Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов
Подождите немного. Документ загружается.
Тогда (8.3.6) запишется в виде
-y
i
a
ki
T
k
T
j
w
i
+ w
i
=c 2 ajwj+ty, /=1,2,...,/, (8.4.3)
где ty
t
= StF, а коэффициенты а%, как нетрудно убедиться, восполь-
зовавшись формулами (5.1.36), удовлетворяют равенствам 2 т$а// =
/=i
/ i * i
= 4я/3, dki = а/*, 2 т*а/& = 0 при k Ф /.
/=i
Ввиду того что существует такая постоянная С > О, зависящая от
В/,
что при любом единичном векторе Р = (р
1э
р
2
, р
з
) S* ((&Р)
2
) > С,
система (8.4.3) является эллиптической системой дифференциальных
уравнений, ибо
2**/РкРу = 5,((ЙР)
2
)>С. (8.4.4)
л./
ДЛЯ
уравнения (8.3.1) в области D рассмотрим основную краевую
задачу — задачу (5.1.15), (5.1.20) [или (5.1.23)]. Пусть х £ Г, рас-
смотрим функции c
t
= c
t
(х), определенные равенством c
t
= S
t
(| nfl |).
Систему (8.4.3) дополним краевыми условиями для функций w
t
.
Потребуем, чтобы функции w
t
— решения (8.4.3) — удовлетворяли
краевым условиям
-^ + с*о>||г==0, (8.4.5)
где -Q- конормальная производная на границе Г, определяемая
оператором I"
1
2 akjTjWi cos (п, х
к
).
k, i
Остановимся на простейших случаях. Пусть Q
x
= sin v cos
г|);
Q
2
= sin
Ф
sin
if>;
Q
3
= cos Ф, где ft — угол между вектором Q и осью
х
3
>
а
ар
— угол между проекцией вектора Я на плоскость (х
ъ
х
2
) и
осью x
v
1.
/ = 1. Используя формулу (5.1.37), получаем, что с
г
= 1/2,
а задача (8.4.3), (8.4.5) имеет вид
з
~т2 п«>1+(
1
-
с
)*>1=ъ>
«'i+f'lr
=
0.
г
Итак, видим, что в этом случае уравнение совпадает с Pi-уравне-
нием метода сферических гармоник, а краевое условие является гра-
ничным условием Маршака—Владимирова [41, 311].
2.
/ = 2. В разбиении В
2
(со
ь
со
2
) положим:
о)!
= {fl : я/3 < О <
2JT/3};
СО
2
= {Q : 0 < * < я/3, 2я/3<*<п}.
Вычисляя
akjy
i = 1, 2, по формуле (8.4.2), получаем для выбранного
разбиения систему
-^(11Т?+11Г1 + 2Г|)ш
1
+^ = у(ш
1
+ а;
1
) + *
1
;
170
^(5Г? + 5Г|+14Г1)ш
2
+ ш
2
=~-(ш
1
+
ш
2
)
+
г|)
2
.
3.
/ = 3. Разбиение B
3
(
0)
i» ^г» ®з) построим следующим образом.
За область со
ь
i = 1, 2, 3, примем центральную проекцию пары про-
тивоположных граней единичного куба, лежащих в плоскостях x
t
=
= ±1. Тогда все необходимые величины нетрудно вычислить:
т
г
=
4я/3;
4/ = 0 при кф\\ ац=1—2Ь, 1=1,2,3;
ац =
Ь
при 1ф\\
6
=("|/2/я) [£(я/4,
2"
1
/
2
)
—1/3/2],
где £ (ф, &) — эллиптический интеграл второго рода. Система урав-
нений (8.4.3) принимает вид
-[(\-2b)T\
+ bTl + bn]w
1
+
w
1
==c(w
1
+
w
2
+
w
3
)/3
+
y
1
-
i
—
[bT\+{l—2b)Tl + bTl]w
2
+
w
2
=
c(w
1
+
w
2
+ wJ/3 + fy;
-[6Л +
6Г!
+ (1-26)Г?]^з +
^з
= ^(^1+^2 +
^з)/3
+ ^
3
.
4.
/ = 4. Разбиение Б
4
выберем следующим образом. Поверхность
ft разобьем плоскостями x
fe
= 0, k = 1, 2, 3, на восемь частей, из
которых область о*, i = 1, 2, 3, 4, образуется теми двумя частями,
которые пересекаются с векторами
± t, = ± (*/, tU 1), где t[ =
U
=
t'[
=
Й
= —
Г
2
=
= —*з= —*з =
—*4=1.
Тогда т
ь
=
п>
ajj= 1/3, /= 1, 2, 3,
t=
1,2,3,4,
а при &^/ 4/= —«12= —а?з=«2з = а?
2
= —а?з =
= —а!4= —
а12
= а!з = —Я2з=2я/3.
Выписывать соответствующую систему уравнений (8.4.3) не будем.
Вообще говоря, для / > 1 величины
с%
зависят от формы границы
Г; они легко вычисляются, когда граница Г составлена из конечного
числа кусков плоскостей, ибо в этом случае они являются постоянны-
ми на каждом таком куске.
Рассмотрим теперь сходимость решений задачи (8.4.3), (8.4.5) к
точному решению задачи (5.1.23), когда N = 1, / --^оо, d
0
->0. Для
этой цели обозначим Н*
0
гильбертово пространство функций v =
=
(
v
i> .-•» ^/), определенных на множестве D X Q равенством
VxeDxa. =
v
t
и
постоянных по переменным ft на каждом множе-
стве D X со;, i = 1, 2, ..., /. Скалярное произведение для двух функ-
ций до, v £ Н[ зададим по формуле
[Щ
,
o]/
= J 2 mciWiVidV +
ija),
V)E
+
г /=i
D i=\k
t
j
J
где скалярное произведение (до, с)/ определяется формулой
(до,
v)i = J Z"
1
2
m
* ^*
y
*
d
*-
171
Введем
две
нормы
для
элемента
w 6'#{:
[w)J
=
[w,
w]
h
|| w ||/
2
=
{w,
w)
t
.
(8.4.7)
Легко убедиться
в
том, что задача (8.4.3), (8.4.5) является самосопря-
женной положительно определенной задачей
в
пространстве
Н[.
Пусть пространство
Я = [}Щ
— объединение всевозможных вло-
женных друг
в
друга пространств Н
г
0
.Это значит, что для рассматри-
ваемой последовательности
1
п
и
соответствующих разбиений В/
п
,
где
I
n
->оо,
d
on
->0,
при
п~>оо всегда выполняется включение:
Н[
п
*
а
Н
!
0
Пл
при
1
Пх
<
/„
2
,
т. е.
разбиение
В/
8
получено путем даль-
нейшего дробления разбиения
B
fl
. Для
функций
F, с
предположим
выполнение неравенств (5.1.24), (5.1.26). Тогда можно показать,
что для любого
/
краевая задача (8.4.3), (8.4.5) всегда имеет единст-
венное решение Wj
£ #£, и оно для
любой функции
v £ Н[
удов-
летворяет интегральному тождеству
[w,
vb—U^c ^a
t
Wi 2
ЩЩ
dx =
{q,
v)i.
(8.4.8)
D /«1 /=1
Исследуем сходимость последовательности функций
w\ к
функции
и
при N = 1, /
->-оо, d
0
->0. Справедлива
Теорема 8.4.1.
При
выполнении условий (5.1.24), (5.1.26) функция
wi — решение задачи (Ь.4.3), (8.4.5) — реализует
в
пространстве
Н[
минимум функционала
G
(v) (5.1.25)
и
[и — w{\ ->оо,
при I -+оо
d
0
->-0,
где
функция
и
есть решение задачи (5.1.23).
Доказательство.
В
самом деле,
из
вида интегрального
тождества (8.4.8) следует, что решение
wi
является функцией, реали-
зующей
в
пространстве
Hi
минимум функционала
G/
(v)
=
[v]l- j
I-
1
с
( 2 at
ЩV
dx-2
(i>,
F)/. (8.4.9)
Но
при v £ Н[
значения функционалов
G/
(У)
И G (и) совпадают,
и,
следовательно, минимизация функционалов G (v) и
Q
(v)
=
[и — v]
2
—
—
(S
0
(и —
v),
(и — v))
при v £
Ц1 достигается
на
решении задачи
(8.4.3), (8.4.5).
А
так как элементы
Н
образуют всюду плотное множе-
ство
в
пространстве
Н
0
(см. §5.1),
то
Q(wi) ->0,
ав
силу (5.1.26)
и
[и —
wi]
->-0
при
/->оо,
d
0
-*0.
Теорема доказана.
Предположим,
что
функция
и
обладает
по
переменным
Q
такими
свойствами,
что [и — щ\ =
О
(/
(d
0
)),
где /
(d
0
)
—
некоторая функ-
ция,
такая, что
/
(d
0
)
-+0
при
d
0
-*-
0,
а щ = S
t
u
при
Q £
<«>*,
i =
= 1,2,...,/. Тогда
из
доказательства теоремы
8.4.1
следует,
что
[
U
-
WJ
] = 0 (f
(d
0
)).
Перейдем
к
построению конечно-разностных аналогов. Построим
в области
D
общую для всех уравнений (8.4.3) кубическую сетку
D
h
с
шагом
ft,
образованную плоскостями
x
k
=
jh;
k = 1, 2, 3; / =
О,
172
Задачу (8.4.3), (8.4.5) заменим разностной задачей, аппроксими-
ровав во внутренних по отношению к области D узлах сетки D
h
урав-
нения (8.4.3) системой разностных уравнений
L
hi
u
hi
+ u
hi
= c 2«/Им +
Фл1»
/=1,2,...,/, (8.4.10)
а в приграничных узлах T
h
сетки D
h
условия (8.4.5) заменим уравне-
ниями
Au
hi
/Avi + du
hi
= 0, i = 1, 2, ..., /. (8.4.11)
Способ построения системы уравнений (8.4.10), (8.4.11), сохраняю-
щих интегральные свойства аппроксимируемой задачи, указан в
[118].
Для решений систем (8.4.10), (8.4.11) существуют разностные ана-
логи пространств Н[, скалярного произведения (8.4.6), квадратично-
го положительно определенного функционала (8.4.9) и интегрально-
го тождества (8.4.8). Не будем их выписывать отдельно, так как они
отличаются от упомянутых выражений лишь заменой операции ин-
тегрирования по области D и границе Г операцией суммирования на
сетке D
h
и по множеству граничных точек сетки Г
Л
. На основании
результатов работ О. А. Ладыженской [ИЗ], а также [118] и теоремы
8.4.1,
предполагая при этом положительность и кусочную непрерыв-
ность функции I и считая кусочно-гладкими поверхности разрывов
функции /, можно доказать следующую теорему.
Теорема 8.4.2.
Последовательность
функций u
h
— решений урав-
нений (д.4.10), (д.4.11) — при h ->0, / -> оо, d
0
->0 и выполнении
условий
теоремы
8.4.1 сходится в
пространстве
Н
0
к решению задачи
(5.1.23).
Определим величины си\ в формуле (8.4.1) равенством
4/
= &U/, (8.4.12)
где единичный вектор Ы = (b[, b
l
2
, b
l
3
) реализует минимум величины
Ji= 5(Й—bS й—Ъ*)<№, / =
1,2,...,/.
(8.4.13)
Таким образом, Ы будет вектором, в среднем наименее отклоняющим-
ся от векторов й £ со/. Легко проверить, что минимум функционала
J
t
достигается при b\ = о£/|
Q*
|, где
*'
= -£-
§Q
h
dQ;
|Q'P= J (^
'=1.2,...,/,
Л
= 1,2,3.
Для выбранных таким образом векторов Ы уравнения (8.4.3), (8.4.5)
примут вид
—(ЫТ)
2
^
+
оу
г
= с2
«yWj
+ ti; (8.4.14)
sign(hbO'-S- + c,w,|r =
0,
/=1,2,...,/. (8.4.15)
db
173
Выражение (8.4.14) — вырожденная система эллиптических урав-
нений, левые части ее являются одномерными дифференциальными
операторами второго порядка по направлениям Ы. Задача (8.4.14),
(8.4.15) остается самосопряженной в Н[,ъ котором скалярное произ-
ведение определяется формулой (8.4.6) при ащ = bkbj. Если учесть,
что
2m/"
1
\ Q
k
QjdQ=:4mr
2
jj
Q
h
dQ
f QjdQ + O{d
0
)
(0,
CD, (0.
при d
Q
->0, то аналогично предыдущему доказывается сходимость
функций о//
—
решений краевой задачи (8.4.14), (8.4.15) —к функции
и при / ->оо, d
0
-^0.
Множество сеточных узлов для задачи (8.4.14), (8.4.15) построим
следующим образом. Для t-ro уравнения и краевого условия в области
D строим семейство одномерных сеток D
ih
, i = 1, 2, ...,/, с направ-
лением Ъ
1
. На этом семействе сеток заменим уравнения (8.4.14),
(8.4.15) разностными уравнениями, а оператор (ЫТ)о; — второй раз-
ностью (/ (/ш
Б
)ь). Будем считать, что на множестве D
ih
функции
w
h
= w
k
при i Ф k, где w
k
определяется, например, линейной интер-
поляцией значений w
k
с сетки D
kh
на сетку D
ih
. Тогда получим сис-
тему разностных уравнений
L
hi
u
hi
+ u
hi
= c %aju
hj
+
y
hi9
/=1,2,...,/. (8.4.16)
Краевые условия для u
h
запишем в прежнем виде (8.4.11). Для реше-
ний задачи (8.4.16), (8.4.11) также существуют разностные аналоги
пространства Я
0
, а для выражений (8.4.6), (8.4.8), (8.4.9), справед-
ливы теорема 8.4.2 о сходимости и оценки решений в соответствующих
нормах.
Итак, получили две различные системы разностных уравнений,
аппроксимирующих многомерную кинетическую задачу. Систему раз-
ностных уравнений (8.4.10), (8.4.11) можно назвать системой уравне-
ний со сглаживанием, так как решение ее сглаживает возможные
разрывы у точного решения; численно решать ее труднее, чем вто-
рую систему уравнений. Система разностных уравнений (8.4.16),
(8.4.11) имеет очевидное родство с системами разностных уравнений
метода характеристик, в ней прямо указывается вид аппроксимации
интегрального члена кинетического уравнения. Решение второй сис-
темы сохраняет некоторые разрывы точного решения; решать ее лег-
че,
но при численном решении и программировании возникают опре-
деленные трудности с построением / различных сеток
D
iht
i = 1,
2,
...,/, а также с определением при линейной интерполяции соотно-
шений между узлами различных сеток D
kh
и D
ih
при i Ф k.
§ 8.5. О ВЫБОРЕ УГЛОВЫХ НАПРАВЛЕНИЙ
Исследуем задачу о выборе угловых направлений Ы, i = 1, 2, ...
..., /, для Ри-уравнений (8.4.14). Поскольку в выборе разбиения
Bi (<©!, ..., со/) сферы й до сих пор содержался довольно широкий
174
произвол,
то
имеет смысл изучить задачу
о
таком выборе
£/, для ко-
торого Рп-уравнения
в
некотором смысле наилучшим образом аппрок-
симируют уравнение (8.3.1).
В
общем случае
это
сложная задача,
требующая
для
своего решения достаточно подробных сведений
о
свойствах того класса решений уравнений (8.3.1),
для
которого
по-
ставлена задача. Разберем 2яГ-периодическую задачу
при
условии,
что
/ =
const,
с—
const
и что
функция
F
является функцией только
от
х.
Тогда
Su
запишется
в
виде (5.8.9).
Найдем 2я7
,
-периодическое решение системы (8.4.14), которое
представим
в
виде ряда
o>i
=
2i/nexp(ip
n
*),
1
= 1,2,...,/.
(8.5.1)
п
Подставляя выражение (8.5.1)
в
систему уравнений (8.4.14), полу-
чаем
для
определения неизвестных коэффициентов
v
l
n
систему
v
l
n
= (\
+
t
2
(V$
n
Yyi(c
J
ajV
!
n
+
F
n
] .
(8.5.2)
Пусть
©»=МРп|;
Ь={Ь'};
г(/
>
Ь
|
©)=2аД1
+
?(Ь
/
©)
1
)"
1
. (8.5.3)
Для каждого фиксированного
п,
умножая
f-e
уравнение системы
(8.5.2)
на a
t
и
складывая полученные равенства, имеем после неслож-
ных преобразований
2 *t i/„
=
г(Ь„,
Ь,
©
п
) F
n
(1
-с?(Х
п
, Ь,
©О)-
1
. (8.5.4)
/
Подставляя выражение
для 2 а^*. из
(8.5.4)
в
(8.5.2), получаем
^
п
=
(1+К(Ъ^
п
)ГЦ1~с?(К, Ь*. ©ОГ
1
^. (8.5.5)
Из (8.5.5) находим
Sw=-%
a
i
a;
l
=2
r
(
x
n»
b
,
©
n
)(l—
cr{X
n
, b,
©„))-*
x
X F
n
exp (ip
n
*).
(8.5.6)
Пусть величина
/
задана; естественно выбрать
а*
такими,
что
2«i
= 1.
Поскольку функции
г
(*),
г (/, Ь, со)
входят
в
формулы
/=1
(5.8.9),
(8.5.6) одинаковым образом, то поставим задачу о таком выборе
Ы
, i = 1, ..., /, при
котором
у
величины
z
(t,
b,
ш)
= г
(t,
b, (о)
—
—
г
(t)
в
разложении
ее в ряд
Фурье
по
сферическим функциям
Y
2
k, i (©)
*(*,Ь,©)-
fj
2**Л*,Ь)У
1к|
Дш)
176
обращалось бы в нуль возможно большее число первых коэффици-
ентов z
hj
. Пользуясь формулами интегрирования по сфере, легко убе-
диться в том , что всегда z
00
= О, а при k ^ 1
*w = $(r(/, b, ш)-г(О) r
2ftfJ
.(co)dco =
Q
Следовательно, для того чтобы возможно большее число коэффи-
циентов z
k
j обращалось в нуль при заданном /, следует за векторы
Ы, i = 1, 2, ..., /, взять узлы квадратурной формулы на сфере Q наи-
высшей алгебраической степени точности для четных по ft функций.
Пусть эта наивысшая алгебраическая точность равна 2п (/) + 1. Тог-
да в силу ортогональности на Й многочленов
Y
2ktj
(ю)
все z
k
j = 0 при
k = 1,2, ,.., п (/). Взяв в системе (8.4.14) за
Ы
узлы и веса этой квад-
ратурной формулы, можем уже не решать задачу о выборе областей
со*,
i = 1, 2, ..., /, и разбиения £/, а рассматривать функции до*,
i=l,2,...,/,
решения системы (8.4.14) как некоторое приближение
к среднему значению потока нейтронов и (х, Q), летящих по направле-
ниям ±Ь'.
§ 8.6. ПОСТРОЕНИЕ ПРОЕКЦИОННО-СЕТОЧНЫХ СХЕМ
НА ОСНОВЕ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА
Рассмотрим теперь в Ж уравнение переноса в несамосопряженной
форме
/ (x)Q V ф + ф = с
(x)Sg<f
+ F (*, Q), F £ Ж, (8.6.1)
с краевым условием
Ф|г = 0 при (n, ft) < 0, (8.6.2)
где |с| < с
0
< 1, но g (\i
0
) и F (х, ft), вообще говоря, не предпола-
гаются четными относительно угловых переменных. Используя обо-
значения введенных в §5.1 оператора А с областью определения D
0
и S
0
= cSg, задачу (8.6.1), (8.6.2) можно записать в форме
Лф = 5оФ + F. (8.6.3)
Для уравнения (8.6.3) вариационный принцип, рассмотренный
выше, уже несправедлив. Поэтому для построения проекционно-се-
точных схем в данном случае используем другой проекционный ме-
тод.
Остановимся на методе Галер кина и прежде всего сформулируем
обобщенную постановку задачи (8.6.3), к которой будет применяться
указанный метод. При рассмотрении данного вопроса будем следовать
работе
[339];
176
Введем следующие гильбертовы пространства:
H
A
={u:\\u\ft = (tQVu,Q\u) +
(u
9
w)<oo;
(u
t
v)
A
= (lQVu
9
QVv) + (u,v)}\
L
2
(v)={w:||«||Z
2(
v) = Cdrdft|(Qn)|a
2
<oo;
Y===
{Гхй, (n.Q)>0}
v
Отметим, что H
A
вложено в Ж и плотно в нем.
Умножая (8.6.3) на произвольную функцию \|) £ Н
А
и выполняя
интегрирование по частям с учетом граничных условий, получаем
тождество
Л(
Ф
,
10
—-(<р, ШЩ +
(ф,
г|>)
+
(Ф,
Ц)и
(у)
-
(So
Ф,
ф)
=
(Z
7
,
о|>). (8.6.4)
Назовем обобщенным решением задачи (8.6.1), (8.6.2) функцию
Ф £ Ял, удовлетворяющую (8.6.4) при любых г|) £ #л. Очевидно,
что если ф удовлетворяет уравнению (8.6.3), то она является обобщен-
ным решением. Если же существует обобщенное решение ф £ Н
Ау
то
оно почти всюду удовлетворяет уравнениям (8.6.1), (8.6.2). Действи-
тельно, выполняя в (8.6.4) интегрирование по частям и учитывая
произвольность выбора
гр,
получаем, что ф почти всюду удовлетворяет
как уравнению (8.6.1), так и краевому условию (8.6.2). Из сказан-
ного вытекает эквивалентность задач (8.6.3) и (8.6.4). Однако су-
щественным отличием постановки (8.6.4) от (8.6.3) является то, что
здесь не накладывается никаких граничных условий на обобщенное
решение. А это обстоятельство, как известно, весьма важно для по-
строения базисных функций в проекционных методах. Отметим, что
сам факт существования и единственности обобщенного решения
вытекает из однозначной разрешимости уравнения (8.6.3) при любом
F 6 Ж.
Сформулируем теперь алгоритм приближенного решения задачи.
Пусть для определенности по первому из способов, рассмотренному
ранее, построены базисные функции {ф? (*,
Q)}UL
Введем под-
пространство Н
А
cz Н
Ау
состоящее из линейных комбинаций функций
{q>i}u±\.
Приближенное решение ищем в виде
Ф
Л
(*>ЙН2а*Ф?(*, Q), (8.6.5)
(О
где неизвестные постоянные щ определяются из системы линейных
алгебраических уравнений вида
-(Ф
Л
,
ШУФ/
Л
)
+
(Ф
Л
,
Ф?)
+
(Ф
Л
,
9/)
M
v) = (W, Ф/)
+
+ (Л
ФА/=!,...,#!, (8.6.6)
177
или
в матричной форме
где
Ла=Р,
(8.6.7)
а = (аь ..., a
Nl
)\ F = (F
ly
..., F
Nl
); А = {А
и
}^;
А
и
=
-(ф?> «ГОф/
Л
) + (ф|. q>,) + (
Ф
?, Ф?к ст)-(5оФ?, Ф/).
Матрица Л положительно определена. Действительно, при ненулевом
#i
h
векторе a = (ai, ..., a^J и Ф
Л
= 2я*Ф' имеем
/==1
(Ла, а)= -(Ф*,
/ЙУФ»)
+
(Ф
Л
,
Ф
Л
) + (Ф\ Ф% (v)-
-(So Ф
л
, ф")
>
(Ф\
Ф
л
)-(5о
Ф\ Ф
л
)
+
+Y
J
^г^|(ап)|(ф^>(1-со)||ф
л
ц
2
+
ГХЙ
+± Г йгао|(Оп)|(фЛ)»>о.
ГХЙ
Следовательно, система Галеркина (8.6.7) однозначно разрешима и
при этом справедлива априорная оценка
||Ф
Л
||
2
+ Г rfrdQ | Йп| (ф
л
)
2
<
——!!^ЛЗ—_
= C||F||
2
. (8.6.8)
J
mir "
/п 1 л Ч5
Гхй
min(l/2,
1
—с
0
)
2
Сходимость приближенных решений доказать в данном алгоритме
достаточно просто. Действительно, при произвольных постоянных
{c
t
} из уравнений (8.6.4) и (8.6.6) получаем тождество
Л(Ф-Ф
Л
, Ф
—
Ф*)=Л(Ф—Ф\Ф—
2
с
*ч>ч-
*=
1
Поскольку
Л(ф—
Ф\ ф—ф
л
)>гшп( —
(-f
1—с
°)Г
||ф—
^
+ Г drdQ | ф—
Ф
л
|
2
1
Qn
|1;
ГХЯ J
^((Ф-Ф*).Ф-
S ^Ф*)
+
<С[||ф-фЛ||2 +
■|1Ф~ФЧ1£
2
(7)]
1/2
[||Ф-2
*,Ф?
Lll
*=i
+
+
N
t
Ф—
2 *«Ф<
1ш\
l^i (Y)
"11/2
<с
ф-ф"||
2
+
176
+ Г |ф-ф*|».|ОпИГ<*0]
|/2
|||ф- |^?|
ria
J Lll t-i I
+
Ф
/= l |
TO
\L
t
:(v)
1/2
|Ф—фЧ1
2
+ j drdQ|fin||cp—cp"|
2
<Cinf
TXQ i
c
i}
Ф
i= 1
+
Ф
/= 1
L,-(Y)
+
(8.6.9)
Отсюда в силу плотности последовательности НА В Ял следует схо-
димость приближенных решений к точному.
Сделаем следующее замечание, касающееся численной реализации
алгоритма. Схема реализации была бы проще и экономичнее, если бы
интеграл по границе в (8.6.4) и (8.6.6) был опущен. Это можно сделать,
требуя, чтобы v
h
= О на 7- Однако построение пространств таких
пробных функций v
h
было бы затруднительным для криволи-
нейных областей и к тому же усложняется доказательство сходимо-
сти.
Поэтому использование пробных функций, не удовлетворяющих
граничным условиям, представляется более целесообразным как с
вычислительной, так и с теоретической точек зрения в случае доста-
точно сложных областей. Однако, если область, в которой решается
задача, имеет сравнительно простую геометрию (например, плоский
слой, симметричная сфера и т. п.), можно легко построить базисные
функции, удовлетворяющие граничным условиям (8.6.2). В этом слу-
чае для построения приближенного решения вместо (8.6.4) следует
использовать соотношение вида
(/QVq>,
я|))
+
(Ф,
Ф) = (3
0
ф, ф)+(Л ♦), V*€#. (8-6.10)
которому удовлетворяет решение задачи. Система уравнений Галер-
кина тогда имеет вид
(/QVq>\
Ф?)
+
(Ф",
<p?)
= (So<p\
Ф?)
+
(8.6.11)
/ = 1
Разрешимость (8.6.11) и вопросы сходимости исследуются как и ра-
нее.
§ 8.7. ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД БУБНОВА- ГАЛЕРКИНА
СО СПЕЦИАЛЬНЫМ ВЫБОРОМ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ
1.
Общая схема алгоритма
Рассмотрим в пространстве Ж уравнение переноса в несамосопря-
женной форме (8.6.3). Применим для решения его одну из модифика-
ций обобщенного метода Бубнова—Галеркина. Для этого выберем
179