Малыхин В.И. Математика в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

месяц

(40,

50,

60)

таких

же

велосипедов. Сколько

(и

каких)

велосипедов

производят

оба

завода

при

(X,,

Л,

)

™

(1, 2); (2, 3)?

3. При

нормальной

(Х=

интенсивности работы

завод

потреб-

ляет ресурсов

(20,

40) и

выпускает продукции

V—

(10, 30),

при

интенсивности

0<Х<4

—

вХраз

больше

ресурсов

потребляет

продукции

выпускает.

Опишите пары (ресурсы, продукция)

при X

= 2; 3;

2,5. Найдите вектор потребляемых

ресурсов,

потребных

для

выпуска

продукции

(20,

60); (15,

45);

найдите,

сколько будет выпу-

щено

продукции, если ресурсов потреблено

(25,'

50); (30,

60).

Укажите

те

пары

Я,

(д.

из

приведенных

далее,

когда линейная

комбинация

) +

ш~4

)

есть

неот

И1

ательный

вектор:

(1, 1);

(6,

1);

(-1,

-1);

(2,

-1).

Является

ли

линейно зависимой система

трех

векторов

1 Г

Найдите

все

базисы этой системы.

пространстве двух товаров

ценами

(3,

укажите несколь-

ко

наборов товаров стоимостью

15, 30, 45,

Пусть цены

изменились

стали

(4, 4).

Приведите примеры наборов

товаров,

которые подеше-

вели,

подорожали, остались

той же

стоимости.

Магазин торгует гвоздями двух видов:

25 и 40 мм.

Масса гвоз-

дей

соответственно

и-10

г,

цена

5 и 7

руб.

за 1 кг.

Покупатель,

ведущий

ремонт, хотел

бы

купить гвоздей

на 10

руб. Опишите

до-

ступные

ему на эту

сумму

наборы

гвоздей.

Подскажите

покупателю,

сколько

каких гвоздей

ему

купить, если

он

хотел

бы:

а)

купить гвоздей

как

можно меньше

по

массе;

б) как

можно больше

по

длине;

в)

купить гвоздей длиной

40 мм в два

раза больше

по

массе,

чем

гвоздей

25 мм.

1.2.

МАТРИЦЫ

ДЕЙСТВИЯ

НИМИ

Начальные сведения

матрицах. Матрицей называется прямо-

угольная

таблица чисел. Так,

(

4 )

есть

мат

И1

мя

строками

тремя столбцами. Обозначим

ее А.

Обычно

элементы матрицы обозначаются теми

же

буквами,

что

матрица,

но

строчными;

А =

(а^,

этой матрице всего

элементов:

°i

О»

(надо читать

эти

элементы так:

—

а-один-один,

—

а-один-два

т.д.).

Число

строк

число

столбцов

матрице

называются

ее

размерами^

причем

число

строк

называют

первым. Итак,

есть матрица размером

2x3.

Две

матрицы считаются равными (одинаковыми) тогда

только

тогда, если

у них

совпадают

их

размеры, т.е. число строк

число

столбцов,

совпадают сами строки

столбцы.

Пусть,

например,

(а,.)

есть

матрица

тхп

и В -

есть матрица

&Х.У;

тогда

если

только если

/и,

s -

для

любых

/ = Г,

...,

иу

= 1,

...,

п.

Таким образом, бессмысленно говорить

равенстве

матриц

при

несовпадении

их

размеров.

Если

число строк равно числу

столбцов,

то

матрица называется

квадратной.

квадратной матрице элементы

образуют

главную

диагональ

матрицы. Если

квадратной матрице

все

элементы

—

нули

только

на

главной диагонали

все

элементы есть единицы,

то

такая

матрица

называется единичной.

Так,

Е.

010

есть единичная

001,

матрица

размера

3. В

каждой

размерности

есть своя единичная мат-

рица.

Рассмотрим матрицу

размерами

т х и.

Каждую

ее

строку мож-

но

считать

вектором-строкой

размерности

п и

каждый столбец

—

вектором-столбцом размерности

/п.

Обозначим

/-ю

строку-вектор

У-й

столбец-вектор

Л,,

тогда матрицу

можно представить упо-

рядоченным

набором векторов-строк:

А -

или

упорядочен-

в«,

ным

набором

векторов-столбцов:

Л —

(Л

...,-

Заметим,

что

векторы можно рассматривать

как

частный случай

матриц.

Так, вектор-строка может рассматриваться

как

матрица

одной

строкой; аналогично

вектор-столбец

— как

матрица

одним

столбцом.

Действия

матрицами.

Эти

действия напоминают действия

векторами.

•Умножение

матрицы

на

число.

Любую матрицу можно

умножить

на

любое число.

Для

этого каждый элемент матрицы

ум-

ножается

на это

число

и эти

произведения образуют матрицу-резуль-

(230^

тат.

Например, умножим матрицу

4 J

на

Получим матри-

цу

1А***

[

„

т.е.

при

умножении матрицы

на

число множитель

«вносится»

под

знак

матрицы.

Сложение

матриц.

Любые

две

матрицы

одних

тех

же

раз-

меров

можно сложить. Получится

матрица

точности

тех же

разме-

ров.

Пусть

(й,

тогда матрица-сумма

А + В

состоит

из

элементов

а,.

Ь,„

т.е.

при

сложении матриц складываются

их

эле-

менты,

стоящие

на

одинаковых местах.

Однако

матрицы разных размеров складывать нельзя (даже

если

у них

одинаков какой-нибудь один размер; например, если число

строк одно

и то же, а

число столбцов разное,

то

такие

матрицы

скла7

дывать

нельзя).

Операция

матриц ассоциативна,

т.е.

(Л

+ Б)

С=А

(В +

—

это

свойство позволяет складывать любое конечное число матриц.

Умножение

матриц.

Иногда (именно иногда,

а не

всегда!)

матрицы

можно умножить одну

на

другую. Заметим сразу

же, что

порядок

перемножения матриц важен. Поэтому опишем, когда мат-

рицу

размерами

т х

можно умножить

на

матрицу

размерами

s, при

этом

будет стоять

слева,

справа,

т.е.

попробуем

найти

произведение

АВ,

Произведение

АВ

существует тогда

только тогда, если

обозначим

п = k

через

г.

При

этом

результате получается матрица

размерами

т х

ее

элемент

+,..

ajb^

или

(с

использованием знака суммирования)

с..-

а,.

Ь,,.

/°i

Пусть, например,

1 4

тогда

АВ=*{*

3 0

Кстати,

произведение

ВА

также существует

равно

б 3 16 .

0 8

Мы

видим,

что

АВ&ВА.

Следовательно, умножение матриц

некоммутативно,

т.е.

зависит

от

порядка сомножителей. Если

матри-

цу

Кнельзя

умножить

на

матрицу

то

говорят также,

что

произве-

дение

WHO

существует.

Так

как

векторы можно считать частными случаями матриц,

то

можно

(иногда опять-таки

перемножать матрицы

векторы

даже

только

векторы друг

другом

по

только

что

описанному правилу

перемножения

матрииц.

Пусть

А —

матрица размерами

т х п, У—

вектор-строка размер-

ности

s и X —

вектор-столбец размерности

Тогда матрицу слева

можно умножить только

на

вектор-столбец,

причем должно быть

п'-

k и

получится вектор-столбец размерности

т.

Матрицу

справа

можно

умножить только

на

вектор-строку,

причем должно быть

s = т и

получится вектор-строка размерности

п.

Умножить вектор-

строку

на

вектор-столбец

можно только тогда, если

у них

размер-

ность

одинакова

—

получится матрица

из

одной строки

одного

столбца, такую матрицу можно считать просто числом. Можно

ум-

ножить

любой

вектор-столбец

на

любую вектор-строку (как матри-

цы)

—

получится матрица, число строк

которой

— как у

вектора-

столбца,

столбцов

— как у

вектора-строки.

(2 3

(М

Например, пусть

А~\

, Y = (4,

-1),

Х=

2 ;

тогда

*У

[QJ

/8^

М-М

ЛЛН

(7, 12,

-4),

XY=

8 -2 .

}

Заметим,

что

произведения

-К4,

У,

УХне

существуют.

Транспонирование

матриц.

Также

как и

векторы, мат-

рицы

можно транспонировать

—

менять местами строки

столбцы,

т.е.

1-я

строка исходной матрицы становится

1-м

столбцом

транспо-

нированной

матрицы,

2-я

строка

— 2-м

столбцом

т.д. Пусть

(

2 Ч П

0 4

исход

ная

матрица, тогда матрица, транспонирован-

ная

ней, есть

А*

104J

Легко видеть,

что

если исходная есть матрица размерами

т х

н,

то

транспонированная

к ней

есть матрица размерами

и х

/и.

Так же

как

для

векторов, операция транспонирования, осуществленная

по-

следовательно

дважды,

дает

исходную матрицу:

(Л

)

= А,

Технологическая

матрица

задача

оптимального

планирования.

Матрицы

широко используются

во

всех

областях науки,

в том

числе

экономической. Многие обозначения

при

использовании матриц

очень

компактны,

при

этом

без

потери

наглядности

содержатель-

ности.

Для

примера

рассмотрим'

так

называемую

технологическую

матрицу.

Пусть предприятие

из т

видов ресурсов производит

видов про-

дукции.

Предположим,

что для

производства одной единицы (ед.)

./-го

вида

продукции

расходуется

а^

ед.

/-го

вида ресурса, т.е.

а^

—

норма

расхода

/-го

ресурса

на

производствоу'-Й

продукции. Матрица

(«£,),

составленная

из

норм

расхода,

называется

матрицей

норм

расхода.

Технологической

же ее

называют

вот

почему. Рассмотрим

какой-нибудь,

например

У-й,

столбец

Л,

этой

матрицы.

Этот

столбец

полностью описывает

расход

ресурсов

на

производство

1 ед.

у-й

продукции.

Говоря

абстрактно,

для

получения

1 ед. у-й

продук-

ции

надо «смешать»

а,,

ед.

1-го ресурса,

ед.

2-го

т.д. Такое «сме-

шивание»

вполне правильно назвать технологией переработки

ресурсов.

Таким

образом,

jf-й

столбец матрицы

описывает

у-ю

тех-

нологию

переработки'ресурсов.

Всего предприятие располагает

тех-

нологиями.

Остановимся

теперь

на

содержательном смысле строк матрицы

норм

расхода (или технологической).

Как

легко

видеть,

элементы

/-Й

строки

описывают

расход

/-го

ресурса

на

единицу каждой

про-

дукции

или при

единичной интенсивности каждой технологии.

Вернемся

технологической матрице

для

более глубокого усво-

ения.

Рассмотрим план производства

ед. 1-й

продукции,

ед.

2-й и

вообще

ед. у-й

продукции. Такой план представим

векто-

*.\

ром-столбцом

•

Заметим,

что для

осуществления такого

плана

понадобится

ед.

1-го ресурса,

Д-

2-го

вооб-

/=м

•

/=i

ще

ЕД.-я/

ед.

/-го

ресурса. Оказывается,

что

такие количества

ре-

/-1

}

•

сурсов

есть компоненты вектора-столбца

АХ>

если выполнить умно-

жение

матрицы

норм расхода слева

на

вектор-столбец

плана про-

изводства справа.

Введем

еще

величину

удельной

прибыли

}

— это

прибыль

от ре-

ализации

одной единицы

у-й

продукции. Запишем

все эти

удельные

прибыли

виде

вектора-строки

(с,,

.„,

Тогда произведение

С • X

(скалярное,

как

векторов одинаковой размерности,

или

векто-

ра-строки

на

вектор-столбец,

как

матриц) представляет

собой

вели-

чину

прибыли, полученной

при

реализации

А'ед,

произведенной про-

дукции,

Обозначим

эту

прибыль

Р(Х),

Пусть

обозначает количество единиц

(-го

ресурса, запасенно-

го

на

складе. Запишем

эти

величины запасов

виде

вектора-столбца

В-

;

Тогда

матрично-векторное

неравенство

АХ

означает

необходимость

учитывать ограниченность запасов ресурсов

при

рас-

смотрении

планов производства. Если

это

неравенство выполняется,

значит,

для

плана

хватит имеющихся запасов ресурсов

такой

план

является реальным, или,

как

говорят, допустимым.

Рассмотрим

следующую

задачу

оптимального

планиро-

вания:

найти

такой

план

производства,

который

бы

был

допусти

мым

обеспечивал

наибольшую

прибыль

из

всех

допустимых

планов.

Эту

задачу (одну

из

важнейших

во

всей

экономической теории)

символически

записывают

так

(ограничение

добавлено исходя

из

содержательного

смысла

задачи):

ДЯ)«

С-^-мпах,

АХ<В,

Х>И.

Обозначим

множество

всех

планов.

удовлетворяющих услови-

ям:

Х>

АХ

через

назовем

это

множество

допустимом

(множеством

допустимых

планов);

тогда

указанную выше задачу

можно

сформулировать

так; найти максимум функции прибыли

Р(Х)

на,

множестве

допустимых планов:

Р(Х)

-»

max,

Хе

3), ,

Матрицы

линейные

преобразования.

Рассмотрим какое-ни-

будь

числовое линейное пространство, например двумерное

Тог-

да

любая квадратная матрица

размера

задает линейное преобра-

зование

а:

по

правилу:

а(А)

АХ.

Линейность преобразо-

вания

означает,

что

&(Х+

а(Х)

а(У)

а(ХА)

•

а(Х)

для

любых

векторов

Ки

любого

числа

Я.

частности, отсюда следует,

что

нулевой вектор переходит

себя.

Пример

Убедитесь

том, что:

а)

единичная

матрица

»[

задает

тождественное

отображение

пространств

на

себя;

б)

матрица

умножает

вектор

на

чисЛо

\°

и)

Матрица

У=[

перестапляет

компоненты

вектора;

г)

матрица

оставляет

1-го

компоненту

вектора

неизмен-

ной,

а 2-ю

делает

суммой

обеих

прежних

компонент,

Примечание.

математике

понятие

«матрица»

может

обозначать

прямоугольную

таблицу

не

только

чисел.

Это

более

обще.е

понятие

матрицы

иногда

используется

нашем

курсе

далее.

ЗАДАЧИ

Найдите

все

возможные попарные произведения матрицы

2 1

векторов

х =

(2,

-3),

Г=

затем найдите произведе-

ние

XAY.

Ошш.^Г=(

),^-(4

-10)

)

^=(-10)

-10,ИГ-(8

Г^),

диг«

да>г^ (4,

-няЦ)-

-зб.

Решите

матрично-векторные

уравнения:

(2tWl

3W41W

/6)

Uzr

и«Мз2Г

(т)-

решение.

Рассмотрим

только

первое

уравнение. Сначала надо

сообразить,

что X не

может быть

числом,

может быть только

мат-

рицей

2x2.

После этого надо обозначить неизвестные элементы этой

матрицы

Х~\

и,

умножая матрицу

А на

матрицу

полу-

)

чить

систему уравнений:

2Хц

"""^2[

^12

4X11+2*21=2,

+2^

=:6

после

чего

решить

ее.

Ответ. Решений бесконечно много.

Вот

множество решений:

*!!

' \ 1

Ц1-2х

3-2х,

ii'*l2

eJ?

J-

[201

-310'

Рассмотрите матрицы

Х~

-2 3 2 ,

Y-

21.

\4-15

О -1

Убедитесь

том,

что XY

#•

YX. Еще раз

подтверждается,

что ум-

ножение

матриц

некоммутативно,

т.е.

зависит

от

порядка сомножи-

телей.

4. Цех

делает трансформаторы двух видов.

На

один трансфор-

матор первого вида нужно

5 кг

железа

и 3 кг

проволоки,

второго

вида

— 3 кг

железа

и 2 кг

проволоки.

От

реализации

одного транс-

форматора

цех

получает прибыль

б и 5

дол.

соответственно.

Цех

рас-

полагает

4,8 т

железа

и 3 т

проволоки. Сколько видов продукции

производит цех? Сколько видов ресурсов используется?

Составьте

матрицу

норм

расхода,

векторы удельной прибыли

запасов ресур-

сов.

Рассмотрите

несколько

планов

производства

определите,

какие

/5001

(600

V»

из них

допустимы, Например, допустимы

ли

планы

Решение. Вектор удельных прибылей

С -

(б,

5).

Вектор

запасов

ресурсов

Б-l

™0

Матрица норм расхода

А=\

]•

Видов про-

дукции

— 2,

видов ресурсов

— 2.

Чтобы определить, допустим

ли

хЛ

план

производства

Х= ,

надо либо непосредственно подсчитать

расход

ресурсов

на

этот

план

сравнить

имеющимися

запасами,

или

проверить выполнение

матрично-векторного

неравенства

ЛЛХ

В.

итоге

получаем,

что оба

плана допустимы.

5. На

лесопилке

из

еловой

пихтовой древесины делают фане-

ру

брусы.

На 100 кв. м

фанеры нужно

куб.

еловой

и б

куб.

пихтовой

древесины

прибыль равна

170

дол.

На 100 поп м

(т.е.

по

длине)

елового бруса нужно

куб.

м, а на 100 поп м

пихтового бруса

нужно

куб.

древесины, прибыль

же

равна

соответственно

80 и

100

дол. Сколько видов продукции производит лесопилка? Сколько

видов

ресурсов используется? Составьте матрицу норм расхода, век-

торы

удельной прибыли

запасов ресурсов.

Докажите,

что

фанеру

производить

невыгодно,

найдите

план,

дающий максимальную

прибыль.

/2 1

Возведите

матрицу

4 )

квад

ат

етыо

степень.

Указание.

Возвести

матрицу

квадрат

—ото

значит

умножить

ее на

самое

себя.

Когда

найдете

квадрат

данной

матрицы,

надо

умножить

этот

квадрат

еще раз

на

данную

матрицу,

тогда

получите

третью

степень дан-

ной

матрицы.

Пусть

Е —

единичная матрица. Проверьте,

что

если произве-

дение

ХЕ

(ЕХ)

существует,

то

ХЕ

(ЕХ-

X),

какова

бы ни

была

матрица

Пусть

«(]

В=1

Проверьте,

что

АВ=ВЛ

\ *

*•}

*"'

*•

где

—

единичная матрица 2-го порядка. Матрицы

/такие,

что

XY=*

YX-

Е,

где Е—

единичная матрица, называются

обратными

друг

Другу,

т.е.

матрица

/является

обратной

Хн

часто обозначается

^"',

матрица

.Vявляется

обратной

к'

Ки

также

обозначается

У-

9. Для

пространства

напишите матрицы, которые:

а)

умно-

жает

1-ю

компоненту вектора

на 3, 2-ю — на

3-ю

оставляет

неиз

менной;

б)

делает

3-ю

компоненту суммой всех трех прежних компо-

нент

2-ю

компоненту

делает

суммой прежних

1-й и

2-й;

а 1-ю

ком-

поненту

оставляет неизменной.

10.

Убедитесь

на

конкретных примерах,

что

если

Y—

неотрица-

тельная

вектор-строка,

А —

матрица,

В —

векторы-столбцы,

то

неравенство

АХ£

сохранится

при

умножении

его

слева

на К

Вспом-

ните

правила действий

обычными неравенствами.

1.3.

СИСТЕМЫ

ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

(СЛАУ)

Начальные сведения

СЛАУ. Многочисленные задачи сводят-

ся

итоге

решению систем линейных алгебраических уравнений.

Вот

задача-шутка (шутка

ли?,

сказка

—

ложь,

да в ней

намек

!).

«Задача

разведчике».

засекреченном

городке

около

100 000

рабочих

работало

на 3

крупных

заводах,

других

заводов

городке

не

было.

Разведчику

удалось

достать

данные

текучести

кадров:

за год из

каждой

тысячи

работающих

завода

А 20

чел.

переходят

на

завод

В и 15

чел.

на

завод

Си

т.д.

(рис.

1).

Городокжил

стабильной

спокойной

жизнью

уже

мно-

го

лет.

этих

условиях

разведчик

сумел

установить

численность

рабочих

на

каждом

заводе.

Сумеете

ли

сделать

это вы?

Решение.

Сумеем,

Фраза

«Городок

жил

стабильной

спокойной

жизнью...»

является

ключевой.

Она

означает,

что

сколько

каждого

завода

за год

уволь-

няется

рабочих,

столько

же и

прини-

мается

на

него.

Отсюда,

обозначая

чис-

"""

ленность

рабочих

на

заводе

через

т.д.,

получаем

систему

линейных

алгебраических

уравнений:

А:

35о/1000

=7/>/ЮОО

8с/1000,

Ш/ЮОО

=20я/1000+

Юс/1000,

С:

18с/1000

15я/1000+

Шй/КЩ

я+й+с-ЮОООО.

Решив

СЛАУ,

получим

отрет:

600,

= 43

600,

800.

линейной алгебре СЛАУ появляется всякий раз, когда хотим

выяснить,

является

ли

какой-нибудь вектор линейной комбинацией

некоторых

других векторов. Такая

задача

уже

рассматривалась (см.

п,

раздел 1.1). Рассмотрим несколько важных понятий, относя-

щихся

СЛАУ,

СЛАУ

называется

совместно^

определенной,

неопределенной,

He-

совместной,

если

она

соответственно имеет хотя

бы

одно решение,

имеет ровно

одно

решение, имеет более одного

решения,

не

имеет

решений.

Отметим,

что

несовместная

система

— это

система,

не

являю-

щаяся

совместной.

Вот

примеры всех четырех систем

(в

порядке,

пе-

речисленном

выше):

jcj

+Х

~3,

2х,

-х

-[,

Xi~*

=l,

+2х

=4,

[2xi-x

=0,

*!-Ь;

=5,

2x,-2x

-2,

+4х

=7,

Векторная

матрично-векторная

запись СЛАУ. Пусть дана

СЛАУ

из т

уравнений

неизвестными:

'бц^+м.+Я,^,^,,

m{X{

'+...+a

\ I

г.

Через

X—

•

,5-

•

обозначим

л-мерный

столбец

пере-

*м

менных

ш-мерный

столбец свободных членов, соответственно

А —

матрица

коэффициентов

и в ней

Л,,...,

—

составляющие

ее

векто-

ры-столбцы. Тогда можно следующим образом записать данную

СЛАУ.

векторном виде:

дгД

...

В. И

тогда решить СЛАУ

означает

найти

всевозможные

разложения вектора

В по

векторам

Л,,...,

т.е.

найти всевозможные наборы чисел

{

,...,

таких,

что

вектор

есть линейная комбинация векторов

коэффициентами

из

какого-нибудь

такого

набора.

Каждый такой набор есть

//-мерный

вектор,

следовательно, множество решений

рассматриваемой

СЛАУ

есть некоторое подмножество

//-мерного

числового линейно-

го

пространства

А".

СЛАУ

будет

совместной,

определенной,

неопределенной,

несо-

вместной,

если вектор

имеет хотя

бы

одно

решение

—

представле-

ние

виде линейной

комбинации

векторов

Л,,...,

ровно одно такое

представление,

более

одного

представления,

не

является линейной

комбинацией

этих

векторов,

или;

\М\

|Л/|

матричном

виде СЛАУ записывается кратко

образно:

АХ~

(сравните

обычным

уравнением первой степени

ах

b ).

Существует

очень красивая

стройная теория СЛАУ Однако

нам

она

не

понадобится,

кроме некоторых фрагментов.

Две

СЛАУ называются

эквивалентными,

если каждое решение

одной

из

них

есть

решение другой,

наоборот,

т.е.

если множество

решений

у них

одно

и то же.

Следующие

два

вида

преобразований

СЛАУ

называются

элементарными: