Малыхин В.И. Математика в экономике

Подождите немного. Документ загружается.

количество

общественно необходимого труда, потребного

для

про-

изводства

товара,

Модель Неймана. Рассмотрим

более

общую

модель

Неймана.

Рассмотрим

экономику,

описываемую парой

(С,

К),

где

С—

прост-

ранство

товаров,

К—

множество

призводственных

процессов,

пе-

рерабатывающих

некоторые

количества

товаров

другие

количества

тех же

товаров.

Под

товаром

(продуктом)

понимаем

как

первичные

факторы производства

(земля,

труд)

сырье

(нефть,

уголь),

так и

конечные продукты

производства,

услуги

т.п.

Пусть

товаров

всего

л,

тогда

есть

неотрицательный ортант

//-мерного

пространства. Множество

^производственных

процессов

имеет

своей

основе

конечное число

процессов

(Q,,...,

которые

называются базисными. Каждый базисный процесс представляет

со-

бой

пару векторов

}

Ц,

В)

из С.

(Векторы

А„

}

— это

векторы-

столбцы,

но

векторы-столбцы

мы из

типографских соображений

будем записывать

строками.)

Содержательный смысл процесса

;

таков:

он

затрачивает вектор

}

—

(а^

выпускает

вектор

}

(b,)

т.е.

перерабатывает вектор

}

вектор

По

смыслу

все

векторы

неотрицательны.

Обозначив

(А

,,..,

...,

)

}

полу-

чаем,

что

технология нашей модели задается

парой

неотрицательных

матриц

А,

В;

матрица

называется матрицей

затрат,

В —

матрицей

•

выпуска,

Комбинируя

базисные процессы, можно

получить

новые про-

цессы. Так, возьмем неотрицательные числа

z,,

1,...,

т и

опреде-

,лим

новый производственный процесс

г,б,

-К..

котором

затраты есть вектор

выпуск

есть,вектор

;

получен-

А=*1

ный

производственный процесс кратко обозначим

(AZ,

BZ),

Вектор-

столбец

Z-

)

называется вектором

интенсивностей.

Получившее-

ся

более

широкое множество процессов

обозначим

К.

Можно заметить,

что в то

время

как

базисные процессы

соответствуют,

вообще говоря, реальным

отраслям,

заводам,

фа-

брикам, каждый элемент

(X,

есть

некоторый фиктивный про-

цесс,

описывающий определенный режим

совместной

работы

этих

отраслей,

заводов,

фабрик.

При

этом

есть

вектор

затрат,

Y—

век-

тор

выпуска.

Рассмотренная

ранее

модель

Леонтьева

действительно

есть

ча-

стный случай модели Неймана

при

/и,

Е.

Основное

отличие

модели Неймана

состоит

том,

что

всякий базисный

процесс

может

выпускать

не

.один

продукт.

Ясно

также,

что

модель Неймана

ли-

нейна.

ЗАДАЧИ

Решим

стандартную задачу

на

модель Леонтьева. Даны вектор

непроизводственного

потребления

С=

матрица

'А

...

\ч*-

межотраслевого

баланса.

Найти

вектор

валового

выпуска,

обеспечи-

вающий

данный

вектор потребления.

Решение.

Известно,

что

Х~

(Е

А)~

С.

Следовательно, надо най-

ти

матрицу,

обратную

к (Е -

А}.

Для

этого

можно воспользоваться

любым

методом,

например

помощью миноров (см. раздел 1.3).

(

9/5 2/5

(

Получаем:

(Е

г-

/1)-'«

и,

значит,

Решим стандартную задачу

на

модель Неймана, Даны матри-

ЦЫ

-Я

)

технологических

процессов, вектор

цен

Р-

(1, 5) и

вектор

начальных

запасов

9Я

Найдем

интенсив-

*о

ности

технологических

процессов,

максимизирующие стоимость

вы-

пуска

продукции

за

один производственный цикл,

и эту

самое мак-

симальную стоимость,

Решение, Пусть

—

вектор-столбец искомых интенсив-

1«2

ностей,

тогда

для их

нахождения имеем задачу линейного програм-

мирования:

PBZ

-»

max,

или (в

развернутой

30*,

8(Ц

max,

форме)

5z,

14,

4«,

Щ<

28,

*,,

Решим

эту

задачу графическим

методом

(рис,

1).

Точка максимума

(0;

2,8)

максимальная стоимость

продукции,

которая может быть

вы-

пущена

за

один цикл,

равна

224.

Найдите,

какие

из

нижепри-

веденных

матриц неразложимы:

/1/21/4]

(1/2

1/3]'

1/3

(l/3

1/3

Найдите,

используя критерий продуктивности

для

неразложи-

мых

матриц (см.

п.

раздел

3.1),

какие

из

вышеприведенных

нераз-

ложимых

матриц продуктивны. Сформулируйте экономическое

со-

держание данного критерия.

Придумайте несколько матриц

для

продуктивных моделей

Леонтьева.

Указание.

Воспользуйтесь

критерием

продуктивности

для

неразло-

жимых матриц,

„

(

1/5

Пусть модель Леонтьева задается матрицей

0 I.

Выяснить,

продуктивна

ли

она.

Пусть

есть

валовой

вы-

\л

пуск.

Каков

вектор

непроизводственного

потребления?

Даны матрицы

Л^К

з Г

4 j

технологических про-

цессов

вектор

цен Р

(3,

5) в

модели

Неймана. Найти, сколько

потребуется

запасов

сколько

будет

произведено

продукции

при

интенсивности

технологических

процессов.

Тема

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

ФУНКЦИИ,

ПРЕДЕЛЫ

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

4.1.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Элементы теории

множеств,

1872

г.

немецкий математик

Г.

Кантор,

создатель

теории

множеств,

определил

множество

каК

«объединение

одно

целое

объектов,

хорошо различимых нашей

ин-

туицией

или

мыслью». Примеры множеств: множество студентов

данной аудитории, множество всех целых чисел

т.д.

Множество

состоит

из

элементов.

подходящем случае

элемен-

ты

множества называют точками

(например,

точки числовой

пря-

мой), Когда

д.—

элемент

множества

Л, то

говорят еще,

что а

принад-

лежит

А и

пишут

так:

А.

Если

же а не

является элементом

А,

то

говорят

еще,

что а не

принадлежит

А и

пишут

А,

Иногда

задать

множество можно просто перечислив

его

элементы,

например

Я={1,

3, 5,

7,9}.

Множества

считаются

равными)

если

они

состоят

из

одних

и тех

же

элементов. Если множество

есть

часть множества

В, то его на-

зывают

подмножеством

В и

пишут

так:

В.

Символом

обозна-

чают

пустое множество,

т.е.

не

имеющее

ни

одного элемента.

Стрелка

-»является

символом

логического

следствия,

знак

<->

обозначает

логическую

эквивалентность. Например,

Ас.

Ви

В<=-

С->

-»Лс<ЗЛсЯиЯсЛоЛ

Запись

{х

Дя)}

обозначает множество всех

таких

х,

которые

об-

ладают

свойством

Р(х).

Объединение множеств

А и Б

есть множество

{х:

Л или

£},

оно

обозначается

пересечение

множеств

А и В

есть

множество

{х:

л:

Л и

В}.

дальнейшем

нам

придется иметь

дело

различными множест-

вами

действительных

чисел. Перечислим

их:

множество натуральных чисел

{I,

...

};

множество

целых

чисел

Z-

{...,

-1,

О,

...};

множество рациональных чисел

—

(п/т:

п>

т ч* 0}

(все

это

расширяющиеся подмножества множества

всех

действительных чисел);

отрезок

[а,

Ь]

{х

Л:

х <

Ь}\

интервал

(а,

Ь)

(к

а<х<Ь};

окрестность точки

есть любой интервал, содержащий

а.

Символ

«о

(бесконечность) служит

для

удобства некоторых

обо-

значений.

Например,

[0,

°о)

обозначает множество всех действитель-

ных

чисел,

ббльших нуля,

т.п.

Множество называется

счетным,

если

его

элементы можно

пе-

ресчитать,

т.е.

занумеровать

натуральными

числами;

несчетным

противном

случае.

Из

вышеуказанных множеств

TV,

счетны,

отрезок

[а,

Ь],

интервал

(а,

Ь)

несчетны,

если

Ь; все

множество

Действительных

чисел

тоже несчетно (несчетность указанных

мно-

жеств надо специально доказывать).

Последовательности. Последовательностью

....}

назы-

вается

функция

~fin)

заданная

на

множестве натуральных чисел.

качестве примеров последовательностей могут служить арифмети-

ческая

прогрессия

—

я,

d(n

- 1) и

геометрическая прогрессия

*«

^i?""

Иногда

последовательность

будет

обозначаться

Последовательность

(х)

называется ограниченной

сверху

(снизу),

если

найдется такое число

Ж/я),

что

(х

для

всех

Ограниченная

сверху

снизу последовательность называется про-

сто

ограниченной.

Например,

последовательность

3/л

ограниченна.

самом

деле,

снизу

она

ограничена числом

0, а

сверху

—

числом

последо-

вательность

= п sin л не

ограничена сверху

(но

доказать

это не так

просто!).

Последовательность

(#„)

называется возрастающей

(неубываю-

щей),

если

i(x

j);

убывающей

(невозрастающей),

если

х'

> х

(х

,.);

монотонной,

если

она или

неубывающая

или

П П

"г

I''

невозрастающая.

Хорошим

примером последовательностей являются

наращенные

денежные

суммы, положенные

банк.

Когда

банк делают вклад,

то

банк получает возможность рас-

поряжаться

(в

определенных пределах) вложенной суммой.

За

удоб-

ства, услуги надо платить. Выплата процентной ставки

есть

плата

банка

за

возможность пользоваться деньгами вкладчика

течение

года

(но, вообще

говоря,

точные условия выплаты

денег

вкладчику

оговариваются

договоре вклада).

Пример

1. В

банк

сделан

вклад

,Уруб.

при

процентной

ставкер%-

Сумма

S,,

которая

будет

получена через время

при

условии

начисления

простых

процентов,

выражается

формулой

S(l

pi/100).

Следователь-

но,

зависимость накопленной суммы

от

времени

выражается

линейной

функцией. Однако иногда начисление производится

только

по

прошествии

целого

числа лет.

этом

случае накопленная сумма является арифметичес-

кой

прогрессией

начальным (нулевым) членом

S и

разностью

Sp/Ш-

Пример

Пусть начисляются сложные проценты. Тогда сумма

S,,

которая

будет

получена через время

выражается формулой

S(l

+/7/100)'.

Следовательно,

зависимость

накопленной

суммы

от

времени

вы-

ражается показательной функцией. Если начисление

производится

только

по

прошествии

целого

числа лет,

то

накопленная сумма

является

геомет-

рической прогрессией

начальным (нулевым) членом

S и

показателем

(1+/7/100).

обоих случаях

называется

наращенной суммой.

другой стороны, пусть имеется вексель

на

1000

дол.,

выдан-

ный

декабря

под 20%

годовых

погашением через год.

Но

вексе-

ледержателю

началу сентября очень понадобились деньги

И он

августа понес

вексель

банк. Принятие

векселя

выплата

денег

векселедержателю называется учетом векселя

банке.

Теоретически

банк

должен

был бы

выплатить сумму

S из

расчета

£(1

+ 0,

|/4

1000,

т.е. примерно

956,

Но

банки немного хитрят

удерживают

конечной

суммы,

т.е.банк

выплатит 950.

Вообще

задача

определения

эквивалента

момент

денежной

суммы,

которая

момент

была

равна

£,,

называется

дискотпирова-

нием,

т.е. приведением

другому моменту. Если процентная ставка

р%

неизменна

начисляются сложные проценты,

то

(1 +

/>/100)'2-ч.

Все эти

рассуждения

не

учитывали инфляцию. Говорят,

что

инфляция

составляет

г%

год, если один

и тот же

набор товаров

через

год

окажется стоящим

на г %

больше. Иначе говоря,

реальное

содержание

денежной суммы уменьшается через

год в (1 +

//100)

раз,

через

лет в (1 +

г/100)"

раз.

нормальной экономике про-

центная

ставка больше,

чем

темп инфляции.

Пусть норма процента

— р % в

год,

инфляция

—

г%

год.

Тогда

через

год

сумма

возрастет

иар%

из-за наращения

по

норме

процента,

но

этаже

сумма будет обладать

в (1

/-/100)

раз

меньшей

покупательной

способностью, следовательно,

ее

реальное денежное

содержание

будет равно:

S(i

р/100)/(1

г/100)

5(100

/О/О00

г).

Отсюда

следует

простой вывод

—

реальное содержание денежной

суммы:

возрастает,

еслир

>г,

неизменно,

если

р =

/-,

уменьшается, если

р<г.

Найдем рыночную стоимость бессрочной облигации. Гашение

такой

облигации

не

предусмотрено,

но

каждый

год

владелец получает

так

называемый купонный

доход.

Если облигация номинала 1000 дол.

имеет

3%-ныЙ

купон, значит, каждый

год она

приносит владельцу

дол. Предположим,

что

темп инфляции

1%.

Рыночная цена обли-

гации

будет равна дисконтированию ряда будущих ежегодных плате-

жей

в 30

дол.

по

ставке

1%,

т.е. сумме геометрической прогрессии

первым

членом

30 и

знаменателем

1/0 +

2/100) (облигация продает-

ся

сразу

же

после получения очередного купонного

дохода).

Получа-

ем

окончательно: 1530.

Это и

осп

рыночная

цена

облигации.

Конечно,

эта

цена является лишь весьма

ориентировочной.

конкретной ситуации покупатели

продавцы принимают

во

вни-

мание

множество

факторов,'

начиная

от

сугубо индивидуальных

кончая

стабильностью государственных институтов.

При

установлении рыночной цены акции также принимают

во

внимание

будущие

дивиденды

(часто

—

теоретически бесконечный

ряд

платежей), которые каким-то образом пытаются дисконтировать

данному

моменту.

Определение рыночной цены

облигации,

акции таким образом

имеет,

общем, чисто теоретическое

значение.

На

практике поступа-

ют

по-другому,

именно; пусть ставка

процента

р,

годовой купон обли-

гации

номинал облигации

Л,

ее

рыночная цена

тогда приравни-

вают

два

дохода

qA~

находят отсюда рыночную цену:

tjA/p,

Предел последовательности

сумма

ряда.

Число

называется

пределом

последовательности

(х),

если

для

всякого

8 > 0

найдется

такое

что

\х

- А\

е для

любого

п > К.

Обозначение:

А=

Нт(х

л->«>

Например,

предел последовательности

\/п

есть

Действи-

тельно, фиксируем произвольное

£ > 0.

Пусть

К s

таково,

что

1/е.

Как

легко видеть,

\\/п

- 0| < е для

любого

п > К.

Сумма

геометрической прогрессии есть часто

встречающийся

пример

суммы бесконечного ряда чисел. Пусть

(а

)

—

какая-нибудь

последовательность чисел. Рассмотрим

последовательность

началь-

ных

сумм

+...

+ а

Если

эта

последовательность имеет

предел,

то

этот предел называется суммой

ряда

}

-К...

Если

же

предел

не

существует,

то

говорят,

что

ряд

расходится (если предел

+«>

или

~°°»

то

иногда говорят,

что ряд

расходится

бесконечности).

Например,

сумма ряда

0 + 1/2 + 1/4 + 1/8

+....

равна

единице.

Действительно, сумма

первых

членов ряда равна

1/2". Сле-

довательно,

lim

а это и

есть,

по

определению,

сумма

рассма-

Л_»оо

триваемого ряда.

Во

многих важных случаях существование предела

последова-

тельности

можно установить

помощью следующей теоремы.

Теорема

Пусть

последовательность

(х^

монотонно

убывает

(или

пе

возрастает). Если

при

этом

она

ограничена

свер-

ху

(саазу),

то

она

имеет конечный предел;

противном

случае

она

стремится

-Ьоо

(-те).

Паутинообразная модель рынка.

Это

простая модель

рынка

одного товара. Обозначим

D(p)

функцию спроса

со

стороны

покупа-

телей

на

товар

зависимости

от его

цены

/?,

S(p)

—

функцию

пред-

ложения продавцами этого

же

товара тоже

зависимости

от

цены.

Поскольку речь идет

рынке

од-

ного товара,

то в

состоянии

равно-

весия

D(p)

Sip},

реальности

это

уравнение имеет единственное

ре-

шение

р*'и

тройка

(р*,

£*,

$*)>

№

Л*=

Я(р*),

5*=

£(/>*)

есть

состо-

яние

равновесия.

Процесс

отыска-

ния

этого

равновесия

называют

«нащупыванием»,

Рассмотрим

частный

случа"

этой

модели

— при

линейны*

функциях

спроса

предложения.

Пусть,

например, функция спроса

D - 10 - р

(рис.

1), а

функция

предложения

S= 2 +

р/4.

Функция, обратная

функции спроса, есть

= 10 — А Эта

функция

дает

зависимость цены

от

спроса.

Зависи-

мость

цены

от

предложения

—

функция, обратная

к S,

естър

—

- 8.

Равновесная

цена

р =

6,4.

Проследим,

как

проходит «нащупы-

вание»

равновесной цены.

Пусть

начальная

ценар,

2. Так как при

этой

цене спрос боль-

ше

предложения, т.е.

= 8 >

5/2,

то

цена увеличивается

до

так

чтобы

}

—

Но

теперь продавцы предлагают

—

31/8

—

боль-

ше

спроса

Это

вызывает падение цены

до

49/8

т.д. расчеты

быстро

усложняются,

но

качественно картина ясна

—

идет

«нащупы-

вание»

точки равновесия.

Прямые

полные затраты

модели

Леонтьева. Модель

Леон-

тьева

рассмотрена

в п. 1

раздела 3.3. Напомним,

что

модель задается

матрицей

прямых затрат.

этой матрице

— это

количество еди-

ниц

продукции

/-и

отрасли,

расходуемое

на

изготовление,

производ-

ство

одной единицы продукции

у-й

отрасли. Числа

называются

коэффициентами

прямых затрат

j-и

отрасли

характеризуют

техно-

логию

этой отрасли. Пусть

Х=

Ц)

обозначает вектор валового про-

изводства,

тогда

АХ

есть

израсходованные

процессе производства

ресурсы

и для

непроизводственной сферы остается

С - X -

АХ.

Но

на

производство

надо израсходовать

АС

ресурсов. Однако

на их

производство

надо

свою очередь затратить

А(АС)

• С

ресурсов,

для их

производства

еще

израсходовать

А(А

С)

• С и

т.д.

Полные

затраты,

таким

образом,

есть сумма бесконечного ряда

А"

• С. Но

члены

этого

ряда

—

конечномерные

векторы-столбцы,

й°0

поэтому

сумма

этого

ряда находится

как

вектор сумм 1-х,

2-х и

т.д.

компонент

векторов

А"

• С.

Однако можно

доказать,

что

если сумма

Рада

2 А" • С.

существует,

то ее

можно вычислить

как

произведение

/JoQ

(Я-Л)

С. (1)

Обратите внимание

на

аналогию

формулой суммы бесконечно

оо

Убывающей

геометрической прогрессии

b + bq +

+....

*?"

i/(l

(?).

Но эта

формула верна тогда

только

тогда,

если

\д\

< 1.

Нечто

подобное имеет место

и для

формулы (1).

Для

матрицы

число

называется

собственным

числом,

если

найдется

ненулевой вектор

Г,

такой

что

AY=

Такой вектор также

называется собственным

вектором,

отвечающим данному

собствен-

ному

числу

(вектор

не

определяется

по

однозначно

—

всякий

вектор,

ему

пропорциональный, также будет собственным

вектором,

отвечающим

этому

же

собственному числу

X).

Можно доказать следующее

утверждение:

модель

Леонтьева

матрицей

продуктивна,

если

только

если

матрица

имеет

собст-

венное

число

\,-

которое

тому

же

является наибольшим

по

модулю

из

всех

собственных

чисел

матрицы.

Если матрица имеет такое число

то

можно доказать,

что

lim

Л"

0 и

формула

(1)

верна.

й-»»

Пример

3. Для

матрицы

]

найдем

собственные

числа

векторы.

Согласно

определению,

собственный

вектор

собственное

чис-

ло

удовлетворяют

уравнению

AY=*

\Y,

или (А -

"kE)Y=

Имеем

однород-

ную

СЛАУ:

(1/2-1)

У1

+(|/з)у

=0,

0/e)yi

0/3-X)y

Чтобы

такая

СЛАУ

имела

ненулевое

решение,

определитель

ее

должен

быть

равен

нулю.

Получаем

уравнение

(1/2

Х)(1/3

Ь)

(1/3)

•

(1/6)

Решая

его,

находим

два

собственных

числа

К.

1/6

А.,

2/3.

Затем

для

каждого

Я,,

находим

собственный

вектор:

У,

= (1,

-1),

= (2, 1).

ЗАДАЧИ

Пусть вектор

цен в

пространстве двух товаров меняется

по

закону

последовательности

- (2 -

1/я,

4 -

\/п).

Найдите

закон

изменения

стоимости набора товаров

Х~

(5,

10).

Опишите,

как

ме-

няется

зависимости

от цен

бюджетное множество

при

неизменном

доходе

60.

Решение.

Стоимость набора меняется

по

закону

последова-

тельности

-X=(1~

I//05

+ (4 -

1//ОЮ

50 -

15/л.

Крайняя

правая

точка бюджетного множества

есть

60/(2

1//0

60л/(2и

1),

и эта

точка

стремится

к 30,

а"крайняя

высшая

бО/(4

I/л)

стремится

к 15.

Отсюда

ясен закон

изменения

бюджетного-множества,

Счетны

ли: а)

множество всех четных целых чисел;

б)

множе-

ство всех чисел вида

+лУ5~,

где т,

—

целые числа;

в)

множество

всех

правильных

дробей

со

знаменателем

Убедитесь,

что

последовательность

+ 12л +

120

возра-

стает; последовательность

= (7 -

л)/л убывает;

последовательность-

- 30л

-ь

200 не

монотонна.

Выясните,

какие

из

нижеследующих последовательностей

ограниченны,

какие нет:

а)

= (л

60)/л;

б)

(л

40)/л;

в)

2"/(4

л); г)

cos л.

Докажите,

что

сумма,

разность

произведение

двух

даже

любого

конечного числа ограниченных последовательностей снова

есть ограниченная

последовательность.

со

Найдите

сумму

ряда

(i/2"-

1/з").

»=1

Найдите

lim

(V«

+ l -

Ул*).

л-*»

Найдите

предел последовательности

Л",

где А

Указ

а н и

е.

Возведите

во

2-ю,

3-ю

степени.

Возможно,

догадаетесь,

чему

равен искомый предел.

Найдите рыночную

цену

облигации номиналом

дол.

4%-

ньщ

купоном

при

годовой инфляции

1%.

10.

Опишите,

как

меняется

зависимости

от

изменения

дохода

Q,,

- 40 +

1/л

бюджетное множество

при

неизменных ценах

(2, 5).

11.

Рассмотрите паутинообразную модель рынка

при

функциях

спроса

10 -

1р

предложения

4 + р и

начальной цене

12.

Рассмотрите упрощенную модель «челнока»: имея началь-

ный

капитал

он

покупает

на

весь капитал товар одного вида

по

Цене

р, а

продает

его по

цене

р'>

р.

Как

растет

его

капитал

по

цик-

лам?

Пусть

«челнок»

работает

товарами

двух

видов.

При

каких

соотношениях

на

векторы

цен Р

(р,,

)

Р'

(р\,

/>'

)

вояж

его

будет выгодным?

13.

Убедитесь

том,

что

заниженный курс рубля

выгоден

рос-

сийским

импортерам,

завышенный

—

российским

экспортерам.

Кому

выгоден фиксированный курс рубля

При

инфляции

России

(импортерам

или

экспортерам)?

Указание. Импортер

за

доллары

покупает'товары

за

границей,

про-

дает

их в

России

за

рубли,

покупает

России

за

рубли доллары

т.д.

4.2. ФУНКЦИИ

Общее понятие функции. Пусть даны

два

множества

X и У.

Пусть

каким-то способом /каждому элементу

х е X

поставлен

в со-

ответствие один элемент

~/(х)

е К

Тогда

соответствие/назынается