Малыхин В.И. Математика в экономике

После этого составляем двойственную задачу:

3;Ki

тах

У,+^<Ю,

-Уг

-3,

-Л<-2.

Теоремы

двойственности.

Рассмотрим

симметричную

пару

двойственных

задач

векторно-матричной

форме:

Р(Х)

С-Х-*

max,

S(Y)

Y-

min,

•ллг<

>c,

Х>0,

Y>Q,

Обозначим

допустимое

множество

исходной

задачи

двойст-

венной

2>\

Основное

неравенство

теории

двойственности.

Для

любых

допустимых решений исходной

Хи

двойственной

/задач

Р(Х)

5(}%

(4)

Доказательство.

Заметьте,

что

переменные

обеих

задачах

не-

отрицательны,

поэтому справедлива следующая цепочка неравенств:

ДД)«

C-X<(YA)-X

Y-(AX)<

Y-B~$(Y).

Следствие

.из

основного

неравенства.

Если допусти-

мое

множество одной

из

задач

двойственной пары

не

пусто,

то

целе-

вая

функция другой задачи

ограничена

направлении

экстремума

на

своем

допустимом множестве.

Доказательство.

Пусть,

например,

допустимое

множество

ис-

ходной задачи

не

пусто,

т.е.

есть некоторая точка

Х°.

Тогда,

со-

гласно основному

неравенству,

S(Y)>

P(X°)

для

любой допустимой

точки

/двойственной

задачи.

Критерий оптимальности

допустимых

решений.

Пусть

X* и

—'допустимые

решения исходной

двойственной

за-

дач.

Для

того

чтобы

они

были оптимальными,

необходимо

доста-

точно равенства значений целевых функций этих задач.

Доказательство.

Предположим,

что

ДЛ*)

S(Y*).

Докажем,

что

X* —

точка

максимума

(доказательство,

что Y* —

точка минимума,

совершенно аналогично). Пусть

Х~~

какая-нибудь допустимая

точка

исходной задачи. Тогда

по

основному неравенству

Р(Х)

£(**)

Р(Х*),

что и

требовалось

доказать.

Вторая часть критерия является

следствием

следующей

теоремы:

1-я

теорема

двойственности.

Если одна

из

двойствен-

ных

задач имеет оптимальное решение,

то и

другая задача имеет

оптимальное решение

экстремальные значения

целевых

функций

равны.

Доказательство этой теоремы довольно сложно

и нам не

нужно.

Эта

теорема вместе

с еще

двумя теоремами

образует

так

называе-

мую

теорию двойственности

ЛП.

2-я

теорема

двойственности.

Для

того чтобы допустимые

решения

исходной

У*двойственной

задач были оптимальными,

необходимо

достаточно выполнения каждой

из

следующих трех

групп

соотношений

(не

забудьте, что;

X —

вектор-столбец,

У"

—

вектор-строка);

У*(В

АХ*)

0 и

(У*А

QX*

= 0;

(

U/-

-х/

=0 и Z

Ео*;>/*-с/х/=0;

1 \ '

У«1

}

J=l\i=l

J J

для

всякого

/ - 1,

,..,

т,

если

v»

> О, то

ЕЯ»*,

—b,\

для

i°\

всякого/-

...,

п,

еслих.О

0, то

^La

y',-c

{о\

Докажем необходимость

достаточность выполнения соотно-

шений

1-й

группы.

Необходимость,

Пусть

Y* —

оптимальные решения.

По ос-

новному

неравенству

двойственности имеем;

С • X*

У*В,

Но

• X* <

(Y*A)X*

Y*(AX*)

<')^5.

По 1-й

теореме

двойственности

• X* -

Y*B.

Значит,

все

неравенства

являются

действитбльности

равенствами,

т.е.

С-Jf*=

(l*^)^*»

Y*(AX*)

У*-

В.

Следовательно,

К*(Я-ЛА*);=Ои

()*Л-

С)^*-0.

Достаточность.

Пусть

(В -

АХ*)

0 и

(Y*A

~ С) X*

Тогда

Y*-B=

Y*(AX*)

(У*А)Х*~

С •

X*,

тем

самым

•

В~

С-^*ипо

критерию

оптимальности

заключаем,

что X*

—

оптимальные

решения.

остальном ограничимся доказательствами эквивалентности

2-й

и 3-й

групп

соотношений.

Пусть

выполнены соотношения

2-й

группы. Рассмотрим только

соотношения

левой

группы.

Каждое слагаемое

сумме

ЪУ1

\Ь,~

а,<х*,

неотрицательно,

значит,

из

равенства нулю

/«I

j~i

всей

суммы вытекает равенство нулю каждого слагаемого,

Но это в

точности означает выполнение

левых

соотношений

«для

всякого

...»

з-й

группы.

Так же

доказывается,

что

выполнение этих соот-

ношений

3-й

группы влечет равенство нулю левой суммы

из 2-й

группы.

3-я

теорема двойственности. Рассмотрим задачу опти-

мального

планирования

Р(Х)

С-ЛГ-)

max,

АХ

Я,

при

данном векторе запасов ресурсов. Назовем

эту

задачу

В-задачей.

Предположим,

что при

данном конкретном значении

вектора

за-

пасов

В все

компоненты оптимального плана

Х*(В

)

(*/*)

строго

положительны.

Обозначим

Y*(B°)

оптимальное решение задачи,

двойственной

-#°-задаче.

Тогда существует такое

е>

что

если

\В-

В*\<е,

то: -

ассортимент выпускаемой продукции

оптимальном

плане

5-задачи

остался прежним

(но,

вполне возможно,

что

коли-

чественно

изменился);

кроме

того,

оптимальное решение

задачи,

двойственной

5-задаче,

осталось неизменным, т.е.

(В)

Y*(fi°)'

кроме

того,

максимальная прибыль

Л-задаче

выражается

формулой

1»(В)

У*(Я°)+

^/'^.где^Л^

—

мак-

/=1

симальная

прибыль

Я°-задаче.

Доказательство этой теоремы довольно сложно

и нам не

нужно.

Экономическое

содержание

теории

двойственности.

Централь-

ный

вопрос, который рассматривается

этой теории,

— это

вопрос

ценности ресурса.

Но

ценности

его не

рыночной,

исключительно

внутренней точки

зрения

данного

предприятия,

точки зрения

эф-

фективного

использования

этого ресурса

сложившейся структуре

производства^

определяемой технологической матрицей

удельны-

ми

прибылями.

При

этом оценка ценности производится только

•процессе использования ресурса

одном цикле производства.

Это

является элементом условности,

абстрактности,

не

совсем

отражаю-

щим

реальность.

Из

всего

этого

вытекает

основополагающая

оценка

ценности

ресурса

—

сколько

прибыли

может

принести

вовлечение

производство

еще

одной

единицы

данного

ресурса?

Конкретно

это

означает

следующее.

Рассмотрим

задачу

оптимального

планиропа-

ния

данным вектором запасов ресурсов

В.

Найдем максимальную

прибыль.

Найдем оптимальное решение

двойственной

задачи

У*. Как

уже

указывалась

ранее,

оптимальные значения переменных

двойст-

венной

задачи называются двойственными оценками ресурсов. Имен-

но

двойственные оценки ресурсов

есть мера

их

ценности

рассма-

триваемой точки зрения.

Как

раз это и

утверждает

3-я

теорема

двойственности.

Действи-

тельно,

условиях теоремы добавочное вовлечение

производство

одной

единицы

f-ro

ресурса увеличивает максимальную прибыль

как

раз на

величину двойственной

его

оценки.

3-я

теорема двойственности утверждает

и еще

одну важную

вещь. Всякое изменение ассортимента выпускаемой продукции

бо-

лезненно

для

производства

—

надо искать покупателей новых видов

продукции

как-то объясниться

покупателями

тех

видов продук-

ции,

которые

не

будут выпускаться; необходимо перестроить произ-

водство

—

часть станков законсервировать,

другую часть наладить,

переучить

рабочих

т.д.

Однако

3-я

теорема двойственности утверж-

дает,

что в

определенных условиях,

при

изменении величины запа-

сов,

ассортимент

выпускаемой продукции

не

изменится,

произойдут

лишь

некоторые количественные изменения.

Теперь обратимся

экономическому смыслу

2-й

теоремы двой-

ственности.

Опять

рассмотрим исходную

задачу

оптимального пла-

нирования,

ее

оптимальный

план

X*-

(xj)

двойственную задачу

ее

оптимальным планом

(у/).

Взглянем теперь

на 3-ю

группу

соотношений.

Назовему-ю

технологию

невыгодной,

если

y*>t

/=•1

Смысл

названия понятен

— эта

технология

не

извлекает

из

ресурсов

то, что «в них

содержится»:

одной единицы продукции, сделанной

по

данной

технологии, получается прибыль

потраченные

при

этом

ресурсы

оцениваются

а*у*.,

т.е,

больше,

Так

вот,

соотношения

/«I

«для

всякого./

...»

3-й

группы однозначно

утверждают,

что в

опти-

мальном плане

ни

одна

невыгодная

технология

не

используется!

о чем

говорят соотношения «для

всякого

/ =

...»

3-й

группы?

Их

смысл тоже очень ясен. Если

оптимальном плане данный

ре-

сурс

используется

не

полностью,

если

он

остался

ненулевом

коли-

чество,

то его

двойственная

оценка равна нулю.

Не он

сдерживает

получение

еще

большей прибыли

—

ведь

его

запас

не

исчерпан.

Ре-

сурс

положительной

двойственной

оценкой

называют

еще

узким

местом

производства.

Соотношения «для всякого

...»

3-й

группы

утверждают,

что

ресурс^

являющийся узким местом

производства,

обязательно полностью используется

оптимальном

плане.

Прокомментируем

еще с

экономической точки зрения основ-

ное

неравенство теории двойственности

(4):

Цс/х/^

£у//»/

Для

/«1

/=i

любых

допустимых решений пары двойственных задач.

Это

неравен-

ство

можно трактовать

так;

если

мы

согласны

аргументами

Вла-

дельца,

что

потраченные

на

производство одной единицы продук-

ции

ресурсы должны оцениваться

не

меньше,

чем

полученная

от

реа-

лизации

этой единицы продукции прибыль,

то

никакой допустимый

план

производства

не

может извлечь

из

запасенных ресурсов больше,

чем

их

суммарная оценка,

т.е.

больше,

чем «в них

содержится».

Ну,

а 1-я

теорема двойственности утверждает,

что

только опти-

мальный

план извлекает

из

ресурсов

точности

столько,

сколько

них

содержится.

ЗАДАЧИ

Решение

задач

ЛП с

помощью

2-й

теоремы двойственности.

Пусть

дана задача

ЛП:

4х

-»

max,

х,

2 +

О,

#|»

<#2'

О'

В ней три

переменных,

так что

решить

се

графическим методом

нельзя.

Тем не

менее можно решить

эту

задачу

помощью

2-й

тео-

ремы

двойственности.

Составим

для

этой задачи двойственную.

Для

этой цели сначала

сделаем

все

неравенства типа

«не

более»

(<):

-»

max,

*|+*

Ь|

>0,

-*,-х,<2

|.у

>0,

х^,

Ху

О,

Тепеь напишем двойственную задачу;

У!

1у

min,

У\-У1>

О»

^>4,

-У

> -8,

У\>Уг

>0,

Она

двумя

переменными. Решим

ее

графически.

Ответ:

- 0.

теперь найдем решение исходной задачи

помощью

2-й

тео-

ремы

двойственности, Соотношения

3-й

группы трактуются

следую-

щим

образом; если оптимальное значение переменной задачи строго

больше

нуля,

то

соответствующее

ограничение двойственной задачи

должно быть равенством

на

компонентах

ее

оптимального решения.

обратное;

если

ограничение задачи

является

строгим

нераренст-

вом

на

компонентах оптимального решения,

то

оптимальное значе-

ние

двойственной переменной должно быть равно нулю.

Так

как 1-е и 3-е

ограничения двойственной задачи

есть

строгие

неравенства,

то

л:

Далее,

О,

значит,

= 1, так что

=1.

Составьте

двойственную задачу

для

задачи

ЛП;

4.x,

Зх

30х

-»

min,

А»

*"""

ОЛ*

5х

О,

Проверьте,

что

точки

(1, 2, 0) и (4, 3)

являются оптимальными

для

исходной

двойственной задач соответственно.

Для

данной задачи

ЛП

составьте двойственную, решите

ее и

затем найдите решение исходной задачи

при

помощи

2-Й

теоремы

двойственности:

\2х

{

-»

max,

-х,

2я

2х,

2х

< 4,

л,,

Банк имеет

на 3

мес. свободные ресурсы

количестве

млрд

руб. Вложение

в ГКО

даст

29%,

на

межбанковском рынке можно

получить

П%,

вложение

валюту

последующей конвертацией

даст

только

14%.

Составьте

задачу распределения

свободных

средств

Целью

максимизации процентного

дохода.

Составьте

двойственную

задачу.

Какова двойственная

оценка

ресурса

—

денег?

задачах

трансформаторах-и

лесопилке (см.

раздел

1.2)

от-

ветьте

на

следующие вопросы: Какой ресурс является «узким мес-

том»? Каковы двойственные оценки ресурсов?

3.3.

МОДЕЛИ ЛЕОНТЬЕВА

НЕЙМАНА

Модель Леонтьева. Первой рассмотрим модель межотрасле-

вого

баланса,

или

модель

Леонтьева,

американского экономиста

(1906-1999).

Пусть

весь производственный сектор народного

хозяйства

раз-

бит

на

чистых

отраслей.

Чистая

отрасль

— это

условное понятие

—

некоторая

часть народного

хозяйства,

более

или

менее цельная (на-

пример,

энергетика,

машиностроение,

сельское хозяйство

т.п.).

л/

Пусть

а § —

количество продукции

/-и

отрасли, расходуемое

у'-й

отрасли,

У,

—

обьем производства

/-и

отрасли,

с,

—

объем

потребле-

ния

продукции

/-и

отрасли

непроизводственной

сфере.

Ясно,

что

с,-К,-Ее/.

(*J

/Л/

Матрица

—

содержит весьма много информации. Так,

ее

/-я

строка характеризует использование продукции

/-и

отрасли

по

всему народному хозяйству,

ау-й

столбец

характеризуету-ю

отрасль:

что и в

каких количествах

она

использует.

Перейдем

теперь

безразмерным величинам. Пусть

л/

ag/Vj—

это

количество единиц продукции

/-и

отрасли,

расходуе-

мое на

изготовление, производство одной единицы

продукции

У-Й

отрасли.

Числа

называются

коэффициентами

прямых затрат

j-ft

отрасли

характеризуют технологию этой отрасли. Число

же

с,/У,

есть

доля продукции

/-и

отрасли, идущая

на

непроизводственное

по-

требление.

Для

дальнейшего рассмотрения модели Леонтьева сделаем

два

важных

предположения,

Первое состоит

том,

что

сложившуюся технологию производ-

ства

считае'м неизменной.

Таким

образом, матрица

(а,,)

посто-

янна.

Второе состоит

постулировании

свойства линейности сущест-

вующих технологий,

т.е.

для

выпускау-й

отраслью продукции объема

надо

ресурсов (продукции других отраслей)

количестве

Это

требование

означает,

частности,

что

каждая

отрасль способна про-

извести любой объем своей продукции

при

условии,

что ей

будут

обеспечены

ресурсы

необходимом

количестве.

На

самом

деле

это,

'конечно,

не

так,

ибо

производственные возможности всякой отрас-

ли

ограничены

имеющимся объемом трудовых ресурсов

основных

фондов.

Есть много

общего

рассматриваемой ситуации

задачей опти-

мального

планирования

или

оптимального использования ресурсов.

частности, пусть

=•

Ц)

—

вектор объемов

производства

отраслях,

тогда

a-gXj

—

потребляемые

объемы

продукции

этих

от-

раслей,

так что

остается

вне

производства только

С =

X—

АХ,

Важ-.

нейшим

вопросом

рассматриваемой модели является продуктив-

ность модели Леонтьева.

Пусть потребность непроизводственной сферы выражается век-

тором

С.

Существует

ли

вектор

производства,

обеспечивающий

это,

т.е. удовлетворяющий уравнению

С=АХ-Х>

С- X

АХ

(1)

Разумеется,

учетом экономической интерпретации,

этот

век-

тор

производства должен быть неотрицательным.

Поэтому говорят,

что

модель Леонтьева продуктивна, если урав-

нение

АХ~

--С

имеет

неотрицательное

решение

для

любого

О,

.т.е.

матрица

позволяет произвести любой неотрицательный вектор

потребления.

Теорема.

Модель

Леонтьева

матрицей

продуктивна

тогда

только тогда, если существует

неотрицательная

мат-

рица,

обратная

матрице

(Е

-Л).

Можно

доказать также,

что

модель

Леонтьева

продуктивна,

если

она

позволяет произвести хоть какой-нибудь строго положительный

вектор

потребления;

из

этого

вытекает,

что

можно произвести

любой неотрицательный вектор потребления.

Только

что

указанные

критерии продуктивности модели Леон-

тьева

не

имеют хорошей экономической интерпретации.

Рассмот-

рим

еще

один критерий продуктивности.

Пусть

модель Леонтьева задана матрицей

размерами

/ях«;

обозначим

через

множество

{1,

...,

п}.

Пусть

Говорят,

что

подмножество

изолированно, если

— 0

всякий раз,

когда

N\S.

Понятие изолированности

подмножества

допускает

про-

зрачную,

экономическую интерпретацию: отрасли, номера которых

принадлежат

не

используют товары, производимые

отраслях

номерами,

не

принадлежащими

Матрица называется

неразложимой^

если

в ней нет

изолирован-

ных

подмножеств, кроме

N и 0.

Понятие неразложимости также

имеет

прозрачный экономический смысл: любая отрасль

использует,

хотя

бы

косвенно, продукцию всех отраслей. Ведь если

то

У-я

отрасль непосредственно использует продукцию

/-и

отрасли.

Но

если

даже

т.е.

у-я

отрасль

не

использует продукцию

/-и

от-

расли

непосредственно,

все

равно

при

неразложимой матрице

отдан-

ной

отрасли

до

любой

другой

можно

найти

цепочку

отраслей,

ис-

пользующих

продукцию

друг

друга.

Для

неразложимых матриц

условие

продуктивности

вы-

глядит

так.

Если сумма элементов каждой строки

не

больше

едини-

цы

хотя

бы для

одной строки строго меньше единицы,

то

модель

Леонтьева

этой матрицей продуктивна.

Теория

трудовой стоимости Маркса

модели

Леонтьева.

Во-

просы

использования

распределения трудовых ресурсов являются

чрезвычайно

важными, поскольку

их

решение

во

многом определяет

эффективность общественного производства.

модели Леонтьева

эти

вопросы получают своеобразное освещение.

Сопоставим

каждой

У-й

отрасли

число

}

> О,

выражающее

по-

требные затраты трудовых ресурсов

при

единичной

интенсивности

данного

технологического

процеса.

зависимости

от

цели модели-

рования

числа

1,...,

могут измеряться либо

человеко-днях

(человеко-часах), либо просто числом работающих. Пусть

(/!»

•••>

—

вектор трудовых ресурсов

при

единичной

ин-

тенсивности

технологических процессов

(отраслей).

Ясно,

что

О,

После введения

вектора

трудовых ресурсов

(затрат)

модель

Леон-

тьева можно представить парой

(A,

L),

Если общий объем трудовых

ресурсов

народного

хозяйства

равен

Т, то

получим следующую

экстремальную задачу.

Пусть

вектор

задает

не

конечный спрос

непроизводствен-

ной

сфере,

лишь

его

пропорции. Поэтому будем считать,

что |С| -

Рассмотрим

следующую задачу составления оптимального

плана,

которой

а —

число комплектов продукции, следовательно, весь объ-

ем

продукции есть

аС:

~»

max,

Х-АХ>аС,

L-X<T,

(2)

Если

матрица

продуктивна,

то

задача

(2)

допустима,

т.е.

ее

допустимое множество

не

пусто.

самом деле,

силу продуктивно-

сти

уравнение

Х-

АХ**

имеет неотрицательное решение

Х°.

Поскольку

Т > О,

существует

> 0

такое,

что L •

КХ°

Т,

Сле-

довательно,

вектор

(КХ°,

принадлежит

допустимому множеству

за-

дачи

(2).

Но

ясно,

что X

ограничено

на

допустимом множестве

(по-

скольку каждое

/, > 0, то

каждая

компонента

ограничена),

Отсюда

вытекает

ограниченность

а, так что по

основным теоремам

ЛП

(см. раздел

3.2)

задача

(2)

имеет оптимальное

решение.

При

этом

максимальное

значение

ее

не

меньше

К и

потому

это

максимальное

значение

положительно.

Построим

задаче

(2 )

двойственную задачу:

а->

max,

qT->

min,

дТ-*

mm,

аС-(£-Л)-ЛГ<0,

\P>Q,

P-Ol, P-Ol,

L-X<T,

\g>Q.

дЬ-Р-(Б~А)>0,

тк

>P-(E-A),

X,a>Q,

P,q>Q,

P,q>Q.

Здесь

—

вектор,

a q —

число.

Согласно теории двойственности, вектор

Р и

число

можно

трактовать

как

вектор объективно обусловленных

цен

товаров

цену

трудовых ресурсов соответственно.

Из

свойств матрицы

вытекает,

что (Е -

А)*

> 0.

Оптимальные решения исходной

двойственной задач

обозна-

чим

X*,

а* и

q*.

Можно

доказать:

так как С

0 и С

О, то

Х*=(Е-А)-

С>0.

Уже

было

выяснено,

что а* > 0.

Следовательно,

по 1-й и 2-Й

теоремам двойственности

(см.

раздел

3,2)

имеем:

Р*.С*=>

ct*=

q*T>Q,

g*L~

Р*(Е-А)

L-X*=

Г.

Из

g*L

Р*(Е

- А)

находим

Р*

q*L

(Е

А)~

Желая найти

$*,

подставим

Р* в

равенство

Р*С

—

Получим

q*L

(Е -

А)~

- 1,

т.е.

д*

1/(Х(Я

А)'

С ).

Найдем далее

и Р*

L(E

A)^/(L(E

—

А)~

С)

(сокращать

эту

дробь

нельзя!).

Каков экономический смысл полученных решений?

Так

как

Р*>

С**

1, то

стоимость

(цена)

одного

комплекта

равна

единице,

значит,

а* —

цена

ос

комплектов товаров.

другой сторо-

ны,

д*Тесть

общая заработная

плата,

выплаченная

за Г

единиц тру-

да

по

цене

д*за

каждую.

Таким

образом, равенство

а* -

выра-

жает равенство спроса

предложения

стоимостном выражении

—

цена

выпущенного объема конечной продукции равна общей сумме

денег, полученной людьми, участвующими

процессе производства,

качестве заработной платы.

Напомним

далее,

чтоу-я

компонента вектора

L —

есть трудо-

вые

затраты

при

выпуске одной единицы

продукции

у-й

отрасли.

Но

чтобы

ее

выпустить, надо сначала сделать

а,,

ед.

каждой

/-Й

продук-

ции

т.д.

итоге

получим,

что

вектор

• (Е -

Л)-'

есть

вектор пол-

ных

трудовых затрат

при

производстве единицы продукции

каждой

отрасли.

теперь

вспомним,

что Р* =

L(E

A)~

/(L(E

Л)-'С),

т.е.

Цены

пропорциональны полным трудовым затратам.

Этот

вывод привлекал

привлекает внимание многих видных

экономистов,

ибо он

перекликается

трудовой теорией стоимости

Маркса, которая утверждает,

что в

основе

стоимости товара лежит

Малыхин В.И. Математика в экономике

Подождите немного. Документ загружается.