из функций вида

*% Sj = SS fllmXm W9?W-

)

(О (m)

Последовательность

{Щ}

предельно плотна

в Н

Поэтому если искать

приближенное решение задачи

виде (8.2.14),

неизвестные

—

из условия минимума

G (и),

то

получим приближенные решения, схо-

дящиеся

точному

энергетической метрике. Система уравнений

dG (v

)/da

данной задаче имеет

вид

2 2

i'm'[<Pl> Хт. ф|'Хт'] = 2 S

*'т'(§0 ф|' Хт'э Ф*Хт) +

(Г)(т') (Г)(т')

+ (ЛФ,Хт). (8.2.15)

где

[ф|Хт. Ф*'Хт'1 =

( 2 (JdQ'riQpQp^fJ^/W-gi

+ ft dQ' tf,\ ( j dx/-i

(x)

Фг

(x)

ф,.

(x)\ +

<ВД

(О)

<*Г

Ф{

(x)

Фг

(x)

Q lp=l 1Г j

{So^i'%

',%%

)=(^dQx

{Q)ldQ'

(Q')g(

[

))x

x f J dxS, (x)

ф»

(*) Фг (*'));

(F, «Pi

X»)

X™

(Й)

<**/

(*, Q)

Фг

(л).

Каждое разбиение сферы

В/

порождает некоторую квадратурную

формулу

для

сферы. Поэтому фактически

для

реализации алгоритма

достаточно знать

не

конфигурации областей

, а

лишь узлы

веса

этой квадратурной формулы

(см.

подробнее

об

этом

§ 8.4,

8.5).

Система (8.2.15) обладает симметричной положительно определен-

ной матрицей,

что

дает гарантию сходимости ряда итерационных про-

цессов, применяемых

для

решения (8.2.15).

§ 8.3.

PJVZ-УРАВНЕНИЯ,

ВЫВОД

Здесь

мы

построим

на

основании некоторых интегральных тож-

деств

для

решений кинетических уравнений алгоритм вывода систем

уравнений

частных производных

пространстве координат

для

приближенного нахождения решения кинетических задач. Получен-

ные уравнения были названы /^/-уравнениями [122].

При

выводе

Рлг/-уравнений ограничимся рассмотрением случая

изотропной

ин-

167

дикатрисой рассеяния. На основе ^/-уравнений получим различные

конечно-разностные аналоги для кинетических уравнений.

Рассмотрим в выпуклой области!) с= R

кинетическое уравнение

—

[/Qy]

с (х)

Su +

(*, Я). (8.3.1)

Положим Ви = cSu + F, Lu = — [/

GV]

и, Tj = / -^-, Т =

= {Т

, T

}. Сначала получим некоторые интегральные тожде-

ства, связывающие значения функций и и Su. Предполагая достаточ-

ную для дальнейших выкладок гладкость у коэффициентов уравне-

ния (8.3.1), функции F и решения и, применяя к равенству(8.3.1)

оператор L

, k = 1, 2, ..., N — 1, где N > 0 — некоторое целое чис-

ло,

получаем систему равенств

w= -*2 (—\y-lLfBu + {—l)

u, k= 1,2,..., N, (8.3.2)

У=о

при k =

считаем, что L

= /. Пусть l

k является однородным от-

носительно Т многочленом порядка 2k и коэффициенты его зависят

только от х. Тогда, умножая (8.3.2) на /N.N-Ь k = 0, ..,

и сум-

мируя результат по &, получаем

Фы(и)=

2 /*.Аг-*1*а=—2 lN,N-

Z(-\)

-iLlcSu-

- 2 I*.*-*

%{-l)

LfF+ 2 (-l)

lN,N-kU. (8.3.3)

Равенство (8.3.3) послужит основой для получения Р#/-уравне-

ний.

сферы на открытые области со

, t = 1,2, ..., /, рассмотренное в § 8.2.

Пусть d

обозначает максимальный диаметр областей со

, a S* =

= mr

где S/—оператор интегрирования по множеству со*.

Обозначим w/ = (v

..., и/) кусочно-постоянную по й функцию, оп-

ределенную вй XI), которая по функции и определяется равенством

= Siti при Q f o)j. Очевидно, что Su = 2 а^, где a

= m*/4jt.

Для заданной функции F будут известными и функции $

= SiUF,

/ = 0, 1, ..., Л/, i = 1, 2, ..., /. Легко видеть, что для функций w =

= w (х) операторы

ЬЦХЮ

= S

Uw будут известными однородными по

Т дифференциальными операторами порядка 2/, коэффициенты кото-

рых не зависят от fl и w

а вычисляются интегрированием.

Подействовав на обе части равенства (8.3.3) последовательно опе-

раторами S

, i = 1, 2, ..., /, получим систему равенств

^Ф^(«)=-2^^-/2

(-ip-'JV 2*n*i.+

/«=1 / = 0 «=1

168

где

Л=1 / = 0

Пусть \|) = (ifo,

...,i|)/);

обозначим S,

QN/,

PNI матричные операторы,

действующие в (8.3.4) соответственно на вектор-функции

(и), щ,

сщ.

В новых обозначениях система равенств (8.3.4) запишется в виде

(и)

= Q

—

PNI

cut—ty. (8.3.5)

Легко убедиться, что главной частью дифференциального опера-

тора QNI — PNIC является оператор IN,N порядка 2N, что ON (и) —

линейный однородный по Т дифференциальный оператор порядка 2N.

Коэффициенты при производных оператора

(и) являются много-

членами по Q степени -<2W; они зависят также от х.

Пусть N, /, разбиение Bj и операторы l

N-k, k = 0, 1, ..., N,

выбраны так, что левую часть (8.3.5) на некотором классе функций

и можно считать достаточно малой величиной относительно некоторой

метрики. Пренебрегая ею, получаем для функции w = (w

..., wi) —

приближенного значения функции и — систему уравнений

QNIW — PNICW =

*ф,

(8.3.6)

определенную в области D. Эту систему уравнений назовем PNz-урав-

нениями. К системе (8.3.6) добавим уравнения, определяющие краевые

условия на границе Г области D:

£ш|

ф,

(8.3.7)

которые в некотором смысле аппроксимировали бы краевые условия

исходной задачи и гарантировали бы однозначную разрешимость за-

дачи (8.3.6), (8.3.7).

§ 8.4. Яи-УРАВНЕНИЯ

Исследование свойств решений Р^-уравнений начнем со случая

N = 1. Для каждой области со* операторы /

= Р

119

= 1[

счи-

таем заданными в виде

li-S**/

'=Ь2,...,/

(8.4.1)

где величины щ предстоит выбрать.

Сначала определим а*/, входящие в выражение для операторов

по формуле

i = S

Qj)

= 1,2,...,/, А?,/=1,2,3. (8.4.2)

Поскольку в этом случае S^ (и) = тГ

J У (Q&Q# — akf)T

TjUdQ

и SiO

(и) зга 0, если функции

и постоянны по Q внутри каждой

области щ, будем считать, что величиной Ф

(и) можно пренебречь.

169