Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов
Подождите немного. Документ загружается.
го алгоритма по С. Л. Соболеву [219]) тех операций, которые произво-
дим в дискретном случае. Поэтому многие вопросы корректности
счета можно исследовать, руководствуясь непрерывной моделью.
§ 7.6. МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫХ
УРАВНЕНИЙ, АППРОКСИМИРУЮЩИХ Р
П
-УРАВНЕНИЯ
ДЛЯ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ
Для одномерных задач были получены системы дифференциальных
уравнений метода сферических гармоник (см. §6.2, 6.3); для этих
уравнений в §7.1—7.3 были построены конечно-разностные уравне-
ния, которые требуется решить одним из методов линейной алгебры.
Запишем эти системы уравнений в матричном виде. Введем следующие
обозначения. На отрезке интегрирования (пусть это будет, например,
отрезок [О, R]) точки r
hl
О
^ r
k
^ R, обозначают точки сетки, k =
= О, 1, ..., п\ 0 = r
0
< r
ft
_i < r
fe
< r
n
= R. Пусть значениям
вектор-функций У, ф в точке г
к
отвечает индекс k. Тогда системы урав-
нений, аппроксимирующие Р
п
-уравнения на отрезке [г
к
_
ъ
r
k
], запи-
шутся в виде
—
ykJk-i +
ChJk
+
Sh<Pk-i
+ d
k
y
k
= F
hy
/е=1,2, ...,/г.
Краевое условие при г = 0 имеет вид
./о + ^оФо = ^о. (7.6.2)
а краевое условие при г = R
On+l
Jn — bn+iVn^tyn+v (7.6.3)
Здесь J
h
, <p
ft
, o|)
fe
, F
k
— векторы, a a
hy
a
hy
b
kj
p
ft
, c
h
, y
k
, 6*, d
k
— мат-
рицы; их порядки определяются Р
п
-приближением. Условимся, что
первые уравнения (7.6.1) аппроксимируют уравнения для нечетных
моментов, а вторые — для четных.
Решение системы уравнений (7.6.1)—(7.6.3) можно получить, ис-
пользуя предварительное преобразование этой системы, состоящее
в исключении из нее неизвестных J
k
(см., например, §7.1). После
исключения получим систему матричных трехточечных уравнений для
вектор-функций q>
ft
типа (7.1.14), которые можно решить методом, опи-
санным в § 7.5. Кроме того, можно получить формулы прогонки не-
посредственно для системы (7.6.1)—(7.6.3), не производя исключения
J
k
. В работе Т. А. Гермогеновой [58] содержится вывод формул про-
гонки такого типа, основанный на принципе инвариантности. Мы по-
лучим формулы прогонки, основанные на приведении системы к тре-
угольной блочно-двухдиагональной матрице и позволяющие в тех
случаях, когда необходимо вычислять лишь вектор ф, экономить па-
мять ЭВМ. Полученные формулы дают возможность исследовать ус-
тойчивость.
Решение задачи (7.6.1)—(7.6.3) будем искать в виде
4>ft
= £*+i<PA+i +
gfc+i;
Jk =
M
k
<p
h
—N
h
,
(7.6.4)
(7.6.1)
150
где £
h+1
, M
k
(k = 0, ..., n) — матрицы, a g
k+lJ
N
h
— векторы, ко-
торые следует определить через Е
к
, g
ky
М
к
-
Ъ
Nh-v Учитывая
уравнение (7.6.2), видим, что
М
0
= -d
0
; Но = Л>. (7.6.5)
Подставляя значения
J
k
_
ly
J
kl
выраженные по формуле (7.6.4), в
уравнение (7.6.1), получаем
{а
к
М
к
.
х
—
6
Л
)ф
Л
-1
+
(а
Л
А1
Л
+ Рл)фл = *л—<*hNh-i—
а
/Л
(— ykM
k
^
1
+8
k
)^
h
^
1
+
(c
k
M
k
+ d
h
)(p
k
= F
k
+ y
k
N
h
.
l
—c
k
N
k
.
А учитывая, что
ф
й
__!
= Е
к
у
к
+
gu>
приходим к двум системам урав-
нений:
{а
к
М
к
.
1
— Ь
к
)Е
к
+
а
к
М
к
^
— ^
к
\ 1 «
6 6)
(-Y*A**-i + e*)JS
fc
+ c
fc
Af
k
= -d
ft
;I
(a
k
M
k
^—b
k
) g
k
+ a
k
N
h
= %—a
k
N
k
^\ \ ^
Q
^
(—Ук
Af
ft
.i +
в
А
)
g
h
+
c
h
N
k
=*F
h
+ y
k
N
h
-!
Умножая слева второе уравнение (7.6.6) на а
к
с
к
г
и вычитая его
из первого, получаем Е
к
:
и
к
=
[Ь
к
-а
к
М
к
.
г
+
а
к
с^(8
к
-vA-i)]"
1
./
Аналогично, умножая слева первое уравнение (7.6.6) на
(—у
к
М
к
+
+ б
Л
)
(а
к
М
к
— Ь
к
)~
г
и вычитая результат из другого, получаем
М
к
^-Т
к
[(8
к
-у
к
М^
1
)(Ь
к
-а
к
М
к
^
1
у
1
^
+ d
h
];\
(? g g)
Решая таким же способом систему (7.6.7), находим
gk
= V
h
[a
h
cl
1
(F
h
+ у
к
Nk
^)-(%-a
k
Л^)]; (7.6.10)
N
k
= Т
к
[(8
к
-у
к
М
к
.
г
)
ф
к
-а
к
М^х)"
1
&
h
-a
h
N
h
.
t
) +
+
(Fk
+
y
h
N
h
^].
(7.6.11)
Формулы (7.6.8)—(7.6.11) позволяют последовательно найти все
Еи>
М
к
, g
ky
Nh при k = 1, ..., п. В частности, при k = п имеем
Jn = М
пФп
+ N
n
. (7.6.12)
Подставляя это равенство в (7.6.3), получаем уравнение для опреде-
ления ф
п
:
Фп
= К+1 М
п
—
Ьп+г)'
1
W>
n+
i—Д
п
+1
N
J- (7.6.13)
Вычислив ф
п
, по формуле (7.6.4) определяем ф&, J
h
при k = п— 1,
л — 2, ..., 0. Задача решена.
Удобством формул (7.6.5), (7.6.8)—(7.6.13) является то, что если
требуется вычислить только функцию ф, то нет необходимости в этом
случае хранить в памяти ЭВМ все пары (М
к
, N
k
) при k = 0, ..., п\
достаточно хранить одновременно лишь одну пару (М &, Nnj, а новую
151
пару
(M
k+ly
N
h+1
) засылать на место старой после вычисления
E
h+ly
M
k+1
. Для этого следует установить следующий порядок
вычисления величин: E
h
, g
k
, N
k
, M
h
.
§ 7.7. УСТОЙЧИВОСТЬ МЕТОДА ФАКТОРИЗАЦИИ
ДЛЯ Pi-ПРИБЛИЖЕНИЯ
Исследуем устойчивость счета по полученным в § 7.6 формулам
Pi-приближения. В этом случае вместо матриц и векторов имеем дело
в формулах (7.6.5), (7.6.8)—(7.6.12) со скалярными величинами. Фор-
мулы перепишем в виде:
E
h
= S
k
($
h
c
k
—a
k
d
h
)\
gk = S
k
(a
k
{F
k
+ y
k
N
k
-
X
) — c
k
(% — a
k
N
k
^));
N
k
= S
k
((b
k
-a
k
М
к
.г) (F
k
+ y
h
N
k
^) +
М
ъ
S
h
(d
h
(b
k
-a
k
M
k
^)+h {b
k
-y
h
М
к
.
г
)\
(7.7.1)
где
S
k
=
(c
h
(b
k
-a
k
M
h
^) + a
h
(8
h
—
y
k
M^)-
1
.
Начнем с установления границ изменения величин Е
к9
M
k
. Для
этого наложим разумные ограничения на коэффициенты a
k
, a
hj
b
k
,
Рл,
c
k
, y
ky
d
h
, 6
fe
. Предположим, что b
k
, p
fe
, c
k
, y
k
> 0, a a
h
, a
fc
, d
h
,
6
k
^ 0. Далее, пусть h = 0 (rr
1
) — средний шаг сетки, а
Tft=l— (
c
k(b
k
—
PA)
+
<M4
+
6*))%;]
^«(МЛ
+ МА)"
1
;
A
h
= (fo 6
ft
+ 6
ft
d,)/(p
ft
Y.
+ a
h
d
h
)-
t
| (7.7.2)
СЛ
= (Р*7Л + МЛ)<°А-
Коэффициенты системы (7.6.1)—(7.6.3) для Р
г
приближения тако-
вы,
что величины a
ft
, a
kj
8
kf
d
k
малы по сравнению с b
k
, p
fe
, y
ky
c
h
в
среднем в О (hr
1
) раз и что, за исключением конечного, не завися-
щего от h числа значений индекса k, величины b
k
— p
ft
, y
k
— c
k
име-
ют порядок О (ft), а aft — a
ft
, 6
ft
— d
k
— порядок О (h
2
). Мы явно не
используем последние замечания о коэффициентах, но они будут по-
лезны для дальнейших уточнений некоторых оценок. Будем обозна-
чать Ct не зависящие от N положительные постоянные. Перепишем в
новых переменных формулы для Ей, M
h
:
где
E
h
= T
h
/(l-B
h
M
h
_&
M
h
^f
h
{M
k
^\
h(M) = Q
k
(M-A
h
)/(l-B
h
M).
(7.7.3)
(7.7.4)
152
Наложим теперь еще одно ограничение на коэффициенты. Потребуем,
чтобы выполнялись неравенства
|т
Л
|<С
ь
й = 0, 1, ..., л, (7.7.5)
и чтобы
|t
ft
|< 1 +С
2
п~
1
(7.7.6)
для всех 0 <! k ^ я, за исключением конечного, не зависящего от я,
числа значений индекса k. Нетрудно убедиться в том, что при огра-
ничениях (7.7.5), (7.7.6) имеет место неравенство
N
max
П Ч
<С
3
. (7.7.7)
Исследования устойчивости факторизации начнем с анализа устой-
чивости обратного хода. Итак, пусть E
k
, M
hy
g
ky
N
k
заданы точно, а
при счете по формулам (7.6.4) допущена в ф
г
ошибка е, при 0 < / <; п.
Тогда при k < i получим вместо ф&, J
h
величины
q>
kiy
J
ki
. Пусть
елг =
<pk
— Ум, Чм = Jk — Т
м
. Легко видеть, что г
ы
=
£
ft+1
...
...E
i+1
&i,
r)
hi
= M
h
&
ki
. Следовательно, чтобы порядок ошибок e
hi
,
y}
hi
был равномерно по п равен порядку ошибки г
и
достаточно потре-
бовать выполнения неравенства
max
<С
4
(7.7.8) П Ej\
и равномерной ограниченности по п
max\M
h
\.
k
Рассмотрим поведение M
k
. Легко видеть, что M
h
^
О
при d
0
^ О,
ибо М
0
= — d
0
< 0, и если M
ft
_i < 0, то из (7.7.4) следует, что
M
k
<C0. Следовательно, | E
k
|< |т
л
|, т. е. при выполнении условий
(7.7.5),
(7.7.6) неравенство (7.7.8) будет справедливо, а значит,
|e*i|
= O(|e«|),0<ft<f. (7.7.9)
Другими словами, обратный ход для вычисления
<p
k
устойчив.
Если требуется вычислить и J
k
по формулам (7.6.4), то следует оце-
нить тах|Л1ь|. Чтобы показать, что эта величина ограничена, на-
k
ложим следующие дополнительные ограничения на коэффициенты
Q
h
, A
k
. Потребуем, чтобы
Qk < Q; Q
k
A
h
< С
6
, * = 0, 1, ..., л, (7.7.10)
и для почти всех 0 ^ k ^ п, за исключением конечного числа значе-
ний k, не зависящего от /г,
Qft^l+Q/r
1
; Q
h
A
k
^C
8
n-\ (7.7.11)
Рассмотрим величины y
ky
определенные следующими рекуррент-
ными соотношениями:
yh = Qk(A
h
+ y
k
-J, А- 1, 2, .... п, y
0
= d
0
. (7.7.12)
Учитывая, что, согласно прежним предположениям, величины Q
ky
A
k
,
B
ky
d
0
таковы, что Q
h
> 0, A
h
> 0, B
k
> 0, d
0
> 0, a M
0
= y
0
и Alft ^ 0, сравнивая затем формулы (7.7.3), (7.7.4) для определения
Ми с соотношениями (7.7.12), определяющими y
hy
видим, что величи-
153
ны y
h
для всех значений k мажорируют величины
—
М
к
, т. е.
0<
—
Мъ^ун,
Значения t/ь, k = 1, 2, ..., п, можно вычислить в явном виде;
y
k
=
Q
h
(A
h
+
y
k
)
=
Q
k
A
k
+
Q
k
Q
h
^
(Аь-!
+
y
k
-
2
)
=
=Q
ft
4 + ^QbiVi+QftQ
ft
-iQ
ft
-
2
4-2+".+
+ Q*Q
fe
-i...Qi4
1
+Q
ft
Q
ft
-
1
...Q
1
d
0
. (7.7.13)
Формула (7.7.13) показывает, что при ограничениях (7.7.10),
(7.7.11) на коэффициенты системы (7.6.1) имеем
0<t/
fe
<C
9
, k= 1, 2,
...,л,
(7.7.14)
т. е. |M
7l
|< С
10
,
&
= 0, 1, ..., п.
Величины £ь, Л^^ оценим в предположении, что для значений
<p
h
,
J
k
можно дать априорную оценку в некоторой норме [||]. Тогда,
пользуясь равенствами (7.6.4) и учитывая ограниченность
|
E
k
|,
|
M
h
|,
видим, что N
k
и g
k
будут тоже ограничены в норме |||. Следователь-
но,
величины
Nb>
gk достаточно хорошо расположены для того, чтобы
вести устойчивый в норме |||| счет.
Легко проверить устойчивость решения методом факторизации
разностных уравнений повышенной точности, полученных в § 7.4.
Разберем для примера плоскую задачу [см. уравнения (7.4.3), (7.4.4)
с краевым условием v
0
=
0].
Для нее коэффициенты уравнений (7.6.1)
имеют вид:
a
k
=
v*h
= 2
x
AA:
fe
/2; b
k
= p
fe
= gp
k
/3; c
k
= y
k
= p
h
\ d
h
= 8
h
=
= 2
0
A*
fe
/2,
где p
k
= 1 +
X
0
2
x
(Ax
ft
)
2
/ (4g), g> 0. Нетрудно проверить, что
n
__ i. л 4gPk^I±x
h R
_ WpkZjAxk
4k ~ > *k -
4gp
2
+ 32o Sl {Axk)
2 >
D
k 4^2
+ 32o 2l {Axk)
2
^ T
fc
-
4gp
2
+ 32o 2l (Axfc)
i ^ ■
Таким образом, ввиду выполнения условий (7.7.6) счет по нахож-
дению фь устойчив, а вследствие выполнения условий (7.7.10) значе-
ния \Mk\ ограничены.
При вычислении интегралов и разностей в правых частях разност-
ных уравнений следует учитывать, что в многогрупповых задачах
функции в правой части Р^-уравнений являются уже кусочно-непре-
рывными с различными пределами справа и слева на границах зон.
Эти функции линейно зависят от непрерывного решения задачи, вы-
числяемого для всех групп на единой сетке.
На этом мы закончим рассмотрение одномерных Р
п
-уравнений.
Вне нашего рассмотрения остались исследования по оценкам погреш-
ности метода сеток. Как было показано в § 7.4, нулевой момент для
Pi-приближения удовлетворяет уравнению диффузионного типа. На
основе некоторого интегрального тождества в работе [161] для диф-
фузионных уравнений был предложен метод получения разностных
(7.7.15)
154
уравнений, отличный от рассмотренного в этой главе. Разностные
схемы, названные схемами сквозного счета, детально исследованы для
уравнений с разрывными коэффициентами в работах А. Н. Тихонова и
А. А. Самарского [226, 227]; в этих работах развиты вопросы кон-
структивного построения схем, обладающих определенным порядком
точности.
Особое значение в теории переноса нейтронов отводится методам
построения разностных уравнений для многомерных диффузионных
уравнений с разрывными коэффициентами и итерационным методам
решения их. Поскольку итерационным методам решения оператор-
ных уравнений (в том числе и диффузионных уравнений) посвящена
гл.
10, а методы построения разностных уравнений освещены в лите-
ратуре с достаточной полнотой (см. например, монографии Г. И. Мар-
чука
[161],
Е. Вакспресса
[342],
В. Вазова и Дж. Форсайта [33],
А. А. Самарского
[206],
Л. К. Шишкова [246, 153] и др.)., то авторы
сочли возможным опустить изложение этого материала, требующего
для полного представления о нем отдельной монографии, и ограничи-
лись обзором лишь тех вопросов, которые были предметом исследо-
вания самих авторов.
Глава
ПРОЕКЦИОННО-СЕТОЧНЫЙ
МЕТОД И /^/-УРАВНЕНИЯ
§ 8.1. ФОРМУЛИРОВКА ПРОЕКЦИОННО-СЕТОЧНОГО АЛГОРИТМА
НА ОСНОВЕ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛА
В последние два десятилетия проекционные методы получили качест-
венно новое развитие, что обусловлено и успехами в теории аппрок-
симации, и имевшейся глубокой теоретической базой данных методов.
Это привело к развитию теории и широкому практическому исполь-
зованию новой формы проекционных методов — проекционно-се-
точных (метод конечных элементов), которые можно рассмотреть как
классические проекционные методы, но использующие базисные функ-
ции с финитными носителями. Проекционно-сеточные методы вобрали
в себя лучшие черты проекционных (слабые требования на гладкость
решения и исходных данных, необходимых для обоснования и иссле-
дования алгоритма , сохранение в приближенной задаче «хороших»
свойств точной задачи — симметричности, положительной определен-
ности аппроксимируемых операторов и т. п., более точное описание
интегральных характеристик решения и др.) и разностных методов
(разреженность матриц, сравнительная простота решения систем ал-
гебраических уравнений). Кроме того, использование локальных ба-
зисных функций позволило в большинстве случаев автоматизировать
155
процесс приближенного решения задачи с помощью современных
ЭВМ.
К настоящему времени имеется весьма обширная научная литера-
тура, посвященная различным вопросам теории и практики проек-
ционно-сеточных методов. Библиографию можно найти в работах
О. Зенкевича
[350],
Г. Стренга, Дж. Фикса
[223],
Л. А. Оганесяна,
В.
Я. Ривкинда, Л. А. Руховца
[192].
Ряд работ по проекционно-се-
точным методам посвящен использованию их для решения задач тео-
рии переноса (С. Юкаи
[339],
В. И. Лебедева
[121],
П. Лесэна, П. Равь-
яра
[300],
М. Борисевича, Р. Станкевича
[261],
Г. И. Марчука,
В.
И. Агошкова [165, 3]), в которых отмечены многие трудности, спе-
цифические для задач теории переноса, обладающих рядом «непри-
ятных» особенностей. Это прежде всего существенная многомерность
таких задач.
Имеются значительные трудности, связанные с вопросами обо-
снования применения проекционно-сеточных методов к решению за-
дач теории переноса и получения количественных оценок скоростей
сходимости. Одной из трудностей следует признать и проблему ап-
проксимации границ и граничных условий. К известной проблеме ап-
проксимации геометрической границы области здесь добавляется за-
дача отыскания и приближения «освещенных» и «теневых» частей гра-
ницы, что вызвано зависимостью граничных условий от угловых пе-
ременных.
Отметим, наконец, что многие задачи теории переноса обладают
кесамосопряженными операторами, при этом часто в них возникает
необходимость одновременного решения как прямой, так и сопряжен-
ной задач. Перечисленные (далеко не все) обстоятельства делают тео-
рию и практическое использование проекционно-сеточных методов
в задаче переноса нейтронов значительно более трудными, с одной сто-
роны, но и привлекательными — с другой.
Рассмотрим гильбертово пространство Ж со скалярным произведе-
нием (5,1.9) и задачу (5.1.23), где S
0
= с (x)S, Sy = J g
(v>o)X
X ф
(Xj
Q')dQ'. Предполагается, что выполнены ограничения
(5.1.24),
в силу чего оператор задачи (5.1.23) будет симметричным и
положительно определенным. Пусть Н
0
— энергетическое простран-
ство,
соответствующее оператору L
0
. Скалярное произведение [и, v]
и норма [и] = [и, uYl
2
определяются согласно (5.1.21), (5.1.22). При
введенных ограничениях для любых и, v £ Н
0
выполнены соотно-
шения (5.1.26) и
\[u,v] — (S
0
u, v)\^d
2
[u][v]. (8.1.1)
Тогда, согласно теоремам функционального анализа, можно гаран-
тировать, что задача о минимизации функционала G (v) (5.1.25) одно-
значно разрешима в Я
0
. Функция и 6 #о> реализующая минимум
(5.1.25),
является решением (вообще говоря, обобщенным) задачи
(5.1.23).
156
Рассмотрим общую схему проекционно-сеточного алгоритма, ос-
нованного на отыскании приближенного минимума функционала
(5.1.25).
Пусть для каждого значения параметра А (далее А обозначен па-
раметр некоторой сетки, введенной в области определения рассмат-
риваемых функций и состоящей из N узлов) в Н
0
задана последова-
тельность элементов {cp/*j£Li, N = N (/г), линейно-независимых при
каждом фиксированном
А.
Обозначим #§ линейную оболочку функций
{<p?}2Li и предположим, что последовательность подпространств
{#оМ, А
х
> А
2
>
А
> ... > h
k
-^0, k -^oo предельно плотна в Н
0
.
Поставим теперь задачу об отыскании минимального значения
G (v) на подпространстве #{;. Функция и
н
= 2 а*Ф*, реализующая
этот минимум G (v) на #J,
G
(u
h
) = inf
G (о
Л
)
= inf
G
(b
v
..., 6N)> t/
1
= 2
6*
<P*
6 # 2>
/= l
i>*e#J (8.1.2)
принимается за приближенное решение исходной задачи (5.1.23). Как
известно, задача (8.1.2) приводит к системе линейных уравнений ви-
да
[и\
Ф?]-(3
0
и\
Ф?)
= (Л Ф?),
*
= 1,.... tf, (8.1.3)
которая в силу (5.1.26) имеет единственное решение. С помощью прос-
тых вычислений и с учетом плотности {#{}} в Н
0
можно показать, что
приближенные решения и
н
, определяемые из (8.1.3), сходятся к точ-
ному решению в пространстве Я
0
. При этом справедлива оценка по-
грешности
[и — u
h
] < Се (и, А) ->0, /i -*0, (8.1.4)
где постоянная С не зависит от
А
и и, а ошибка аппроксимации е (и, А)
определяется как г (и, А) — inf Ы — Л Если конкретизировать
свойства гладкости, выбор базисных функций {ф,}, значение парамет-
ра А, то можно дать оценку для е вида О (A
v
), где у — некоторая по-
ложительная постоянная.
Поскольку условия (5.1.20) являются естественными, то функ-
ции ф? можно выбирать не удовлетворяющими им. Это обстоятельст-
во значительно облегчает выбор и построение базисных функций.
Рассмотрим теперь некоторые способы построения {ф/}. Прежде
всего выделим четыре общих направления, которые в настоящее вре-
мя часто используются на практике. Эти направления определяются
выбором зависимости ср? от переменных (х, й). К первому из них от-
несем случаи, когда все
ср?
зависят от х и Q. Система уравнений (8.1.3)
будет тогда линейной алгебраической системой для отыскания неиз-
вестных постоянных {aJ/Li.
157
Ко второму направлению относятся алгоритмы, в которых базис-
ные функции {ф?} зависят лишь от пространственных переменных
Ф? = Ф? (х). В этом случае метод приближенного решения, рассмот-
ренный выше, будет фактически методом Л. В. Канторовича
[87],
и не-
известные щ будут уже неизвестными функциями от Q. Задача о ми-
нимизации (5.1.25) приводит к решению системы интегральных урав-
нений типа (8.1.3), которую запишем в виде
<и\ф?>1-<3
0
и\ <р?>в=<Лф?>о, *=1, ...,#, (8.1.5)
где
и
н
(*, О) = S
fl
< (
й
)
Ф?
W; <
м
»
у
>о = f
d*'""
1
(*) " (*.
й
)»(*.
й
)> (
8
-* -
6
)
< и,
о>!
= J dr
| (О/г)
| и (*, Q)
у
(*, Q)+</ftVw, ШУ^>
0
+<«,
У>
0
.
(8.1.7)
г
Систему (8.1.5) достаточно просто решить, например, методом квад-
ратур, который изложен во многих монографиях (Л. В. Канторовича,
В.
И. Крылова [89], М. К. Гавурина [52].). При вырожденной инди-
катрисе рассеяния (8.1.5) сводится к решению линейной системы ал-
гебраических уравнений (см. § 6.9) [отметим, что для u
h
из (8.1.5) ос-
тается справедливой оценка (8.1.4)].
В третьем направлении базисные функции зависят только от уг-
ловых переменных. В этом случае задача минимизации сводится к не-
которой краевой задаче в D для систем (эллиптических) дифференци-
альных уравнений в частных производных (Рлг/-уравнений).
В четвертом направлении на основе финитных функций строятся
истокообразные функции, которые затем используются в качестве
базисных (см. §8.7).
Приведем теперь некоторые способы задания функций ф?, которые
выбираются так, чтобы их носитель был финитным и в значительной
степени меньшим по сравнению с размерами области (это является
одной из особенностей проекционно-сеточных методов). Остановимся
h h
на наиболее популярных случаях задания ф/, когда ф* является ку-
сочно-линейными или кусочно-полилинейными функциями своих ар-
гументов.
Рассмотрим сначала одномерный случай. Пусть П = [а,
Ь]
—
замкнутый интервал по некоторой переменной г. Введем на П сетку
а = г
0
< г
х
< ... < r
N
= Ъ\ г.х в а — ft, r
N+
\ = ft -f ft; A* =
=
Ti
— Г|
в1
; ft = [b — a]/N\ c
0
A < ft* < cji\ c
0
, c
x
= const и следую-
щие «функции—домики»:
i=L
,''6('-i,r
J+1
),/=0,...
l
iV; <
8Л
-
8
)
j+i
Ф?('")
Vh
158
Функции ф?(г), I = О, ...,
N>
являются линейно-независимыми, и
линейная их оболочка представляет собой подпространство
W\
eh
(U)cz
с К (II).
Пусть теперь П есть параллелепипед в m-мерном эвклидовом про-
странстве: П = {dj < rj < bj}, г = (г
ъ
..., r
m
). Определим кусоч-
но-полиномиальные базисные функции
ср?
(7). Для этого разобьем
П на подобласти сеткой:
^ =
r
k, i <
r
k,
2
<
• ••
<
r
k, N
k
= b
k
\
h
kii
=
r
kii
— r
ht f
_!;
ft=
1,
..., m,
i
=
l,...,
N
k
,
h
= maxh
k
,
u
c
0
h
< h
kt
i
<
с
г
h
y^» '»
c
o, £i= const.
Каждому узлу сетки
~r
t
= (ri,/
lf
..., r
m
, /J, i = (t
lf
..., *
m
), 0 <
^ tft ^ Л/ft,
&
= 1, ..., m, поставим в соответствие функцию
Ф?(г)= П
ф'^Ы-^^Х
... X
Ф
?
т
(г
т
), • (8.1.9)
& = 1
где
ф^
1
(г
h
) определяется по формуле (8.1.8) при замене г на r
k}
i на
ft
tfc.
Очевидно, что функции (8.1.9) для каждой фиксированной сетки
линейно-независимы
и их
линейные комбинации образуют подпростран-
ство
W\>
h
(П) cz W\ (П).
Рассмотрим кусочно-линейные базисные функции. Ради опреде-
ленности и упрощения изложения остановимся на двумерном случае,
когда г = (х, у), т = 2. Пусть П многоугольная область (рис. 8.1).
Разобьем ее на треугольники {U
t
} таким образом, чтобы: 1) каждая
пара треугольников из разбиения пересекалась лишь в одной общей
вершине или по общей стороне, или вообще не пересекалась: 2) объе-
динение^ давало бы П. Множество вершин (точек разбиения) обо-
значим (г
0
, г
ъ
..., r
N
), где
г%
= (х
и
Уг).
Обозначим h наибольшую из
сторон треугольников и предположим, что h ^
Ск
МИЮ
где
/i
MHH
—
наименьшая из сторон треугольников; С
—
некоторая постоянная,
общая для всех П
ь
а углы всех треугольников ограничены снизу рав-
номерно по N.
Введем базис ср(|, ..., фдг, представляющий собой набор линейно-
независимых кусочно-линейных функций, которые можно найти из
условий ф/ (rj) = 8/у,
0
< t, / < N. Чтобы определить вид
ф? (г)
доста-
точно найти его на одном треугольнике
П^
с вершинами r
u
i
==
О, J, 2.
Для определения ф?
(г)
нужно провести плоскость через г
0
, r
lf
г
2
так, чтобы она проходила в г
0
через 1, а в г
ъ
г
2
через 0. Это уравне-
ние плоскости имеет вид
f (г)
= [1 — (у
0
—
у
2
)/(у
г
—
у
2
) — (х
0
—
х
1
)/(х
2
—
х
г
)]'
г
X
X [1 — (у
—
у
2
)1
(у
г
—
у
2
) —
(х —
х
х
)1
(х
2
—
х
г
)}.
159