Малыхин В.И. Математика в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

функцией

областью

определения

D(f)

Хп

областью

значений

Л(/)

с К

При

этом

называется

независимым

переменным

или

аргументом

функции,

а у

=/(#)

—

значением

функции

или

зависимым

переменным.

Например,

функция

у~*1х~\

задает функцию

областью опреде-

ления

D(y)

= [1,

°°)

областью значений

R(y)

[0,

°°).

Множество

пар

{(*,/(*)):

х б

D(f)}

называется

графиком

функ-

ции

Пусть

y~f(x)

—

функция,

D(f)

Д/

)

—

ер

области определе-

ния

значении

соответственно.

Для

всякого

R(f)

выберем

ка-

кой-нибудь

D(f),

такой,

что/(*)

у.

Функция

называ-

ется обратной

функции

а обе

функции называются взаимно

об-

ратными.

Так,

логарифмическая

функция

у = In х и

показательная

е?

являются взаимно обратными.

Особенно

широко распространены числовые функции,

кото-

рых

область

определения,

область

значений

являются

числовы-

ми

множествами. График такой функции есть некоторое множество

точек

на

координатной плоскости.

Функции можно задавать

аналитически,

лри

помощи

таблиц,

при

помощи графика,

при

помощи некоторого алгоритма

(напри-

мер,

компьютерной программы).

При

аналитическом способе задания функции зависимость меж-

ду

переменными определяется формулой.

Например,

формула

задает функцию

областью

определения

(-«>,

+«>),

При

табличном способе задания функции выписываются

в оп-

ределенном порядке значения аргумента

соответствующие значе-

ния

функции. Хорошо

известны,

например, таблицы тригонометри-

ческих

функций,

таблицы логарифмов

другие.

При

графическом

способе

задания

функции

зависимость

между

переменными

отражается

помощью графика. Например,

музеях

можно

часто видеть самопишущий прибор, отражающий

изменение

влажности

или

температуры

во

времени.

Сейчас

Сбербанке, например, начисление процентов

произво-

дится

на

компьютере,

при

этом алгоритм начисления может

быть

довольно сложным

и его

нелегко

свести

какой-то

формуле.

Некоторые

функциональные

зависимости,

используемые

эко-

номике.

Первые

две

функции

уже

рассматривались

(см.

п. 4,

раз-

дел

4.1).

На

рис,

а,

б"

приведено примерное графическое

представ-

ление

этих функций,

именно: функция спроса

—

зависимость

спро-

са

D на

некоторый товар

от его

цены

р\

функция предложения

зависимость

предложения

некоторого

товара

от его

цены

р.

Приведены также:

функция

полезности

(рис.

1, в) —

субъектив-

ная

числовая оценка данным индивидом полезности

количества

товара

для

него;

однофакторная

производственная

функция (рис.

г) —

зависимость

объема

выпускаемой продукции

от

объема

перераба-

тываемого

ресурса; функция издержек (рис.

1,5)

—

зависимость издер-

жек

/на

производство

х ед.

продукции; налоговая ставка (рис.

е)

—

зависимость налоговой ставки

N в

процентах

от

величины

годового

дохода

Все

эти

функции,

кроме последней, весьма трудно выразить ана-

литически.

При

необходимости

их

находят путем кропотливого ана-

лиза.

Последняя

же

функция,

напротив,

обычно довольно хорошо

известна

всему обществу

законодательно утверждена.

настоящее время налоговая ставка устроена следующим обра-

зом:

если

тыс,

руб.,

то

взимается

12%;

если

тыс.

руб.,

то

разности

Q - 30

тыс. руб. взимается дополнительно

15%;

раз-

ности

Q - 60

тыс. руб. взимается

уже 20% и

т.д.

Элементарные

функции.

Постоянная,

степенная,

показатель-

ная,

логарифмическая,

тригонометрические

обратные тригономе-

трические

функции называются

основными

элементарными

функция-

ми.

Все

функции, получаемые

помощью конечного числа арифме-

тических

действий,

также конечного числа операций взятия функ-

ции

от

функции,

над

основными элементарными функциями,

со-

ставляют

класс элементарных

функций,

Все

остальные функции

на-

зываются

неэлементарными. Среди неэлементарных функций есть

очень

простые, например функция «знак

(сигнум)»:

Напомним

основные элементарные функции.

Линейная функция

y~kx+b

(рис.

а),

графиком которой

яв-

ляется

прямая линия

угловым коэффициентом

пересекающая

ось

ординат

точке

ординатой

Ь.

Частный случай линейной

функ-

ции

—

прямая пропорциональная зависимость

у =

/ее,

графиком

которой служит прямая, проходящая через начало

координат.

На

рисунке

также

приведены

графики:

квадратичной

функции

яд?

+ Ьх + с

(рис.

б),

графиком которой является парабола;

обратной

пропорциональной

зависимости

у -

а/х

(рис,

<?),

графиком

которой служит гипербола; степенной функции

y-^

(рис.

2, г);

показательной

функции

у -

а*>

а > 0

(рис.

д).

На

рис.

приведены

графики

тригонометрических

функций,

Свойства функций одного

переменного.

Функция

у =

у(х),

об-

ласть

определения

которой

симметрична

относительно

нуля,

назы-

вается четной

'(нечетной),

если

X*)

Х-*)

(Х-*)

-X*))

Для

любо-

го

х е

D(y).

График четной функции симметричен относительно

оси

ординат,

нечетной

—

относительно

начала координат. Например,

•функция

является

четной,

а у

—

нечетной.

Функция

X*)

называется

периодической,

если существует такое

Т>

что у(х + 7)

X*)

Для

всякого

х е

Ду).

Наименьшее

из

таких

чисел

называется периодом

функции.

Известно,

что

тригонометри-

ческие функции являются периодическими.

Функция

у(х)

называется возрастающей (убывающей)

на

множе-

стве

если

из

того,

что

{

вытекает,

что

з»,

0*,

Напри-

мер, функция предложения

товара

—

возрастающая

функция

его

цены,

функция спроса

на

товар

—

убывающая функция

его

цены.

Функция

полезности

-—

возрастающая функция величины товара.

Функция

у(х)

называется

неубывающей

(невозрастающей)

на

множестве

если

из

того,

что х,

х,,

Л*

вытекает,

что

(у

{

Очень часто, например, функция налоговой ставки

— не-

убывающая функция годового

дохода;

такая налоговая ставка

назы-

вается прогрессивной.

Возрастающие,

убывающие, неубывающие, невозрастающие

функции

называются

монотонными.

Функция

X*)

называется ограниченной сверху (снизу)

на

множе-

стве

если

существует

М(т)

такое,

что

у(х)

(у(х)

/«)

для

любого

х е X.

Функция,

ограниченная

снизу

сверху,

называется

ограниченной

на

этом множестве. Например, функции

sin

;с

и cos х

ограничены

на

всей числовой прямой,

Функция

у(х)

называется

выпук-

лой

(вогнутой)

на

выпуклом множест-

ве

если

ее

график примерно таков,

как

показан

на

рис.

т.е.

для

любых

я»

Ь е X и

любого

верно,

что

ХЬл

+ (1 -

Х)А)

ХХ«)

+ (1 -

Х)Х*>

МХв

(1 -

Х)А)

ХХД)

+ (1 -

X)XW.

Например,

производственная

(однофакторная)

функция является

во-

гнутой,

функция спроса

—

выпуклой.

ЗАДАЧИ

Найдите области определения

значений следующих

функ-

ций:

а)

у^^2-х',

б) у

3/Сх

Зх

+ 2); в)

д»«

I/sin

х;

г) у

Vui7.

Ответ.

Только

области

определения:

а)

(-<»,

2); б)

в)х*тсА:,

fce

г)

[1,

Пусть

D -

D(p)

есть функция спроса

на

товар,

найдите обрат-

ную

к ней

функцию

определения цены

зависимости

от

спроса.

Опишите,

как

находить

эту

обратную функцию

по

графику

функции

спроса.

Решение. Пусть

на

рис.

изобра-

жен

график функции спроса.

Как

изве-

стно,

эта

функция убывающая. Обрат-

ную

к ней

функцию

р =

p(D)

по

графи-

ку

надо находить так: область опреде-

ления функции

p(D)

есть

область

зна-

чений

функции

Щр).

Теперь

для

каж-

дого

R(D)

проводим вверх

прямую

до

пересечения

графиком функции

D(p),

после чего

от

точки

на

графике

проводим влево горизонтальную пря-

мую

до

пересечения

вертикальной осью координат.

Полученная

точка

есть значение обратной функции

при V.

Функция

у(х)

задана несколькими точками

своего

графика:

(О,

0),

(2,

4),

(4,

-4),

(6,

2)/а

между соседними точками график

нее —

отрезок, соединяющий

эти

точки. Опишите

эту

функцию.

Указание.

Воспользуйтесь

уравнением прямой линии,

проходящей

через точки

(х

yj,

(*,,

у,)

(см.

п. 1,

раздел

2.1).

1х

приО<х<2,

Ответ:

у(х)

•

4х

при

-16

+Зх

при4<х<6.

этом состоит идея

линейной

интерполяции функции

—

замены

функции

между

ее

двумя точками линейной функцией, проходящей

через

эти

точки.

Вспомните графики основных элементарных функций. Пост-

ройте

примерные графики функций:

а) у

-1

2л; б) у

7; в) у

sin

2*;

г) у

!п (х - 5); д) у

2*;

е)у«/*

-1

Рассмотрим программу

для

компьютера:

Ввод

х-,

Для / = 1 до 3

сделать

2* + 1;

+ 4;

Вывод

у\

Несомненно,

что

выдаваемое

компьютером число

у в

ответ

на

введенное

реализует некоторую функцию.

Сумеете

ли

выразить

ее

формулой?

(Оператор заканчивается точкой

запятой.)

Четная

ли

функция

у =

- 1?

Монотонная

ли

функция

У=л/х1

Выпуклая

ли

функция

- 4?

Является

ли

периодичес-

кой

функция

sin (2х + 1)?

Пусть

S —

S(p)

есть

функция предложения товара. Найдите

обратную

к ней

функцию определения цены

зависимости

от

пред-

ложения. Опишите,

как

находить

эту

обратную функцию

по

графику

функции

предложения.

8. По

своему содержательному смыслу производственная функ-

ция

должна

быть

возрастающей. Какой смысл имеет функция,

об-

ратная

ней?

Пусть

W(Q)

есть

величина подоходного налога, уплачи-

ваемая

годового дохода

Опишите обратную функцию. Какой

примерно

у нее

график

при

прогрессивном подоходном налоге?

10.

Функция процентной ставки подоходного налога

определя-

ется

примерно так:

при

доходе

от 0 до

взимается

pfi,

до

взимается

т.д. (см. выше

п. 2).

Задайте

такую'функцию

форму-

лами

на

разных промежутках,

П.

Найдите квадратичную функцию

ах

+ Ьх + с,

если

Х-2)

0,ХО)

1,ХО

Замечание.

Замена

функции

коадратичной

функцией,

проходящей

через

три

заданных

точки

графика

исходной

функции,

называется

квадра-

тичной

интерполяцией

исходной

функции.

12.

Пусть

функция задана описанием:

при -со

О,

у(х)

- 2х

приО<х<2,

при 2

х,

Она

выпукла,

вогнута?

13.

Какие

из

указанных функций ограничены

на

своей

области

определения:

а) у -

\п(2х/(х

+ 1); б) у

(sin

х); в)

V2*;

г)

функции Торнквиста спроса

на

«предметы первой необходимости»

«предметы роскоши»:

ах/(х

Ь),

ах(х

с)/(х

i),

где

а,

и,

зависят

от

цен,

а х

есть

доход.

14.

Пусть

— это

общее количество денег,

V —

скорость

их

обращения

(сколько

раз

каждый

рубль,

доллар

участвуют

расчетах

среднем

за

год),

К—

национальный продукт

или

доход

(нацио-

нальный

продукт

— это все

готовые товары

услуги, произведенные

экономической

системе

стоимостном

выражении; национальный

доход

— это

все

выплаты,

полученные домашними хозяйствами:

за-

работная

плата,

рента,

прибыль; национальный продукт

нацио-

нальный

доход численно равны). Пусть

Р—

это

уровень

цен

(сред-

нее

взвешенное значение

цен

готовых товаров

услуг, выраженное

относительно

базового

показателя,

принятого

за

единицу).

Связывая

все

эти

величины,

получим уравнение денежного обращения

— ос-

новное

уравнение классической количественной теории денег,

так

называемое

уравнение обмена Фишера:

—

PY/V,

Проанализируйте,

как

меняются

некоторые величины

при

неизменных других; напри-

мер,

как

меняется уровень

цен при

изменении общего количества

денег

(и

неизменности двух других величин

>)•

4.3,

ПРВДЕЛ

ФУНКЦИЙ

Определение предела

функции.

Число

называется пределом

функции

fix)

.при

к,

стремящемся

к а (х

а),

если

для

любого

> 0

найдется такое

8 > 0, что

(/(х)

А\

< е

при

0 <

\х

а\

< 6. Это

записывают

так;

А -

lim

f(x).

х-*а

Следует обратить внимание

на то, что в

определении

не

требу-

ется,

чтобы функция была определена

и в

предельной

точке,

но она

должна

быть определена

какой-нибудь окрестности предельной

точки

(за

вычетом самой предельной точки).

Если

-»

а и х <

а,

то

пишут

а - 0;

если

х->йих>о,то-"

-»

-Ь

Соответствующие пределы называются

левосторонним

правосторонним

пределами функции

точке

а, В

этих определениях

предполагается,

что

функция определена

на

некотором промежутке

слева

от

предельной точки

или

справа.

Для

существования двусто-

роннего

предела функции

(при

-»

а)

необходимо

достаточно,

чтобы

существовали

оба

односторонних предела

и они

совпадали.

Отдельно

поясним,

что

такое предел функции

f(x)

при х

°°

= lim

f(x),

если

для

любого

е > 0

найдется такое

К е

что

X-too

|Дх)

А\

< е

при

х > К,

Аналогично

определяется предел функции

при х

-»

-°°.

сожалению,

при

столь формальном определении предела

(единственно

возможном

при

современном уровне

развития

матема-

тики),

напрочь пропадают вековые

даже тысячелетние поиски уче-

ных,

которые тщились выразить свои интуитивные представления

предельных

переходах точными формулировками.

Люббзнательные

могут

об

этом прочитать

книгах,

которые

порекомендует препода-

ватель.

Предел

функции может быть сведен

некотором смысле

пре-

делу

последовательности.

Пусть

а -

причем функция

Л#)

определена

на

некотором

промежутке

слева

от

предельной точки

а.

Тогда можно бесчислен-

ным

множеством способов определить последовательность

име-

ющую

своим

пределом слева

х.

Тогда: если

lim

/(х)

А,

то

любая

х->а-0

последовательность

(х

стремящаяся

к а

слева, имеет своим преде-

лом

А\

верно

обратное

—

если

при

любой последовательности

(х

стремящейся

слева

к а,

последовательностьДх)

имеет своим преде-

лом

одно

и то же

число

А,

то

Urn

/(х)

= A.

х-ю-о

Бесконечно

малые

бесконечно большие функции. Функция

АХ)

называется бесконечно малой

(б.м.)

при х

(или

а -

или

-»

а + 0 или х

-»

оо,

или х

-оо),

если

lim

Л*)

О при х

-»

(или

соответственно

а - 0 и

т.д.)*

Функция

Л*)

называется бесконечно большой

(б.б.)

при х

-»

(или

-»

а — 0, или х

+ 0, или х

-»

°°

или х

—«О,

если

Нт

|/(х)|

то при х

-»

(или соответственно

а - 0 и

т.д.).

Например,

функция

1/х

является б.б.

при х

-»

так как

Нт

1/х я

оо

}

является б.м.

при х

<»,

потому

что Нт 1/х

*->U

jf^OO

Рассмотрим

свойства

б.м.

функций

(б.м.ф.):

если

Лх) и

g(x)

—

б.м.ф.

при

каком-то одном

и том же

усло-

вии,

тоЛ*)

g(x) тоже является

б.м.ф.

при

том же

условии;

еслиЛх)

—

б.м.ф.

при

каком-то условии

g(x)

—

ограничен-

ная

функция

на

множестве

X, на

котором выполняется

это

условие,

то их

произведение

Л*)

ё(х)

тоже является

б.м.ф.

при

том же

условии;

если

Л*)

g(x)

—

б.м.ф.

при

каком-то одном

и том же

усло-

вии,

то их

произведение

Лх)

g(x)

тоже является

б.м.ф.

при

том

же

условии;

еслиЛх)

б.м.ф.,

то

1/Дх)

6,6.

функция

(б.б.ф.);

если

£(х)

б.б.ф.,

то

l/g(

)

б.м.ф.

Сравнение

бесконечно малых функций. Пусть

Л*)

8(х)

о-м.ф.

при

некотором условии

пусть

при

этом существует

1ц

(A*)/g(x))

Тогда:

если

Л -

то/и

называются эквивалентными б.м.ф.

и это

записывают

так:

если

0 <

|Л|

оо

}

о/и

g—

б.м.ф.

одного порядка

пишуттак:

/^О^илия-ОС/);

если

Л - о,

то/называется

б.м.ф.

высшего

порядка

относи-

тельно

g и

пишут

так:

o(g);

если

|Л|

«о,

то g

называется б.м.ф. высшего порядка отно-

сительно/и

пишут так:

o(f).

Основные

свойства пределов.

Лемма.

Если

lim

f(x)

А,

то

f(x)

= А +

а,

где а —

б.м.ф.

Обратная лемма.

Если/х)

= А +

а,

где А

есть константа

—

б.м.ф.,

то

lim

fix)

Пределы

обладают следующими свойствами:

если

Сесть

постоянная функция,

то lim

С;

если существуют

lim

Л*)

и lim

g(x)

при

каком-то условии,

то

(Я*)

g(x))

lim

Л*)

± lim

g(x)

(при

том же

условии);

отметим,

что это

свойство справедливо

для

любого конечно-

го

числа функций;

если существуют

lim

f(x)

и lim

g(x),

то

lim

(fix)

g(x))

(lim

fix))

(lim

g(x))

(при одном

и том же

условии); отметим,

что это

свойство справедливо

для

любого конечного

числа

функций;

частности,

имеет

место формула

lim

f"(x)

<=<Итл*))";

если существуют

lim fix) и

lim

g(x)

О, то

lim

(fix)/g(x))

(lim

fix))/(l\m

g(x))

(при одном

и том же

условии);

еслиЛ*)

g(x)

h(x)

существуют

lim

fix),

limgCv),

lim

A(x),

то

limfix)

< lim

g(x)

lim

h(x).

Следствие.

Если

Л*)

g(x)

существуют

lim

fix)

limg(x),

то

lim

f(x)

Hmg(x).

•

Приведем пример, когда предел функции

некоторой точке

не

существует,

Пример!.

Рассмотрим

функцию

sin

l/x

определенную

на

(0,1).

Рассмотрим

последовательность

х -

l/(nn),

тогда

X*)

°-

Теперь

рассмотрим

последовательность

1/(тг/2

ген),

n e

то"гда

y(z)

'п

ВЬ1ТекаСТ

нес

УЩ

ествование

предела

рассматриваемой функции

при

х->

Отметим,

что

предельная

точка

не

принадлежит области определения

функции.

Во

многих

важных

случаях существование предела можно уста-

новить

помощью

следующей теоремы.

Теорема.

Пусть

функция

монотонно

не

убывает (или

не

возраста'

ет)

при х

-»

а - 0,

Если

при

этом функция ограничена

сверху

(снизу),

то при х

а - 0

она

имеет

конечный

предел;

противном

случае

она

стремится

«=

(-<*>),

Первый

второй

замечательные

пределы. Рассмотрим

lim

(sin

х)/х

при х

Можно доказать,

что

этот предел равен еди-

нице.

Именно этот предел

называется первым замечательным

пре-

делом.

Его

значение объясняется

тем,

что

знание

этого

предела поз-

воляет

находить многие другие пределы.

частности,

получаем,

что х и sin x —

эквивалентные б.м.ф.

при

0. Так что

Urn

smx

х-»0

Пример

Найдем

Нт

CQSJC.

Имеем:

cosx—

—

2sin

(х/2),

поэтому

х-»о

limcosx

l-2iimsin

(x/2)

»-*»

х-*о

Рассмотрим

lim

(1 +

\/х)

при х

-»

°°.

Можно

доказать,

что

этот

предел

существует.

Его

обозначают специальным числом

е.

Это

чис-

ло

примерно

равно

71.

Именно

этот

предел

называется вторым

замечательным

пределом.

Его

значение объясняется

еще и

тем,

что

знание

этого предела позволяет находить многие другие пределы.

Например,

Шп

1/л)"

е,

так как

очевидно,

что

/!-><*>

М1

1/л)

/Л

)*.

'~*

*-»«>

ЗАДАЧИ

Найти

lim

sin

х-*а

Решение,

Имеем:

sin (a + z)

sin а • cos z + sin z • cos а,

Исполь-

уя

первый

замечательный предел, можно доказать

(см.

пример

biuie),

что

lim

cos

lim sin z

Поэтому

lim sin

->°

s-*0

x-»o

lim

cos

+ cos a lim sin z

sin

*~*

г->0

ь/бой;

любой точке

предел

lim sin x

равен значению

функ-

Ми

sin x в

предельной

точке.

*"*"

Найти

следующие пределы;

а) lim

(sin5x)/x;

б) lim

*-»0

л-*0

<Я*)Д»;

)

Нт

((х+

)/(

))*

JT-*eo

3VBM

п!?

е//

ЛЯ

На

^ождения

первых

двух

пределов исполь-

первый

замечательный

предел.

Имеем:

Я)

(sin5x

Urn

<5sin5x)/(5x)

lim

(sin

и/у

JMO

y^o

i!?o

COS

*V*

(2sin

V2)A

2/4

lim

(sln*/2)/

/W-l/2.

"°

*"'