Малыхин В.И. Математика в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

кретный

вариационный ряд, многоугольник частостей, график

вы-

борочной

функции

распределения.

Подсчитайте:

а)

выборочную

среднюю

выборочную дисперсию двумя способами;

б)

несмещен-

л/

ную

оценку дисперсии

s .

Придумайте правдоподобную генераль-

ную

совокупность

или

соответствующую случайную

величину,

Задание

IV.

Система с.в.

'(X,

имеет следующую таблицу рас-

пределения. Найдите законы распределения ком-

понент

Y и

условный закон распределения ком-

поненты

Л"

при

условии,

что 7= 0.

Найдите:

а) ве-

роятность

того,

что

А"примет

значение,

меньшее

чем

К;

б)

корреляционное отношение между с.в.

Хк

\х

У\

-1

0,2

0,1

0,2

0,3

я,

<*1

Задание

Инвестор имеет возможность составить портфель

из

трех видов некоррелированных бумаг, эффективнос-

ти

Е!

риски

а,

которых

даны

таблице.

Рассмотрите

все

варианты составления портфе-

ля из

этих

бумаг

равными долями. Дайте графичес-

кое

изображение

всех

этих

портфелей

точками

(по

осям координат

—

эффективность,

риск).

Есть

ли

точки, оптимальные

по

Парето?

Задание

VI.

Сформируйте

оптимальный портфель заданной

эф-

фективности

из

трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективно-

сти

единице,

некоррелированных рисковых ожидаемых эффектив-

ностей

3 и 5 с

рисками

2 и 4

соответственно.

Как

устроена рисковая

часть оптимального портфеля?

При

какой ожидаемой

эффективнос-

ти

портфеля возникает необходимость

операции «short sale»

и с ка-

кими ценными

бумагами?

Задание

VII.

таблице указаны курс акций

Е и

эффективность

рынка

F на

протяжении

ряда

кварталов. Найдите

регрессию

курса

акций

на

эффективность рынка,

также оценки характеристик акций: «собст-

венной»

вариации

v и а,

р,

(эффективность безрисковых

вложе-

ний

равна

6).

Вариант

№ 3

Задание

С.в.

/распределена

по

нормальному закону

мате-

матическим ожиданием, равным

двум,

средним

квадратическим

отклонением,

равным

трем.

Пусть

Х-

ЗУ.

Найдите вероятности

Р(Х>

1),

Д2

< АХ 5),

Р(Х< 20),

РЦС**

3).

Напишите функции

плот-

Е;

342

Задание

Инвестор

имеет

возможность

составить

портфель

из

трех

видов некоррелированных бумаг, эффек-

тивности

(

риски

а,

которых даны

таблице.

Рассмотрите

все

варианты составления портфе-

ля из

этих бумаг равными долями. Дайте графичес-

кое

изображение

всех

этих

портфелей

точками

(по

осям координат

—

эффективность,

риск).

Есть

ли

точки,

оптимальные

по

Парето?

Задание

VI.

Сформируйте оптимальный портфель заданной

эф-

фективности

из

трех видов ценных бумаг: безрисковых эффективно-

сти,

равной

40, и

некоррелированных

рисковых

ожидаемых

эффек-

тивностей

80 и 200 с

рисками

2 и б

соответственно.

Как

устроена

рисковая

часть оптимального портфеля?

При

какой ожидаемой

эф-

фективности портфеля возникает необходимость

операции «short

sale»

и с

какими ценными бумагами?

Задание VII.

таблице указаны курс акций

Е и

эффективность

рынка

F на

протяжении

ряда

кварталов. Найдите

регрессию курса акций

на

эффективность

рынка,

также оценки характеристик

акций:

«собст-

343

ности

распределения

для X и

постройте

их

примерные графики.

Как

выглядит

для СВ

вправило

«трех сигм»?

Задание

II.

Фамилия каждого

десятого

мужчины

начинается

буквы

М,

Найдите вероятность того,

что

среди

900

солдат полка ока-

жется

от 80 до 120

солдат,

чьи

фамилии начинаются

буквы

М.

Задание

III.

По

результатам наблюдений;

31, 37, 37, 32, 33, 32,

35,

34,

36,

33,

34,

33, 35,

36,

Зб, 35, 35,

34,

постройте

дискрет-

ный

вариационный ряд, многоугольник частостей, график выбороч-

ной

функции распределения. Подсчитайте:

а)

выборочное среднее

выборочную дисперсию двумя способами;

б)

несмещенную оценку

л/2

дисперсии

s .

Придумайте правдоподобную генеральную совокуп-

ность

или

соответствующую случайную величину.

Задание

IV.

Система

с.в.

(X,

имеет

следующую таблицу рас-

пределения. Найдите:

а)

законы распределения ком-

понент

условный закон распределения компо-

ненты

Хпри

условии,

что Y= 0; б)

вероятность того,

что X

примет

значение,

большее

чем

в)

корреля-

ционный момент

К^и

коэффициент корреляции

венной»

вариации

v и а,

р,

(эффективность

безрисковых

вложе-

ний

равна

8).

Вариант

№ 4

Задание

С.в.

распределена

по

нормальному закону

мате-

матическим

ожиданием,

равным

двум,

средним

квадратическим

отклонением, равным единице. Пусть

Х- 2Y+ 5.

Найдите

вероятно-

сти

Р(Х> 10),

Р(2 < Х< 5),

Р(Х<

2),

Р(Х

= 3),

Напишите

функции

плотности

распределения

для

Хн

постройте

их

примерные графи-

ки. Как

выглядит

для

с.в.

ЛГ

правило «трех сигм»?

Задание

П.

Каждый двадцатый кредит

не

возвращается

срок.

этом году банк планирует выдать около

300

кредитов. Найдите

ве-

роятность

того,

что

только

не

более

кредитов

не

будут возвраще-

ны

срок.

Задание

III.

По

результатам наблюдений:

13, 19,

19,

14,

15,14,

17,

18,

19,

15,

16,

15,

17,

18,

17, 17, 16, 16 -

постройте

дис-

кретный

вариационный

ряд,

многоугольник частостей, график

вы-

борочной функции распределения. Подсчитайте;

а)

выборочное сред-

нее и

выборочную дисперсию двумя способами;

б)

несмещенную

оценку дисперсии

Придумайте правдоподобную

генеральную

со-

вокупность

или

соответствующую случайную

величину.

Задание

IV.

Система

с.в.

(X,

У)

имеет'следующую

таблицу

рас-

пределения.

Найдите:

а)

законы распределения ком-

понент

условный закон распределения

компо-

ненты

Хпри

условии,

что

0; б)

вероятность

того,

что (Х<

Y)\

в)

корреляционное отношение

между

с.в,

Хн

•

Задание

Инвестор имеет возможность

^ставить

портфель

из

трех

видов

некоррелированных

бумаг,

эффективное

ти

Е.

риски

которых даны

таблице.

'Рассмотрите

все

варианты составления

портфе

ля

из

этих бумаг равными долями. Дайте

П»ФИ^

кое

изображение

всех

этих

портфелей точками

(по

°^м

координат

эффективность,

риск),

Есть

ли

точки, оптимальные

по

Парето.

Задание

VI.

Сформируйте

оптимальный

^Р^/^ет/н^

фективности

из

трех

видов ценных бумаг:

^^^^^

сти,

равной восьми,

некоррелированных

рисковых ожидаемых

344

Е:

>:•

фективностей

16 и 20 с

рисками

4 и 16

соответственно.

Как

устроена

рисковая часть оптимального портфеля?

При

какой ожидаемой

эф-

.фективности

портфеля

возникает необходимость

операции «short

sale»

и с

какими

ценными

бумагами?

Задание VII.

таблице

указаны курс акций

Е и

эффективность

рынка

F на

протяжении

ряда кварталов. Найдите

регрессию курса акций

на

эффективность

рынка,

также оценки характеристик акций; «собст-

венной» вариации

v и а,

р,

(эффективность безрисковых вложе-

ний

равна

9).

Вариант

№ 5

Задание

С.в.

распределена

по

нормальному закону

мате-

матическим ожиданием, равным нулю,

средним

квадратическим

отклонением,

равным двум. Пусть

Х-

3Y,

Найдите вероятности

Р(Х>

1),

Р(1

ЛГ<

8),

Р(Х< 10), Р(Х=

3),

Напишите функции

плот-

ности

распределения

для X и

построите

их

примерные графики.

Как

выглядит

для

с.в.

вправило

«трех

сигм»?

Задание

П.

Каждый десятый проданный телевизор возвращают

обратно

магазин.

прошедший месяц было продано примерно

600

телевизоров. Найдите вероятность

того,

что

возвращено будет

не

менее

телевизоров.

Задание

Ш.

По

результатам наблюдений:

5,11,

22, 27, 98, 87, 73,

42,

46,

37, 52,

58,

61,

74, 18,

26,

44, 45, 62,

63,

69,

81,

56,

58, 32, 35,

49,

51,

77,

39 —

постройте интервальный вариационный ряд, много-

угольник

частостей,

график выборочной функции распределения.

Подсчитайте

выборочное

среднее

двумя

способами.

По ИВР

под-

считать выборочную дисперсию

несмещенную

оценку дисперсии

л/

s .

Придумайте правдоподобную генеральную совокупность

или со-

ответствующую случайную

величину.

Задание

IV.

Система

с.в,

(X,

У)

имеет

следующую

таблицу

рас-

пределения.

Найдите:

а)

законы распределения ком-

понент

ЛТ,

Ки

условный закон распределения компо-

ненты

ЛГпри

условии,

что У- 0; б)

вероятность того,

что

^примет

значение, отличающееся

от Хне

более

чем

на

единицу;

в)

корреляционный момент

К^

коэффициент корреляции

'XT

345

<*1

Задание

Инвестор имеет возможность составить портфель

из

трех видов некоррелированных бумаг, эффективнос-

ти

Е,

риски

а,

которых

даны

таблице.

Рассмотрите

все

варианты составления портфе-

ля из

этих бумаг равными долями. Дайте графичес-

кое

изображение всех этих портфелей точками

(по

осям координат

—

эффективность,

риск).

Есть

ли

точки, оптимальные

по

Парето?

Задание

VI.

Сформируйте оптимальный портфель заданной

эф-

фективности

из

трех

видов ценных

бумаг

безрисковых

эффективно-

сти, равной

двум,

некоррелированных рисковых ожидаемой

эф-

фективности

6 и 12 с

рисками

2 и 8

соответственно.

Как

устроена

рисковая

часть оптимального портфеля?

При

какой ожидаемой

эф-

фективности портфеля возникает необходимость

операции

«short

sale»

и с

какими ценными бумагами?

Задание VII.

таблице указаны курс акций

£и

эффективность

рынка

F на

протяжении

ряда кварталов. Найдите

регрессию

курса акций

на

эффективность рынка,

также оценки характеристик акций: «собст-

венной»

вариации

v и ос,

р,

(эффективность

безрисковых вложе-

ний

равна

б).

Е:

ПЕРЕЧЕНЬ

СОКРАЩЕНИЙ

БД

—

база данных.

ГКО

—

государственные казначейские обязательства

(облигации).

ДВР —

дискретный вариационный ряд.

д.с.в.

—

дискретная случайная величина.

ДСП —

древесно-стружечная

плита.

ИВР

—

интервальный вариационный ряд.

ЛПР —

лицо, принимающее

решения.

МС

—

математическая

статистика,

н.с.в.

—

непрерывная случайная

величина,

с.в.

—

случайная величина.

СКО

—

среднее

квадратическое

отклонение.

ТВ

—

теория вероятностей.

ЦПТ —

центральная предельная теорема.

ЛИТЕРАТУРА

Ашманов

С.А. Математические модели

методы

экономи-

ке,

—

М.,

1980.

Бугров Я.С., Никольский

СМ.

Дифференциальное

интег-

ральное

исчисление.

—

М.:

Наука, 1980.

Бугров

Я.С.,

Никольский

СМ.

Элементы линейной алгебры

аналитической геометрии,

—

М.:

Наука,

1980.

Вентцель

КС,

Теория вероятностей.

™

М.:

Наука,

1969.

Демидович

Б.П. Сборник задач

упражнений

по

математиче-

скому анализу.

—

М.:

Наука, 1977.

Кирюшенков

В.Н,

Лекции

по

высшей математике (рукопись).

Кузнецов

Ю.Н.,

Кузубов

Е.И.,

Волощенко

А.Б.

Математическое

программирование.

М.,

1980,

Первозванский

А.Т.,

Первозванская

Т.Н. Финансовый рынок:

расчет

риск,

—

М.;

ИНФРА-М., 1994.

Фалин

Г.И.,

Фалин А,И. Введение

актуарную математику.

—

М.:

Изд-во

МГУ, 1994.

Ю.Эльсгольц

Л.Э, Дифференциальные уравнения

вариацион-

ное

исчисление.

—

М..:

Наука, 1969.

348

Содержание

Введение

ЧАСТЬ

ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Тема

ВЕКТОРЫ

МАТРИЦЫ

ЭКОНОМИКЕ-

1.1.

ВЕКТОРЫ

ДЕЙСТВИЯ

НИМИ

Начальные

сведения

векторах

Действия

векторами

]

].,

Линейные

пространства.

Линейная

зависимость

независимость

еекторов

Пространство

товаров,

вектор

цен,

Задачи

1.8.

МАТРИЦЫ

ДЕЙСТВИЯ

НИМИ

Начальные

сведения

матрицах

Действия

матрицами

Технологическая матрица

задача оптимального

планирования

•

Матрицы

линейные преобразования

Задами

.-.

1.3,

СИСТЕМЫ

ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

(СЛАУ)

Начальные

сведения

СЛАУ

Векторная

матрично-вакторная

запись

СЛАУ

, 21

Определитель матрицы

Решениа

СЛАУ

помощью

определителей

Б.

Обратная

матрица.,.,

;....,

, 25

Задачи

Тема

ЛИНИЙ

НА

ПЛОСКОСТИ

И В

ПРОСТРАНСТВЕ

2,1.

ПРЯМЫЕ

ЛИНИИ

НА

ПЛОСКОСТИ.

ПЛОСКОСТИ

ПРЯМЫЕ

ЛИНИИ

ВПРОСТРАНСТВЕ

Прямая

линия

на

плоскости,

различные

виды

уравнений

прямой

Линейные функции спроса

предложения,

определение

равновесной цены

Бюджетное множество

, 31

Плоскости

прямые линии

пространстве

Задачи

а.2.

ВАЖНЕЙШИЕ

КРИВЫЕ

2-ГО

ПОРЯДКА.

ПОЛЯРНАЯ

СИСТЕМА

КООРДИНАТ

(

Важнейшие

кривые 2-го порядка

Оптические

геометрические

свойства

кривых

2-го порядка

Полярная

система

координат

Параметрические

уравнения линии

Задачи

Тема

ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ

ЭКОНОМИКЕ

3.1.

ЛИНЕЙНАЯ

МОДЕЛЬ

ОПТИМАЛЬНОГО

ПЛАНИРОВАНИЯ

Задача

оптимального

планироеания

••»

349

Некоторые общие сведения

линейном

программировании

Решение задач

ЛП

двумя переменными графическим методом

Задачи

целочисленного

ЛП 48

Задачи

3.2.

ДВОЙСТВЕННОСТЬ

ЛИНЕЙНОМ

ПРОГРАММИРОВАНИИ".!!!!!""!!!!!

Задача торга

Симметричная пара двойственных

задач

Теоремы двойственности

Экономическое содержание теории

двойственности

Задачи

;

3.3.

МОДЕЛИ

ЛЕОНТЬЕВА

НЕЙМАНА

Модель Леонтьева

Теория трудовой стоимости Маркса

модели Леонтьева

Модель

Неймана

Задачи

Тема

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ФУНКЦИИ,

ПРЕДЕЛЫ

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

4.1.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Элементы теории множеств

Последовательности

Предел последовательности

сумма ряда

Паутинообразная модель рынка

.' 68

Прямые

полные

затраты

модели

Леонтьева

Задачи

4.Й..ФУНКЦИИ

Общее понятие функции

Некоторые функциональные

зависимости,

используемые

экономике

Элементарные

функции

Свойства

функций одного переменного

Задачи

4.3.

ПРЕДЕЛ

ФУНКЦИЙ

•

Определение

предела функции

Бесконечно

малые

бесконечно

большие

функции

Основные свойства пределов

Первый

второй

замечательные

пределы

;

Задачи

'•

°"

4.4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

ФУНКЦИИ

Определение непрерывности функции.

Точки

разрыва

Свойства

непрерывных

функций

°4

Экономическая интерпретация непрерывности

Задачи

8е

Тема

ПРОИЗВОДНАЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛ,

ПРЕДЕЛЬНЫЕ

ВЕЛИЧИНЫ

ЭКОНОМИКЕ

5.1.

ПРОИЗВОДНАЯ

ФУНКЦИИ

Определение

производной

функции,

ее

физический

геометрический смысл

^о

Применение

производной

экономика

••

°^

Правила

дифференцирования

(нахождения производных

функций)

аи

Задачи

»•

ая

5.Й.

СВОЙСТВА

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ

ФУНКЦИИ

°|

Теоремы

дифференцируемых

функциях

Дифференциал

функции

дв

Формула

многочлен

Тейлора

Задачи

350

Тема

Б.

ИССЛЕДОВАНИЕ

ФУНКЦИЙ,

ПОСТРОЕНИЕ

ГРАФИКОВ

6.1.

ЭКСТРЕМУМЫ

ФУНКЦИЙ

ИХ

НАХОЖДЕНИЕ

Экстремум

функции

его

нахождение

Формула

Уилсоиа

Теория

одноресурсной

фирмы

"IZ1!.!

Прибыль фирмы

объем

поступления

налогов государству

при

данной

налоговой

ставке

,...,

102

Экстремумы

выпуклых

вогнутых

функций

103

Задачи

103

6.2.

ИССЛЕДОВАНИЕ

ФУНКЦИЙ,

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

104

Возрастание

убывание функций

104

Выпуклость

вогнутость

графика функции.

Точки

перегиба

104

План

исследования

функции

построения

ее

графика

105

Нахождение нулей функции,

приближенное

решение уравнений

106

Задачи

107

ЧАСТЬ

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ

АНАЛИЗ

ЭКОНОМИЧЕСКИМИ

ПРИЛОЖЕНИЯМИ

Тема

ФУНКЦИИ

МНОГИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

МНОГОМЕРНЫЕ

ПРОСТРАНСТВА

109

7.1.

ФУНКЦИИ

МНОГИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

109

Определение

функции

многих

переменных

109

Способы

задания

функции многих переменных

110

Некоторые многомерные функции,

используемые

экономике

112

Задачи

113

7.2.

МНОГОМЕРНЫЕ

ПРОСТРАНСТВА

114

Иерархия пространств

114

Евклидово пространство

115

Топология

евклидова пространства

117

Свойства

функций,

заданных

евклидовом

пространстве

119

_Задачи

121

Тема

ЧАСТНЫЕ

ПРОИЗВОДНЫЕ

122

8.1.

ЧАСТНЫЕ

ПРОИЗВОДНЫЕ

ФУНКЦИЙ

МНОГИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

12S

Частные

производные

122

Частные

производные

2-го

высших порядков

123

Экономический смысл частных производных

124

Задачи

•

125

8.2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

ФУНКЦИИ

МНОГИХ

ПЕРЕМЕННЫХ,

ПРОИЗВОДНАЯ

ПО

НАПРАВЛЕНИЮ

127

Диффервнцируемость

функций нескольких переменных

127

Геометрический

смысл

1 -го

дифференциала

128

Производная

по

направлению,

градиент функции

129

Линеаризация сложных зависимостей

130

Дифференциальные свойства функции полезности

131

Задачи

Тема

ЗАДАЧИ

ОПТИМИЗАЦИИ

ЭКОНОМИКЕ

133

9.1.

ЭКСТРЕМУМЫ

ФУНКЦИЙ

МНОГИХ

ПЕРЕМЕННЫХ

133

Экстремум

функции

и его

нвхожденив

Достаточное условие экстремума

134

Условный экстремум, метод множителей

Лагранжа

136

Задача оптимизации выбора потребителя

136

Характеристика точки спроса

Задачи

1db

351