Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов
Подождите немного. Документ загружается.
аД {rJ)
k
+ (A-a)
Ar
h
(J
h
+
/
ft
_i)/2
+
+ aAr
h
(г
л
Ф
й
+
r
ft
_i Ф
Л
-1)/2
+
+
(Ar
h
)
2
[(Л а-
1
а
-
а
+
ap-i 5)
Д
Ф/1
+
+ (Лег
1
-/) ЛД (J/r)
fc
+
ар"
1
ЬА
(rJ)
h
]l\2
=
= r+(^r
k
)
2
[a^
A (rF)
k
+ (Aa^-I)Af
k
]/12; |
(7.3.4)
рД (гф)
л
+
(В-Р) А/*
(
Фл
+
фй.0/2
+
+ 6Аг
л
(г
л
/
л
+г
л
.
1
/
л
_
1
)/2
+
+ (Дг
А
)
2
[(Вр-
1
6-6
+
6сс-М)ДД
+
+ (Вр-
1
—/) В А (ф/г)
л
+ for
1
аД (гф)
к
]/12
=
=
?+
(Дг
А
)
2
[6а-
1
Д
(г/),
+
(ЯР"
1
-/) AF
k
)/\2.
Система (7.3.4) аппроксимирует дифференциальные уравнения
(6.3.10), (6.3.11)
с
точностью 0((Дг*)
4
), если
ф, J £ С
5
[r
ft
_x,
r
ft
].
Систему (7.3.2)
или
(7.3.4) необходимо дополнить уравнениями
краевых условий (7.1.6).
Из
систем (7.3.2), (7.3.4) можно
так же, как
это делалось
для
плоской геометрии, исключить неизвестные
J
h
и
получить системы уравнений типа (7.1.13) только
для
вектор-функ-
ции
фй, k -~ 0, 1, ..., N.
§ 7.4. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЫШЕННОЙ ТОЧНОСТИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТИПА Pt-ПРИБЛИЖЕНИЯ И ДИФФУЗИИ
ДЛЯ ПЛОСКОЙ, СФЕРИЧЕСКОЙ И ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИЙ
В этом параграфе
мы
получим разностные уравнения повышенной
точности, аппроксимирующие дифференциальные уравнения типа
Р
г
приближения метода сферических гармоник. Дифференциальные
уравнения, подлежащие аппроксимации, совпадают
с
Pi-уравнения-
ми, если положить входящий
в них
параметр
g
равным
1.
Параметром
g
мы
будем впоследствии распоряжаться
в
операции
Р
/СР-метода.
Коэффициенты уравнений считаем кусочно-постоянными,
а
сетку стро-
им
так,
чтобы
она
включала
все
точки разрыва коэффициентов. Раз-
ностные уравнения,
в
которых функции
w, v
аппроксимируют соот-
ветственно нулевой
и
первый моменты от решения кинетического урав-
нения, получим лишь
для
двух соседних сеточных точек,
не
огова-
ривая
это
каждый
раз
особо.
В
них
/
0
, f
x
— нулевой
и
первый момен-
ты
от
источника,
а Ах
к
или Ar
k
—
шаг
сетки.
1.
Плоская геометрия
Уравнения
ах
■и,
^-Ь2
1У
=/
Х
(7.4.1)
dw
3 dx
проинтегрируем
по
отрезку
[х
к
_
ъ
x
h
]y
а
квадратурой (7.1.4). Тогда
с
точностью О
(
(Ах
к
)
ъ
)
для
достаточно
гладких функций
w, v [см.
(7.1.4)] получим
затем интегралы заменим
140
g (w
h
— w
h
_
t
)/3 + S
x
Гд*
л
(Oft +
o
ft
_!)/2
+
+
<M(£L,-(£M/
M
H
(7.4.2)
где ft = J /fdAT, i = 0, 1.
Если значения производных в (7.4.2) выразить из уравнений (7.4.1),
получим следующую систему двухточечных уравнений повышенной
точности:
PAv
k
+ S
0
Ax
k
(w
k
+
a;
A
-!)/2
= /V,
gPA^/З + Е
х
A*
A
(v
k
+ v
k
_
t
)/2 = F
lf
(7.4.3)
где
Fo
= /o+S
0
(Ax
A
)
1
A/
lfc
/4
a
r;
^i = /i + S
x
(Ax,)
2
A/o,/12; P =
1
+ S
0
S
x
(Ax
fe
)V4g.
К системе уравнений (7.4.3) добавим два уравнения краевых условий
с' v
0
+ й' w
0
= ф'; с" iw + d"
«;N
= V* (7.4.4)
Иногда бывает полезно исключить из системы уравнений (7.4.3),
(7.4.4) функцию v и получить трехточечное разностное уравнение
диффузионного типа только для функции w. Найдем вид этого урав-
нения. Выразим v
ky
v
h
-i через w
k
, w
k
_
x
:
v
h
= Pk±\/2(F
0ih
_
1/2
—Zo
f
k-i/2bx
h
(w
h
+ w
k
_
1
)/2)/2 +
+
(l/2i,
w/1
A^)(^, ь-ut-gPb-ut
Аш,/3);
(7.4.5)
v
k
-i
=—Pk±\/2
{F
0)
fe
>i/2
—
S
0f
^
1/2
Ax
k
(w
k
+ w
h
^)/2)/2 +
+ (l/S
1>ft
.
1/2
A^)(F
1
,
ft
.
1/2
-gP
ft
_
1/2
A^,/3). (7.4.6)
Пусть 0 < k < N. Тогда, заменяя в (7.4.6) k —
1
на &, получаем
выражение для v
k
через величины, определенные на отрезке lx
ky
x
k+1
]\
приравнивая его правой части равенства (7.4.5), получаем уравнение
для w:
— gPk + l/2&W
k
+l , gP
k
-l/2&Wk , 2
0
, ft + i/2 A*fe + 1
3S
lf
ft-i^Axft
2P
fe+1
/
2
^1,
ft-l/2
(ш
А+1
+ ^) +
(^A + ^-l)
:
^1 fe + l/2
• +
2P/i-i/2 " " ' "" *' 2i,fe-i/2A*ft S
lf
fe+i/
a
Ajfft+i
+ (P/Tii/2Fo
t
/,-i/2+ Mi/2 /4
fc+1
/i)/2.
(7.4.7)
141
Учитывая второе уравнение (7.4.4)
и
уравнение (7.4.5),
при
k
= N
имеем
d
-
WN
S
I
Ч
*-«/.** (ш„+ш„_.,) +
^-'/'
А»„)
-
\
4
*7/-l/2
62d
l
t
N—\/2*
X
N
I
-*"-«'
(^^+ /
1
'
W
-
1
1
)
•
(7-4.8)
а учитывая первое уравнение
(7.4.4)
и
уравнение
(7.4.6),
при
& =
1
получаем
d'
и*,
+
с'
(
*'
f
**
{wo
+
wj-
qy
gPl/
*
A^U
= ф'
+
c'
(
F
°*
1/2
—
Fbl/a
) .
(7.4.9)
Y
^
U^i/2
2
1>1/2
A^/
Таким образом, получили трехточечную систему уравнений
(7.4.7)—(7.4.9),
в
которой краевые условия (7.4.4) учтены точно;
ее
можно решать методом факторизации.
Система (7.4.7)—(7.4.9) обладает одним неприятным свойством:
ее
нельзя непосредственно использовать, когда
S
5
равняется нулю
на
некоторых отрезках. Чтобы избежать этого неудобства, следует каж-
дое уравнение (7.4.7) умножить
на
Si,£_i/
2
Si,*+i/2, уравнение
(7.4.8) — на
Si,
jv-i/2.
а
(7.4.9)—на
Si,
1/2.
Исходная система уравне-
ний (7.4.3), (7.4.4) избавлена
от
этого недостатка.
Систему дифференциальных уравнений (7.4.1) можно исполь-
зовать
для
решения уравнений второго порядка
с
разрывными коэф-
фициентами, имеющих
вид
-f7-
D
f+
S
»Hi-T*
(7
'
4Л0)
3
ах ах ах
если
в
уравнениях (7.4.1) положить
S
x
=
D"
1
,
a
f
x
=
S^l).
Тогда
системы (7.4.3), (7.4.7) будут системами разностных уравнений повы-
шенного порядка точности
для
решения (7.4.10).
2.
Сферическая геометрия
Получим разностные уравнения, аппроксимирующие
на
отрезке
[О,
R]
систему дифференциальных уравнений
±.jL
r
*
v
+
z
oW
=
fo]
JL.jL
w
+
<2
l0
= f
u
(7.4.11)
г
3
dr 3 dr
в которой
v
(0)
= 0 и
со
(R)
+
dw (R)
=
гр. Умножим первое урав-
нение (7.4.11)
на г
2
,
второе
на
1
и
проинтегрируем
по
отрезку
[г
к
_
ъ
r
h
]. Пользуясь формулой интегрирования
по
частям, получим
r
h
r
k
A(r*v)
h
+ 2
0
J
wr*dr=J
0
;-£lSw
h
+2
1
J
vdr
= f
lt
(7.4.12)
r
ft-i
'h-i
142
где /о = J /о
г*
dr; U = | f
x
dr.
Применяя квадратуру Эйлера (7.1.4), находим
A (r«
v)
h
+ S
0
[Ar
h
(rl
а»
Л
+ rl_, ш
й
_,)/2-(А/-,,)
2
(2А (ш)
й
+
+ Д(/*Аю/«*г)
Л
)/12]=7о;
gAa;
ft
/3 + S
x
[
Ar
ft
(o
A
+ f
ft
_
x
)/2 -(Ar
ft
)
2
A
(do/dr)
ft
/12] = £.
В этих уравнениях выразим day/dr, cfo/dr через ш,
У
ИЗ
уравнений
(7.4.11):
dw/dr = 3 (f
x
—
S^/fif;
A>/dr = /
0
— 2
0
ш — 2v/r.
В результате получим
PA^^ + SoATfctrlWfc + rl-i и>
к
-
г
- Ar
h
b(rw)
h
/3)/2 =
= /
0
+ 2
0
(Дг^Д(г
2
Ш4£;
§РДш
Л
/3 + Sx Ar
ft
(i>
A
+ ^ + (Ar
A
/3)
A
(u/r)
A
}/2 -
= /
1 +
(Ar
ft
)
2
(2iA(/o)
A
)/12,
где P = 1 + SoSx (Ar,)
2
/ (4g); (i>/r)
e
=
<f
Q
-
2»
0
/3.
К системе уравнений (7.4.13) добавим второе уравнение (7.4.4)
краевых условий и потребуем, чтобы v
0
= v (0) = 0. Уравнения
(7.4.13) аппроксимируют с точностью О ((A/-
ft
)
4
) дифференциальные
уравнения, если w, v £ С
ь
[r
h
^
lt
r
k
]. Так же, как и для плоской гео-
метрии, из уравнений (7.4.13) можно исключить функции v и полу-
чить
трехточечное разностное уравнение диффузионного типа для функ-
ции w, аппроксимирующее диффузионное уравнение второго порядка
^-^-r
2
D —ш + 2
0
ш = /
0
—
r
2
4>
(7.4.14)
(7.4.13)
3r
2
dr dr г
2
dr
при S
x
= D~\ /i = S^. He будем повторять выкладки, они оче-
видны.
3.
Цилиндрическая геометрия
Получим разностные уравнения, аппроксимирующие на отрезке
[0,
R] систему дифференциальных уравнений
±±rv
+ 2
0
w =
f
0
\^£-
+ 2
1
v = f
1
. (7.4.15)
г аг о аг
Для системы (7.4.15) ставится на отрезке [0, R] краевая задача, в ко-
торой краевое условие при г = 0 имеет вид
0(0) = 0, (7.4.16)
или
^L|
=0. (7.4.17)
dr |г= о
143
При естественном
для
физических задач предположении
fi(0)
= 0
(7.4.18)
для решений (7.4.15)
из
условий (7.4.16), (7.4.18) следует (7.4.17),
а
из (7.4.17), (7.4.18) следует (7.4.16), если
2
Х
(0) Ф 0.
Предположим,
что краевое условие
при г = 0
задано
в
виде (7.4.16)
и
выполнено
ус-
ловие (7.4.18).
Тогда, поскольку будет выполнено
и
условие (7.4.17), предполо-
жим,
что w
(г) является четной функцией
по г, и
поэтому
на
каждом
отрезке
[г
к
_
ъ
r
k
]
будем приближать
w
(г) линейной комбинацией
лишь четных степеней
л
Заметим, что
в
силу теоремы Мюнтца
[25]
сис-
тема
{r
2i
}
является полной
в
пространстве непрерывных функций,
определенных
на
отрезке
[г
к
_
ъ
r
k
].
Использование
ее для
построе-
ния разностных уравнений
для
системы (7.4.15) позволит получить
новые
по
сравнению
с
построенными
в § 7.3
разностные уравнения
повышенной точности, имеющие более простой
для
разбираемого слу-
чая
вид,
решения которых более точно отражают свойства решений
(7.4.15)
в
окрестности точки
г = 0.
Для отрезка [r
ft
_i,
r
h
]
построим четный интерполяционный мно-
гочлен шестой степени
для
функции
w, для
которого значения
его и
производных
по г от
него
на
концах отрезка совпадают
со
значениями
w
(г) и -т— при г = r
k
_
ly
r
k
.
Этот многочлен имеет
вид
dr
+
iw
k
—w
h
_J-
1
2r
k
-
^_i(r
2
-rl_i)
+
w
k
'A-l
Ar| 2r
A
Ot-i
(''-'i-P*
Ar|
+
+
wl
rk
4-Х
Tfc-l
ArJ
(Щ—Wk-i)
(•"
2
-1-i)
3
2(ArJ)3
Тогда можно проверить,
что
и
Г P
B
(w
t
r)rdr*
ArJ
'Л-l
где
(7.4.19)
Ar|-rl-rl^L Формула (7.4.19)
при w {VI) £С
Ь
[r|_i,
r\]
r
k
дает
с
точностью
О
((А/*!)
6
) значение интеграла
j
wrdr. Формулой
r
ft-i
(7.4.19) воспользуемся
при
выводе разностных уравнений.
С
этой
целью умножим первое уравнение (7.4.15)
на г,
второе
на 1 и
про-
интегрируем полученные уравнения
по
отрезку [r
ft
_
b
r
k
].
Тогда
Д(гс;)
Л
+ 2
0
Г wrdr=f
0
;
Л-км,^^
Г wfr = /
lf
(7.4.20)
'h-i
'k-i
144
где
f
0
=
j
f
0
rdr;
/i = J Мл
Пусть
г
л-1
>
0.
Заменим J" uyrdr
на
r
/i-i
r
k-i
r
h-i
r
h
r
h
|
P
e
(W,
r)rdr,
a J
vdr
—
квадратурой Эйлера (7.1.4). Тогда
rh-i
r
h-i
*C* +
-^f-k +
-i»-^-4(f-^),)-7.
:
f*-,t^-(.,t.H-
12
Ar
ft
£LH
(7.4.21)
Производные
в
уравнениях (7.4.21) выразим через
w,
v
из
уравне-
ний (7.4.15):
2„Дг|
16gr
A
(да
й
+
ш
А
_
1
)
=
^
0
;
16gr
A
.
2iAr
ft
l4-^-^*
+
-^U.fl_^_)0»-i
+
(7.4.22)
где
6r
h
j 2 \
6r
ft
_x
F
-1 I
MM)'
д/М
.
F
_?
,
Si(^*)'
Д/П
Отдельно разберем случай
fe
=
1;
функцию
w
(г) приблизим чет-
ным интерполяционным многочленом четвертой степени
Р
4
(и>,
f),
значения которого
при
г = 0, г = г
х
совпадают
со
значениями
w и
-р
в
этих точках. Многочлен
Р
4
(до,
г)
имеет
вид
р
4
(^
Г
)
=
о; (0)
+
br
2
+
сг*,
где
W'(^(.»,-».>-i(^)}
с
=
(Дг,)-»
(-1-
(^)_-(»,-»,) (Дг,)-
1
).
Легко проверить,
что
]p
t
(w, r)rdr =
^(2w
1
+
„
0
_^-(^.)J. (7.4.23)
145
Еще нам потребуется формула для ~ при г = 0. Из первого урав-
нения (7.4.15) получаем
П
т
^
+
-=/о(0)-2
0
ш(0),
r-*0 dr г
но lim-^-+-H. = 2-£-
r-+o dr г dr
, следовательно,
■о
(-^)
о
= у(/оо-2
0
Ы (7.4.24)
где /оо = /о (0).
r
k
Итак, в формулах (7.4.20) интеграл J *ш/г заменяем формулой
r
ft-i
(7.4.23),
интеграл J
vdr
— формулой Эйлера (7.1.4), считая v
0
= 0.
r
ft-i
Производные, входящие в квадратуры, выражаем в точке г = г
г
через функции
хю
ъ
v
lt
пользуясь уравнениями (7.4.15), а в точке г =
= г
0
выражаем их по формулам (7.4.17), (7.4.24). В результате
получаем разностные уравнения для [0, rj:
(г
г
+
So
2i №№))
Oi
+ S
0
(Дг,)«
(2^ +
я>
0
)/6
=
=
Jo
+ MWfuK*8)l
(fir/3
+ S
0
2
1
(Ar
1
)V12)tw
l
-(
fi
f/3+ SoSitAr^^Jwo +
+ 7S
1
Ar
1
t;
1
/12 =
7i
+ 2i(Ar
1
)»Voi-/oo/2)/12
f
(7.4.25)
где /
u
= /
x
(r
x
); /
01
= /
0
(r,).
К системе уравнений (7.4.16), (7.4.22), (7.4.25) добавим второе
уравнение (7.4.4) краевых условий.
Из уравнений (7.4.22), (7.4.25) можно исключить функции v
k
и по-
лучить трехточечное разностное уравнение диффузионного типа для
уравнения второго порядка:
—f -f rD^- +
S
0
w
=
U
—1 -f
пр
(7.4.26)
3r dr dr r dr
при S
x
= D"
1
; /
x
- S^.
Заметим, что первые уравнения систем разностных уравнений для
всех геометрий являются разностными аналогами уравнения баланса.
Следовательно, для уравнений диффузионного типа (7.4.10), (7.4.14),
(7.4.26) при выбранной для них разностной аппроксимации абсолют-
но точно выполняется на решениях этих уравнений разностный ана-
лог баланса
нейтронов.
Это обстоятельство часто бывает важным при
проведении практических расчетов. Указанные схемы имеют один и
тот же вид для непрерывных и разрывных кусочно-постоянных коэф-
фициентов;
в.
них граничные условия первого, второго и третьего рода
учитываются точно.
146
§ 7.5. МЕТОД ФАКТОРИЗАЦИИ
Для решения одномерных уравнений эффективным оказался ме-
тод,
факторизации. Достаточно полно этот метод изложен в работах
B.
С. Владимирова [39], И. М. Гельфанда, О. В. Локуциевского [56],
C. К. Годунова [64], В. К. Саульева
[209],
Э. Айнса [14], Р. Д. Рихт-
майера [198] (а также [161, 162]) и многих других.
В сущности, метод факторизации или прогонки, применяемый для
решения сеточных уравнений, например вида
-A
k
4>
k+1
+ B
k
(p
h
-C
k
^
k
.
1
^D
ki
A
N
= C
0
= 0
t
k = 0, 1, ..., N, (7.5.1)
является методом исключения неизвестных Гаусса [233] для решения
систем линейных алгебраических уравнений специального вида, ха-
рактерного для сеточных задач математической физики: в каждой
строке матрицы системы имеется лишь определенное, не зависящее от
шага сетки количество отличных от нуля элементов.
Решают такую систему методом Гаусса, который делится на два
этапа;
1) представление матрицы системы типа (7.5.1) в виде произведе-
ния двух треугольных матриц (что соответствует первому шагу фак-
торизации, в котором ввиду малого по сравнению с порядком системы
числа отличных от нуля элементов в каждой строке матрицы форму-
лы для элементов треугольных матриц и преобразованных правых
частей системы имеют простой рекуррентный вид);
2) нахождение решения системы с треугольной матрицей, в кото-
рой лишь малое по сравнению с порядком системы число элементов
отлично от нуля (это соответствует второму шагу факторизации).
Число затрачиваемых арифметических действий по порядку рав-
но числу неизвестных в системе типа (7.5.1). В этом и состоит досто-
инство метода. Различные модификации его вызваны или существова-
нием известных различных вариантов самого метода Гаусса, или раз-
личными способами упорядочения неизвестных системы уравнений
и строк сеточной матрицы для того, чтобы счет по формулам был ус-
тойчив.
Рассмотрим один из вариантов метода факторизации для решения
системы (7.5.1) с трехдиагональной матрицей. Системы разностных
уравнений вида (7.5.1) возникают при применении метода сеток для
решения 1, 2 и 3-й краевых задач для обыкновенных линейных диф-
ференциальных уравнений второго порядка. Интерпретация метода
факторизации как реализации метода Гаусса позволит получить еди-
ные формулы для всех трех краевых задач. Для этого систему урав-
нений (7.5.1) запишем в матричном виде
Яср = D (7.5.2)
и представим матрицу /С в виде произведения двух треугольных мат-
риц: К =
Ь
Х
Ь
Ъ
где потребуем, чтобы верхняя треугольная матрица
L
2
имела вид
147
L
2
=
—
Я
0
О О
1
— Е
х
О
О
О
О
О
О
О Oil
—
E
N
_
X
о
о
о jo
1
Тогда систему (7.5.2) перепишем
в
виде
£
2
ф =
L'[
1
D.
Первый
шаг
заключается
в
вычислении элементов матрицы
L
2
и
компонент вектора
F = L~
l
D.
Нетрудно видеть,
что у
матрицы
L"
1
ненулевые элементы находятся лишь
на
главной диагонали
и
диагона-
ли ниже
ее [т. е. на
пересечении
(i
—1)-го столбца
и i'-й
строки].
В
этом легче всего убедиться, применяя следующий прием
[161, 198].
Решение системы (7.5.1) будем искать
в
виде
Ф*
=
Eh<Pk+i
+ F
h
, k = 0, 1, ..., N-L
(7.5.3)
Подставляя формулы (7.5.3)
в
систему (7.5.1), получаем рекуррент-
ные соотношения
для Е
к
и F
kt
однозначно
их
определяющие. Первое
уравнение системы (7.5.1),
при k =
О
учитывающее граничное усло-
вие,
показывает,
что
Е
0
= Я-М
0
; F
0
= В;Ю
0
.
(7.5.4)
Подставляя
Е
к
_
г
ц)
к
+ F
k
_
x
в k-e
уравнение вместо
уи-ъ
получа-
ем соотношение между
ф& и
ФЙ+1
:
Ф/1
=
(B
k
-C
k
E
h
-J-* А
к
<p
h+1
+(B
k
-C
h
Е
к
-
г
)-*
(D
k
+ С
к
F
h
^.
(7.5.5)
Из формулы (7.5.5) имеем
Е
к
=
(В
к
-С
к
Е
к
-
г
Г*А
к
;
F
k
=
(B
h
-C
k
E
k
-J-4D
k
+ C
k
F
k
^;\
1<£<ЛЛ
J * ' '
Равенства (7.5.4), (7.5.6) дают возможность вычислить
все
значения
Е
ку
F
k
при 1 ?^ к <! N.
Вычислив
EN, FN,
ВИДИМ (ВСПОМНИМ
ВИД
мат-
рицы
L
2
), что
фN
= F
N
,
(7.5.7)
а
все фь, k = 0, 1, ..., N — 1,
находятся
по
формуле (7.5.3).
Пусть
А
к
> 0; С
к
> 0; В
к
> А
к
+ C
k
(k = 0, 1, ..., N).
(7.5.8)
Тогда
из
(7.5.6)
в
силу неравенства (7.5.8) получаем,
что
если
0 ^
^^fe-i^l,
то 0 < £\ < А
к
/ (В
к
— С
к
) < 1, а так как из
(7.5.4) следует,
что 0 < Е
0
< 1, то 0 < Е
к
<
1
для
всех
0 < k < N.
Заметим теперь,
что
если
для
значений
ц
к
можно дать какую-нибудь
априорную оценку
в
некоторой норме,
то из
(7.5.3) следует,
что и F
h
будут ограничены
в
этой норме. Следовательно,
E
k
, F
k
будут доста-
точно хорошо расположены
на
шкале чисел,
для
того чтобы вести
ус-
тойчивый счет.
В системе (7.5.1) можно понимать
под А
к>
В
к
, С
к
матрицы некото-
рого порядка
п
у
а
под
ф
ь
D
h
—
n-мерные векторы; тогда
это
будут
системы уравнений
с
блочно-трехдиагональной матрицей. Форму-
148
+
(:
лы (7.5.3), (7.5.4), (7.5.6), (7.5.7) дают один из методов решения ее,
называемый матричной факторизацией [161].
Другой идеей (см. [14, 56, 161]), побудившей сделать выбор фор-
мул
и
специальных методов исследования свойств метода прогонки,
является идея факторизации дифференциальных уравнений (см. Кели
[263],
Айне [14], Сансоне [208]). Проиллюстрируем ее на примере диф-
ференциального уравнения второго порядка. На отрезке [а,
Ь]
найдем
решение уравнения
-£^+/Ф)^
+
?(*)ф=/(*) (7.5.9)
при условиях
—2-
=
0 при х = а\
ф
=
0 при
я=
Ъ>
(7.5.10)
Для решения этой задачи представим оператор -ps
+
р-т—Ь
<7
в
виде произведения
Ь
г
Ь
2
двух операторов первого порядка:
Ь
г
=
=
dx~
+ а и
L2=
d7+P'
Поскольк
У
L
i
L
2
=
-^2
+ (
а
+
Р) 37
+
-jjr
+
ap). задача факторизации сводится
к
отысканию таких
функций аир, что
JE-
=
P
2
-/>P
+
<7,a
=
p-P-
(7
.5.11)
lax
Можно показать [208], что для существования искомого разло-
жения
с
действительными символическими множителями необходи-
мо и достаточно, чтобы существовало решение однородного уравнения
(7.5.9),
не обращающееся в нуль ни в одной точке отрезка [а,
Ь].
Пусть
требуемое разложение возможно (оно не единственно) и пусть г = L
2
cp.
Тогда уравнение (7.5.9) сведется к эквивалентной системе уравнений
первого порядка:
iB-
=
p«_
p
p
+ r
,
JE-
+
(p-p)
z
=/
;
-^L
+
pcp =
2
.
(7.5.12)
ах
ах ах
Эту систему назовем факторизованной. Условия (7.5.10) будут удов-
летворены, если положить
Р (а)
-
0;
г
(а)
-
0;
<р (Ь)
-
0. (7.5.13)
Таким образом,
мы
пришли
к
эквивалентной задаче (7.5.12),
(7.5.13), которая может быть решена последовательно: сначала нахо-
дят функцию р (х), затем
z
(х)
и,
наконец, функцию ср (х).
Системы (7.5.12), (7.5.13) могут быть решены с помощью известных
конечно-разностных методов. При этом расчет функций
р
и
г
следует
вести от узла к узлу в сторону возрастающих значений
х
(прямой ход),
а расчет функции
ср
— в сторону убывающих значений
х
(обратный
ход).
Достоинством изложенного взгляда на прогонку является то, что
мы имеем некоторый непрерывный аналог (замыкание вычислительно-
149