Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов

Подождите немного. Документ загружается.

последовательность Ял,

= ft

,..., конечномерных подпространств

с координатными функциями

{Ф?}^,

причем H

czD (А) и

последовательность {ЛЯ

} полна в Я. Строим приближенное решение

"л

в виде и

= ЛщФ?, где неизвестные {а*}Д определяются из сис-

темы линейных уравнений

{Аи\

ЛФ?Ы5

ЛФ?)

+ (Л 4Ф?), '

=■

1. ■•-, ^ (8.7.1)

Одним из основных вопросов в рассматриваемом методе является

выбор координатных функций. Если априори задаются функции

{Ф?}£2а с известными аппроксимирующими свойствами (ортонорми-

рованные полиномы, сплайновые базисы и т. п.), то в этом случае час-

то трудно исследовать свойства системы {ЛФ?}^

что усложняет

изучение таких вопросов, как получение оценок скорости сходимо-

сти,

учет особенностей решения, специфики задачи и др.

Пусть область значений оператора S

и функций F принадлежит

некоторому подпространству Hs,f cz Я. Зададим в Hs,f исходную

систему базисных функций

{Ф^}^

с финитными носителями порядка

ft, относительно которой предполагается выполнение двух свойств:

для любого М

-мерного вектора b = (b

...,

Nfl

)

справедливо соот-

ношение с

|| Ь||

< 2

&*Ф?1|

с*\\Щ*

где постоянные c

> О

\1/2

не зависят от b и ft, а

||Ь||

= 12V/ ; Для любой v £ Hs,f суще-

"h _

ствует такая линейная комбинация ^ = S *w\ что [ISo^

-1

V —

— ♦*!!< в

(

\\>

где е (ft) -*0 при ft ->0. ~~

Построим функции {Ф{* = i4"4p^)2S

которые линейно-незави-

симы при каждом ft и принимаются в качестве координатных при

решении (8.6.3) с помощью указанного метода. Отметим некоторые ха-

рактерные черты рассмотренного выше алгоритма построения коорди-

натных функций.

По построению {Ф?}^ обладают особенностями решения и, обус-

ловленными их зависимостью от оператора Л, а за счет специального

выбора системы

{Ф?}^

можно учитывать те или иные особенности

правой части уравнения (8.6.3), которые часто априори известны.

В некоторых случаях может оказаться так, что В (и,

м S

w +

+ F обладает лучшими дифференциальными свойствами по сравне-

нию с самим решением уравнения. Тогда можно с помощью

малого числа исходных координатных функций добиться эффективной

аппроксимации В (w, F) и надеяться на достаточно быструю сходи-

мость и

к и.

180

Если решение уравнения (8.6.3) зависит от переменных x

...

..., л, a Hs,f состоит из функций, зависящих лишь от x

i = 1, ...

...,

< п, то очевидно, что в данном случае достаточно ввести коор-

динатные функции

{ф?},

зависящие

лишь от

..., х

с их помощью

аппроксимировать В (и,

Hs,f-

Решение же и будет приближать-

ся через и

по всем переменным. Это обстоятельство на практике при-

водит к значительному уменьшению количества координатных функ-

ций и, следовательно, порядка решаемой

системы

(8.7.1).

силу фи-

нитности ф?, 1=1, ...,

Nh,

левой части (8.7.1) возникает разрежен-

ная матрица, что облегчает решение системы с помощью итерацион-

ных методов; упрощается также вычисление {Ф?}, элементов матриц

и значений

(F,

ф?).

В силу сказанного выше можно предположить, что обобщенный

метод Бубнова—Га л ер кина при использовании специальных коорди-

натных функций {Ф^} может оказаться достаточно эффективным при

решении краевых задач, в которых можно достаточно просто строить

А"

(например, в сферически-симметричной области, в плоскопа-

раллельной геометрии и т. п.). В работе [41] доказано, что при сде-

ланных выше ограничениях система (8.7.1) имеет единственное реше-

ние при достаточно малых h и u

->и, Au

-+Аи при h ->0.

Решение уравнения переноса в плоско-параллельной

геометрии

Проиллюстрируем применение изложенного выше обобщенного

метода Бубнова—Галер кина к решению некоторых частных задач для

уравнения переноса. Сначала рассмотрим уравнение переноса в плос-

копараллельной геометрии

^|L +

w==

£|L j

o(fl

ц'

)(

ф, ^dp' + Fiz,

Ц)

(8.7.2)

с граничным условием

и (Я,

|А)

= 0 при —1 < |i < 0; а (0, |*) = 0 при 0 < (i < 1. (8.7.3)

Предполагается, что F (z, \i) С Loo ([0, Н] X ([—1, 1]), а коэффи-

циенты 2 (z), 2

(z) = с (г) 2 (г) — кусочно-непрерывны с возможны-

ми разрывами первого рода в точках z

i = 1, ..., /< °°. В операт

торной форме задачу (8.7.2), (8.7.3) будем записывать в виде уравне-

ния (8.6.3).

Введем на [0, Я] сетку с узлами 0 = z

< г

< ... <

= Н та-

ким образом, чтобы для hj =

Zj —

и h = H/N имело место со-

отношение 0 <

< hj <

j = 1, ..., N, где c

, c

= const. Пред-

полагаем,

что часть

узлов совпадает

с точками

i =

,...,/,(/< N).

Пусть

ф^ф^-М

при *

<z<z,,/«l. ••-.*;

8в74)

Vh 10 г$\г^

г,\.

181

Построим функции {Ф,/(2,

|х)}^

где Фу (z,

\х)

суть решения задачи

,4ф^

= фЛ (

), которые определяются формулой

ФД*.

И)= {

(ж) Ф

- (Л;)

ехр | -

1^1-

Же'

\ X

— при |1>0;

р(*)

,(*)ехр

(

*^'

)-q:

, 0 \ z /

(8.7.5)

Очевидно, что Фу — линейно-независимы.

Замечание. Для практически важного случая кусочно-по-

стоянных коэффициентов Фу могут быть выписаны в явном виде (см.

ниже),

если же 2 (г) — кусочно-гладкая функция, то Фу могут быть

вычислены с помощью простейших квадратурных формул.

Функции

{Фу}^!

удовлетворяют граничным условиям (8.7.3) и

обладают особенностями решения задачи (8.6.3), обусловленными

«присутствием» оператора А, В силу этого использование их в каче-

стве базисных функций устранит ряд трудностей при решении задачи.

Однако

{Ф;}^!

полностью не описывают поведение решения в за-

висимости от |я. Поэтому при решении анизотропных задач необхо-

димо вводить дополнительные базисные функции, зависящие от угло-

вой переменной \л.

Пусть на [—1, 1] определена система линейно-независимых фи-

нитных функций

"фу

(ц), / = 1, ..., М, с носителем порядка ~Ajx =

= 2Ш, обладающих следующим свойством аппроксимации: для лю-

бой ф (|Ll) £ С

) [—1, 1] МОЖНО ПОСТРОИТЬ фуНКЦИЮ ВИДа фдц (\i) =

= 2MV ([*)>

const, такую, что

||ф-Ф^||с[-1.1]<0[(А|1у]||ф||

с(|)[в1§1]

. (8.7.6)

Будем искать приближенное решение (8.6.3) в виде

N М

и*« 2 2 а|уФ|(г,|*)М1*). (8.7.7)

где неизвестные постоянные atj определим из системы линейных ал-

гебраических уравнений

(8.7.8)

которая однозначно разрешима. Так как ЛФ^у = ф^ (z)% (|i), то

(8.7.8) можно записать в виде

2flfc,i(ф* %

Ф«

Ь)

k,i(So

Л'

% ф,

'фу)

Л»/

к»

+ (Л

Ф1

Ъ), i=h ».. N, /= 1,.... М. (8.7.9)

182

Из (8.7.9) видно, что в силу финитности {cpj,

{ф

;

}

в левой части (8.7.8)

возникает ленточная матрица. Отметим также, что матрица системы

(8.7.8) положительно определена. Справедлива

Теорема 8.7.1 [8].

Пусть:

1) 2 (г), 2

(г)

— кусочно-гладкие класса

С<

>; 2) g

(,х, jx') б С«> ( [-1, 1] X [-1, 1]), I > 0; 3) F (г, |i) 6

б С

(

([—1,

1]) при

каждом фиксированном

z £ (г/_ь z<) w при

кдоюЗсш jx 6 [—1» П ^ (г, ц) б С^) ( GL

£]), i = /, ..., /. Тогда

приближенные решения

сходятся

при

А,

Л|х ->0 к и (z, fx) и

имеет

место оценка

\\А(и — u

) || < 0 {/i +

(Ajx)'}.

(8.7.10)

Рассмотрим случай, когда g

(fx, |х') и F (г, fx) имеют вид

go(P,W)=

go,sP,{v)P№)i

^(*.rt=2^H*)^(rt. (8-7.ii)

где Р

- (jx)

—

ортонормированные полиномы Лежандра; go,/ — по-

стоянные; / — конечно, а относительно функций Fj

(z)

предполага-

ем,

что они кусочно-гладкие класса С

> с возможными разрывами пер-

вого рода в точках z

i = 1, ..., /.

В случае когда / невелико, приближенное решение u

(z, \i) удоб-

но искать в виде

и*

(z,

\i)

= 2 2 а

Ф,

(г, |i) Р,

([х),

(8.7.12)

где atj определяются из системы уравнений

{Аи\ AOiP^iSoti», ЛФ,/>,) + (Л ЛФ,РД (8.7.13)

*=1,

...,#,

/=1,...,

Отметим, что при таком выборе базисных функций в левой части

(8.7.13) имеем диагональную матрицу. Приближенные решения здесь

сходятся к точному при h ->0, причем

A (u-u

) ||<

(ft). (8.7.14)

Пусть теперь в (8.7.2), (8.7.3) индикатриса и источник изотропны,

т. е. go

1 и F = F

(z).

При рассмотрении данной задачи функции

Ф.;

(

и) У

же

описывают зависимость решения от fx. Поэтому нет не-

обходимости вводить дополнительные базисные функции

г|з

(|х), что

приводит к значительному сокращению числа базисных функций, а

следовательно, и порядка решаемой системы линейных алгебраичес-

ких уравнений. Ищем приближенное решение в виде

и*(«.!*)= 2 aj®j(z>v)

(8.7.15)

/-1

где постоянные а/ определим из системы уравнений

(Аи\ ЛФ,) -(5

и\

AOj)

(F,

ЛФД /- 1, ..., N, (8.7.16)

183

которая однозначно разрешима

[в

левой части (8.7.16) возникает

диагональная матрица].

Теорема

8.7.2 [8].

Если

(2),

(z), F

(г)

€

С<*> ([z,_

zj),

1, то приближенное решение

гг

сходится при h

->•

к точному решению задачи

имеют место оценки

||Л(и-и

)||<0(Л); ||«

-^1к(о.я)<0(/1

|1пЛ|), (8.7.17)

где

Отметим, что в работе [165] приведены более точные оценки по

сравнению с (8.7.17), которые были получены на основе более деталь-

ного анализа дифференциальных свойств решения рассматриваемой

задачи.

Замечание. Можно показать [8], что в данном методе даже

при предположении 2 (г), 2,

(г)

£ 1» (О, Я), F

(г)

£ L

(О,

Я),

^ р ^

°°» имеет место сходимость

«J

при

-*-0

к и

, при

этом

II «о

- <

(о. н)

О (h

h |).

Приведем теперь вид базисных функций <D/

(z, ц)

для случая

ку-

сочно-постоянных коэффициентов

(г),

(z). Пусть 2 (г) =

= {2

= const при z £, (z/-i, z,), t = 1, ..., N}. Тогда Ф

(z, ц)

имеет вид

ц>0:

0, если z^.Zi_i,

—

ехр(—2

(z —Zj.O/j*)]» если г^1<г<,гг,

ехр

(—2j

(z—z

)/n) х

Х[1—ехр(—2

/ц)],

если Zj<z<z

i+1

;

[Л(г, f*)X[l— ехр(—2j

/ц,)],

если z>z

J+1

где I

(z,

JA)

= ехр

(

— 2

(z —Zj.J/p— 2

*М)»

если z

/-i<

\ <=<+i /

^.Z^Zj, /taj + 2, .... #.

H<0:

О,

если z>z

;

[1—

ехр(2^—2)/|i)],

если г

_!<г<г

{

;

exp^.^z»-!—z)/n)x

X[l—ехр(2,Л,/ц)],

если 2

<г<2,_!;

(z, n)

—

exp

(2,

A</|i)l.

если

<Zi_

где /, (z, ц)=ехр

2Дг,—г)/ц)+

Ф«

(z,

I*)

= —

184

+ 2

zVl*b

если

*y-i<*<** / =

—

..., 1.

В работах Г. И. Марчука и В. И. Агошкова [3, 165] обосновано

применение обобщенного метода Бубнова—Галеркина со специаль-

ными базисными функциями к решению уравнения переноса в сфе-

рически-симметричной и трехмерной геометриях. Там же изучена ус-

тойчивость алгоритма, а также рассмотрены некоторые задачи с дель-

та-источниками.

Глава У

РАЗНОСТНЫЕ АНАЛОГИ

КИНЕТИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ*

§ 9.1. МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОРДИНАТ

Изложим метод дискретных ординат, разработанный Г. Виком [344]

и С Чандрасекаром

[238].

Это один из первых методов приближенно-

го решения кинетического уравнения; он был развит для плоской гео-

метрии. В методе ординат в уравнении

/fA

+q)==

T Jv(*'l*W+/(*•!*> (9.1.1)

интеграл по ц/ заменяется по квадратурной формуле

1 п

i- f /ООФ'-У^/О*/). (9.1.2)

где N — некоторое целое число; Л у, \ij (/ = 1, ..., N)

—

соответствен-

но веса и узлы квадратурной формулы (9.1.2). Предположим, что

2 А,~ 1, -1 <|ii< 1, /=

1,2,...,

N. (9.1.3)

Тогда уравнение (9.1.1) заменится системой линейных дифференци-

альных уравнений

1Ъ^+Ъ = с2А,ъИ*,(=12,...,Ы

(9.1.4)

/-1

где ft = / (х, \it);

q>i

—

приближенные значения

<р (лс,

* Для нахождения приближенных решений кинетических уравнений полу-

чил широкое распространение метод конечно-разностной аппроксимации задач

теории переноса системами сеточных уравнений. Одними из первых в этом на-

правлении являются работы Г. Вика [344] и С. Чандрасекара

[238],

предложив-

ших метод дискретных ординат, Б. Карлсона [94, 95J, предложившего Бд-метод,

В*

С. Владимирова [40] и С. Неймана

[198],

предложивших метод характеристик.

185

Исследуем некоторые свойства решений системы (9.1.4). Для это-

го найдем общее решение однородной системы; будем его искать в ви-

де

Ф|

(*)=

5в

ехр

(^)-

(9Л

Подставив s-й член суммы (9.1.5) в однородное уравнение, соответ-

ствующее (9.1.4), получим

=--

- y^B

,/=l,2 JV. (9.1.6)

(l +

WYe)

3 J K

Умножая (9.1.6) на Лг и суммируя затем результат по всем i, на-

ходим

\ = с 2 А,{\ + ъ

)~\

s=l,2,...,N.

(9.1.7)

Это уравнение определяет допустимые значения у

8У

s = 1, 2, ..., N.

Решение однородной системы (9.1.4) можно теперь записать в виде

Ъ(х) =

2 B

(l + ^

)-iexpp^-), (9.1.8)

где В

= 2 AjB

Исследуем корни характеристического уравнения (9.1.7). При

N -*оо (9.1.7) переходит в уравнение

Л. \ Ф

Ув

VVs

2YS

—Vs

■и

исследованное в гл. 5 [см. (5.5.7)]. Следовательно, можно надеяться,

что при удачном выборе квадратуры (9.1.2) имеются два решения

(9.1.7) (обозначим их у

Y-i)> которые стремятся к iv"

при

Л'

-►оо. Сделаем дополнительные предположения относительно квад-

ратуры (9.1.2). Пусть она:

1) симметрична относительно \i = 0, т. е.

\xj

= —(ядг-j-i-/, Aj =

= Ллг+i-/;

2) точна для многочленов степени z (N) [например, z (N) = 2N

—

"~~~

J »

> 0, \ij ф lit при %ф\ и ц, #0, / = 1, 2, ..., ЛЛ

Тогда легко видеть, что N четно, а корни (9.1.7) расположены па-

рами ±у

. Полагая у_

= —у

и объединяя члены при / и N +

1 —

в уравнении (9.1.7), получаем

1=с2 ^O-^/Ys

, 5=1,2, *. (9.1.9)

186

Поскольку A j

между двумя любыми последовательными

значениями

fx/

лежит один корень уравнения

N/2

1-е ^ Aj(l-iift)-K

(9.1.10)

Это значит,

что

существует

N12

корня уравнения (9.1.10)

модулем,

большим единицы:

±s

, s =

2, 3, ..., N/2. При 0

1 правая

часть (9.1.10) меньше единицы

при

= 0 и

стремится

+оо при

t ->|лГ

—

0, где

\х

max jx/.

Следовательно, между

и"^""

су-

ществует корень ^уравнения (9.1.10)

и ему

соответствуют

два

зна-

чения

7±i

l/"/i.

При с

при с

корни

YI,

Y-I

становятся чисто мнимыми. Общее решение неоднородной системы

(9.1.4) находится известными приемами. Постоянные

определяют-

ся

из

краевых условий.

Рассмотрим теперь квадратуру (9.1.2),

которой

(?i-i щ)»

где

—1

(я

...

цдг-i

\*>N

—

некоторое разбиение

отрезка [—1,1]. Пусть А(Х|

|Г

—j^i-i; i4j

A{ij/2; A[i

max A[jij

и одна

из

точек

|х

совпадает

со

значением

Предположим так-

же,

что

(х, [х)

является кусочно-гладкой

по

\х

возможными разры-

вами первого рода

некоторых

из

точек сетки, причем при

|i,

ц/ £

supvrai|/(x,

v) — f(x, р') |< 0 (| |i

— jx'

|Э),

0< р

Для этого случая

В. И.

Агошковым

[6]

доказано,

что

система диффе-

ренциальных уравнений (9.1.4) однозначно разрешима, приближен-

ные решения задачи {q^ (*)}2Li сходятся

значениям {ф

(х,

\it)}iLi

и справедливы оценки погрешности

при Apt ->0:

2 Л

{||1

||ф

(Я)-ф(Я

|Ф|(0)-ф(0,|г

"11/2

+ §dxl(x)\<p

(x)-<p(x,\i

)\*\\ <0[А^1/2

А^];

2^l|9fW-T(^^)|k(o,H)<0[A^(l+|lnA

i|) +

[

iP].

/=i

§ 9.2. 5

-МЕТОД

Б.

Карлсоном

[94, 95] был

предложен численный метод решения

задач

со

сферической

цилиндрической симметрией, основанный

на

замене производных разностными отношениями

кинетическом урав-

нении, записанном в сферической или цилиндрической системе коорди-

нат. Разностные схемы &

метода содержатся также

работах

[162,

186];

работе [229] уравнения Sn-метода получены

для

кинетических

уравнений

дивергентной форме

для

сферически-симметричных

за-

дач.

187

Сферически-симметричный случай

Рассмотрим область 0 < г < R, в которой задан изотропный ис-

точник нейтронов / (г). Тогда функция

<р

(г, [г) определяется уравне-

нием

^(г

М + ^(-

1=::

^ф)+2ф==2

Ч-/(г), (9.2.1)

d\i \ г )

где

Фо(г)

= у j 9(r,|i')d|i'. (9.2.2)

Для изучения метода важно знать уравнение для тока нейтронов:

<PI(') = Y j W(M*)4*. (9.2.3)

Оно получается интегрированием по |i от \i = —1 до \i = 1 обеих

частей уравнения (9.2Л) и имеет вид

•^■~

оФо

= /(г), (9.2.4)

где 2

= 2 — 2

. Уравнение (9.2.4) выражает баланс нейтронов. В

самом деле, умножая (9.2.4) на г

и интегрируя по г от а до ft,

^ а ^

^ R, имеем

Фх (Ь)

-а

ф1

(а)

- j (/

(г)

Фо)

dr,

(9.2.5)

т. е. результирующие токи нейтронов через поверхности г = &, г = а

отличаются общим числом нейтронов, родившихся в сферическом

слое

а^.г^.Ь.

Разобьем область изменения переменных г

\i { (г, [г) : 0 ^ г ^R,

—1 <

^ 1} на ряд ячеек, ограниченных координатными линиями

г = r

, \i = \ii, k = 0, 1, ..., N, i = 0, 1, ..., п. Предположим, что

= 0, r

= Я, г

.х < r

, £ = 1, 2, ..., tf, ц

= 1, [i

= —1,

H'i-i<H'b * = 1, 2, ..., я. Обозначим D

ячейку, ограниченную

линиями г =

_!,

г = r

, \i = \it_x, [x = \1

(

. Умножим уравнение

(9.2.1) на r

drd\i и проинтегрируем результат по ячейке D

. Считая

коэффициенты 2, 2

постоянными в D

получаем

и*

J М>(/Ъ,|*)ф—ri-i J

^Ф(ГЛ-Ь|А)^

(1—P^?)

j <V(r>V>i)rdr—(1— ^f_i) j Ф(г,[г,-.

)гЖ' +

/i-l

fc-i

188

+ 2 j «prMrdiA-S.Ai, j фогЧг+Дщ j /(r)r

dr, (9.2.6)

где A|^ = \ii — \ii_

Интегральное равенство (9.2.6) послужит нам основой для полу-

чения уравнений Sn-метода; оно выражает баланс нейтронов в ячей-

ке D

. В работах, посвященных Sn-методу, предполагается, что функ-

ция ф (г, \i) полилинейна в D

по переменным г, fi и принимает зна-

чения (f

= ф (r

[it) в точках (r

). Тогда в D

(г, fi) = [ <|*« - i*)F

.i (г) + (|i - |i

fel

) F, (г)] (Ay,)-!, (9.2.7)

где

^ = [(^—^-Оф^^Ж'* —r)<p(r

pj)](kr

= i,i—U Аг

==г

—a_i.

Подставив выражение (9.2.7) в уравнение (9.2.6), получим четы-

рехточечное разностное уравнение 5

-метода. После вычисления

интегралов в (9.2.6) при предположении (9.2.7) будем иметь

dhi

Ум + b

i Щ-и +c

<р«_!

ф*_1 /_i =

Д|х^

Qk-i/2, (9.2.8)

где [186]

Q,_

1/2

= S

[(2r|+(r

+/'^i)

)9o(r

)+(2r|_

+(r

+r*_i)

) X

Хфо(г*-1)]/12 + 7*__

1/2

; (9.2.9)

/4-1/2 = J fr

dr, (9.2.10)

flw =

r«

A|i|(2|i| +|i/-i)/6 + (l-|i/) Ar

(2r

+ r*_.

)/6+ )

+ SA^Ar

(2r| +

+ r^i)

)/24;

6м = —r|-i A

[

(2|i

[

)/6 + (l-

) Ar

(2r^i +

+ г,)/6 + ЕА

(

г,Аг

(2г|^

+ (г, + г^

)

)/24;

=r|A|i,(2|ii-i+|i

)/6Hl-^-i)Arfc(2r* + r*-i)/6+ I

+ 2A|i, Ar

(2r|

(r*

+ r*_1)

)/24;

fcl

= —r|-iA|i,(2|i/-i + |i,)/6—(1—|if-i)Ar

(2rA-i +

)/6

+ SA^Ar

(2rl-i+(r

+ r^i)

)/24. ' J

Поскольку коэффициенты уравнения (9.2.1) зависят только от г,

целесообразно разбиение по \i выбрать наиболее простым способом,

гарантирующим достаточно хорошую аппроксимацию по угловой

переменной. Исходя из этого, разобьем интервал изменения fi [—1, 1]

на п равных частей (п — четное число) длиной 2/л.

Тогда |х

= —1, |x

= —1 + 2i/n, \л

= 1, Дц* = 2/л, fx

n/2

= 0. С

учетом предположений (9.2.7) о функции ф (г, fx) имеем

ФоЫ=2

(

2Л2

189